中考數(shù)學(xué)沖刺難點(diǎn)突破-圖形折疊問(wèn)題-專題五-圖形折疊中的等腰三角形存在性問(wèn)題(含答案及解析)

中考數(shù)學(xué)沖刺難點(diǎn)突破圖形折疊問(wèn)題專題五圖形折疊中的等腰三角形存在性問(wèn)題（原卷）【精典講解】1、如圖例7-1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是16，點(diǎn)E在邊AB上，AE=3，點(diǎn)F是邊BC上不與點(diǎn)B、C重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△EBF沿EF折疊，點(diǎn)B落在B′處，若△CDB′恰為等腰三角形，則DB′的長(zhǎng)為.圖例7-1【針對(duì)訓(xùn)練】1、如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P為邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BP，把△ABP沿BP折疊，使A落在A′處，當(dāng)△A′DC為等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為（）A．2 B． C．2或 D．2或2、如圖，菱形的邊，，,是上一點(diǎn)，，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，將梯形沿直線折疊，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．3、如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，將△ABC沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)B恰好落在點(diǎn)P處，CP與AD交于點(diǎn)F，連接BP交AC于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)E，下列結(jié)論不正確的是()A．PGCG=13C．AC＝2AP D．S△BGC＝3S△AGP4、如圖，將一張正方形紙片ABCD對(duì)折，使CD與AB重合，得到折痕MN后展開，E為CN上一點(diǎn)，將△CDE沿DE所在的直線折疊，使得點(diǎn)C落在折痕MN上的點(diǎn)F處，連接AF，BF，BD.則下列結(jié)論中：①△ADF是等邊三角形；②tan∠EBF＝2－3；③S△ADF＝13S正方形ABCD；④BF2＝DF·EFA．①②③B．①②④C．①③④D．②③④5、已知中，，．如圖，將進(jìn)行折疊，使點(diǎn)落在線段上（包括點(diǎn)和點(diǎn)），設(shè)點(diǎn)的落點(diǎn)為，折痕為，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)可能的位置共有（）．A．種B．種C．種D．種6、如圖，正方形的邊長(zhǎng)是16，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)是邊上不與點(diǎn)、重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把沿折疊，點(diǎn)落在處，若恰為等腰三角形，則的長(zhǎng)為______.7、在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝2cm，M為AB的中點(diǎn)，N為BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），將△BMN沿直線MN折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連接DE，CE，當(dāng)△CDE為等腰三角形時(shí)，線段BN的長(zhǎng)為_____．中考數(shù)學(xué)沖刺難點(diǎn)突破圖形折疊問(wèn)題專題五圖形折疊中的等腰三角形存在性問(wèn)題（答案及解析）【精典講解】1、如圖例7-1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是16，點(diǎn)E在邊AB上，AE=3，點(diǎn)F是邊BC上不與點(diǎn)B、C重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△EBF沿EF折疊，點(diǎn)B落在B′處，若△CDB′恰為等腰三角形，則DB′的長(zhǎng)為.圖例7-1【答案】16或.【解析】根據(jù)△CDB′為等腰三角形，以CD為腰或底分三種情況討論，①DB′=DC；②CB′=CD；③CB′=DB′.對(duì)于①DB′=DC，作圖方法以E為圓心BE長(zhǎng)為半徑作弧，以D為圓心CD長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交點(diǎn)即為B′.對(duì)于②CB′=CD，作圖方法以E為圓心BE長(zhǎng)為半徑作弧，以C為圓心CD長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交點(diǎn)即為B′.對(duì)于③CB′=DB′，作圖方法以E為圓心BE長(zhǎng)為半徑作弧，弧與CD垂直平分線的交點(diǎn)為B′. 圖例7-2圖例7-3圖例7-4詳解：①DB′=DC，如圖例7-2所示.易知：DB′=DC=16.②CB′=CD，如圖例7-3所示.由折疊性質(zhì)可知：BF=B′F=CD=16，此時(shí)F點(diǎn)與C點(diǎn)重合，不符題意.③CB′=DB′，如圖例7-4所示.由題意得，DN=CN=8，因?yàn)锳E=3，所以EM=5.B′E=BE=13.在Rt△EB′M中，由勾股定理得，B′M=12.所以B′N=4.在Rt△DB′N中，由勾股定理得，B′D=.綜上所述，B′D的長(zhǎng)為16或.【點(diǎn)睛】以CD為腰或底分三種情況討論，排除其中一種，利用勾股定理求解.【針對(duì)訓(xùn)練】1、如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P為邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BP，把△ABP沿BP折疊，使A落在A′處，當(dāng)△A′DC為等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為（）A．2 B． C．2或 D．2或C【解析】【分析】根據(jù)△A′DC為等腰三角形，分三種情況進(jìn)行討論：①A'D=A'C，②A'D=DC，③CA'=CD，分別求得AP的長(zhǎng)，并判斷是否符合題意．【詳解】①如圖，當(dāng)A′D=A′C時(shí)，過(guò)A′作EF⊥AD，交DC于E，交AB于F，則EF垂直平分CD，EF垂直平分AB∴A'A=A'B由折疊得，AB=A'B，∠ABP=∠A'BP∴△ABA'是等邊三角形∴∠ABP=30°∴AP=；②如圖，當(dāng)A'D=DC時(shí)，A'D=2由折疊得，A'B=AB=2∴A'B+A'D=2+2=4連接BD，則Rt△ABD中，BD=∴A'B+A'D＜BD（不合題意）故這種情況不存在；③如圖，當(dāng)CD=CA'時(shí)，CA'=2由折疊得，A'B=AB=2∴A'B+A'C=2+2=4∴點(diǎn)A'落在BC上的中點(diǎn)處此時(shí)，∠ABP=∠ABA'=45°∴AP=AB=2．綜上所述，當(dāng)△A′DC為等腰三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為或2．故選C.【點(diǎn)睛】本題以折疊問(wèn)題為背景，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是畫出圖形進(jìn)行分類討論，分類時(shí)注意不能重復(fù)，不能遺漏．2、如圖，菱形的邊，，,是上一點(diǎn)，，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，將梯形沿直線折疊，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．B【解析】【分析】作于，如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)可判斷為等邊三角形，則，，再利用勾股定理計(jì)算出，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的弧上，利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得到當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，的值最小，然后證明即可．【詳解】解：作于，如圖，菱形的邊，，為等邊三角形，，，，，在中，，梯形沿直線折疊，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的弧上，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，的值最小，，而，，，.故選：B．【點(diǎn)睛】考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角．也考查了折疊的性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是確定A′在PC上時(shí)CA′的長(zhǎng)度最小．3、如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，將△ABC沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)B恰好落在點(diǎn)P處，CP與AD交于點(diǎn)F，連接BP交AC于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)E，下列結(jié)論不正確的是()A．PGCG=13C．AC＝2AP D．S△BGC＝3S△AGPA【解析】【分析】如圖，首先運(yùn)用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出∠ACB＝30°，此為解決該題的關(guān)鍵性結(jié)論；運(yùn)用翻折變換的性質(zhì)證明△BCP為等邊三角形；運(yùn)用射影定理求出線段CG、AG之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而證明選項(xiàng)A、B、C成立，選項(xiàng)A不成立.【詳解】如圖，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ABC＝90°；由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2，而AB＝3，BC＝3，∴AC＝23，AB＝12AC∴∠ACB＝30°；由翻折變換的性質(zhì)得：BP⊥AC，∠ACB＝∠ACP＝30°，BC＝PC，AB＝AP，BG＝PG，∴GC＝3BG＝3PG，∠BCP＝60°，AC＝2AP，∴△BCP為等邊三角形，故選項(xiàng)B、C成立，選項(xiàng)A不成立；由射影定理得：BG2＝CG?AG，∴AG＝33BG，CG＝3AG∴S△BCG＝3S△ABG；由題意得：S△ABG＝S△AGP，∴S△BGC＝3S△AGP，故選項(xiàng)D正確；故選：A．【點(diǎn)睛】考查了翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、射影定理、三角形的面積公式等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用矩形的性質(zhì)、射影定理等幾何知識(shí)點(diǎn)來(lái)分析、判斷、推理或解答；對(duì)綜合的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力提出了較高的要求．4、如圖，將一張正方形紙片ABCD對(duì)折，使CD與AB重合，得到折痕MN后展開，E為CN上一點(diǎn)，將△CDE沿DE所在的直線折疊，使得點(diǎn)C落在折痕MN上的點(diǎn)F處，連接AF，BF，BD.則下列結(jié)論中：①△ADF是等邊三角形；②tan∠EBF＝2－3；③S△ADF＝13S正方形ABCD；④BF2＝DF·EFA．①②③B．①②④C．①③④D．②③④B【解析】【分析】由正方形的性質(zhì)得出AB=CD=AD，∠C=∠BAD=∠ADC=90°，∠ABD=∠ADB=45°，由折疊的性質(zhì)得出MN垂直平分AD，F(xiàn)D=CD，BN=CN，∠FDE=∠CDE，∠DFE=∠C=90°，∠DEF=∠DEC，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出FD=FA，得出△ADF是等邊三角形，①正確；設(shè)AB=AD=BC=4a，則MN=4a，BN=AM=2a，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠DAF=∠AFD=∠ADF=60°，F(xiàn)A=AD=4a，F(xiàn)M=3AM=23a，得出FN=MN-FM=（4-23）a，由三角函數(shù)的定義即可得出②正確；求出△ADF的面積=12AD?FM=43a2，正方形ABCD的面積=16a2求出∠BFE=∠DFB，∠BEF=∠DBF，證出△BEF∽△DBF，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，得出④正確；即可得出結(jié)論．【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=CD=AD，∠C=∠BAD=∠ADC=90°，∠ABD=∠ADB=45°，由折疊的性質(zhì)得：MN垂直平分AD，F(xiàn)D=CD，BN=CN，∠FDE=∠CDE，∠DFE=∠C=90°，∠DEF=∠DEC，∴FD=FA，∴AD=FD=FA，即△ADF是等邊三角形，①正確；設(shè)AB=AD=BC=4a，則MN=4a，BN=AM=2a，∵△ADF是等邊三角形，∴∠DAF=∠AFD=∠ADF=60°，F(xiàn)A=AD=4a，F(xiàn)M=3AM=23a，∴FN=MN-FM=（4-23）a，∴tan∠EBF=FNBN=4-2∵△ADF的面積=12AD?FM=12×4a×23a=43a2，正方形ABCD的面積=（4a）2=16a∴SΔADF∵AF=AB，∠BAF=90°-60°=30°，∴∠AFB=∠ABF=75°，∴∠DBF=75°-45°=30°，∠BFE=360°-90°-60°-75°=135°=∠DFB，∵∠BEF=180°-75°-75°=30°=∠DBF，∴△BEF∽△DBF，∴BFDF∴BF2=DF?EF，④正確；故選B．【點(diǎn)睛】本題是相似形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形是等邊三角形和證明三角形相似是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．5、已知中，，．如圖，將進(jìn)行折疊，使點(diǎn)落在線段上（包括點(diǎn)和點(diǎn)），設(shè)點(diǎn)的落點(diǎn)為，折痕為，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)可能的位置共有（）．A．種B．種C．種D．種B【解析】（1）當(dāng)點(diǎn)D與C重合時(shí)，∵AC=BC，AE=DE（即CE），AF=DF（即CF），∴此時(shí)△AFC（即△AFD）是等腰直角三角形，點(diǎn)E是斜邊AC的中點(diǎn)，∴EF=DE，∴△EDF為等腰三角形．（2）當(dāng)點(diǎn)D與B點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)C與E重合，∵AC=BC，AF=DF（即BF），∴此時(shí)EF=AB=DF（即BF），∴△DEF是等腰三角形；（3）當(dāng)點(diǎn)D移動(dòng)到使DE=DF的位置時(shí)，△DEF是等腰三角形．綜上所述，當(dāng)△DEF為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)D的位置存在3中可能.故選B.6、如圖，正方形的邊長(zhǎng)是16，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)是邊上不與點(diǎn)、重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把沿折疊，點(diǎn)落在處，若恰為等腰三角形，則的長(zhǎng)為______.16或【解析】【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得B’E的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可得CE的長(zhǎng)，然后再根據(jù)等腰三角形的判定進(jìn)行分情況討論【詳解】需分三種情況討論：（1）若，則（易知此時(shí)點(diǎn)在上且不與點(diǎn)、重合）；（2）若，因?yàn)?，，所以點(diǎn)、在的垂直平分線上，則垂直平分，由折疊可知點(diǎn)與點(diǎn)重合，不符合題意，則這種情況不成立；（3）如圖，若，作與交于點(diǎn)，交于點(diǎn).因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，所以，則，因?yàn)?在中，由勾股定理求得，所以.在中，由勾股定理求得.綜上，或.【點(diǎn)睛】本題考查折疊性質(zhì)和勾股定理，本題關(guān)鍵在于能夠?qū)Φ妊切蔚那闆r進(jìn)行分類討論7、在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝2cm，M為AB的中點(diǎn)，N為BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），將△BMN沿直線MN折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連接DE，CE，當(dāng)△CDE為等腰三角形時(shí)，線段BN的長(zhǎng)為_____．或2【解析】【分析】分兩種情況：①如圖1，當(dāng)DE=DC時(shí)，連接DM，作DG⊥BC于G，由菱形的性質(zhì)得出AB=CD=BC=2，AD∥BC，AB∥CD，得出∠DCG=∠B=60°，∠A=120°，DE=AD=2，求出DG=，CG=，BG=BC+CG=3，由折疊的性質(zhì)得：EN=BN，EM=BM=AM，∠MEN=∠B=60°，證明△ADM≌△EDM，得出∠A=∠DEM=120°，證出D、E、N三點(diǎn)共線，設(shè)BN=EN=x，則GN=3-x，DN=x+2，在Rt△DGN中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②如圖2，當(dāng)CE=CD上，CE=CD=AD，此時(shí)點(diǎn)E與A重合，N與點(diǎn)C重合，CE=CD=DE=DA，△CDE是等邊三角形，BN=BC=2（含CE=DE這種情況）．【詳解】解：分兩種情況，①如圖1，當(dāng)DE=DC時(shí)，連接DM，作DG⊥BC于G，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=CD=BC=2，AD∥BC，AB∥CD，∴∠DCG=∠B=60°，∠A=120°，∴DE=AD=2，∵DG⊥BC，∴∠CDG=90°-60°=30°，∴CG=CD=1，∴DG=CG=，BG=BC+CG=3，∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，∴AM=BM=1，由折疊的性質(zhì)得：EN=BN，EM=BM=AM，∠MEN=∠B=60°，在△ADM和△EDM中，AD＝ED，AM＝EM，DM＝DM，∴△ADM≌△EDM（SSS），∴∠A=∠DEM=12