北師大版七年級數(shù)學下冊舉一反三 專題4.7 角角邊判定三角形全等-重難點題型（舉一反三）（原卷版+解析）

專題4.7角角邊判定三角形全等-重難點題型【北師大版】【知識點1基本事實“角角邊”（AAS）】兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等，簡寫成“角角邊”或“AAS”.【題型1角角邊判定三角形全等的條件】【例1】(2023秋?覃塘區(qū)期末）如圖，點A，B，C，D在同一直線上，∠AEC＝∠DFB，AB＝DC，請補充一個條件：，能使用“AAS”的方法得△ACE≌△DBF．【變式1-1】(2023秋?句容市月考）如圖，已知∠ABC＝∠DCB，若添加條件，則可由AAS證明△ABC≌△DCB；若添加條件，則可由SAS證明△ABC≌△DCB；若添加條件，則可由ASA證明△ABC≌△DCB．【變式1-2】(2023秋?石獅市校級期中）如圖，在△ABC和△BDE中，點C在邊BD上，邊AC交邊BE于點F．若AB＝BE，∠ABC＝∠E，請?zhí)砑右粋€條件，使△ABC≌△BED．【變式1-3】(2023秋?東臺市期中）根據(jù)下列已知條件，能夠畫出唯一△ABC的是（）A．AB＝6，BC＝5，∠A＝50° B．∠A＝50°，∠B＝80°，BC＝8 C．AB＝5，BC＝6，AC＝13 D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°【題型2角角邊判定三角形全等（求角的度數(shù)）】【例2】(2023秋?南昌期中）如圖，若AB⊥BC于點B，AE⊥DE于點E，AB＝AE，∠ACB＝∠ADE，∠ACD＝∠ADC＝70°，∠BAD＝60°，則∠BAE的度數(shù)是．【變式2-1】(2023秋?黃陂區(qū)期中）如圖，△ABC與△DCB中，AC與BD交于點E，且∠A＝∠D，AB＝DC，若∠AEB＝50°，求∠EBC的度數(shù)是．【變式2-2】(2023秋?遷安市期中）如圖，在△ABC中，∠A＝62°，∠ABC＝90°，點D在AC上，連接BD，過點D作ED⊥BD，垂足為D，使DE＝BC，連接BE，若∠C＝∠E．（1）求證：AB＝BD；（2）若∠DBC＝34°，求∠BFE的度數(shù)．【變式2-3】(2023秋?大武口區(qū)期末）如圖所示，已知△ABC中，點D為BC邊上一點，∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，（1）求證：△ABC≌△ADE；（2）若AE∥BC，且∠E=13∠CAD，求∠【題型3角角邊判定三角形全等（求線段的長度）】【例3】(2023秋?合浦縣期中）如圖，點B、F、C、E在一條直線上（點F，C之間不能直接測量），點A，D在BE的異側，如果測得AB＝DE，AB∥DE，AC∥DF．若BE＝14m，BF＝5m，則FC的長度為（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式3-1】(2023秋?南京期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是CB延長線上的點，BD＝BA，DE⊥AC于E，交AB于點F，若DC＝2.6，BF＝1，則AF的長為（）A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.6【變式3-2】(2023秋?隴縣期末）如圖，AB⊥CD，且AB＝CD，CE⊥AD于E，BF⊥AD于F．若CE＝6，BF＝3，EF＝2，則AD的長為（）A．7 B．6 C．5 D．4【變式3-3】(2023秋?喀喇沁旗期末）如圖，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中點，DE⊥AB，垂足為點F，且AB＝DE．若BD＝8cm，則AC的長為．【題型4角角邊判定三角形全等（實際應用）】【例4】(2023秋?柳州期末）王強同學用10塊高度都是2cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），點C在DE上，點A和B分別與木墻的頂端重合，求兩堵木墻之間的距離．【變式4-1】(2023春?深圳期中）如圖，把一個長為10m的梯子AB斜靠在墻上，測得BM＝6m，梯子沿墻下滑到CD位置，測得∠ABM＝∠DCM，DM＝8m，求梯子下滑的高度．【變式4-2】(2023春?嘉定區(qū)期末）如圖，兩車從路段MN的兩端同時出發(fā)，以相同的速度行駛，相同時間后分別到達A，B兩地，兩車行進的路線平行．那么A，B兩地到路段MN的距離相等嗎？為什么？【變式4-3】(2023秋?南關區(qū)校級期末）如圖，是小朋友蕩秋千的側面示意圖，靜止時秋千位于鉛垂線BD上，轉(zhuǎn)軸B到地面的距離BD＝2.5m．小亮在蕩秋千過程中，當秋千擺動到最高點A時，測得點A到BD的距離AC＝1.5m．點A到地面的距離AE＝1.5m，當他從A處擺動到A′時，有A′B⊥AB．（1）求A'到BD的距離；（2）求A'到地面的距離．【題型5角角邊判定三角形全等（證明題）】【例5】(2023秋?西城區(qū)期末）如圖，AB∥CD，點E在CB的延長線上，∠A＝∠E，AC＝ED．（1）求證：BC＝CD；（2）連接BD，求證：∠ABD＝∠EBD．【變式5-1】(2023秋?蘇州期末）如圖，AD，BF相交于點O，AB∥DF，AB＝DF，點E與點C在BF上，且BE＝CF．（1）求證：△ABC≌△DFE；（2）求證：點O為BF的中點．【變式5-2】(2023秋?寬城區(qū)期中）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點，BE、CD交于點F，AE＝AD，∠1＝∠2．（1）求證：AB＝AC；（2）求證：BF＝CF．【變式5-3】(2023春?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，BD是△ABC中AC邊上的中線，過點C作CE∥AB，交BD的延長線于點E，F(xiàn)為△ABC外一點，連接CF、DF，且DE＝DF、∠ADF＝∠CDE．求證：（1）△ABD≌△CED；（2）CA平分∠BCF．【題型6角角邊判定三角形全等（探究題）】【例6】(2023秋?呼蘭區(qū)期中）如圖，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD，連接AC，過點D作DE⊥AC于E，過點B作BF⊥AC于F．（1）若∠ABF＝63°，求∠ADE的度數(shù)；（2）請直接寫出線段BF、EF、DE三者間的數(shù)量關系．【變式6-1】(2023春?雁塔區(qū)校級月考）如圖，AB＝AC，E在線段AC上，D在AB的延長線上，且有BD＝CE，連DE交BC于F，過E作EG⊥BC于G，試判斷FG、BF、CG之間的數(shù)量關系，并說明理由．【變式6-2】(2023秋?華容縣期末）如圖，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點P為BC邊上一動點（BP＜CP），分別過B、C作BE⊥AP于E，CF⊥AP于F．（1）求證：EF＝CF﹣BE．（2）若點P為BC延長線上一點，其它條件不變，則線段BE、CF、EF是否存在某種確定的數(shù)量關系？畫圖并直接寫出你的結論．【變式6-3】(2023秋?金東區(qū)期中）已知：△ABC的高AD所在直線與高BE所在直線相交于點F，過點F作FG∥BC，交直線AB于點G．（1）如圖1，若△ABC為銳角三角形，且∠ABC＝45°．求證：①△BDF≌△ADC；②FG+DC＝AD；（2）如圖2，若∠ABC＝135°，直接寫出FG、DC、AD之間滿足的數(shù)量關系．專題4.7角角邊判定三角形全等-重難點題型【北師大版】【知識點1基本事實“角角邊”（AAS）】兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等，簡寫成“角角邊”或“AAS”.【題型1角角邊判定三角形全等的條件】【例1】(2023秋?覃塘區(qū)期末）如圖，點A，B，C，D在同一直線上，∠AEC＝∠DFB，AB＝DC，請補充一個條件：，能使用“AAS”的方法得△ACE≌△DBF．分析：根據(jù)全等三角形的判定定理添加條件，答案不唯一．【解答】解：∵AB＝DC，∴AB+BC＝DC+BC，即AC＝DB．在△ACE與△DBF中，∠AEC＝∠DFB、AC＝DB，所以添加∠A＝∠D可以使用“AAS”的方法得△ACE≌△DBF．故答案是：∠A＝∠D．【點評】此題主要考查了全等三角形的判定，關鍵是掌握判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．【變式1-1】(2023秋?句容市月考）如圖，已知∠ABC＝∠DCB，若添加條件，則可由AAS證明△ABC≌△DCB；若添加條件，則可由SAS證明△ABC≌△DCB；若添加條件，則可由ASA證明△ABC≌△DCB．分析：由于∠ABC＝∠DCB，再加上公共邊，當利用“AAS”進行判斷時可加∠A＝∠D；當利用“SAS”進行判斷時可加AB＝DC；當利用“ASA”進行判斷時可加∠ACB＝∠DBC．【解答】解：當∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，當AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合SAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，當∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DCB；故答案為：∠A＝∠D，AB＝DC，∠ACB＝∠DBC．【點評】本題考查了全等三角形的判定：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應相等，則必須再找一組對邊對應相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應鄰邊．【變式1-2】(2023秋?石獅市校級期中）如圖，在△ABC和△BDE中，點C在邊BD上，邊AC交邊BE于點F．若AB＝BE，∠ABC＝∠E，請?zhí)砑右粋€條件，使△ABC≌△BED．分析：根據(jù)全等三角形的判定定理添加條件即可．【解答】解：添加的條件是：BC＝ED，在△ABC和△BED中，AB=BE∠ABC=∠E∴△ABC≌△BED（SAS）．添加的條件是：∠A＝∠EBD，在△ABC和△BED中，∠A=∠EBDAB=BE∴△ABC≌△BED（ASA）．添加的條件是：∠ACB＝∠D，在△ABC和△BED中，∠ACB=∠D∠ABC=∠E∴△ABC≌△BED（AAS）．故答案為：BC＝DE或∠A＝∠EBD或∠ACB＝∠D．【點評】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理的內(nèi)容是解此題的關鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．【變式1-3】(2023秋?東臺市期中）根據(jù)下列已知條件，能夠畫出唯一△ABC的是（）A．AB＝6，BC＝5，∠A＝50° B．∠A＝50°，∠B＝80°，BC＝8 C．AB＝5，BC＝6，AC＝13 D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°分析：根據(jù)全等三角形的判定方法判斷即可．【解答】解：A、已知AB、BC和BC的對角，不能畫出唯一三角形，故本選項不符合題意；B、已知兩角和一邊，能畫出唯一△ABC，故本選項符合題意；C、∵AB+BC＝5+6＝11＜AC，∴不能畫出△ABC；故本選項不符合題意；D、根據(jù)∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°不能畫出唯一三角形，故本選項不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了全等三角形的判定方法；一般三角形全等的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．【題型2角角邊判定三角形全等（求角的度數(shù)）】【例2】(2023秋?南昌期中）如圖，若AB⊥BC于點B，AE⊥DE于點E，AB＝AE，∠ACB＝∠ADE，∠ACD＝∠ADC＝70°，∠BAD＝60°，則∠BAE的度數(shù)是．分析：證明△ABC≌△AED（AAS），得出∠BAC＝∠EAD，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出答案．【解答】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠B＝∠E＝90°，在△ABC和△AED中，∠B=∠C∠ACB=∠ADE∴△ABC≌△AED（AAS），∴∠BAC＝∠EAD，∵∠ACD＝∠ADC＝70°，∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣40°＝20°，∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝∠BAD+∠BAC＝80°；故答案為：80°．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理；證明三角形全等是解題的關鍵．【變式2-1】(2023秋?黃陂區(qū)期中）如圖，△ABC與△DCB中，AC與BD交于點E，且∠A＝∠D，AB＝DC，若∠AEB＝50°，求∠EBC的度數(shù)是．分析：根據(jù)AAS即可推出△ABE和△DCE全等，根據(jù)三角形全等得出EB＝EC，推出∠EBC＝∠ECB，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出∠AEB＝2∠EBC，代入求出即可．【解答】解：∵在△ABE和△DCE中∠A=∠D∠AEB=∠DEC∴△ABE≌△DCE（AAS）；∴BE＝EC，∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EBC+∠ECB＝∠AEB＝50°，∴∠EBC＝25°，故答案為：25°【點評】本題考查了三角形外角性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定的應用，關鍵是根據(jù)AAS推出△ABE和△DCE全等．【變式2-2】(2023秋?遷安市期中）如圖，在△ABC中，∠A＝62°，∠ABC＝90°，點D在AC上，連接BD，過點D作ED⊥BD，垂足為D，使DE＝BC，連接BE，若∠C＝∠E．（1）求證：AB＝BD；（2）若∠DBC＝34°，求∠BFE的度數(shù)．分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠A＝∠DBE，再根據(jù)AAS證出△ABC≌△BDE，即可得出AB＝BD；（2）根據(jù)已知條件和△ABC≌△BDE，得出∠DBE＝62°，再根據(jù)∠DBC＝34°，求出∠FBE的度數(shù)，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出答案．【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠C＝90°，∵ED⊥BD，∴∠BDE＝90°，∵∠C＝∠E，∴∠A＝∠DBE，在△ABC和△BDE中，∠A=∠DBE∠C=∠E∴△ABC≌△BDE（AAS），∴AB＝BD；（2）∵∠A＝62°，∠ABC＝90°，∴∠C＝∠E＝28°，∵ED⊥BD，∴∠BDE＝90°，∴∠DBE＝62°，∵∠DBC＝34°，∴∠FBE＝28°，∴∠BFE＝180°﹣∠E﹣∠FBE＝180°﹣28°﹣28°＝124°．【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，關鍵是根據(jù)AAS證出△ABC≌△BDE．【變式2-3】(2023秋?大武口區(qū)期末）如圖所示，已知△ABC中，點D為BC邊上一點，∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，（1）求證：△ABC≌△ADE；（2）若AE∥BC，且∠E=13∠CAD，求∠分析：（1）由∠1＝∠2＝∠3，可得∠1+∠DAC＝∠DAC+∠2，即∠BAC＝∠DAE，又∠1+∠B＝∠ADE+∠3，則可得∠B＝∠ADE，已知AC＝AE，即可證得：△ABC≌△ADE；（2）由題意可得，∠ADB＝∠ABD＝4x，在△ABD中，可得x+4x+4x＝180°，解答處即可；【解答】解：（1）∵∠1＝∠2＝∠3，∴∠1+∠DAC＝∠DAC+∠2，即∠BAC＝∠DAE，又∵∠1+∠B＝∠ADE+∠3，則可得∠B＝∠ADE，在△ABC和△ADE中∠BAC=∠DAE∠B=∠ADE∴△ABC≌△ADE（AAS）；（2）∵AE∥BC，∴∠E＝∠3，∠DAE＝∠ADB，∠2＝∠C，又∵∠3＝∠2＝∠1，令∠E＝x，則有：∠DAE＝3x+x＝4x＝∠ADB，又∵由（1）得AD＝AB，∠E＝∠C，∴∠ABD＝4x，∴在△ABD中有：x+4x+4x＝180°，∴x＝20°，∴∠E＝∠C＝20°．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，判定三角形全等是證明線段或角相等的重要方式，在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件．【題型3角角邊判定三角形全等（求線段的長度）】【例3】(2023秋?合浦縣期中）如圖，點B、F、C、E在一條直線上（點F，C之間不能直接測量），點A，D在BE的異側，如果測得AB＝DE，AB∥DE，AC∥DF．若BE＝14m，BF＝5m，則FC的長度為（）A．3 B．4 C．5 D．6分析：證△ABC≌△DEF（AAS），得出BC＝EF，則BF＝CE＝5m，由FC＝BE﹣BF﹣CE即可得出答案．【解答】解：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，在△ABC和△DEF中，∠B=∠E∠ACB=∠DFE∴△ABC≌△DEF（AAS），∴BC＝EF，∴BC﹣FC＝EF﹣FC，即BF＝CE＝5m，∴FC＝BE﹣BF﹣CE＝14﹣5﹣5＝4（m）；故選：B．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．【變式3-1】(2023秋?南京期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是CB延長線上的點，BD＝BA，DE⊥AC于E，交AB于點F，若DC＝2.6，BF＝1，則AF的長為（）A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.6分析：根據(jù)AAS證明△DBF與△ABC全等，利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵DE⊥AC于E，∴∠FDB+∠C＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠D+∠DFB＝90°，∴∠C＝∠BFD，在△DBF與△ABC中，∠C=∠BFD∠ABC=∠DBF=90°∴△DBF≌△ABC（AAS），∴BF＝BC，∵DC＝2.6，BF＝1，∴AF＝AB﹣BF＝BD﹣BF＝DC﹣BF﹣BF＝2.6﹣1﹣1＝0.6，故選：A．【點評】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關鍵是根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答．【變式3-2】(2023秋?隴縣期末）如圖，AB⊥CD，且AB＝CD，CE⊥AD于E，BF⊥AD于F．若CE＝6，BF＝3，EF＝2，則AD的長為（）A．7 B．6 C．5 D．4分析：由“AAS”可證明△ABF≌△CDE，可得AF＝CE＝6，BF＝DE＝3，即可求AD的長．【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°，∠CED＝∠AFB＝90°，∴∠A＝∠C，在△ABF和△CDE中，∠A=∠C∠AFB=∠CED=90°∴△ABF≌△CDE（AAS），∴AF＝CE＝6，BF＝DE＝3，∴AD＝AF﹣EF+DE＝6﹣2+3＝7．故選：A．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明△ABF≌△CDE是本題的關鍵．【變式3-3】(2023秋?喀喇沁旗期末）如圖，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中點，DE⊥AB，垂足為點F，且AB＝DE．若BD＝8cm，則AC的長為．分析：由DE⊥AB，可得∠BFE＝90°，由直角三角形兩銳角互余，可得∠ABC+∠DEB＝90°，由∠ACB＝90°，由直角三角形兩銳角互余，可得∠ABC+∠A＝90°，根據(jù)同角的余角相等，可得∠A＝∠DEB，然后根據(jù)AAS判斷△ABC≌△EDB，根據(jù)全等三角形的對應邊相等即可得到BD＝BC，AC＝BE，由E是BC的中點，得到BE=12BC=【解答】解：∵DE⊥AB，可得∠BFE＝90°，∴∠ABC+∠DEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠A＝90°，∴∠A＝∠DEB，在△ABC和△EDB中，∠ACB=∠DBC∠A=∠DEB∴△ABC≌△EDB（AAS），∴BD＝BC，AC＝BE，∵E是BC的中點，BD＝8cm，∴BE=12BC=12故答案為：4cm【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，無法證明三角形全等，本題是一道較為簡單的題目，找準全等的三角形是解決本題的關鍵．【題型4角角邊判定三角形全等（實際應用）】【例4】(2023秋?柳州期末）王強同學用10塊高度都是2cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），點C在DE上，點A和B分別與木墻的頂端重合，求兩堵木墻之間的距離．分析：根據(jù)題意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，進而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根據(jù)等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再證明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性質(zhì)進行解答．【解答】解：由題意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB∠DAC=∠BCE∴△ADC≌△CEB（AAS）；由題意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm，∴DE＝DC+CE＝20（cm），答：兩堵木墻之間的距離為20cm．【點評】此題主要考查了全等三角形的應用，關鍵是正確找出證明三角形全等的條件．【變式4-1】(2023春?深圳期中）如圖，把一個長為10m的梯子AB斜靠在墻上，測得BM＝6m，梯子沿墻下滑到CD位置，測得∠ABM＝∠DCM，DM＝8m，求梯子下滑的高度．分析：由全等三角形的判定定理AAS得到△ABM≌△DCM，則其對應邊相等：BM＝CM，AM＝DM，故AC＝DM﹣BM＝2m．【解答】解：∵在△ABM與△DCM中，∠AMB=∠DMC∠ABM=∠DCM∴△ABM≌△DCM（AAS），∴BM＝CM＝6m，AM＝DM＝8m，∴AC＝AM﹣CM＝2m．即梯子下滑的高度是2m．【點評】本題考查了全等三角形的應用．解題時，巧妙地借助兩個三角形全等，尋找所求線段與已知線段之間的等量關系．【變式4-2】(2023春?嘉定區(qū)期末）如圖，兩車從路段MN的兩端同時出發(fā)，以相同的速度行駛，相同時間后分別到達A，B兩地，兩車行進的路線平行．那么A，B兩地到路段MN的距離相等嗎？為什么？分析：要判斷A，B兩地到路段MN的距離是否相等，可以由條件證明△AEM≌△BFN，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)就可以的得出結論．【解答】解：A，B兩地到路段MN的距離相等．理由：∵AE⊥MN，BF⊥MN，∴∠AFN＝∠AEM＝90°．∵AM∥BN，∴∠M＝∠N．在△AEM和△BFN中，∠AEM=∠BFN∠M=∠N∴△AEM≌△BFN（AAS），∴AE＝BF．∴A，B兩地到路段MN的距離相等．【點評】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，點到直線的距離的理解，在解答時弄清判斷三角形全等的條件是關鍵．【變式4-3】(2023秋?南關區(qū)校級期末）如圖，是小朋友蕩秋千的側面示意圖，靜止時秋千位于鉛垂線BD上，轉(zhuǎn)軸B到地面的距離BD＝2.5m．小亮在蕩秋千過程中，當秋千擺動到最高點A時，測得點A到BD的距離AC＝1.5m．點A到地面的距離AE＝1.5m，當他從A處擺動到A′時，有A′B⊥AB．（1）求A'到BD的距離；（2）求A'到地面的距離．分析：（1）作A'F⊥BD，垂足為F，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：（1）如圖2，作A'F⊥BD，垂足為F．∵AC⊥BD，∴∠ACB＝∠A'FB＝90°；在Rt△A'FB中，∠1+∠3＝90°；又∵A'B⊥AB，∴∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠3；在△ACB和△BFA'中，∠ACB=∠A'FB∠2=∠3∴△ACB≌△BFA'（AAS）；∴A'F＝BC∵AC∥DE且CD⊥AC，AE⊥DE，∴CD＝AE＝1.5；∴BC＝BD﹣CD＝2.5﹣1.5＝1（m），∴A'F＝1（m），即A'到BD的距離是1m．（2）由（1）知：△ACB≌△BFA'∴BF＝AC＝1.5m，作A'H⊥DE，垂足為H．∵A'F∥DE，∴A'H＝FD，∴A'H＝BD﹣BF＝2.5﹣1.5＝1（m），【點評】本題考查全等三角形的應用，解題的關鍵是正確尋找全等三角形全等的條件，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．【題型5角角邊判定三角形全等（證明題）】【例5】(2023秋?西城區(qū)期末）如圖，AB∥CD，點E在CB的延長線上，∠A＝∠E，AC＝ED．（1）求證：BC＝CD；（2）連接BD，求證：∠ABD＝∠EBD．分析：（1）由“AAS”可證△ABC≌△ECD，可得BC＝CD；（2）由等腰三角形的性質(zhì)可得∠CBD＝∠CDB，由平行線的性質(zhì)和平角的性質(zhì)可得結論．【解答】證明：（1）∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCE，在△ABC和△ECD中，∠A=∠E∠ABC=∠DCE∴△ABC≌△ECD（AAS），∴BC＝CD；（2）如圖，連接BD，∵BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB＝180°，又∵∠CBD+∠EBD＝180°，∴∠ABD＝∠EBD．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理是本題的關鍵．【變式5-1】(2023秋?蘇州期末）如圖，AD，BF相交于點O，AB∥DF，AB＝DF，點E與點C在BF上，且BE＝CF．（1）求證：△ABC≌△DFE；（2）求證：點O為BF的中點．分析：（1）由“SAS”可證△ABC≌△DFE；（2）由“AAS”可證△ACO≌△DEO，可得EO＝CO，可得結論．【解答】證明：（1）∵AB∥DF，∴∠B＝∠F，∵BE＝CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DFE中，AB=DF∠B=∠F∴△ABC≌△DFE（SAS）；（2）∵△ABC≌△DFE，∴AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，在△ACO和△DEO中，∠ACB=∠DEF∠AOC=∠DOE∴△ACO≌△DEO（AAS），∴EO＝CO，∴點O為BF的中點．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理是本題的關鍵．【變式5-2】(2023秋?寬城區(qū)期中）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點，BE、CD交于點F，AE＝AD，∠1＝∠2．（1）求證：AB＝AC；（2）求證：BF＝CF．分析：（1）根據(jù)AAS即可證明△ABE≌△ACD，根據(jù)該全等三角形的對應邊相等證得結論；（2）欲證明BF＝CF，只需推知∠FBC＝∠FCB即可．【解答】（1）證明：在△ABE和△ACD中，∵∠1=∠2∠A=∠A∴△ABE≌△ACD（AAS）．∴AB＝AC．（2）方法一：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠1＝∠2，∴∠ABC﹣∠1＝∠ACB﹣∠2，即∠FBC＝∠FCB．∴BF＝CF．方法二：可用全等證明【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式5-3】(2023春?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，BD是△ABC中AC邊上的中線，過點C作CE∥AB，交BD的延長線于點E，F(xiàn)為△ABC外一點，連接CF、DF，且DE＝DF、∠ADF＝∠CDE．求證：（1）△ABD≌△CED；（2）CA平分∠BCF．分析：（1）由平行線的性質(zhì)得出∠ABD＝∠CED，∠BAD＝∠DCE，根據(jù)AAS可證明△ABD≌△CED；（2）證明△BDC≌△FDC（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠BCD＝∠FCD．【解答】證明：（1）∵CE∥AB，∴∠ABD＝∠CED，∠BAD＝∠DCE，∵BD是△ABC中AC邊上的中線，∴AD＝CD，在△ABD和△CED中，∠ABD=∠CED∠BAD=∠DCE∴△ABD≌△CED（AAS）；（2）∵△ABD≌△CED，∴BD＝DE，又∵DE＝DF，∴BD＝DF，∵∠ADF＝∠CDE，∠CDE＝∠ADB，∴∠ADB＝∠ADF，∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠ADF，∴∠BDC＝∠FDC，在△BDC和△FDC中，BD=DF∠BDC=∠FDC∴△BDC≌△FDC（SAS），∴∠BCD＝∠FCD，∴CA平分∠BCF．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，角分線的判定，中線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．【題型6角角邊判定三角形全等（探究題）】【例6】(2023秋?呼蘭區(qū)期中）如圖，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD，連接AC，過點D作DE⊥AC于E，過點B作BF⊥AC于F．（1）若∠ABF＝63°，求∠ADE的度數(shù)；（2）請直接寫出線段BF、EF、DE三者間的數(shù)量關系．分析：（1）證明△ABF≌△DAE，可得∠ABF＝∠DAE，由∠AED＝90°可求出∠ADE的度數(shù)；（2）由△ABF≌△DAE可得BF＝AE，DE＝AF，則可得結論BF+EF＝DE．【解答】（1）證明：∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠BFA＝∠AED＝90°，∴∠ABF+∠BAF＝∠BAF+∠DAE＝90°，∴∠ABF＝∠DAE，∵AB＝AD，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴∠ABF＝∠DAE，∵∠AED＝90°，∴∠ADE＝90°﹣∠DAE＝90°﹣63°＝27°；（2）解：BF+EF＝DE．∵△ABF≌△DAE，∴BF＝AE，DE＝AF，∴AF＝DE＝AE+EF＝BF+EF．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，直角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．【變式6-1】(2023春?雁塔區(qū)校級月考）如圖，AB＝AC，E在線段AC上，D在AB的延長線上，且有BD＝CE，連DE交BC于F，過E作EG⊥BC于G，試判斷FG、BF、CG之間的數(shù)量關系，并說明理由．分析：在BC上截取GH＝GC，可得△EHC是等腰三角形，進而得出AB∥EH，再證△BDF≌△HEF（AAS），通過線段之間的轉(zhuǎn)化即可得出結論．【解答】解：FG＝BF+CG，理由如下：在BC上截取GH＝GC，連接EH，如圖所示：∵EG⊥BC，GH＝GC，∴HE＝EC，∴∠EHC＝∠C，又AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠EHC＝∠ABC，∴EH∥AB，∴∠DBF＝∠EHF，∠D＝∠DEH，∵BD＝CE，∴HE＝BD，在△BDF和△HEF中，∠DBF=∠EHF∠D=∠DEH∴△BDF≌△HEF（AAS），∴BF＝FH，∴FG＝FH+HG＝BF+GC．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．【變式6-2】(2023秋?華容縣期末）如圖，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點P為BC邊上一動點（BP＜CP），分別過B、C作BE⊥AP于E，CF⊥AP于F．（1）求證：EF＝CF﹣BE．（2）若點P為BC延長線上一點，其它條件不變，則線段BE、CF、EF是否存在某種確定的數(shù)量關系？畫圖并直接寫出你的結論．分析：（1）由BE⊥AP，CF⊥AP可以得出∠AEB＝∠AFC＝90°，根據(jù)∠BAC＝90°就可以求出∠BAE＝∠ACF，就可以得出△ABE≌△CAF，而得出AE＝CF，BE＝AF得出結論；（2）如圖2，同樣由BE⊥AP，