專題07 手拉手型（解析版）-2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)相似三角形基本模型探究（北師大版）

專題07手拉手型【基本模型】①如圖，若△ABC∽△ADE，則△ABD∽△ACE.[來源:Zxxk.Com]②如圖所示，和都是等腰直角三角形，的延長(zhǎng)線與相交于點(diǎn)P，則，且相似比為，與的夾角為．總結(jié)：旋轉(zhuǎn)相似型中由公共旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)、一點(diǎn)及其旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成的三角形與由公共旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)、另一點(diǎn)及其旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成的三角形相似．③如圖所示，，則，，且．【例題精講】例1.如圖，在△ABC與△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，連接BD、CE，若AC：BC＝3：4，則BD：CE為（）A．5：3 B．4：3 C．5：2 D．2：3【解答】∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，ACAB∵∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，即∠CAE＝∠BAD，∵ACAB=AEAD，∴△ACE∽△ABD∵AC：BC＝3：4，∠ACB＝∠AED＝90°，∴AC：BC：AB＝3：4：5，∴BD：CE＝5：3，故選：A．例2.如圖，以的兩邊、分別向外作等邊和等邊，與交于點(diǎn)，已知，，．（1）求證：；（2）求的度數(shù)及的長(zhǎng)；（3）若點(diǎn)、分別是等邊和等邊的重心（三邊中線的交點(diǎn)），連接、、，作出圖象，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）60°，12；（3）【詳解】解：（1）∵△ABD和△ACE都為等邊三角形，∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠AEC=∠ACE=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，在△ADC與△ABE中，，∴△ADC≌△ABE（SAS）；（2）∵△ADC≌△ABE；∴∠ADP=∠ABP，設(shè)AB，PD交于O，∵∠AOD=∠POB，∴∠DPB=∠DAB=60°；如圖①，在PE上取點(diǎn)F，使∠PCF=60°，同（1）可得△APC≌△EFC，∠EPC=∠EAC=60°，∴EF=AP=3，△CPF為等邊三角形，∴BE=PB+PF+FE=4+5+3=12；（3）如圖②，過點(diǎn)Q作QG⊥AD于G，設(shè)QG=x，∵點(diǎn)Q、R分別是等邊△ABD和等邊△ACE的重心，∴AQ=2x，AG=x，AB=x，∵，∠QAR=∠QAB+∠BAC+∠RAC=30°+∠BAC+30°=60°+∠BAC，∴∠QAR=∠BAE，∴△ABE∽△AQR，∴QR：BE=AQ：AB，∴．例3.如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，C，F(xiàn)，G三點(diǎn)在一直線上，連接AF并延長(zhǎng)交邊CD于點(diǎn)M．（1）求證：△MFC∽△MCA；（2）求證△ACF∽△ABE；（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的邊長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．【詳解】解：（1）四邊形是正方形，四邊形是正方形，，，，，；（2）四邊形是正方形，，，，同理可得，，，，；（3），，，，，，即，，，，即正方形的邊長(zhǎng)為．例4.如圖，正方形ABCD，對(duì)角線AC，BD相交于O，Q為線段DB上的一點(diǎn)，，點(diǎn)M、N分別在直線BC、DC上．（1）如圖1，當(dāng)Q為線段OD的中點(diǎn)時(shí)，求證：；（2）如圖2，當(dāng)Q為線段OB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，則線段DN、BM、BC的數(shù)量關(guān)系為；（3）在（2）的條件下，連接MN，交AD、BD于點(diǎn)E、F，若，，求EF的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）BM?DN=BC；（3）EF的長(zhǎng)為．【詳解】解：（1）如圖，過Q點(diǎn)作QP⊥BD交DC于P，∴∠PQB=90°．∵∠MQN=90°，∴∠NQP=∠MQB，∵四邊形ABCD是正方形，∴CD=CB，∠BDC=∠DBC=45°．DO=BO，∴∠DPQ=45°，DQ=PQ，∴∠DPQ=∠DBC=45°，∴△QPN∽△QBM，∴，∵Q是OD的中點(diǎn)，且PQ⊥BD，∴DO=2DQ，DP=DC，∴BQ=3DQ，DN+NP=DC=BC，∴BQ=3PQ，∴，∴NP=BM，∴DN+BM=BC；（2）如圖，過Q點(diǎn)作QH⊥BD交BC于H，∴∠BQH=∠DQH=90°，∴∠BHQ=45°，∵∠COB=90°，∴QH∥OC，∵Q是OB的中點(diǎn)，∴BH=CH=BC，∵∠NQM=90°，∴∠NQD=∠MQH，∵∠QND+∠NQD=45°，∠MQH+∠QMH=45°，∴∠QND=∠QMH，∴△QHM∽△QDN，∴，∴HM=ND，∵BM-HM=HB，∴BM?DN=BC．故答案為：BM?DN=BC；（3）∵M(jìn)B：MC=3：1，設(shè)CM=x，∴MB=3x，∴CB=CD=4x，∴HB=2x，∴HM=x．∵HM=ND，∴ND=3x，∴CN=7x，∵四邊形ABCD是正方形，∴ED∥BC，∴△NDE∽△NCM，△DEF∽△BMF，∴，∴，∴DE=x，∴，∵NQ=9，∴QM=3，在Rt△MNQ中，由勾股定理得：，∴，∴，∴，設(shè)EF=a，則FM=7a，∴，∴．∴EF的長(zhǎng)為．【變式訓(xùn)練1】如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)F是BC邊上一點(diǎn)，連結(jié)AF，以AF為對(duì)角線作正方形AEFG，邊FG與正方形ABCD的對(duì)角線AC相交于點(diǎn)H，連結(jié)DG．（1）填空：若∠BAF＝18°，則∠DAG＝27°；（2）證明：△AFC∽△AGD；（3）若BFFC=1【解析】（1）∵四邊形ABCD，AEFG是正方形，∴∠BAC＝∠GAF＝45°，∴∠BAF+∠FAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，∴∠HAG＝∠BAF＝18°，∵∠DAG+∠GAH＝∠DAC＝45°，∴∠DAG＝45°﹣18°＝27°，（2）∵四邊形ABCD，AEFG是正方形，∴ADAC=22，AG∵∠DAG+∠GAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，∴∠DAG＝∠CAF，∴△AFC∽△AGD；（3）∵BFFC=12，設(shè)BF＝k，CF＝2k，則AB＝BC∴AF=AB2+BF2=(3k∵四邊形ABCD，AEFG是正方形，∴∠AFH＝∠ACF，∠FAH＝∠CAF，∴△AFH∽△ACF，∴AFAC=FHCF【變式訓(xùn)練2】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點(diǎn)P為線段CA延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB，將線段PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，得到線段PD，連接DB，DC．（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，求證：PA＝DC；（2）如圖2，當(dāng)α＝120°時(shí)，猜想PA和DC的數(shù)量關(guān)系并說明理由．（3）當(dāng)α＝120°時(shí)，若AB＝6，BP＝，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D到CP的距離．【答案】（1）見解析；（2）；（3）或【詳解】解：（1）當(dāng)α＝60°時(shí)，∵AB＝AC∴△ABC為等邊三角形，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，∴△PBD為等邊三角形，∴，∴在和中，∴，∴（2）過點(diǎn)作，如下圖：∵當(dāng)α＝120°時(shí)，，∴，，∴由勾股定理得∴，∴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，∴，又∵，∴又∵，∴，∴，∴∴（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則點(diǎn)D到CP的距離就是的長(zhǎng)度當(dāng)在線段上時(shí)，如下圖：由題意可得：，∵α＝120°，∴在中，，∴，在中，，，∴∴，由（2）得由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：設(shè)，則由勾股定理可得：即，解得，則當(dāng)在線段延長(zhǎng)線上，如下圖：則，由（2）得，，設(shè)，則由勾股定理可得：即，解得，則綜上所述：點(diǎn)D到CP的距離為或【變式訓(xùn)練3】在和中，，，且，點(diǎn)E在的內(nèi)部，連接EC，EB，EA和BD，并且．【觀察猜想】（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系為__________，線段EA，EB，EC的數(shù)量關(guān)系為__________．【探究證明】（2）如圖②，當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立，請(qǐng)說明理由；【拓展應(yīng)用】（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，若，請(qǐng)直接寫出的面積．【答案】（1），；（2）不成立，理由見解析；（3）2【詳解】（1）如圖①中，∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=60°，∴△ABC，△ADE都是等邊三角形，∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAB=∠EAC，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴BD=EC，∠ABD=∠ACE，∵∠ACE+∠ABE=90°，∴∠ABD+∠ABE=90°，∴∠DBE=90°，∴DE2=BD2+BE2，∵EA=DE，BD=EC，∴EA2=BE2+EC2．故答案為：BD=EC，EA2=EB2+EC2．（2）結(jié)論：EA2=EC2+2BE2．理由：如圖②中，∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=90°，∴△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，∴∠DAE=∠BAC=45°，∴∠DAB=∠EAC，∵=，=，∴，∴△DAB∽△EAC，∴=，∠ACE=∠ABD，∵∠ACE+∠ABE=90°，∴∠ABD+∠ABE=90°，∴∠DBE=90°，∴DE2=BD2+BE2，∵EA=DE，BD=EC，∴EA2=EC2+BE2，∴EA2=EC2+2BE2．（3）如圖③中，∵∠AED=45°，D，E，C共線，∴∠AEC=135°，∵△ADB∽△AEC，∴∠ADB=∠AEC=135°，∵∠ADE=∠DBE=90°，∴∠BDE=∠BED=45°，∴BD=BE，∴DE=BD，∵EC=BD，∴AD=DE=EC，設(shè)AD=DE=EC=x，在Rt△ABC中，∵AB=BC=2，∴AC=2，在Rt△ADC中，∵AD2+DC2=AC2，∴x2+4x2=40，∴x=2（負(fù)根已經(jīng)舍棄），∴AD=DE=2，∴BD=BE=2，∴S△BDE=×2×2=2．【課后訓(xùn)練】1.如圖，AB＝3，AC＝2，BC＝4，AE＝3，AD＝4.5，DE＝6，∠BAD＝20°，則∠CAE的度數(shù)為（）A．10° B．20° C．40° D．無法確定【答案】B【解答】ACAE=23，ABAD=∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠CAE＝∠BAD＝20°，故選：B．2.在和中，，，與在同一條直線上，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，如圖為將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的圖形，連接，，若，求和的面積．【答案】和的面積分別為2和．【解析】如圖所示，過點(diǎn)D作DMBC于點(diǎn)M，∵AC=2，，∴，又∵，，∴在BAC和DEC中，，，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知，，，∴BDC∽AEC，故，在DMC中，，，∴，∴，∵BDC∽AEC，∴，∴，∴BDC和AEC的面積分別為2和．3.已知，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2α°，點(diǎn)D為BC邊中點(diǎn)，連接AD，點(diǎn)E為線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，把線段CE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α°得到線段EF，連接FG，F(xiàn)D．（1）如圖1，當(dāng)∠BAC＝60°時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值；（2）如圖2，當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)寫出正確的結(jié)論，并說明理由；【答案】（1）1；（2）不成立，＝，理由見解析；（3）E為AD中點(diǎn)時(shí)，的最小值＝sinα【解析】（1）連接BF，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC為等邊三角形，∵線段CE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EF，∴EC＝EF，∠CEF＝60°，∴△EFC都是等邊三角形，∴AC＝BC，EC＝CF，∠ACB＝∠ECF＝60°，∴∠ACE＝∠BCF，∴△ACE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∴＝1．（2）不成立，結(jié)論：＝．證明：連接BF，∵AB＝AC，D是BC中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠BAC＝∠CEF＝90°，∴△ABC和△CEF為等腰直角三角形，∴∠ACB＝∠ECF＝45°，∴∠ACE＝∠BCF，∴＝＝，∴△ACE∽△BCF，∴∠CBF＝∠CAE＝α，∴＝＝．4．如圖，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)O在線段AB上（點(diǎn)O不與點(diǎn)A，B重合），且OB＝kOA，點(diǎn)M是AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，作射線OM，將射線OM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，交射線CB于點(diǎn)N．（1）如圖1，當(dāng)k＝1時(shí)，判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，當(dāng)k＞1時(shí)，判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系（用含k的式子表示），并證明；（3）點(diǎn)P在射線BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，請(qǐng)直接寫出的值（用含k的式子表示）．【答案】（1）OM＝ON，見解析；（2）ON＝k?OM，見解析；（3）【詳解】解：（1）OM＝ON，如圖1，作OD⊥AM于D，OE⊥CB于E，∴∠ADO＝∠MDO＝∠CEO＝∠OEN＝90°，∴∠DOE＝90°，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ABC＝45°，在Rt△AOD中，，同理：OE＝OB，∵OA＝OB，∴OD＝OE，∵∠DOE＝90°，∴∠DOM＋∠MOE＝90°，∵∠MON＝90°，∴∠EON＋∠MOE＝90°，∴∠DOM＝∠EON，在Rt△DOM和Rt△EON中，，∴△DOM≌△EON（ASA），∴OM＝ON．（2）如圖2，作OD⊥AM于D，OE⊥BC于E，由（1）知：OD＝OA，OE＝OB，∴，由（1）知：∠DOM＝∠EON，∠MDO＝∠NEO＝90°，∴△DOM∽△EON，∴，∴ON＝k?OM．（3）如圖3，設(shè)AC＝BC＝a，∴AB＝a，∵OB＝k?OA，∴OB＝?a，OA＝?a，∴OE＝OB＝a，∵∠N＝∠ABC﹣∠BON＝45°﹣15°＝30°，∴EN＝＝OE＝?a，∵CE＝OD＝OA＝a，∴NC＝CE＋EN＝a＋?a，由（2）知：，△DOM∽△EON，∴∠AMO＝∠N＝30°∵，∴，∴△PON∽△AOM，∴∠P＝∠A＝45°，∴PE＝OE＝a，∴PN＝PE＋EN＝a＋?a，設(shè)AD＝OD＝x，∴DM＝，由AD＋DM＝AC＋CM得，（＋1）x＝AC＋CM，∴x＝（AC＋CM）＜（AC＋AC）＝AC，∴k＞1，∴，∴．5．一次小組合作探究課上，老師將兩個(gè)正方形按如圖所示的位置擺放（點(diǎn)E、A、D在同一條直線上），發(fā)現(xiàn)且．小組討論后，提出了下列三個(gè)問題，請(qǐng)你幫助解答：（1）將正方形繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖1），還能得到嗎？若能，請(qǐng)給出證明，請(qǐng)說明理由；（2）把背景中的正方形分別改成菱形和菱形，將菱形繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖2），試問當(dāng)與的大小滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，；（3）把背景中的正方形分別改寫成矩形和矩形，且，，（如圖3），連接，．試求的值（用a，b表示）．【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)時(shí)，，理由見解析；（3）．【詳解】（1）∵四邊形為正方形，∴，，又∵四邊形為正方形，∴，，∴∴，在△AEB和△AGD中，，∴，∴；（2）當(dāng)時(shí)，，理由如下：∵，∴∴，又∵四邊形和四邊形均為菱形，∴，，在△AEB和△AGD中，，∴，∴；（3）設(shè)與交于Q，與交于點(diǎn)P，由題意知，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，連接，，∴，∵，，，∴，，在Rt△EAG中，由勾股定理得：，同理，∴．6．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點(diǎn)P是△ABC外一點(diǎn)，連接BP，將線段BP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段PD，連接BD，CD，AP．觀察猜想：（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，的值為，直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)為°；類比探究：（2）如圖2，當(dāng)α＝90°時(shí)，求出的值及直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)；拓展應(yīng)用：（3）如圖3，當(dāng)α＝90°時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段FE的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)A，D，P三點(diǎn)在一條直線上，BD交PF于點(diǎn)G，CD交AB于點(diǎn)H.若CD＝2＋，求BD的長(zhǎng)．【答案】（1）1，60；（2），直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)為45°；（3）BD＝．【詳解】（1）∵α＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=CB∵將線段BP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段PD，∴△BDP是等邊三角形，∴BP=BD∵∠PBA=∠PBD-∠ABD=60°-∠ABD，∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-∠ABD，∴∠PBA=∠DBC∴△PBA≌△DBC，∴AP=CD∴=1如圖，延長(zhǎng)CD交AB，AP分別于點(diǎn)G，H，則∠AHC為直線CD與AP所成的較小角，∵△PBA≌△DBC∴∠PAB=∠DCB∵∠HGA=∠BGC∴∠AHC＝∠ABC＝60°故答案為：1，60；（2）解：如圖，延長(zhǎng)CD交AB，AP分別于點(diǎn)M，N，則∠ANC為直線CD與AP所成的較小角，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°.在Rt△ABC中，＝cos∠ABC＝cos45°＝.∵PB＝PD，∠BPD＝90°，∴∠PBD＝∠PDB＝45°.在Rt△PBD中，＝cos∠PBD＝cos45°＝.∴＝，∠ABC＝∠PBD.

∴∠ABC－∠ABD＝∠PBD－∠ABD.即∠PBA＝∠DBC.∴△PBA∽△DBC.∴＝＝，∠PAB＝∠DCB.

∵∠AMN＝∠CMB，∴∠ANC＝∠ABC＝45°.

即＝，直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)為45°.(3)延長(zhǎng)CA，BD相交于點(diǎn)K，如圖.∵∠APB＝90°，E為AB的中點(diǎn)，∴EP＝EA＝EB.∴∠EAP＝∠EPA，∠EBP＝∠EPB.∵點(diǎn)E，F(xiàn)為AB，AC的中點(diǎn)，∴PFBC.∴∠AFP＝∠ACB＝∠PBD＝45°.

∵∠BGP＝∠FGK，∴∠BPE＝∠K.∴∠K＝∠EBP，∵∠EBP＝∠PEB，∠PEB=∠DBC，∴∠K＝∠CBD.∴CB＝CK.∴∠BCD＝∠KCD.由(2)知∠ADC＝∠PDB＝45°，△PBA∽△DBC，∴∠PAB＝∠DCB.∴∠BDC＝180°－45°－45°＝90°＝∠BAC.∵∠BHD＝∠CHA，∴∠DBA＝∠DCA.∴∠DBA＝∠PAB.∴AD＝BD.由(2)知DC＝AP，∴AP＝.在Rt△PBD中，PB＝PD＝x，由勾股定理可得BD＝=x＝AD.∴AD＋PD＝x＋x＝AP＝1＋.∴x＝1.∴BD＝．7．如圖1，在中，，在斜邊上取一點(diǎn)D，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)E．現(xiàn)將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度到如圖2所示的位置（點(diǎn)D在的內(nèi)部），使得．（1）①求證：；②若，求的長(zhǎng)；（2）如圖3，將原題中的條件“”去掉，其它條件不變，設(shè)，若，，求k的值；（3）如圖4，將原題中的條件“”去掉，其它條件不變，若，設(shè)，，試探究三者之間滿足的等量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程）【答案】（1）①見解析；②；（2）；（3）4p2=9m2+4n2．【詳解】解：（1）①∵DE∥BC，∴，由旋轉(zhuǎn)知，∠EAC=∠DAB，∴△ABD∽△ACE，②在Rt△ABC中，AC=BC，∴，由①知，△ABD∽△ACE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ACD+∠ABD=90°，∴∠ACE+∠ACD=90°，∴∠DCE=90°，∵△ABD∽△ACE，，∴，∵∴在Rt△CDE中，根據(jù)勾股定理得，DE=2，在Rt△ADE中，AE=DE，∴（2）由旋轉(zhuǎn)知，∠EAC=∠DAB，，∴△ABD∽△ACE，∵AD=4，BD=3，∴AE=kAD=4k，CE=kBD=3k，∵△ABD∽△ACE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ACD+∠ABD=90°，∴∠ACE+∠ACD=90°，∴∠DCE=90°，在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=1+9k2，在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=16-16k2，∴1+9k2=16-16k2，∴或（舍），（3）由旋轉(zhuǎn)知，∠EAC=∠DAB，∴△ABD∽△ACE，∵AD=p，BD=n，∴，∵△ABD∽△ACE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ACD+∠ABD=90°，∴∠ACE+∠ACD=90°，∴∠DCE=90°，在Rt△CDE中，，∵，，∴4p2=9m2+4n2．8．將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，并使各邊長(zhǎng)變?yōu)樵瓉淼谋叮玫?，我們將這種變換記為．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖①，對(duì)作變換得，則______；直線與直線所夾的銳角度數(shù)為______．（2）拓展探究如圖②，中，且，連結(jié)，．對(duì)作變換得，求的值及直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)，并就圖②的情形說明理由．（3）問題解決如圖③，中，，，對(duì)作變換得，使點(diǎn)、、在同一直線上，且四邊形為矩形，請(qǐng)直接寫出的值．【答案】（1），；（2），理由見解析；（3）．【詳解】解：（1）由題意可知：對(duì)作變換得，∽，且相似比為，，，，，，，即直線與直線所夾的銳角度數(shù)為：．故答案為：，．（2）根據(jù)題意得：，，，，∽，相似比，，，，延長(zhǎng)交于，如圖，設(shè)交于．，，∽，，，直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)為．（3）四邊形為矩形，，，，，，在中，，，，即的值為．9