浙大控制考研-現(xiàn)代控制理論(浙大)第二章

狀態(tài)空間分析探索現(xiàn)代控制理論的核心概念-狀態(tài)空間分析。從系統(tǒng)的輸入、輸出和內(nèi)部狀態(tài)變量出發(fā),深入理解系統(tǒng)的動態(tài)特性及其分析方法。掌握狀態(tài)方程的建立、狀態(tài)變量的求解,為進(jìn)一步學(xué)習(xí)和應(yīng)用現(xiàn)代控制理論奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。ＯabyＯＯＯＯＯＯＯＯＯ2.1狀態(tài)空間表示狀態(tài)變量狀態(tài)變量是用來描述系統(tǒng)動態(tài)行為的一組最小獨(dú)立變量集合。它們能夠完整表征系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)。狀態(tài)方程狀態(tài)方程將系統(tǒng)的動態(tài)特性用一組一階微分或差分方程表示，描述系統(tǒng)的輸入、狀態(tài)和輸出之間的關(guān)系。輸入-輸出方程輸入-輸出方程描述系統(tǒng)的輸入和輸出之間的關(guān)系,可從狀態(tài)方程推導(dǎo)得到。2.1.1狀態(tài)變量狀態(tài)變量是描述動態(tài)系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)的一組最小變量集合。它們通常包括系統(tǒng)內(nèi)部的物理量,如位置、速度、電壓等。狀態(tài)變量為系統(tǒng)的行為提供全面描述,可以推測系統(tǒng)的未來狀態(tài)。合理選擇狀態(tài)變量是狀態(tài)空間分析中的關(guān)鍵步驟,需要考慮系統(tǒng)的具體特點(diǎn)和研究目的。2.1.2狀態(tài)方程狀態(tài)方程是描述動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)變化的微分方程組。它定義了系統(tǒng)的狀態(tài)變量以及它們?nèi)绾坞S輸入而變化。狀態(tài)方程可以用矩陣形式表達(dá),捕捉系統(tǒng)的復(fù)雜動態(tài)行為。通過狀態(tài)方程,可以分析系統(tǒng)的可控性、可觀測性和穩(wěn)定性等性質(zhì),為控制器設(shè)計(jì)提供基礎(chǔ)。2.1.3輸入-輸出方程輸入-輸出方程描述了系統(tǒng)的輸入信號與輸出信號之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。通過將狀態(tài)方程與輸出方程結(jié)合，可以得到系統(tǒng)的完整數(shù)學(xué)描述。輸入-輸出方程的形式可以是傳遞函數(shù)、脈沖響應(yīng)或頻率響應(yīng)等，它們可以相互轉(zhuǎn)換。狀態(tài)空間表示的性質(zhì)狀態(tài)空間表示具有重要的數(shù)學(xué)性質(zhì),包括可控性、可觀測性和穩(wěn)定性。了解這些性質(zhì)對于分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)至關(guān)重要。2.2.1可控性可控性是指系統(tǒng)能否通過合理的輸入,在有限時(shí)間內(nèi)從任意初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到任意終止?fàn)顟B(tài)?？煽匦允窃O(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器的前提條件,只有系統(tǒng)可控才能實(shí)現(xiàn)所需的動態(tài)特性?？煽匦耘c系統(tǒng)矩陣A和輸入矩陣B有關(guān),可通過Kalman判據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)?？捎^測性可觀測性是表示系統(tǒng)輸出與狀態(tài)變量之間的關(guān)系。它反映了系統(tǒng)的狀態(tài)能否通過輸入和輸出的觀測來確定?？捎^測系統(tǒng)的狀態(tài)變量可以通過有限的輸入輸出測量來唯一確定。2.2.3穩(wěn)定性穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)非常重要的性質(zhì),它決定了系統(tǒng)能否保持在期望的狀態(tài)下長期運(yùn)行而不發(fā)生失控。穩(wěn)定性分為內(nèi)部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性,內(nèi)部穩(wěn)定性確保系統(tǒng)本身的波動不會無限增大,外部穩(wěn)定性確保系統(tǒng)對外界干擾的響應(yīng)是有限的。通過分析系統(tǒng)特征方程的根的位置可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性,根在單位圓內(nèi)的系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)是一種利用系統(tǒng)的狀態(tài)變量進(jìn)行反饋控制的方法。它通過測量系統(tǒng)的狀態(tài)變量,并將其與預(yù)期的目標(biāo)狀態(tài)進(jìn)行比較,從而生成控制量來驅(qū)動系統(tǒng)滿足控制目標(biāo)。這種方法可以有效地提高系統(tǒng)的控制性能,實(shí)現(xiàn)精確的動態(tài)控制。2.3.1狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器旨在通過測量系統(tǒng)狀態(tài)來確定控制輸入其關(guān)鍵是合理選擇狀態(tài)反饋矩陣K，以確保閉環(huán)系統(tǒng)具有理想的動態(tài)特性常用的設(shè)計(jì)方法包括極點(diǎn)配置法和線性二次調(diào)節(jié)器，可以根據(jù)實(shí)際需求靈活選擇2.3.2極點(diǎn)配置法極點(diǎn)配置法是一種強(qiáng)大的狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)方法。通過合理地配置系統(tǒng)的特征根（極點(diǎn)），可以使系統(tǒng)達(dá)到期望的動態(tài)性能，如響應(yīng)速度、穩(wěn)定性等。這種方法需要先確定期望的閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)位置，再根據(jù)狀態(tài)方程設(shè)計(jì)合適的狀態(tài)反饋增益矩陣。2.3.3線性二次調(diào)節(jié)器線性二次調(diào)節(jié)器是一種先進(jìn)的狀態(tài)反饋控制方法,通過最小化性能指標(biāo)函數(shù)來設(shè)計(jì)控制器。它充分利用狀態(tài)變量信息,可以實(shí)現(xiàn)更好的控制效果。本節(jié)將介紹線性二次調(diào)節(jié)器的設(shè)計(jì)原理和實(shí)現(xiàn)步驟。定義性能指標(biāo)函數(shù),包含狀態(tài)變量和控制量。求解Riccati方程,得到最優(yōu)狀態(tài)反饋增益矩陣。將最優(yōu)反饋增益應(yīng)用于閉環(huán)系統(tǒng),實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋控制。觀測器觀測器是現(xiàn)代控制理論中的一個重要概念,它可以從系統(tǒng)的輸入輸出信號估計(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)變量,使得無需直接測量狀態(tài)變量即可實(shí)現(xiàn)狀態(tài)空間控制。觀測器的設(shè)計(jì)需要考慮系統(tǒng)的可觀測性,以確保狀態(tài)變量能夠被準(zhǔn)確估計(jì)。2.4.1全階觀測器全階觀測器是能夠完全重建系統(tǒng)的狀態(tài)變量的觀測器。其設(shè)計(jì)依賴于系統(tǒng)的可觀測性，需構(gòu)建一個和原系統(tǒng)具有相同動態(tài)特性的觀測器。全階觀測器能夠?qū)?shí)際系統(tǒng)的任意初始狀態(tài)進(jìn)行狀態(tài)重構(gòu)，是一種理想的狀態(tài)估計(jì)器。2.4.2降階觀測器降階觀測器是一種簡化的狀態(tài)觀測器,它利用部分狀態(tài)變量來重建完整的狀態(tài)向量。與全階觀測器相比,降階觀測器結(jié)構(gòu)更簡單,計(jì)算量更小,但觀測誤差也更大。它適用于對系統(tǒng)的某些狀態(tài)變量不感興趣或難以測量的情況。目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個低階觀測器,從部分可測量的系統(tǒng)輸入輸出重建完整狀態(tài)可以根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)有選擇性地重建部分狀態(tài)變量,降低觀測器復(fù)雜度通過調(diào)整觀測器極點(diǎn)位置來權(quán)衡觀測誤差與響應(yīng)速度之間的平衡魯棒性分析魯棒性分析探討控制系統(tǒng)對參數(shù)不確定性、外部干擾等因素的抗干擾能力。通過分析系統(tǒng)的靈敏度和H∞控制方法,可以設(shè)計(jì)出對各種擾動具有強(qiáng)抗性的控制系統(tǒng)。系統(tǒng)靈敏度系統(tǒng)的靈敏度分析研究了系統(tǒng)在外部條件發(fā)生微小變化時(shí),系統(tǒng)性能的變化情況。評估系統(tǒng)的魯棒性非常有重要,它可以幫助設(shè)計(jì)師預(yù)判并改善系統(tǒng)在復(fù)雜環(huán)境下的運(yùn)行穩(wěn)定性。系統(tǒng)靈敏度分析通常涉及參數(shù)敏感性分析、噪聲抑制性能分析等,可以幫助設(shè)計(jì)師優(yōu)化系統(tǒng)結(jié)構(gòu),提高系統(tǒng)魯棒性。2.5.2H∞控制H∞控制是一種魯棒控制方法,旨在設(shè)計(jì)出對系統(tǒng)參數(shù)擾動和外部干擾具有良好抑制能力的控制器。它可以通過最小化閉環(huán)系統(tǒng)的H∞范數(shù)來實(shí)現(xiàn),從而保證系統(tǒng)在最壞情況下的性能指標(biāo)。H∞控制器設(shè)計(jì)通常需要解決Riccati方程,具有較高的計(jì)算復(fù)雜度,但對系統(tǒng)魯棒性有顯著改善。離散時(shí)間狀態(tài)空間模型離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型包括離散時(shí)間狀態(tài)方程和離散時(shí)間輸入-輸出方程。了解離散時(shí)間狀態(tài)空間模型的性質(zhì)和建模方法對離散時(shí)間系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)非常重要。2.6.1離散時(shí)間狀態(tài)方程離散時(shí)間狀態(tài)空間模型可使用差分方程表示。狀態(tài)方程描述系統(tǒng)的狀態(tài)如何從一個采樣時(shí)刻變化到下一個采樣時(shí)刻。輸出方程則表示離散時(shí)間系統(tǒng)的輸出與狀態(tài)和輸入之間的關(guān)系。2.6.2離散時(shí)間可控性和可觀測性可控性是指系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)能從任意初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到任意期望狀態(tài)?？捎^測性是指系統(tǒng)的初始狀態(tài)可以從輸出信號中完全確定。對于離散時(shí)間狀態(tài)空間模型來說，需要檢查狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣A和輸出矩陣C的相關(guān)性來判斷可控性和可觀測性。2.6.3離散時(shí)間狀態(tài)反饋控制離散時(shí)間狀態(tài)空間模型是描述離散時(shí)間系統(tǒng)的一種方式,與連續(xù)時(shí)間模型相比更加適合數(shù)字控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。在離散時(shí)間狀態(tài)反饋控制中,控制器輸出由當(dāng)前系統(tǒng)狀態(tài)變量的線性組合決定,可以通過極點(diǎn)配置法或最優(yōu)控制等方法進(jìn)行設(shè)計(jì)。離散時(shí)間狀態(tài)反饋控制器可以有效地改善系統(tǒng)的動態(tài)特性,提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性和抗干擾能力,廣泛應(yīng)用于數(shù)字控制系統(tǒng)中。離散時(shí)間狀態(tài)空間模型本節(jié)介紹離散時(shí)間狀態(tài)空間模型的構(gòu)建方法,包括離散時(shí)間狀態(tài)方程、可控性和可觀測性分析,以及離散時(shí)間狀態(tài)反饋控制技術(shù)。這些離散時(shí)間模型為數(shù)字控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和分析提供了重要的理論基礎(chǔ)。2.7.1物理建模物理建模是一種基于系統(tǒng)的實(shí)際物理特性和行為來建立數(shù)學(xué)模型的方法。建模過程包括確定系統(tǒng)的組成部分、確定它們之間的關(guān)系、根據(jù)物理定律推導(dǎo)出狀態(tài)方程等。物理建?？梢陨钊肜斫庀到y(tǒng)的內(nèi)部機(jī)理,得到符合實(shí)際的精確模型。模型的參數(shù)可以來源于系統(tǒng)的物理參數(shù),有利于分析和控制系統(tǒng)的動態(tài)特性。試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合通過分析系統(tǒng)的輸入-輸出數(shù)據(jù)關(guān)系,建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。根據(jù)系統(tǒng)的時(shí)域或頻域響應(yīng)特性,采用參數(shù)識別的方法,擬合出系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。利用等數(shù)據(jù)分析工具,對試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析和擬合,找出最佳的系統(tǒng)參數(shù)。2.7.3子空間識別算法子空間識別算法是一種強(qiáng)大的數(shù)據(jù)驅(qū)動建模方法,通過挖掘數(shù)據(jù)中的潛在結(jié)構(gòu),自動構(gòu)建狀態(tài)空間模型。這種算法無需復(fù)雜的物理建模,而是通過輸入輸出數(shù)據(jù),采用矩陣分解等技術(shù),高效地識別出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。子空間方法具有良好的數(shù)值穩(wěn)定性和算法效率,在實(shí)際工