2021年河南省中考數(shù)學總復習：輔助圓問題

2021年河南省中考數(shù)學總復習輔助圓問題微專題輔助圓問題模型一定點定長作圓平面內(nèi)，點A為定點，點B為動點，且AB長度固定，則點B的軌跡在以點A為圓心，AB長為半徑的圓上(如圖①).依據(jù)的是圓的定義：圓是所有到定點的距離等于定長的點的集合.(10年9考，常在幾何圖形折疊與動點問題中涉及考查)模型分析圖①圖②推廣：如圖②，點E為定點，點F為線段BD上的動點(不含點B)，將△BEF沿EF折疊得到△B′EF，則點B′的運動軌跡為以點E為圓心，以線段BE為半徑的一段圓弧.針對演練第1題圖1.如圖，已知OC＝3，點A、B分別是平面內(nèi)的動點，且OA＝2，BC＝4，請在平面內(nèi)畫出點A、B的運動軌跡.第1題解圖解：如解圖，點A的運動軌跡為⊙O，點B的運動軌跡為⊙C.第2題圖2.如圖，在?ABCD中，點E為AD邊上一點，點F為邊AB上的動點，將△AEF沿EF折疊得到△A′EF，請在圖中畫出點A′在?ABCD內(nèi)(含邊上的點)的運動軌跡.第2題解圖解：如解圖，點A′的運動軌跡為以點E為圓心，AE長為半徑的⊙E上的劣弧.模型二直角對直徑模型分析1.半圓(直徑)所對的圓周角是90°.如圖①，△ABC中，∠C＝90°，AB為⊙O的直徑；2.90°的圓周角所對的弦是直徑(定弦對定角的特殊形式).如圖②，△ABC中，∠C＝90°，點C為動點，則點C的軌跡是以AB為直徑的⊙O(不包含A、B兩點).針對演練第3題圖3.如圖，已知線段AB.請你在圖中畫出使∠APB＝90°的所有點P.第3題解圖

解：如解圖，⊙O(不含A、B兩點)即為所求P點的軌跡.模型三定弦對定角(非90°)模型分析固定的線段只要對應固定的角度(可以不是90°)，那么這個角的頂點軌跡為圓的一部分.圖①圖②如圖①，在⊙O中，若弦AB長度固定，則弦AB所對的圓周角都相等.(注意：弦AB的劣弧上也有圓周角，需要根據(jù)題目靈活運用)如圖②，若有一固定線段AB及線段AB所對的∠C大小固定，根據(jù)圓的知識可知點C不唯一.當∠C小于90°，則點C在優(yōu)弧上運動；等于90°，則點C在半圓上運動；大于90°，則點C在劣弧上運動.針對演練4.如圖，已知四邊形ABCD.(1)如圖①，在矩形ABCD中，請你在矩形ABCD的邊上畫出使∠APB＝30°的所有點P；(2)如圖②，在矩形ABCD中，請你在矩形ABCD的邊上畫出使∠BPC＝60°的所有點P；(3)如圖③，在矩形ABCD中，請你在矩形ABCD的邊上畫出使∠BPC＝45°的所有點P.第4題圖第4題解圖解：(1)如解圖①所示，點P1，P2即為所求；(2)如解圖②所示，點P1、P2、P3即為所求；(3)如解圖③所示，點P1、P2即為所求.模型四四點共圓模型分析1.

如圖①、②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜邊，取AB的中點O，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得：OC＝OD＝OA＝OB，∴A、B、C、D四點共圓.即共斜邊的兩個直角三角形，直角頂點在斜邊同側(cè)或異側(cè)，都可得到四點共圓.得到四點共圓后可以根據(jù)圓周角定理得到角度相等，完成角度等量關系的轉(zhuǎn)化，這是證明角度相等重要的途徑之一.2.

圓內(nèi)接四邊形對角互補，因此遇到四邊形ABCD中的動點問題，若滿足其中一組對角角度之和等于180°，可考慮作它的外接圓解題.如圖③，在四邊形ABCD中，滿足∠ABC＋∠ADC＝180°，可知四邊形ABCD有外接圓⊙O，其圓心O為任意一組鄰邊的垂直平分線的交點(點O為AB和BC垂直平分線的交點).圖③針對演練第5題圖5.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，O為AB的中點，過點O作OE⊥OF，OE、OF分別交AC、BC于點E、F，則EF的最小值為

.5模型五點圓最值模型分析平面內(nèi)一定點D和⊙O上動點E的連線中，當連線過圓心O時，線段DE有最大值和最小值.具體分以下三種情況討論(規(guī)定：OD＝d，⊙O半徑為r)：1.當D點在⊙O外時，d>r，如圖①、②：當D、

E、O三點共線時，線段DE出現(xiàn)最值，DE的最大值為d＋r，DE的最小值為d－r；2.

當D點在⊙O上時，d＝r，如圖③、④：當D、E、O三點共線時，線段DE出現(xiàn)最值，

DE的最大值為d＋r＝2r(即為⊙O的直徑)，DE的最小值為d－r＝0(點D、E重合)；3.若D點在⊙O內(nèi)時，d<r，如圖⑤、⑥：當D、E、O三點共線時，線段DE出現(xiàn)最值，DE的最大值為d＋r，DE的最小值為r－d.針對演練8第6題圖6.已知點O及其外一點C，OC＝5，點A、B分別是平面內(nèi)的動點，且OA＝4，BC＝3，在平面內(nèi)畫出點A、B的運動軌跡如圖所示，則OB長的最大值為

，OB長的最小值為

，AC長的最大值為

，AC長的最小值為

，AB長的最大值為

，AB長的最小值為

.291120模型六線圓最值模型分析1.如圖，AB為⊙O的一條定弦，點C為圓上一動點.(1)如圖①，若點C在優(yōu)弧AB上，當CH⊥AB且CH過圓心O時，線段CH即為點C到弦AB的最大距離，此時S△ABC的面積最大.(2)如圖②，若點C在劣弧AB上，當CH⊥AB且CH的延長線過圓心O時，線段CH即為點C到弦AB的最大距離，此時S△ABC的面積最大.2.如圖，⊙O與直線l相離，點P是⊙O上的一個動點，設圓心O到直線l的距離為d，⊙O的半徑為r，則點P到直線l的最小距離是

(如圖③)，點P到直線l的最大距離是

(如圖④).d－rd＋r針對訓練B7.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點F在邊AC上，并且CF＝2，點E為邊BC上的動點，將△CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點P到邊AB距離的最小值是(

)A.1B.