湖北省武漢市中學(xué)分校高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

湖北省武漢市中學(xué)分校高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=ex（x+1），給出下列命題：①當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=e﹣x（x﹣1）；②函數(shù)f（x）有2個(gè)零點(diǎn)；③f（x）＜0的解集為（﹣∞，﹣1）∪（0，1），④?x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2．其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1參考答案：B【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，設(shè)x＞0，得﹣x＜0，可求出f（x）=e﹣x（x﹣1）判定①正確；由f（x）解析式求出﹣1，1，0都是f（x）的零點(diǎn)，判定②錯(cuò)誤；由f（x）解析式求出f（x）＞0的解集，判斷③正確；分別對(duì)x＜0和x＞0時(shí)的f（x）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷f（x）的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求f（x）的值域，可得?x1，x2∈R，有|f（x1）﹣f（x2）|＜2，判定④正確．【解答】解：對(duì)于①，f（x）為R上的奇函數(shù)，設(shè)x＞0，則﹣x＜0，∴f（﹣x）=e﹣x（﹣x+1）=﹣f（x），∴f（x）=e﹣x（x﹣1），①正確；對(duì)于②，∵f（﹣1）=0，f（1）=0，且f（0）=0，∴f（x）有3個(gè)零點(diǎn)，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，x＜0時(shí)，f（x）=ex（x+1），易得x＜﹣1時(shí)，f（x）＜0；x＞0時(shí)，f（x）=e﹣x（x﹣1），易得0＜x＜1時(shí)，f（x）＜0；∴f（x）＜0的解集為（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；③正確；對(duì)于④，x＜0時(shí)，f′（x）=ex（x+2），得x＜﹣2時(shí)，f′（x）＜0，﹣2＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0；∴f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在（﹣2，0）上單調(diào)遞增；∴x=﹣2時(shí)，f（x）取最小值﹣e﹣2，且x＜﹣2時(shí)，f（x）＜0；∴f（x）＜f（0）=1；即﹣e﹣2＜f（x）＜1；x＞0時(shí)，f′（x）=e﹣x（2﹣x）；∴f（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）上單調(diào)遞減；x=2時(shí)，f（x）取最大值e﹣2，且x＞2時(shí)，f（x）＞0；∴f（x）＞f（0）=﹣1；∴﹣1＜f（x）≤e﹣2；∴f（x）的值域?yàn)椋ī?，e﹣2]∪[﹣e﹣2，1）；∴?x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2；④正確；綜上，正確的命題是①③④，共3個(gè)．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了奇函數(shù)的定義與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了函數(shù)的零點(diǎn)以及不等式的解集、根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性和求函數(shù)最值、求函數(shù)值域的方法，是綜合性題目．2.函數(shù)f（x）=ln（x+1）﹣的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（）A．（3，4） B．（2，e） C．（1，2） D．（0，1）參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)．【分析】根據(jù)所給的幾個(gè)區(qū)間看出不在定義域中的區(qū)間去掉，把所給的區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值求出，若一個(gè)區(qū)間對(duì)應(yīng)的函數(shù)值符合相反，得到結(jié)果．【解答】解：∵在（0，+∞）單調(diào)遞增∵f（1）=ln2﹣2＜0，f（2）=ln3﹣1＞0，∴f（1）f（2）＜0∴函數(shù)的零點(diǎn)在（1，2）之間，故選：C．3.已知全集，集合，，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略4.若x、y滿足約束條件，則z=x+2y的取值范圍是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]參考答案：A略5.設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2π的偶函數(shù)，是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，0＜f(x)＜1；當(dāng)x∈（0，π）且x≠時(shí)，，則函數(shù)y=f(x)-sinx在[-2π，2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A.2

B.4

C.5

D.8參考答案：B略6.雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的離心率e=，則它的漸近線方程為（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x參考答案：A【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；規(guī)律型；方程思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】利用雙曲線的離心率求出雙曲線的漸近線中a，b的關(guān)系，即可得到漸近線方程．【解答】解：雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的離心率e=，可得，∴，可得，雙曲線的漸近線方程為：y=±．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．7.已知，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C詳解：，，，∴，故選C.

8.已知等差數(shù)列前n項(xiàng)的和為Sn，若S13＜0，S12＞0，則在數(shù)列中絕對(duì)值最小的項(xiàng)為()A．第5項(xiàng)

B．第6項(xiàng)

C．第7項(xiàng)

D．第8項(xiàng)參考答案：C9.已知函數(shù)，則方程所有根的和是A．

B．1

C．

D．2參考答案：C10.設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2﹣4x+c的值域?yàn)閇0，+∞），則的最大值為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題．【分析】由于二次函數(shù)f（x）=ax2﹣4x+c的值域?yàn)閇0，+∞），所以a＞0，且△=0，從而得到a，c的關(guān)系等式，再利用a，c的關(guān)系等式解出a，把轉(zhuǎn)化為只含一個(gè)變量的代數(shù)式利用均值不等式進(jìn)而求解．【解答】解：因?yàn)槎魏瘮?shù)f（x）=ax2﹣4x+c的值域?yàn)閇0，+∞），所以?ac=4?c=，所以====

由于（當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取等號(hào)）所以．故答案為：C【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次函數(shù)的值域，變量的替換及利用均值不等式求最值．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一艘海輪從處出發(fā)，以每小時(shí)20海里的速度沿南偏東40°方向直線航行．30分鐘后到達(dá)處．在處有一座燈塔，海輪在處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么、兩點(diǎn)間的距離是參考答案：海里12.設(shè)點(diǎn)A為圓上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B（2，0），點(diǎn)為原點(diǎn)，那么的最大值為

.參考答案：45°13.在△ABC中，AB=7，BC=5，CA=6，則=

.參考答案：-1914.設(shè)，若對(duì)于任意，總存在，使得成立，則的取值范圍是 ．參考答案：15.在中，，，設(shè)交于點(diǎn)，且，，則的值為

.參考答案：試題分析:由題設(shè)可得,即,也即,所以,解之得,故,應(yīng)填.考點(diǎn)：向量的幾何運(yùn)算及待定系數(shù)法的運(yùn)用．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】平面向量是高中數(shù)學(xué)中較為重要的知識(shí)點(diǎn)和考點(diǎn).本題以三角形的線段所在向量之間的關(guān)系為背景精心設(shè)置了一道求其中參數(shù)的和的綜合問(wèn)題.求解時(shí)充分借助題設(shè)條件中的有效信息,綜合運(yùn)用向量的三角形法則,巧妙構(gòu)造方程組,然后運(yùn)用待定系數(shù)法建立方程組,然后通過(guò)解方程組使得問(wèn)題巧妙獲解.16.已知點(diǎn)（x，y）在△ABC所包圍的陰影區(qū)域內(nèi)（包含邊界），若B是使得z=ax﹣y取得最大值的最優(yōu)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．參考答案：[﹣，+∞）考點(diǎn)： 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．專題： 不等式的解法及應(yīng)用．分析： 根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，尋找直線斜率之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．解答： 解：由z=ax﹣y得y=ax﹣z，則直線y=ax﹣z的斜率最小時(shí)，z最大，若B是目標(biāo)函數(shù)取得最大值的最優(yōu)解，即直線y=ax﹣z過(guò)點(diǎn)B，且在y軸上的截距﹣z最小，得a≥kAB==．即a的取值范圍是[﹣，+∞），故答案為：[﹣，+∞）點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)直線斜率之間是關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．17.某幾何體三視圖如所示，則該幾何體的體積為(）

A．8－

B．8－

C．8－π

D．8－2π參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．G2

【答案解析】C

解析：由三視圖知：幾何體是正方體切去兩個(gè)圓柱，正方體的棱長(zhǎng)為2，切去的圓柱的底面半徑為1，高為2，∴幾何體的體積V=23﹣2××π×12×2=8﹣π．故選：C．【思路點(diǎn)撥】幾何體是正方體切去兩個(gè)圓柱，根據(jù)三視圖判斷正方體的棱長(zhǎng)及切去的圓柱的底面半徑和高，把數(shù)據(jù)代入正方體與圓柱的體積公式計(jì)算．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面積．參考答案：考點(diǎn)：正弦定理．專題：解三角形．分析：（Ⅰ）利用cosA求得sinA，進(jìn)而利用A和B的關(guān)系求得sinB，最后利用正弦定理求得b的值．（Ⅱ）利用sinB，求得cosB的值，進(jìn)而根兩角和公式求得sinC的值，最后利用三角形面積公式求得答案．解答： 解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=?sinB=×=3．（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a?b?sinC=×3×3×=．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用．解題過(guò)程中結(jié)合了同角三角函數(shù)關(guān)系，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，注重了基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．19.已知實(shí)數(shù)滿足.(Ⅰ)若直線與曲線:相交于兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，且，若直線的斜率為，求曲線的離心率；(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，求的最小值.

參考答案：解析：(Ⅰ)由知為的中點(diǎn)，……………………2分設(shè),代入曲線方程:,因?yàn)榈男甭蕿?，從?……………………5分，故曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，……7分(Ⅱ)記或……………………9分（1）若，此時(shí)………11分（2）若，此時(shí)…………13分

略20.

如圖①，四邊形ABCD為等腰梯形,AE⊥DC,AB=AE＝DC，F(xiàn)為EC的中點(diǎn)，現(xiàn)將△DAE沿AE翻折到△PAE的位置，如圖②，且平面PAE⊥平面ABCE.

（I）求證：平面PAF⊥平面PBE;（II）求直線PF與平面PBC所成角的正弦值．

參考答案：略21.已知橢圓Ω：(a＞b＞0)，過(guò)點(diǎn)Q(，1)作圓x2+y2=1的切線，切點(diǎn)分別為S，T．直線ST恰好經(jīng)過(guò)Ω的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)．（1）求橢圓Ω的方程；（2）如圖，過(guò)橢圓Ω的右焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AB，CD．①設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N，證明：直線MN必過(guò)定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)坐標(biāo)；②若直線AB，CD的斜率均存在時(shí)，求由A，C，B，D四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系，可求出直線ST的方程，則直線ST恰好經(jīng)過(guò)Ω的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，求出a，b的值，問(wèn)題得以解決利用橢圓的離心率，以及，|AB|+|CD|=3．求出a、b，即可求橢圓的方程；（2）①若直線AB，CD斜率均存在，設(shè)直線AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)，以及韋達(dá)定理，即可求出k的值，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)．②當(dāng)當(dāng)直線AB，CD的斜率均存在且不為0時(shí)，由①可知，將直線AB的方程代入橢圓方程中，利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式，求出AB，CD即可求解面積的表達(dá)式，通過(guò)基本不等式求出面積的最值．【解答】解：（1）過(guò)作圓x2+y2=1的切線，一條切線為直線y=1，切點(diǎn)S（0，1）．設(shè)另一條切線為，即．因?yàn)橹本€與圓x2+y2=1相切，則．解得．所以切線方程為．由，解得，直線ST的方程為，即．令x=0，則y=1所以上頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），所以b=1；令y=0，則，所以右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以橢圓Ω的方程為．（2）①若直線AB，CD斜率均存在，設(shè)直線AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），則中點(diǎn)．先考慮k≠0的情形．由得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．由直線AB過(guò)點(diǎn)F（1，0），可知判別式△＞0恒成立．由韋達(dá)定理，得，故，將上式中的k換成，則同理可得．若，得k=±1，則直線MN斜率不存在．此時(shí)直線MN過(guò)點(diǎn)．②當(dāng)直線AB，CD的斜率均存在且不為0時(shí)，由①可知，將直線AB的方程代入橢圓方程中，并整理得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，所以=．同理，，則，=，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)k=±1時(shí)取等號(hào)，所以，即．所以，由A，C，B，D四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積的取值范圍為．22.（13分）設(shè)橢圓E:=1（）過(guò)M（2，），N(,1)兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心為原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且

？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍，若不存在，說(shuō)明理由。參考答案：解:（1）因?yàn)闄E圓E:（a,b>0）過(guò)M（2，），N(,1)兩點(diǎn),所以解得所以橢圓E的方程為（2）假設(shè)存在