二次函數(shù)知識點總結

二次函數(shù)知識點總結二次函數(shù)知識點：1．二次函數(shù)的概念：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強調：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)，而可以為零．二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù)．2.二次函數(shù)的結構特征：⑴等號左邊是函數(shù)，右邊是關于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2．⑵是常數(shù)，是二次項系數(shù)，是一次項系數(shù)，是常數(shù)項．二次函數(shù)的基本形式1.二次函數(shù)基本形式：的性質：結論：a的絕對值越大，拋物線的開口越小?？偨Y：的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值．向下軸時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．2.的性質：結論：上加下減?？偨Y：的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，有最小值．向下軸時，隨的增大而減?。粫r，隨的增大而增大；時，有最大值．3.的性質：結論：左加右減?？偨Y：的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值．向下X=h時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．4.的性質：總結：的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值．向下X=h時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值．二次函數(shù)圖象的平移1.平移步驟：⑴將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點坐標；⑵保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下：2.平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”．概括成八個字“左加右減，上加下減”．三、二次函數(shù)與的比較請將利用配方的形式配成頂點式。請將配成?？偨Y：從解析式上看，與是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中．四、二次函數(shù)圖象的畫法五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與軸的交點、以及關于對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點）.畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.五、二次函數(shù)的性質1.當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為．當時，隨的增大而減?。划敃r，隨的增大而增大；當時，有最小值．2.當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點坐標為．當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小；當時，有最大值．六、二次函數(shù)解析式的表示方法1.一般式：（，，為常數(shù)，）；2.頂點式：（，，為常數(shù)，）；3.兩根式：（，，是拋物線與軸兩交點的橫坐標）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.七、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關系1.二次項系數(shù)二次函數(shù)中，作為二次項系數(shù)，顯然．⑴當時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大；⑵當時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大．總結起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小．2.一次項系數(shù)在二次項系數(shù)確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸．⑴在的前提下，當時，，即拋物線的對稱軸在軸左側；當時，，即拋物線的對稱軸就是軸；當時，，即拋物線對稱軸在軸的右側．⑵在的前提下，結論剛好與上述相反，即當時，，即拋物線的對稱軸在軸右側；當時，，即拋物線的對稱軸就是軸；當時，，即拋物線對稱軸在軸的左側．總結起來，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置．總結：3.常數(shù)項⑴當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱坐標為正；⑵當時，拋物線與軸的交點為坐標原點，即拋物線與軸交點的縱坐標為；⑶當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱坐標為負．總結起來，決定了拋物線與軸交點的位置．總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的．二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點，選擇適當?shù)男问剑拍苁菇忸}簡便．一般來說，有如下幾種情況：1.已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；2.已知拋物線頂點或對稱軸或最大（?。┲担话氵x用頂點式；3.已知拋物線與軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；4.已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式．二、二次函數(shù)圖象的對稱二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達1.關于軸對稱關于軸對稱后，得到的解析式是；關于軸對稱后，得到的解析式是；2.關于軸對稱關于軸對稱后，得到的解析式是；關于軸對稱后，得到的解析式是；3.關于原點對稱關于原點對稱后，得到的解析式是；關于原點對稱后，得到的解析式是；4.關于頂點對稱關于頂點對稱后，得到的解析式是；關于頂點對稱后，得到的解析式是．5.關于點對稱關于點對稱后，得到的解析式是根據(jù)對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式．二次函數(shù)與一元二次方程：1.二次函數(shù)與一元二次方程的關系（二次函數(shù)與軸交點情況）：一元二次方程是二次函數(shù)當函數(shù)值時的特殊情況.圖象與軸的交點個數(shù)：①當時，圖象與軸交于兩點，其中的是一元二次方程的兩根．這兩點間的距離.②當時，圖象與軸只有一個交點；③當時，圖象與軸沒有交點.當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數(shù)，都有；當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數(shù)，都有．2.拋物線的圖象與軸一定相交，交點坐標為，；3.二次函數(shù)常用解題方法總結：⑴求二次函數(shù)的圖象與軸的交點坐標，需轉化為一元二次方程；⑵求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉化為頂點式；⑶根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中，，的符號，或由二次函數(shù)中，，的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結合；⑷二次函數(shù)的圖象關于對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標.拋物線與軸有兩個交點二次三項式的值可正、可零、可負一元二次方程有兩個不相等實根拋物線與軸只有一個交點二次三項式的值為非負一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根拋物線與軸無交點二次三項式的值恒為正一元二次方程無實數(shù)根.⑸與二次函數(shù)有關的還有二次三項式，二次三項式本身就是所含字母的二次函數(shù)；下面以時為例，揭示二次函數(shù)、二次三項式和一元二次方程之間的內在聯(lián)系：二次函數(shù)綜合練習一、填空題：１、拋物線y＝－x2＋1的開口向＿＿＿＿。２、拋物線y＝2x2的對稱軸是＿＿＿＿。xyO1xyO112-1４、將拋物線y＝2x2向下平移2個單位，所得的拋物線的解析式為＿＿＿＿＿＿＿＿。５、函數(shù)y＝x2＋bx＋3的圖象經過點(－1,0)，則b＝＿＿＿＿。６、二次函數(shù)y＝(x－1)2＋2，當x＝＿＿＿＿時，y有最小值。７、函數(shù)y＝(x－1)2＋3，當x＿＿＿＿時，函數(shù)值y隨x的增大而增大。圖1８、將y＝x2－2x＋3化成y＝a(x－h(huán))2＋k的形式，則y＝＿＿＿＿。９、若點A(2,m)在函數(shù)y＝x2－1的圖像上，則A點的坐標是＿＿＿＿。10、拋物線y＝2x2＋3x－4與y軸的交點坐標是＿＿＿＿。11、請寫出一個二次函數(shù)以（2,3）為頂點，且開口向上。＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。12、已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像如圖1所示：則這個二次函數(shù)的解析式是y＝＿。二、選擇題：１、在圓的面積公式S＝πr2中，s與r的關系是（）xyxyO２、已知函數(shù)y＝(m＋2)是二次函數(shù)，則m等于（）A、±2B、2C、－2D、±３、已知y＝ax2＋bx＋c的圖像如圖2所示，則a、b、c滿足（）A、a＜0，b＜0，c＜0B、a＞0，b＜0，c＞0圖2C、a＜0，b＞0，c＞0D、a＜0，b＜0，c＞0４、蘋果熟了，從樹上落下所經過的路程s與下落時間t滿足S＝gt2（g＝9.8），則s與t的函數(shù)圖像大致是（）stOstOstOstOstOstOABCD５、拋物線y＝－x2不具有的性質是（）A、開口向下 B、對稱軸是y軸 C、與y軸不相交 D、最高點是原點６、拋物線y＝x2－4x＋c的頂點在x軸，則c的值是（）A、0 B、4 C、－4 D、2三、解答題：１、如圖3，矩形的長是4cm，寬是3cm，如果將長和寬都增加xcm，那么面積增加ycm2，①求y與x之間的函數(shù)關系式。②求當邊長增加多少時，面積增加8cm2。圖3２、已知拋物線的頂點坐標是（－2，1），且過點（1，－2），求拋物線的解析式。３、已知二次函數(shù)的圖像經過（0，1），（2，1）和（3，4），求該二次函數(shù)的解析式。四、校運會上，小明參加鉛球比賽，若某次試擲，鉛球飛行的高度y(m)與水平距離x(m)之間的函數(shù)關系式為y＝－x2＋x＋，求小明這次試擲的成績及鉛球的出手時的高度。3.50.5027月份3.50.5027月份千克銷售價(元)六、商場銷售一批襯衫，每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，減少庫存，決定采取適當?shù)慕祪r措施，經調查發(fā)現(xiàn)，如果一件襯衫每降價1元，每天可多售出2件。①設每件降價x元，每天盈利y元，列出y與x之間的函數(shù)關系式；②若商場每天要盈利1200元，每件應降價多少元？③每件降價多少元時，商場每天的盈利達到最大？盈利最大是多少元？[與直線綜合]1、已知二次函數(shù)圖象頂點為C（1，0），直線y=x+m與該二次函數(shù)交于A，B兩點，其中A點（3，4），B點在y軸上.（1）求m值及這個二次函數(shù)關系式；（2）P為線段AB上一動點（P不與A，B重合），過P做x軸X垂線與二次函數(shù)交于點E，設線段PE長為h，點P橫坐標為x，求h與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x取值范圍；（3）D為線段AB與二次函數(shù)對稱軸的交點，在AB上是否存在一點P，使四邊形DCEP為平行四邊形？若存在，請求出P點坐標；若不存在，請說明理由。2、拋物線y=x2+4x+3交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點E.（1）求拋物線的對稱軸及點A的坐標；（2）在平面直角坐標系xoy中是否存在點P，與A、B、C三點構成一個平行四邊形？若存在，請寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）連結CA與拋物線的對稱軸交于點D，在拋物線上是否存在點M，使得直線CM把四邊形DEOC分成面積相等的兩部分？若存在，請求出直線CM的解析式；若不存在，請說明理由.[與相似三角形綜合]如圖所示，已知拋物線y=x2-1與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．（1）求A、B、C三點的坐標．（2）過點A作AP∥CB交拋物線于點P，求四邊形ACBP的面積．（3）在