福建省泉港區(qū)第二中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2023年9月泉港二中九年級(jí)上暑假返校測(cè)試數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間：100分鐘，滿分100分）一、單選題（每題4分，共40分）1.下列計(jì)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次根式加減法的法則，乘除法法則對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算判斷即可．詳解】解：A．與不能合并，所以A選項(xiàng)不符合題意；B．與不能合并，所以B選項(xiàng)不符合題意；C．，所以C選項(xiàng)符合題意；D．與不能合并，所以D選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的運(yùn)算：解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式加減乘除運(yùn)算的法則．2.若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，列出不等式，解之即可得出答案．【詳解】解：∵式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴，

∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，正確得出被開方數(shù)的取值范圍是解題的關(guān)鍵．3.若，則的值為（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)合比性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)：熟練掌握比例的性質(zhì)（內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積；合比性質(zhì)；分比性質(zhì)；合分比性質(zhì)；等比性質(zhì)）是解決問題的關(guān)鍵．4.已知，在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）

A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置可得，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)將二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再合并即可．【詳解】解：由實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置可知，，∴∴；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，掌握數(shù)軸表示數(shù)的方法以及二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)方法是正確解答的前提．5.我國(guó)古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，遣人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無(wú)錢準(zhǔn)與一株椽．”其大意為：現(xiàn)請(qǐng)人代買一批椽，這批椽的價(jià)錢為文．如果每株椽的運(yùn)費(fèi)是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)錢，試問文能買多少株椽？設(shè)這批椽的數(shù)量為株，則符合題意的方程是（）A. B.C.（ D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)錢可得一株椽的價(jià)錢為文，再根據(jù)總價(jià)錢等于一株椽的價(jià)錢乘以椽的數(shù)量建立方程即可．【詳解】解：由題意得：一株椽的價(jià)錢為文，則可列方程為：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了列一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．6.已知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，且，則k的值為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【解析】【分析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及整理即可求解．【詳解】解：由題意得：，，則：，即：，解得：，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握根與系數(shù)的是解題的關(guān)鍵．7.如圖，，兩條直線與這三條平行線分別交于點(diǎn)A、、和、、，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，根據(jù)合比性質(zhì)即得．【詳解】，，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理，合比性質(zhì)．8.如圖，若將圖1所示的正方形剪成四塊，恰能拼成圖2所示的長(zhǎng)方形，設(shè)，則這個(gè)正方形的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】從圖中可以看出，正方形的邊長(zhǎng)，所以面積，矩形的長(zhǎng)和寬分別是，，面積，兩圖形面積相等，列出方程得，其中，求的值，即可求得正方形的面積．【詳解】解：根據(jù)圖形和題意可得：正方形的邊長(zhǎng)，∴正方形面積，矩形的長(zhǎng)和寬分別是，，∴矩形面積，，其中，則方程是解得：，（不合題意舍去），所以正方形的面積為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從兩圖形中，找到兩圖形的邊長(zhǎng)的值，然后利用面積相等列出等式求方程，解得的值，從而求出邊長(zhǎng)，求面積．9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，三點(diǎn)，其中m，n滿足關(guān)系式．若在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)，使四邊形的面積與三角形的面積之比為，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，可得，，，解得，，即，，，，，由面積比可得，，計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵，∴，，，解得，∴，即，，，∴，，∵四邊形的面積與三角形的面積之比為，∴，解得，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式有意義的條件，二次根式有意義的條件，坐標(biāo)與圖形．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．10.已知兩個(gè)多項(xiàng)式，，x為實(shí)數(shù)，將A、B進(jìn)行加減乘除運(yùn)算：①若A+B=10，則；②，則x需要滿足的條件是；③，則關(guān)于x的方程無(wú)實(shí)數(shù)根；④若x正整數(shù)()，且為整數(shù)，則1，2，4，5．上面說(shuō)法正確的有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】【分析】利用可求出，故①錯(cuò)誤；對(duì)分情況討論可知②正確；若，則或，利用根的判別式可知，時(shí)，方程無(wú)解，故③正確；由為整數(shù)，可得是整數(shù)，可求出，2，4，5，故④正確．【詳解】解：∵，，∴①當(dāng)時(shí)，則，解得：，故①錯(cuò)誤；②當(dāng)，則，當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)，，解得：；當(dāng)，，解得：（舍去）；綜上所述：，故②正確；③若，則或，當(dāng)時(shí)，，，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，，無(wú)解；∴，關(guān)于x的方程無(wú)實(shí)數(shù)根；故③正確；④∵，若為整數(shù)，則是整數(shù)，∵x為正整數(shù)()，解得：，2，4，5，故④正確；∴正確的有②③④故選：C【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)，含絕對(duì)值的一元一次方程的求解，根的判別式，能夠正確解方程是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每題4分，共24分）11.古希臘幾何學(xué)家海倫在他的著作《度量》中給出了計(jì)算三角形面積的海倫公式，若三角形三邊長(zhǎng)分別為、、，記，三角形的面積為，如圖，請(qǐng)你利用海倫公式計(jì)算的面積為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題中的公式，代入計(jì)算求值．【詳解】解：，的面積為：，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的應(yīng)用，掌握二次根式的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．12.計(jì)算的結(jié)果是___________．【答案】【解析】【分析】利用二次根式的混合運(yùn)算法則及分母有理數(shù)的方法即可求解．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算及分母有理數(shù)，熟練掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．13.“黃金分割”被視為最美麗幾何學(xué)比率，在建筑、藝術(shù)和日常生活中處處可見.主持人站在舞臺(tái)的黃點(diǎn)分割位置會(huì)更自然得體，如圖，舞臺(tái)長(zhǎng)米，點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)(即)，則的長(zhǎng)是______．【答案】米【解析】【分析】利用黃金分割的定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)(即)，米，米，米，故答案為：米．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．14.如圖，在中，平分，交于點(diǎn)，且，，交于點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)是______．【答案】6【解析】【分析】根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)等邊對(duì)等角可得，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得，結(jié)合即可得出答案．【詳解】解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線定義，平行線的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，平行線分線段成比例定理等知識(shí)，理解并掌握平行線分線段成比例定理是解題關(guān)鍵．15.《安徽省電動(dòng)自行車管理?xiàng)l例》自2023年3月1日起施行．《條例》規(guī)定，駕駛?cè)撕痛钶d人應(yīng)當(dāng)規(guī)范佩戴安全頭盔，同時(shí)，針對(duì)不規(guī)范佩戴安全頭盔提出具體的處罰標(biāo)準(zhǔn)．某商店以每件元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批安全頭盔，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該頭盔每周銷售量（件）與銷售單價(jià)（元/件）滿足一次函數(shù)，物價(jià)部門規(guī)定每件頭盔的利潤(rùn)不能超過進(jìn)價(jià)的．若商店計(jì)劃每周銷售該頭盔獲利元，則每件頭盔的售價(jià)應(yīng)為________元．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，列方程表示每周利潤(rùn)，代入求解即可．【詳解】解：由題意，得，即，解得，，，∵每件頭盔的利潤(rùn)不能超過進(jìn)價(jià)的，∴每件頭盔的售價(jià)不能超過元，所以舍去，所以售價(jià)應(yīng)100元，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的營(yíng)銷問題，理解題意列出方程是解題的關(guān)鍵．16.對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，我們規(guī)定符號(hào)表示中的較大值，如：，按照這個(gè)規(guī)定，如果，則此時(shí)的值是______．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)與的大小關(guān)系，取與中的最大值化簡(jiǎn)所求方程，求出解即可．【詳解】解：當(dāng)，即時(shí)，方程為，去分母得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解；當(dāng)，即時(shí)，方程為去分母得：，解得：（不符合題意，舍），，經(jīng)檢驗(yàn)都為分式方程的解．故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗(yàn)根．三、解答題（共36分）17.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，．【解析】【分析】先把括號(hào)內(nèi)通分和除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，再約分得到原式，然后把x的值代入計(jì)算即可．【詳解】解：原式，當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值和二次根式的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握分式和二次根式的運(yùn)算方法．18.已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，請(qǐng)解答下列問題：①若，，求的取值范圍；②請(qǐng)判斷的值能否等于，若能，請(qǐng)求出此時(shí)的值；若不能說(shuō)明理由．【答案】（1）見解析（2）①；②不能，見解析【解析】【分析】先計(jì)算根的判別式的值得到，然后根據(jù)根的判別式的意義得到結(jié)論；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，則，然后解不等式即可；由于，，所以，由于時(shí)，有最小值，從而可判斷的值不能為．【小問1詳解】證明：，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；【小問2詳解】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，，，，解得，即的范圍為；的值不能為．理由如下：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，，，時(shí)，有最小值，的值不能為．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．也考查了根與系數(shù)的關(guān)系．19.課本再現(xiàn)思考我們知道，菱形的對(duì)角線互相垂直．反過來(lái)，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？可以發(fā)現(xiàn)并證明菱形的一個(gè)判定定理；對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．（1）定理證明：為了證明該定理，小明同學(xué)畫出了圖形（如圖1），并寫出了“已知”和“求證”，請(qǐng)你完成證明過程．已知：在中，對(duì)角線，垂足為．求證：是菱形．（2）知識(shí)應(yīng)用：如圖，在中，對(duì)角線和相交于點(diǎn)，．①求證：是菱形；②延長(zhǎng)至點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，求的值．【答案】（1）見解析（2）①見解析；②【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明得出，同理可得，則，，進(jìn)而根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形，即可得證；（2）①勾股定理的逆定理證明是直角三角形，且，得出，即可得證；②根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合已知條件得出，則，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)平行線分線段成比例求