2024年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：圖形的變換-知識講解（提高）

2024中考總復(fù)習(xí)：圖形的變換--知識講解（提高）【考綱要求】1.通過具體實(shí)例認(rèn)識軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)，探索它們的基本性質(zhì)；2.能夠按要求作出簡單平面圖形經(jīng)過軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)后的圖形，能作出簡單平面圖形經(jīng)過一次或兩次軸對稱后的圖形；3.探索基本圖形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多邊形、圓）的軸對稱性質(zhì)及其相關(guān)性質(zhì).4.探索圖形之間的變換關(guān)系（軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)及其組合）；5.利用軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)及其組合進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)；認(rèn)識和欣賞軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用.【知識網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、平移變換1.平移的概念：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移，平移不改變圖形的形狀和大?。疽c(diǎn)詮釋】（1）平移是運(yùn)動(dòng)的一種形式，是圖形變換的一種，本講的平移是指平面圖形在同一平面內(nèi)的變換；（2）圖形的平移有兩個(gè)要素：一是圖形平移的方向，二是圖形平移的距離，這兩個(gè)要素是圖形平移的依據(jù)；（3）圖形的平移是指圖形整體的平移，經(jīng)過平移后的圖形，與原圖形相比，只改變了位置，而不改變圖形的大小，這個(gè)特征是得出圖形平移的基本性質(zhì)的依據(jù)．2．平移的基本性質(zhì)：由平移的概念知，經(jīng)過平移，圖形上的每一個(gè)點(diǎn)都沿同一個(gè)方向移動(dòng)相同的距離，平移不改變圖形的形狀和大小，因此平移具有下列性質(zhì)：經(jīng)過平移，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對應(yīng)角相等．【要點(diǎn)詮釋】（1）要注意正確找出“對應(yīng)線段，對應(yīng)角”，從而正確表達(dá)基本性質(zhì)的特征；（2）“對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等”，這個(gè)基本性質(zhì)既可作為平移圖形之間的性質(zhì)，又可作為平移作圖的依據(jù)．考點(diǎn)二、軸對稱變換1．軸對稱與軸對稱圖形

軸對稱：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對稱，也叫做這兩個(gè)圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的對應(yīng)點(diǎn)，叫做對稱點(diǎn).

軸對稱圖形：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形.

2．軸對稱變換的性質(zhì)

①關(guān)于直線對稱的兩個(gè)圖形是全等圖形.

②如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，對稱軸是對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線.

③兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點(diǎn)在對稱軸上.

④如果兩個(gè)圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線被同一直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對稱.

3．軸對稱作圖步驟

①找出已知圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，過關(guān)鍵點(diǎn)作對稱軸的垂線，并延長至2倍，得到各點(diǎn)的對稱點(diǎn)．

②按原圖形的連結(jié)方式順次連結(jié)對稱點(diǎn)即得所作圖形.

４．翻折變換：圖形翻折問題是近年來中考的一個(gè)熱點(diǎn)，其實(shí)質(zhì)是軸對稱問題，折疊重合部分必全等，折痕所在直線就是這兩個(gè)全等形的對稱軸，互相重合的兩點(diǎn)（對稱點(diǎn)）連線必被折痕垂直平分.【要點(diǎn)詮釋】翻折的規(guī)律是，折疊部分的圖形，折疊前后，關(guān)于折痕成軸對稱，兩圖形全等，折疊圖形中有相似三角形，常用勾股定理.考點(diǎn)三、旋轉(zhuǎn)變換

1．旋轉(zhuǎn)概念：把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn).點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角.

２．旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)

圖形通過旋轉(zhuǎn)，圖形中每一點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心沿相同的方向旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度，任意一對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線都是旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，旋轉(zhuǎn)過程中，圖形的形狀、大小都沒有發(fā)生變化.

３．旋轉(zhuǎn)作圖步驟

①分析題目要求，找出旋轉(zhuǎn)中心，確定旋轉(zhuǎn)角.

②分析所作圖形，找出構(gòu)成圖形的關(guān)鍵點(diǎn).

③沿一定的方向，按一定的角度、旋轉(zhuǎn)各頂點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)中心所連線段,從而作出圖形中各關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn).

④按原圖形連結(jié)方式順次連結(jié)各對應(yīng)點(diǎn).【要點(diǎn)詮釋】１．圖形變換與圖案設(shè)計(jì)的基本步驟

①確定圖案的設(shè)計(jì)主題及要求；

②分析設(shè)計(jì)圖案所給定的基本圖案；

③利用平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱對基本圖案進(jìn)行變換，實(shí)現(xiàn)由基本圖案到各部分圖案的有機(jī)組合；

④對圖案進(jìn)行修飾，完成圖案.2．平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱之間的聯(lián)系

一個(gè)圖形沿兩條平行直線翻折（軸對稱）兩次相當(dāng)于一次平移，沿不平行的兩條直線翻折兩次相當(dāng)于一次旋轉(zhuǎn)，其旋轉(zhuǎn)角等于兩直線交角的2倍.【典型例題】類型一、平移變換1.如圖，將矩形ABCD沿對角線AC剪開，再把△ACD沿CA方向平移得到△A′C′D′．

（1）證明△A′AD′≌△CC′B；

（2）若∠ACB=30°，試問當(dāng)點(diǎn)C′在線段AC上的什么位置時(shí)，四邊形ABC′D′是菱形，并請說明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)已知利用SAS判定△A′AD′≌△CC′B；

（2）由已知可推出四邊形ABC′D′是平行四邊形，只要再證明一組鄰邊相等即可確定四邊形ABC′D′是菱形，由已知可得到BC′=AC，AB=AC，從而得到AB=BC′，所以四邊形ABC′D′是菱形．【答案與解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，△A′C′D′由△ACD平移得到，

∴A′D′=AD=CB，AA′=CC′，A′D′∥AD∥BC．

∴∠D′A′C′=∠BCA．

∴△A′AD′≌△CC′B．

（2）解：當(dāng)點(diǎn)C′是線段AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形ABC′D′是菱形．

理由如下：

∵四邊形ABCD是矩形，△A′C′D′由△ACD平移得到，

∴C′D′=CD=AB．

由（1）知AD′=C′B．

∴四邊形ABC′D′是平行四邊形．

在Rt△ABC中，點(diǎn)C′是線段AC的中點(diǎn)，

∴BC′=AC．

而∠ACB=30°，

∴AB=AC．

∴AB=BC′．

∴四邊形ABC′D′是菱形．【總結(jié)升華】本題考查了平移的性質(zhì)特點(diǎn)以及全等的判定和菱形的判定，注意對這兩個(gè)判定定理的準(zhǔn)確掌握，考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力．2．操作與探究：

（1）對數(shù)軸上的點(diǎn)P進(jìn)行如下操作：先把點(diǎn)P表示的數(shù)乘以，再把所得數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)向右平移1個(gè)單位，得到點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)P′．點(diǎn)A，B在數(shù)軸上，對線段AB上的每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行上述操作后得到線段A′B′，其中點(diǎn)A，B的對應(yīng)點(diǎn)分別為A′，B′．如圖1，若點(diǎn)A表示的數(shù)是-3，則點(diǎn)A′表示的數(shù)是________；若點(diǎn)B′表示的數(shù)是2，則點(diǎn)B表示的數(shù)是_____；已知線段AB上的點(diǎn)E經(jīng)過上述操作后得到的對應(yīng)點(diǎn)E′與點(diǎn)E重合，則點(diǎn)E表示的數(shù)是__________．

（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對正方形ABCD及其內(nèi)部的每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行如下操作：把每個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都乘以同一個(gè)實(shí)數(shù)a，將得到的點(diǎn)先向右平移m個(gè)單位，再向上平移n個(gè)單位（m＞0，n＞0），得到正方形A′B′C′D′及其內(nèi)部的點(diǎn)，其中點(diǎn)A，B的對應(yīng)點(diǎn)分別為A′，B′．已知正方形ABCD內(nèi)部的一個(gè)點(diǎn)F經(jīng)過上述操作后得到的對應(yīng)點(diǎn)F′與點(diǎn)F重合，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題目規(guī)定，以及數(shù)軸上的數(shù)向右平移用加計(jì)算即可求出點(diǎn)A′，設(shè)點(diǎn)B表示的數(shù)為a，根據(jù)題意列出方程求解即可得到點(diǎn)B表示的數(shù)，設(shè)點(diǎn)E表示的數(shù)為b，根據(jù)題意列出方程計(jì)算即可得解；

（2）先根據(jù)向上平移橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)加，向右平移橫坐標(biāo)加，縱坐標(biāo)不變求出平移規(guī)律，然后設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)平移規(guī)律列出方程組求解即可．【答案與解析】（1）點(diǎn)A′：-3×+1=-1+1=0，

設(shè)點(diǎn)B表示的數(shù)為a，則a+1=2，解得a=3，

設(shè)點(diǎn)E表示的數(shù)為b，則b+1=b，解得b=；

故答案為：0；3；.

（2）根據(jù)題意得，，解得，

設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，y），

∵對應(yīng)點(diǎn)F′與點(diǎn)F重合，

∴x+=x，y+2=y，解得x=1，y=4，所以，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，4）．【總結(jié)升華】耐心細(xì)致的讀懂題目信息是解答本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，若將邊長為的兩個(gè)互相重合的正方形紙片沿對角線翻折成等腰直角三角形后，再抽出一個(gè)等腰直角三角形沿移動(dòng)，若重疊部分的面積是，則移動(dòng)的距離等于.【答案】根據(jù)題意得：AB∥A′B′，BC∥B′C′，

∴∠A′PC=∠B=90°，

∵∠A=∠CA′P=∠ACP=45°，

∴△A′PC是等腰直角三角形，

∵△A′PC的面積是1cm2，

∴S△A′PC=A′P?PC=1（cm2），

∴A′P=PC=cm，

∴A′C=2cm，

由于原等腰直角三角形的斜邊是2cm，

所以平移的距離是：2-2（cm）．類型二、軸對稱變換3．（2016?貴陽模擬）如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)E是射線CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△DCE沿DE折疊，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C′．（1）若點(diǎn)C′剛好落在對角線BD上時(shí)，BC′=；（2）若點(diǎn)C′剛好落在線段AB的垂直平分線上時(shí)，求CE的長；（3）若點(diǎn)C′剛好落在線段AD的垂直平分線上時(shí)，求CE的長．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)點(diǎn)B，C′，D在同一直線上得出BC′=BD﹣DC′=BD﹣DC求出即可；（2）利用垂直平分線的性質(zhì)得出CC′=DC′=DC，則△DC′C是等邊三角形，進(jìn)而利用勾股定理得出答案；（3）利用①當(dāng)點(diǎn)C′在矩形內(nèi)部時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)C′在矩形外部時(shí)，分別求出即可．【答案與解析】解：（1）如圖1，∵點(diǎn)B，C′，D在同一直線上，∴BC′=BD﹣DC′=BD﹣DC=10﹣6=4；故答案為：4；（2）如圖2，連接CC′，∵點(diǎn)C′在AB的垂直平分線上，∴點(diǎn)C′在DC的垂直平分線上，∴CC′=DC′=DC，則△DC′C是等邊三角形，設(shè)CE=x，易得DE=2x，由勾股定理得：（2x）2﹣x2=62，解得：x=2，即CE的長為2；（3）作AD的垂直平分線，交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)C′在矩形內(nèi)部時(shí)，如圖3，∵點(diǎn)C′在AD的垂直平分線上，∴DM=4，∵DC′=6，由勾股定理得：MC′=2，∴NC′=6﹣2，設(shè)EC=y，則C′E=y，NE=4﹣y，故NC′2+NE2=C′E2，即（6﹣2）2+（4﹣y）2=y2，解得：y=9﹣3，即CE=9﹣3；②當(dāng)點(diǎn)C′在矩形外部時(shí)，如圖4，∵點(diǎn)C′在AD的垂直平分線上，∴DM=4，∵DC′=6，由勾股定理得：MC′=2，∴NC′=6+2，設(shè)EC=z，則C′E=a，NE=z﹣4故NC′2+NE2=C′E2，即（6+2）2+（z﹣4）2=z2，解得：z=9+3，即CE=9+3，綜上所述：CE的長為9±3．【總結(jié)升華】此題主要考查了矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理等知識；利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論得出是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖所示，有一塊面積為1的正方形紙片ABCD，M、N分別為AD、BC的邊上中點(diǎn)，將C點(diǎn)折至MN上，落在P點(diǎn)的位置，折痕為BQ，連接PQ．

（1）求MP的長；

（2）求證：以PQ為邊長的正方形的面積等于.【答案】（1）解：連接BP、PC，由折法知點(diǎn)P是點(diǎn)C關(guān)于折痕BQ的對稱點(diǎn)．

∴BQ垂直平分PC，BC=BP．

又∵M(jìn)、N分別為AD、BC邊上的中點(diǎn)，且四邊形ABCD是正方形，

∴BP=PC．

∴BC=BP=PC．

∴△PBC是等邊三角形．

∵PN⊥BC于N，BN=NC=BC=，∠BPN=×∠BPC=30°，

∴PN=，MP=MN-PN=．

（2）證明：由折法知PQ=QC，∠PBQ=∠QBC=30°．

在Rt△BCQ中，QC=BC?tan30°=1×=，

∴PQ=．

∴以PQ為邊的正方形的面積為．4.已知：矩形紙片中，AB=26厘米，厘米，點(diǎn)E在AD上，且厘米，點(diǎn)P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，按如下操作：步驟一，折疊紙片，使點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，展開紙片得折痕（如圖（1）所示）；步驟二，過點(diǎn)P作交所在的直線于點(diǎn)Q，連結(jié)QE（如圖（2）所示）；（1）無論點(diǎn)P在AB邊上任何位置，都有PQQE（填“＞”、“=”、“＜”號）（2）如圖（3）所示，將矩形紙片放在直角坐標(biāo)系中，按上述步驟一、二進(jìn)行操作：①當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)時(shí)，與交于點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)是（，）；②當(dāng)厘米時(shí)，與交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是（，）；③當(dāng)厘米時(shí)，在圖（3）中畫出，（不要求寫畫法）并求出與的交點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P在在運(yùn)動(dòng)過程中，與形成一系列的交點(diǎn)，…觀察，猜想：眾多的交點(diǎn)形成的圖象是什么？并直接寫出該圖象的函數(shù)表達(dá)式.（A）BCDEN（A）BCDENO612182461218ABCDPEMNBC（P） （1） （2） （3）【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)折疊的特點(diǎn)可知△NQE≌△NQP，所以PQ=QE．

（2）過點(diǎn)E作EG⊥Q3P，垂足為G，則四邊形APGE是矩形．設(shè)Q3G=x，則Q3E=Q3P=x+6．利用Rt△Q3EG中的勾股定理可知x=9，Q3P=15．即Q3（12，15）．

（3）根據(jù)上述的點(diǎn)的軌跡可猜測這些點(diǎn)形成的圖象是一段拋物線，利用待定系數(shù)法可解得函數(shù)關(guān)系式：y=x2+3（0≤x≤26）．

【答案與解析】（1）由折疊的特點(diǎn)可知△NQE≌△NQP，所以PQ=QE．

（2）①（0，3）；②（6，6）．

③畫圖，如圖所示．

過點(diǎn)E作EG⊥Q3P，垂足為G，則四邊形APGE是矩形．

∴GP=6，EG=12．

設(shè)Q3G=x，則Q3E=Q3P=x+6．

在Rt△Q3EG中，∵EQ32=EG2+Q3G2

∴x=9．

∴Q3P=15．

∴Q3（12，15）（3）這些點(diǎn)形成的圖象是一段拋物線．

函數(shù)關(guān)系式：y=x2+3（0≤x≤26）．【總結(jié)升華】本題是一道幾何與函數(shù)綜合題，它以“問題情境--建立模型--解釋、應(yīng)用與拓展”的模式，通過動(dòng)點(diǎn)P在AB上的移動(dòng)構(gòu)造探究性問題，讓學(xué)生在“操作、觀察、猜想、建模、驗(yàn)證”活動(dòng)過程中，提高動(dòng)手能力，培養(yǎng)探究精神，發(fā)展創(chuàng)新思維．類型三、旋轉(zhuǎn)變換5.（2016?本溪）已知，△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，點(diǎn)P是射線CB上一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AQ，連接QB交射線AC于點(diǎn)M.（1）如圖①，當(dāng)AC=BC，點(diǎn)P在線段CB上時(shí)，線段PB、CM的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖②，當(dāng)AC=BC，點(diǎn)P在線段CB的延長線時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，請說明理由．（3）如圖③，若，點(diǎn)P在線段CB的延長線上，CM=2，AP=13，求△ABP的面積．【思路點(diǎn)撥】（1）作出△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，和等腰三角形的性質(zhì)再用中位線即可；（2）作出△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，和等腰三角形的性質(zhì)，再用中位線即可；（3）同（1）（2）的方法作出輔助線，利用平行線中的基本圖形“A”得出比例式，用勾股定理求出x，最后用三角形的面積公式即可．【答案與解析】解：（1）如圖1，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AB'C'，∴B'Q=BP，AB'=AB，連接BB'，∵AC⊥BC，∴點(diǎn)C在BB'上，且CB'=CB，依題意得，∠C'B'B=90°，∴CM∥B'C'，而CB'=CB，∴2CM=B'Q，∵BP=B'Q，∴BP=2CM，故答案為：BP=2CM；（2）BP=2CM仍然成立，理由：如圖2，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AB'C'，連接B'Q，∴B'Q=BP，AB'=AB，連接BB'，∵AC⊥BC，∴點(diǎn)C在BB'上，且CB'=CB，依題意得，∠C'B'B=90°，∴CM∥B'C'，而CB'=CB，∴2CM=B'Q，∵BP=B'Q，∴BP=2CM，（3）如圖3，設(shè)BC=2x，則AC=5x，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AB'C'，連接B'Q，∴BC=B'C'，B'Q=BP，AC=AC'延長BC交C'Q于N，∴四邊形ACNC'是正方形，∴C'N=CN=AC=5x，∴BN=CN+BC=7x∵CM∥QN，∴∵CM=2，∴∴QN=7，∴BP=B'Q=C'N+QN﹣B'C'=5x+7﹣2x=3x+7，∴PC=BC+BP=2x+3x+7=5x+7，在Rt△ACP中，AC=5x，PC=5x+7，AP=13，根據(jù)勾股定理得，（5x）2+（5x+7）2=132∴x=1或x=﹣（舍），∴BP=3x+7=10，AC=5x=5，∴S△ABP=BP×AC=×10×5=25．【總結(jié)升華】此題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形和直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是作出輔助線，也是本題的難點(diǎn)．6.如圖①，小慧同學(xué)把一個(gè)正三角形紙片（即△OAB）放在直線l1上，OA邊與直線l1重合，然后將三角形紙片繞著頂點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O1處，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)B1處；小慧又將三角形紙片AO1B1繞點(diǎn)B1按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°，此時(shí)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)A1處，點(diǎn)O1運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O2處（即頂點(diǎn)O經(jīng)過上述兩次旋轉(zhuǎn)到達(dá)O2處）．小慧還發(fā)現(xiàn)：三角形紙片在上述兩次旋轉(zhuǎn)的過程中，頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)所形成的圖形是兩段圓弧，即和，頂點(diǎn)O所經(jīng)過的路程是這兩段圓弧的長度之和，并且這兩段圓弧與直線l1圍成的圖形面積等于扇形AOO1的面積、△AO1B1的面積和扇形B1O1O2的面積之和．小慧進(jìn)行類比研究：如圖②，她把邊長為1的正方形紙片OABC放在直線l2上，OA邊與直線l2重合，然后將正方形紙片繞著頂點(diǎn)^按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O1處（即點(diǎn)B處），點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)C1處，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)B1處；小慧又將正方形紙片AO1C1B1繞頂點(diǎn)B1按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，……，按上述方法經(jīng)過若干次旋轉(zhuǎn)后．她提出了如下問題：問題①：若正方形紙片OABC接上述方法經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，求頂點(diǎn)O經(jīng)過的路程，并求頂點(diǎn)O在此運(yùn)動(dòng)過程中所形成的圖形與直線l2圍成圖形的面積；若正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過5次旋轉(zhuǎn)，求頂點(diǎn)O經(jīng)過的路程；問題②：正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過多少次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O經(jīng)過的路程是_______________?請你解答上述兩個(gè)問題．【思路點(diǎn)撥】求出正方形OABC翻轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)O的軌跡弧長,再求面積即可.要理解的是第4次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O沒有移動(dòng).【答案與解析】解：問題①：如圖，正方形紙片經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)所形成的圖形是三段圓弧，所以頂點(diǎn)O在此運(yùn)動(dòng)過程中經(jīng)過的路程為.頂點(diǎn)O在此運(yùn)動(dòng)過程中所形成的圖形與直線圍成圖形的面積為.正方形紙片經(jīng)過5次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)經(jīng)過的路程為：.問題②：∵正方形紙片每經(jīng)過4次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)經(jīng)過的路程均為：.又，而是正方形紙片第4+1次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)經(jīng)過的路程.∴正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過81次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O經(jīng)過的路程是.【總結(jié)升華】本題涉及到分類歸納，圖形的翻轉(zhuǎn)，扇形弧長和面積.舉一反三：【變式】如圖，等腰梯形MNPQ的上底長為2，腰長為3，一個(gè)底角為60°．正方形ABCD的邊長為1，它的一邊AD在MN上，且頂點(diǎn)A與M重合．現(xiàn)將正方形ABCD在梯形的外面沿邊MN、NP、PQ進(jìn)行翻滾，翻滾到有一個(gè)頂點(diǎn)與Q重合即停止?jié)L動(dòng)．(1)請?jiān)谒o的圖中，用尺規(guī)畫出點(diǎn)A在正方形整個(gè)翻滾過程中所經(jīng)過的路線圖；(2)求正方形在整個(gè)翻滾過程中點(diǎn)A所經(jīng)過的路線與梯形MNPQ的三邊MN、NP、PQ所圍成圖形的面積S．【答案】(1)點(diǎn)A在正方形整個(gè)翻滾過程中所經(jīng)過的路線圖如圖：(2)弧AA1與AD，A1D圍成圖形的面積為：圓的面積（半徑為1）=；弧A1A2與A1D，DN，A2N圍成圖形的面積為：圓的面積（半徑為）＋正方形的面積（邊長為1）=；弧A2A3與A2N，NA3圍成圖形的面積為：圓的面積（半徑為1）=；其他三塊小面積分別與以上三塊相同.∴點(diǎn)A所經(jīng)過的路線與梯形MNPQ的三邊MN、NP、PQ所圍成圖形的面積S為：.中考總復(fù)習(xí)：圖形的相似--鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）【鞏固練習(xí)】一、選擇題1．（2011山東聊城）如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，邊OA在x軸上，OC在y軸上，如果矩形OA′B′C′與矩形OABC關(guān)于點(diǎn)O位似，且矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的，那么點(diǎn)B′的坐標(biāo)是（）．A．（3，2） B．（－2，－3）C．（2，3）或（－2，－3） D．（3，2）或（－3，－2）2.如圖，△ABC中，BC=2，DE是它的中位線，下面三個(gè)結(jié)論：⑴DE=1；⑵△ADE∽△ABC；⑶△ADE的面積與△ABC的面積之比為1:4。其中正確的有（）．A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)3．如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于O，且將這個(gè)四邊形分成①、②、③、④四個(gè)三角形．OA∶OC=OB∶OD，則下列結(jié)論中一定正確的是()．A．①和②相似B．①和③相似C．①和④相似D．②和④相似AABCDO①②⊙o⊙③⊙o⊙④⊙o⊙4．現(xiàn)給出下列四個(gè)命題：①無公共點(diǎn)的兩圓必外離；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面積等于兩條對角線的積；④對角線相等的四邊形是矩形．其中真命題的個(gè)數(shù)是（）．A．1 B．2 C．3 D．45．（2015?錦州）如圖，線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（4，4），B（6，2），以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來的后得到線段CD，則端點(diǎn)C和D的坐標(biāo)分別為（）A．（2，2），（3，2） B．（2，4），（3，1） C．（2，2），（3，1） D．（3，1），（2，2）6．如圖，在平行四邊形ABCD中（AB≠BC），直線EF經(jīng)過其對角線的交點(diǎn)O，且分別交AD、BC于點(diǎn)M、N，交BA、DC的延長線于點(diǎn)E、F，下列結(jié)論：①AO=BO；②OE=OF；③△EAM∽△EBN；④△EAO≌△CNO，其中正確的是（）．A．①②B．②③C．②④D．③④二、填空題7.如圖，以點(diǎn)O為位似中心，將五邊形ABCDE放大后得到五邊形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，則五邊形ABCDE的周長與五邊形A′B′C′D′E′的周長的比值是________．第7題第9題8.如果一個(gè)三角形的三邊長為5、12、13，與其相似的三角形的最長的邊為39，那么較大的三角形的周長________，面積________．9.如圖，在正三角形中，，，分別是，，上的點(diǎn)，，，，則的面積與的面積之比等于________．10.將三角形紙片（△ABC）按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上，記為點(diǎn)B′，折痕為EF．已知AB＝AC＝6，BC＝8，若以點(diǎn)B′，F(xiàn)，C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，那么BF的長度是________．11.（2015?連云港）如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直線l1∥l2∥l3，l1與l2之間距離是1，l2與l3之間距離是2，且l1，l2，l3分別經(jīng)過點(diǎn)A，B，C，則邊AC的長為．12.如圖，不等長的兩條對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且將四邊形ABCD分成甲、乙、丙、丁四個(gè)三角形．若，則甲、乙、丙、丁這4個(gè)三角形中，一定相似的有________．三、解答題13.已知線段OA⊥OB，C為OB上中點(diǎn)，D為AO上一點(diǎn)，連AC、BD交于P點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)OA=OB且D為AO中點(diǎn)時(shí)，求的值；（2）如圖2，當(dāng)OA=OB，=時(shí)，求tan∠BPC；圖1圖1圖214.（2016?靜安區(qū)一模）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AB上，BD=AD=AC，AD與CE相交于點(diǎn)F，AE2=EF?EC．（1）求證：∠ADC=∠DCE+∠EAF；（2）求證：AF?AD=AB?EF．15．如圖,已知在等腰△ABC中,∠A=∠B=30°,過點(diǎn)C作CD⊥AC交AB于點(diǎn)D.(1)尺規(guī)作圖：過A，D，C三點(diǎn)作⊙O（只要求作出圖形，保留痕跡，不要求寫作法）；(2)求證：BC是過A，D，C三點(diǎn)的圓的切線；(3)若過A，D，C三點(diǎn)的圓的半徑為,則線段BC上是否存在一點(diǎn)P，使得以P，D，B為頂點(diǎn)的三角形與△BCO相似.若存在，求出DP的長；若不存在，請說明理由.16.如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，直角尺的直角頂點(diǎn)P在AD上滑動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與A，D不重合），一直角邊經(jīng)過點(diǎn)C，另一直角邊交AB于點(diǎn)E．我們知道，結(jié)論“Rt△AEP∽Rt△DPC”成立．（1）當(dāng)∠CPD=30°時(shí)，求AE的長；（2）是否存在這樣的點(diǎn)P，使△DPC的周長等于△AEP周長的2倍？若存在，求出DP的長；若不存在，請說明理由．【答案與解析】一．選擇題1．【答案】D．2．【答案】D．3．【答案】B；【解析】由OA：OC=0B：OD，利用對頂角相等，兩三角形相似，①與③相似，問題可求．4．【答案】A．5．【答案】C；【解析】∵線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（4，4），B（6，2），以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來的后得到線段CD，∴端點(diǎn)的坐標(biāo)為：（2，2），（3，1）．故選：C．6．【答案】B；【解析】①根據(jù)平行四邊形的對邊相等的性質(zhì)即可求得AO≠BO，即可求得①錯(cuò)誤；

②易證△AOE≌△COF，即可求得EO=FO；

③根據(jù)相似三角形的判定即可求得△EAM∽△EBN；

④易證△EAO≌△FCO，而△FCO和△CNO不全等，根據(jù)全等三角形的傳遞性即可判定該選項(xiàng)錯(cuò)誤．二．填空題7．【答案】．8．【答案】90，270．9．【答案】１:3;【解析】首先根據(jù)題意求得：∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，即可證得△DEF是正三角形，又由直角三角形中，30°所對的直角邊是斜邊的一半，得到邊的關(guān)系，即可求得DF：AB=1：，又由相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得結(jié)果．10．【答案】4，．【解析】根據(jù)折疊得到BF=B′F，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，設(shè)BF=x，則CF=8-x，即可求出x的長，得到BF的長11.【答案】．【解析】如圖，過點(diǎn)B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F，如圖．∵∠BAC=60°，∠ABC=90°，∴tan∠BAC==．∵直線l1∥l2∥l3，∴EF⊥l1，EF⊥l3，∴∠AEB=∠BFC=90°．∵∠ABC=90°，∴∠EAB=90°﹣∠ABE=∠FBC，∴△BFC∽△AEB，∴==．∵EB=1，∴FC=．在Rt△BFC中，BC===．在Rt△ABC中，sin∠BAC==，AC===．故答案為．12．【答案】甲和丙相似．【解析】∵，∴AB∥CD，∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO，∴△AOB∽△COD．

故必有甲和丙相似．三.綜合題13．【解析】（1）過C作CE∥OA交BD于E，則△BCE∽△BOD得CE=OD=AD；再由△ECP∽△DAP得；（2）過C作CE∥OA交BD于E，設(shè)AD=x，AO=OB=4x，則OD=3x，由△BCE∽△BOD得CE=OD=x，再由△ECP∽△DAP得；由勾股定理可知BD=5x，DE=x，則，可得PD=AD=x，則∠BPC=∠DPA=∠A，tan∠BPC=tan∠A=。14．【解析】證明：（1）∵BD=AD=AC，∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠ACD，∵AE2=EF?EC，∴，∵∠E=∠E，∴△EAF∽△ECA，∴∠EAF=∠ECA，∴∠ADC=∠ACD=∠ACE+∠ECB=∠DCE+∠EAF；（2）∵△EAF∽△ECA，∴，即，∵∠EFA=∠BAC，∠EAF=∠B，∴△FAE∽△ABC，∴，∴FA?AC=EF?AB，∵AC=AD，∴AF?AD=AB?EF．15．【解析】（1）作出圓心O，以點(diǎn)O為圓心，OA長為半徑作圓.（2）∵CD⊥AC,∴∠ACD=90°.∴AD是⊙O的直徑連結(jié)OC，∵∠A=∠B=30°,∴∠ACB=120°,又∵OA=OC,∴∠ACO=∠A=30°,∴∠BCO=∠ACB-∠ACO=120°-30°=90°.∴BC⊥OC,∴BC是⊙O的切線.（3）存在.∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°,∴∠BCD=∠B,即DB=DC.又∵在Rt△ACD中，DC=AD,∴BD=.①過點(diǎn)D作DP1//OC，則△P1DB∽△COB,，∵BO=BD+OD=,∴P1D=×OC=×=.②過點(diǎn)D作DP2⊥AB,則△BDP2∽△BCO,∴，∵BC＝∴.16．【解析】（1）在Rt△PCD中，由tan∠CPD=，得PD==4，∴AP=AD-PD=10-4．由△AEP∽△DPC知，,∴AE==10-12．（2）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P，設(shè)DP=x，則AP=10-x．由△AEP∽△DPC，知=2．∴=2，解得x=8．此時(shí)AP=4，AE=4符合題意．故存在點(diǎn)P，使△DPC的周長等于△AEP周長的2倍，DP=8．中考總復(fù)習(xí)：圖形的相似--鞏固練習(xí)（提高）【鞏固練習(xí)】一、選擇題1．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2，CD=1，點(diǎn)P在四邊形ABCD的邊上．若P到BD的距離為1，則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（）．A．1 B．2 C．3 D．42.如圖，直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6、8，按如圖那樣折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為DE，則S△BCE：S△BDE等于（）．A.2：5B.14:25C.16:25D.4:213.（2015?甘南州）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，CE和BD交于點(diǎn)O，設(shè)△OCD的面積為m，△OEB的面積為，則下列結(jié)論中正確的是（）A．m=5 B．m=4 C．m=3 D．m=104.如圖所示，平地上一棵樹高為6米，兩次觀察地面上的影子，第一次是當(dāng)陽光與地面成60°時(shí)，第二次是陽光與地面成30°時(shí)，第二次觀察到的影子比第一次長()．A．B.C.D.5．如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四邊形ACDE是平行四邊形，連接CE交AD于點(diǎn)F，連接BD交CE于點(diǎn)G，連接BE．下列結(jié)論中：①CE=BD②△ADC是等腰直角三角形③∠ADB=∠AEB④CD?AE=EF?CG；一定正確的結(jié)論有（）．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)6．如圖，中，于一定能確定為直角三角形的條件的個(gè)數(shù)是（）．①②③④⑤A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題7.如圖已知△ABC的面積是的等邊三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC與DE相交于點(diǎn)F，則△AEF的面積等于__________（結(jié)果保留根號）.第7題第8題8.已知三個(gè)邊長分別為2、3、5的正三角形從左到右如圖排列，則圖中陰影部分面積為．9.如圖，等邊三角形ABC的邊長為3，點(diǎn)P為BC邊上一點(diǎn)，且BP=1，點(diǎn)D為AC邊上一點(diǎn)，若∠APD=60°，則CD的長為．第9題第10題10．如圖，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置邊長分別3，4，x的三個(gè)正方形，則x的值為．11.如圖，邊長為6的大正方形中有兩個(gè)小正方形，若兩個(gè)小正方形的面積分別為，，則+的值為．12.（2015?湖州）已知正方形ABC1D1的邊長為1，延長C1D1到A1，以A1C1為邊向右作正方形A1C1C2D2，延長C2D2到A2，以A2C2為邊向右作正方形A2C2C3D3（如圖所示），以此類推…．若A1C1=2，且點(diǎn)A，D2，D3，…，D10都在同一直線上，則正方形A9C9C10D10的邊長是．三、解答題13.（2015?杭州模擬）如圖，正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是DC和BC兩邊上的動(dòng)點(diǎn)且始終保持∠EAF=45°，連接AE與AF交DB于點(diǎn)N，M．下列結(jié)論：①△ADM∽△NBA；②△CEF的周長始終保持不變其值是4；③AE×AM=AF×AN；④DN2+BM2=NM2．其中正確的結(jié)論有哪些？14.如圖（1），△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，將△EFD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DF邊與AB邊重合時(shí)，旋轉(zhuǎn)中止.不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時(shí)重合的情況，設(shè)DE、DF（或它們的延長線）分別交BC（或它的延長線）于G、H點(diǎn)，如圖（2）.（1）問：始終與△AGC相似的三角形有及；（2）設(shè)CG＝x，BH＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（只要求根據(jù)2的情況說明理由）；（3）問：當(dāng)x為何值時(shí)，△AGH是等腰三角形？15.已知:直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB為直徑的圓M交OC于D．E，連結(jié)AD、BD、BE.(1)在不添加其他字母和線的前提下，直接寫出圖1中的兩對相似三角形._____________________，______________________；(2)直角梯形OABC中，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，A在x軸正半軸上建立直角坐標(biāo)系（如圖2），若拋物線經(jīng)過點(diǎn)A．B．D，且B為拋物線的頂點(diǎn).①寫出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)（用a的代數(shù)式表示）___________；②求拋物線的解析式；③在x軸下方的拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P：過點(diǎn)P做PN⊥x軸于N，使得△PAN與△OAD相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.16．（2011上海）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．點(diǎn)P是AB邊上任意一點(diǎn)，直線PE⊥AB，與邊AC或BC相交于E．點(diǎn)M在線段AP上，點(diǎn)N在線段BP上，EM=EN，sin∠EMP=．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，求CM的長；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在邊AC上時(shí)，點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合，設(shè)AP=x，BN=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）若△AME∽△ENB（△AME的頂點(diǎn)A、M、E分別與△ENB的頂點(diǎn)E、N、B對應(yīng)），求AP的長．圖1圖2備用圖【答案與解析】一．選擇題1．【答案】B．2．【答案】B．3．【答案】B；【解析】∵AB∥CD，∴△OCD∽△OEB，又∵E是AB的中點(diǎn)，∴2EB=AB=CD，∴=（）2，即=（）2，解得m=4．故選B．4．【答案】B．5．【答案】Ｄ；【解析】①利用SAS證明△BAD≌△CAE，可得到CE=BD，

②利用平行四邊形的性質(zhì)可得AE=CD，再結(jié)合△ADE是等腰直角三角形可得到△ADC是等腰直角三角形；

③利用SAS證明△BAE≌△BAD可得到∠ADB=∠AEB；

④利用已知得出∠GFD=∠AFE，以及∠GDF+∠GFD=90°，得出∠GCD=∠AEF，進(jìn)而得出△CGD∽△EAF，得出比例式．6．【答案】Ｃ；【解析】①因?yàn)椤螦+∠2=90°，∠1=∠A，所以∠1+∠2=90°，即△ABC為直角三角形，故正確；

②根據(jù)CD2=AD?DB得到，再根據(jù)∠ADC=∠CDB=90°，則△ACD∽△CBD，∴∠1=∠A，∠2=∠B，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得：∠ACB=90°，故正確；

③因?yàn)椤螧+∠2=90°，∠B+∠1=90°，所以推出∠1=∠2，無法得到兩角和為90°，故錯(cuò)誤；

④設(shè)BC的長為3x，那么AC為4x，AB為5x，由9x2+16x2=25x2，符合勾股定理的逆定理，故正確；

⑤由三角形的相似無法推出AC?BD=AD?CD成立，所以△ABC不是直角三角形，故錯(cuò)誤．

所以正確的有三個(gè)．故選C．二．填空題7．【答案】．8．【答案】．9．【答案】；【解析】∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠C=60°，

∵∠APB=∠PAC+∠C，∠PDC=∠PAC+∠APD，

∵∠APD=60°，∴∠APB=∠PAC+60°，∠PDC=∠PAC+60°，∴∠APB=∠PDC，

又∵∠B=∠C=60°，∴△ABP∽△PCD，

∴，即，

∴CD=．10．【答案】７；【解析】根據(jù)已知條件可以推出△CEF∽△OME∽△PFN然后把它們的直角邊用含x的表達(dá)式表示出來，利用對應(yīng)邊的比相等，即可推出x的值答題．11.【答案】17；【解析】如圖，設(shè)正方形S2的邊長為x，

根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)知，AC=x，x=CD，

∴AC=2CD，CD=2，∴EC2=22+22，即EC=2，∴S2的面積為EC2=8，

∵S1的邊長為3，S1的面積為3×3=9，

∴S1+S2=8+9=17．12．【答案】．【解析】延長D4A和C1B交于O，∵AB∥A2C1，∴△AOB∽△D2OC2，∴=，∵AB=BC1=1，DC2=C1C2=2，∴==∴OC2=2OB，∴OB=BC2=3，∴OC2=6，設(shè)正方形A2C2C3D3的邊長為x1，同理證得：△D2OC2∽△D3OC3，∴=，解得，x1=3，∴正方形A2C2C3D3的邊長為3，設(shè)正方形A3C3C4D4的邊長為x2，同理證得：△D3OC3∽△D4OC4，∴=，解得x2=，∴正方形A3C3C4D4的邊長為；設(shè)正方形A4C4C5D5的邊長為x3，同理證得：△D4OC4∽△D5OC5，∴=，解得x=，∴正方形A4C4C5D5的邊長為；以此類推…．正方形An﹣1Cn﹣1CnDn的邊長為；∴正方形A9C9C10D10的邊長為．故答案為．三.綜合題13．【解析】解：①∠ANB=∠NDA+∠NAD=45°+∠NAD，∠MAD=∠MAN+∠NAD=45°+∠NAD，∴∠ANB=∠MAD，又∠ADM=∠ABN=45°，∴△ADM∽△NBA，①正確；②如圖1，把△ADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，則BG=DE，∠FAG=∠FAB+∠DAE=45°，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF，∴DG=EF，∴△CEF的周長=CE+CF+EF=CE+DE+CF+FG=4，②正確；③當(dāng)MN∥EF時(shí)，AE×AM=AF×AN，∵M(jìn)N與EF的位置關(guān)系不確定，∴③錯(cuò)誤；④如圖2，把△ADN順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，則BH=DN，∠MAH=∠MAB+∠BAH=∠MAB+∠DAN45°，在△NAM和△HAM中，，∴△AEF≌△AGF，∴MN=MH，又∵∠MBH=∠MBA+∠ABH=90°，∴BH2+BM2=MH2，即DN2+BM2=NM2，④正確．∴正確的結(jié)論有：①②④.14．【解析】（1）△HGA及△HAB；（2）由（1）可知△AGC∽△HAB∴，即，所以，（3）當(dāng)CG＜時(shí)，∠GAC=∠H＜∠HAC，∴AC＜CH∵AG＜AC，∴AG＜GH又AH＞AG，AH＞GH此時(shí)，△AGH不可能是等腰三角形；當(dāng)CG=時(shí)，G為BC的中點(diǎn)，H與C重合，△AGH是等腰三角形；此時(shí)，GC=，即x=當(dāng)CG＞時(shí)，由（1）可知△AGC∽△HGA所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH若AG=AH，則AC=CG，此時(shí)x=9綜上，當(dāng)x=9或時(shí)，△AGH是等腰三角形．15．【解析】（1）△OAD∽△CDB.△ADB∽△ECB；（2）①（1，－4a）；②∵△OAD∽△CDB∴∵ax2－2ax－3a=0，可得A（3，0）又OC=－4a，OD=－3a，CD=－a，CB=1，∴，∴，∵，∴．故拋物線的解析式為：．③存在，設(shè)P（x，－x2+2x+3），∵△PAN與△OAD相似，且△OAD為等腰三角形，∴PN=AN．當(dāng)x<0（x<－1）時(shí)，－x+3=－(－x2+2x+3)，x1=－2，x2=3(舍去)，∴P（－2，－5），當(dāng)x>0（x>3）時(shí)，x－3=－(－x2+2x+3)，x1=0，x2=3(都不合題意舍去)，符合條件的點(diǎn)P為（－2，－5）．16.【解析】（1）∵∠ACB=90°，∴AC===40．∵S==,∴CP===24．在Rt△CPM中，∵sin∠EMP=，∴．∴CM===26．（2）由△APE∽△ACB，得，即，∴PE=．在Rt△MPE中，∵sin∠EMP=，∴．∴EM===．∴PM=PN===．∵AP+PN+NB=50，∴x++y=50．∴y=(0<x<32)．（3）①當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，△AME∽△ENB，．∵EM=EN，∴．設(shè)AP=x，由（2）知EM=，AM==，NB=．∴解得x1=22，x2=0（舍去），即AP=22．②當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，根據(jù)外角定理，△ACE∽△EPM，∴．∴CE==．設(shè)AP=x，易得BE=，∴CE=30．∴30=．解得x=42．即AP=42．∴AP的長為22或42．中考總復(fù)習(xí)：圖形的相似--知識講解（基礎(chǔ)）【考綱要求】1.了解線段的比、成比例線段、黃金分割、相似圖形有關(guān)概念及性質(zhì)．2.探索并掌握三角形相似的性質(zhì)及條件，并能利用相似三角形的性質(zhì)解決簡單的實(shí)際問題．3.掌握圖形位似的概念，能用位似的性質(zhì)將一個(gè)圖形放大或縮?。?.掌握用坐標(biāo)表示圖形的位置與變換，在給定的坐標(biāo)系中，會(huì)根據(jù)坐標(biāo)描出點(diǎn)的位置或由點(diǎn)的位置寫出它的坐標(biāo)，靈活運(yùn)用不同方式確定物體的位置．【知識網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、比例線段1.比例線段的相關(guān)概念如果選用同一長度單位量得兩條線段a，b的長度分別為m，n，那么就說這兩條線段的比是，或?qū)懗蒩：b=m：n.在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng).在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段.若四條a，b，c，d滿足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做組成比例的項(xiàng)，線段a，d叫做比例外項(xiàng)，線段b，c叫做比例內(nèi)項(xiàng).如果作為比例內(nèi)項(xiàng)的是兩條相同的線段，即或a：b=b：c，那么線段b叫做線段a，c的比例中項(xiàng).2、比例的基本性質(zhì)：①a：b=c：dad=bc②a：b=b：c.3、黃金分割把線段AB分成兩條線段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中AC=AB≈0.618AB.考點(diǎn)二、相似圖形1.相似圖形：我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形.

也就是說：兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作由另一個(gè)圖形放大或縮小得到的.(全等是特殊的相似圖形).

2.相似多邊形：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.

3.相似多邊形的性質(zhì)：

相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成的比相等.

相似多邊形的周長的比等于相似比，相似多邊形的面積的比等于相似比的平方.

4.相似三角形的定義：形狀相同的三角形是相似三角形.

5.相似三角形的性質(zhì)：

(1)相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.

(2)相似三角形對應(yīng)邊上的高的比相等，對應(yīng)邊上的中線的比相等，對應(yīng)角的角平分線的比相等，都等于相似比.

(3)相似三角形的周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.【要點(diǎn)詮釋】結(jié)合兩個(gè)圖形相似，得出對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，這樣可以由題中已知條件求得其它角的度數(shù)和線段的長.對于復(fù)雜的圖形，采用將部分需要的圖形(或基本圖形)“抽”出來的辦法處理.

6.相似三角形的判定：

(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

(2)如果兩個(gè)三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；

(3)如果兩個(gè)三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；

(4)如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

(5)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊和一條直角邊的比對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

考點(diǎn)三、位似圖形1.位似圖形的定義：

兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，不經(jīng)過交點(diǎn)的對應(yīng)邊互相平行，像這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫位似中心.

2.位似圖形的分類：

(1)外位似：位似中心在連接兩個(gè)對應(yīng)點(diǎn)的線段之外.

(2)內(nèi)位似：位似中心在連接兩個(gè)對應(yīng)點(diǎn)的線段上.

3.位似圖形的性質(zhì)

位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條直線上；

位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比；

位似圖形中不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行.【要點(diǎn)詮釋】位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未必能構(gòu)成位似圖形.

4.作位似圖形的步驟

第一步：在原圖上找若干個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，并任取一點(diǎn)作為位似中心；

第二步：作位似中心與各關(guān)鍵點(diǎn)連線；

第三步：在連線上取關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，使之滿足放縮比例；

第四步：順次連接截取點(diǎn).

【要點(diǎn)詮釋】

在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.【典型例題】類型一、比例線段1.在比例尺1：10000000的地圖上，量得甲、乙兩個(gè)城市之間的距離是8cm，那么甲、乙兩個(gè)城市之間的實(shí)際距離應(yīng)為__________km.【思路點(diǎn)撥】地圖上的比例尺是一種比例關(guān)系，即圖上距離與實(shí)際距離的比.【答案與解析】1：10000000=8：80000000，即實(shí)際距離是80000000cm=800km.【總結(jié)升華】本題考點(diǎn):比例性質(zhì).舉一反三：【變式】如圖，為了測量某棵樹的高度，小明用長為2m的竹竿做測量工具，移動(dòng)竹竿，使竹竿、樹的頂端的影子恰好落在地面的同一點(diǎn)．此時(shí)，竹竿與這一點(diǎn)相距6m、與樹相距15m，則樹的高度為______________m【答案】因?yàn)?，所以樹?7.類型二、相似圖形【高清課堂：圖形的相似考點(diǎn)7（3）】2．如圖，一個(gè)矩形ABCD的長AD=cm，寬AB=cm，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，連接E、F，所得新矩形ABFE與原矩形ABCD相似，求:的值．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)相似多邊形對應(yīng)邊的比相等，即可求得．【答案與解析】∵矩形ABCD的長AD=，寬AB=，則AE=AD=．

又矩形AEFB與矩形ABCD相似．

∴=，即,即∴【總結(jié)升華】本題主要考查了相似多邊形的對應(yīng)邊的比相等，注意分清對應(yīng)邊是解決本題的關(guān)鍵．3．如圖，△ABC是一塊直角三角形的木塊，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，AB=5cm，要利用它加工成一塊面積最大的正方形木塊，問按正方形CDEF加工還是按正方形PQRS加工？說出你的理由.

【思路點(diǎn)撥】要加工成一塊面積最大的正方形木塊，有兩種方法，利用相似三角形的判定和性質(zhì)求出兩個(gè)正方形的邊長，比較大小即可.【答案與解析】(1)如圖1，設(shè)正方形CDEF的邊長為x，則有，得x=cm；

(2)如圖2，設(shè)正方形PQRS的邊長為y，作CN⊥AB于N交RS于M，而知CN=，

同樣有得(cm)，x-y=＞0，故x＞y，

所以按正方形CDEF加工，可得面積最大的正方形.

【總結(jié)升華】考查相似三角形的應(yīng)用；用到的知識點(diǎn)為：平行于三角形一邊的直線與三角形另兩邊相交，截得的兩三角形相似；相似三角形的對應(yīng)邊成比例；對應(yīng)高的比等于相似比．舉一反三：【變式】已知矩形ABCD，長