2024年初二下冊數(shù)學期末考試專項復習圖形的旋轉(zhuǎn)-知識講解

2024年初二下冊數(shù)學期末考試專項復習圖形的旋轉(zhuǎn)--知識講解【學習目標】1、掌握旋轉(zhuǎn)的概念，探索它的基本性質(zhì)，理解對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對應點與旋轉(zhuǎn)中

心連線所成的角彼此相等的性質(zhì)；2、能夠按要求作出簡單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形，并能利用旋轉(zhuǎn)進行簡單的圖案設計.【要點梳理】要點一、旋轉(zhuǎn)的概念將一個圖形繞一個定點轉(zhuǎn)動一定的角度，這樣的圖形運動稱為圖形的旋轉(zhuǎn).定點稱為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)的角度稱為旋轉(zhuǎn)角.要點詮釋：旋轉(zhuǎn)的三要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度；圖形的旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀、大小.要點二、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)一個圖形和它經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得到的圖形中：(1)對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；(2)兩組對應點分別與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等.要點詮釋：圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，既可以按順時針旋轉(zhuǎn)也可以按逆時針旋轉(zhuǎn).

要點三、旋轉(zhuǎn)的作圖在畫旋轉(zhuǎn)圖形時，首先確定旋轉(zhuǎn)中心，其次確定圖形的關鍵點，再將這些關鍵點沿指定的方向旋轉(zhuǎn)指定的角度，然后連接對應的部分，形成相應的圖形．要點詮釋：作圖的步驟：(1)連接圖形中的每一個關鍵點與旋轉(zhuǎn)中心；(2)把連線按要求（順時針或逆時針）繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)一定的角度（旋轉(zhuǎn)角）；

(3)在角的一邊上截取關鍵點到旋轉(zhuǎn)中心的距離，得到各點的對應點；

(4)連接所得到的各對應點.【典型例題】類型一、旋轉(zhuǎn)的概念與性質(zhì)1.（2016春?內(nèi)江期末）如圖所示，△ABC直角三角形，延長AB到D，使BD=BC，在BC上取BE=AB，連接DE．△ABC順時針旋轉(zhuǎn)后能與△EBD重合，那么：（1）旋轉(zhuǎn)中心是哪一點？旋轉(zhuǎn)角是多少度？（2）AC與DE的關系怎樣？請說明理由．【思路點撥】（1）由條件易得BC和BD，BA和BE為對應邊，而△ABC旋轉(zhuǎn)后能與△EBD重合，于是可判斷旋轉(zhuǎn)中心為點B；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠ABE等于旋轉(zhuǎn)角，從而得到旋轉(zhuǎn)角度；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可判斷AC=DE，AC⊥DE．【答案與解析】解：（1）∵BC=BD，BA=BE，∴BC和BD，BA和BE為對應邊，∵△ABC旋轉(zhuǎn)后能與△EBD重合，∴旋轉(zhuǎn)中心為點B；∵∠ABC=90°，而△ABC旋轉(zhuǎn)后能與△EBD重合，∴∠ABE等于旋轉(zhuǎn)角，∴旋轉(zhuǎn)角是90度；（2）AC=DE，AC⊥DE．理由如下：∵△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°后能與△EBD重合，∴DE=AC，DE與AC成90°的角，即AC⊥DE．【總結(jié)升華】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．舉一反三【變式】如圖所示：O為正三角形ABC的中心．你能用旋轉(zhuǎn)的方法將△ABC分成面積相等的三部分嗎？如果能，設計出分割方案，并畫出示意圖．【答案】下面給出幾種解法：

解法一：連接OA、OB、OC即可．如圖甲所示；

解法二：在AB邊上任取一點D，將D分別繞點O旋轉(zhuǎn)120°和240°得到D1、D2，連接OD、OD1、OD2即得，如圖乙所示．解法三：在解法二中，用相同的曲線連結(jié)OD、OD1、OD2即得如圖丙所示2.如圖，將圖(1)中的正方形圖案繞中心旋轉(zhuǎn)180°后，得到的圖案是()

【答案】C.【解析】抓住圖形特征，觀察圖中的每個小的圖形繞中心點旋轉(zhuǎn)180°后能否與自身重合.【總結(jié)升華】在解題的過程中，可看出如果選取的基本圖形不同，可得到不同的形成過程，甚至所選取的基本圖形相同，也有不同的形成過程，因此分析圖案的形成過程旨在了解圖形的變化規(guī)律，而不必強求分析的一致性．類型二、旋轉(zhuǎn)的作圖3.我們學習過：在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點沿著某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形運動叫做旋轉(zhuǎn)，這個定點稱為旋轉(zhuǎn)中心．

（1）如圖①，△ABC≌△DEF．△DEF能否由△ABC通過一次旋轉(zhuǎn)得到？若能，請用直尺和圓規(guī)畫出旋轉(zhuǎn)中心，若不能，試簡要說明理由；

（2）如圖②，△ABC≌△MNK．△MNK能否由△ABC通過一次旋轉(zhuǎn)得到？若能，請用直尺和圓規(guī)畫出旋轉(zhuǎn)中心，若不能，試簡要說明理由．（保留必要的作圖痕跡）

【答案與解析】解：（1）能．點O1就是所求作的旋轉(zhuǎn)中心；

（2）能．點O2就是所求作的旋轉(zhuǎn)中心．【總結(jié)升華】考查了旋轉(zhuǎn)變換的作圖．關鍵是明確旋轉(zhuǎn)中心與對應點的所連線段相等的性質(zhì)，故作對應點連線的垂直平分線．4.（2015?南寧）如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．（1）畫出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1；（2）將△ABC繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A2BC2，請在圖中畫出△A2BC2，并求出線段BC旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積（結(jié)果保留π）．【思路點撥】（1）根據(jù)題意畫出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1即可；（2）根據(jù)題意畫出△ABC繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A2BC2，線段BC旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積為扇形BCC2的面積，即圓的面積，求出即可．【答案與解析】解：（1）如圖所示，畫出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1；（2）如圖所示，畫出△ABC繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A2BC2，由勾股定理得，BC=，線段BC旋轉(zhuǎn)過程中所掃過得面積S=π=．【總結(jié)升華】此題考查了作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，對稱軸變換，以及扇形面積，作出正確的圖形是解本題的關鍵．舉一反三【高清課堂：高清ID號：388634關聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：經(jīng)典例題5-6】【變式1】如圖，畫出繞點逆時針旋轉(zhuǎn)所得到的圖形．【答案】(∠AOA′=∠BOB′=∠COC′=100°)【變式2】閱讀材料：如圖（一），在已建立直角坐標系的方格紙中，圖形①的頂點為A、B、C，要將它變換到圖④（變換過程中圖形的頂點必須在格點上，且不能超出方格紙的邊界）．例如：將圖形①作如下變換（如圖二）．第一步：平移，使點C（6，6）移至點（4，3），得圖②；第二步：旋轉(zhuǎn)，繞著點（4，3）旋轉(zhuǎn)180°，得圖③；第三步：平移，使點（4，3）移至點O（0，0），得圖④．則圖形①被變換到了圖④．解決問題：（1）在上述變化過程中A點的坐標依次為：（4，6）→（，）→（，）→（，）（2）如圖（三），仿照例題格式，在直角坐標系的方格紙中將△DEF經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等變換得到△OPQ．（寫出變換步驟，并畫出相應的圖形）【答案】解：（1）（2，3）→（6，3）→（2，0），（2）第一步：翻折，沿DE所在直線翻折180°，得圖2；第二步：旋轉(zhuǎn)，繞著點（5，4）逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得圖3；第三步：平移，使點（3，4）移至點O（0，0），得圖4．圖形的旋轉(zhuǎn)--鞏固練習【鞏固練習】一.選擇題1.下圖中，不是旋轉(zhuǎn)對稱圖形的是()．2.下列圖形繞某點旋轉(zhuǎn)180°后，不能與原來圖形重合的是().

3.有下列四個說法，其中正確說法的個數(shù)是()．①圖形旋轉(zhuǎn)時，位置保持不變的點只有旋轉(zhuǎn)中心；②圖形旋轉(zhuǎn)時，圖形上的每一個點都繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了相同的角度；③圖形旋轉(zhuǎn)時，對應點與旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；④圖形旋轉(zhuǎn)時，對應線段相等，對應角相等，圖形的形狀和大小都沒有發(fā)生變化．A．1個B．2個C．3個D．4個4.如圖，4×4的正方形網(wǎng)格中，△MNP繞某點旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到△M1N1P1，則其旋轉(zhuǎn)中心可能是()．A．點AB．點BC．點CD．點D5．如圖，△ADE繞點D的順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的角是∠ADE，得到△CDB，那么下列說法錯誤的是()．A．DE平分∠ADBB．AD＝DCC．AE∥BDD．AE＝BC6.（2015?東西湖區(qū)校級模擬）如圖，將△ABC繞頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C′，且點B剛好落在A′B′上，若∠A=25°，∠BCA′=45°，則∠A′BA等于（）A．30° B．35° C．40° D．45°二.填空題7.（2016?白銀二模）如圖，△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)80°得到△AEF，若∠B=100°，∠F=50°，則∠α的度數(shù)是．8.針表的分針勻速旋轉(zhuǎn)一周需要60分鐘，則經(jīng)過15分鐘，分針旋轉(zhuǎn)了__________度.9．正三角形繞其中心至少旋轉(zhuǎn)__________ 度，可與其自身重合.10.（2015?福州）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△MNC，連接BM，則BM的長是．11.（2015?吉林）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BDE，連接DC交AB于點F，則△ACF與△BDF的周長之和為cm．12.如圖，P是正三角形ABC內(nèi)的一點，且PA=6，PB=8，PC=10，若將△PAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到△P′AB，則點P與點P′之間的距離為_____，∠APB=_______°．

三．綜合題13.如圖，是邊長為的正方形的中心，將一塊半徑足夠長、圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在點處，并將紙板繞點旋轉(zhuǎn)，其半徑分別交、于點，求證：正方形的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值14.（2016春?平南縣期末）在如圖的正方形網(wǎng)格中，有一個格點三角形ABC（即三角形的頂點都在格點上）．（1）在圖中作出三角形ABC關于直線l對稱的三角形A1B1C1；（2）作出三角形ABC的格點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的三角形A2B2C2．15.（2015?黃岡中學自主招生）閱讀下面材料：小偉遇到這樣一個問題：如圖1，在△ABC（其中∠BAC是一個可以變化的角）中，AB=2，AC=4，以BC為邊在BC的下方作等邊△PBC，求AP的最大值．小偉是這樣思考的：利用變換和等邊三角形將邊的位置重新組合．他的方法是以點B為旋轉(zhuǎn)中心將△ABP逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′BC，連接A′A，當點A落在A′C上時，此題可解（如圖2）．請你回答：AP的最大值是．參考小偉同學思考問題的方法，解決下列問題：如圖3，等腰Rt△ABC．邊AB=4，P為△ABC內(nèi)部一點，則AP+BP+CP的最小值是．（結(jié)果可以不化簡）【答案與解析】一、選擇題

1．【答案】B.2．【答案】B.3．【答案】D.4．【答案】B；【解析】連接對應點,做三條線段的垂直平分線，交點即是旋轉(zhuǎn)中心.5．【答案】C；【解析】因為旋轉(zhuǎn)，△ADE≌△CDB,即可證得A,B,D成立.6．【答案】C;【解析】解：∵∠A=25°，∠BCA′=45°，∴∠BCA′+∠A′=∠B′BC=45°+25°=70°，∵CB=CB′，∴∠BB′C=∠B′BC=70°，∴∠B′CB=40°，∴∠ACA′=40°，∵∠A=∠A′，∠A′DB=∠ADC，∴∠ACA′=∠A′BA=40°．故選：C．二、填空題7.【答案】50°；【解析】解：∵△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)80°得到△AEF，∴∠C=∠F=50°，∠BAE=80°，而∠B=100°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣100°﹣50°=30°，∴∠α=80°﹣30°=50°．故答案為：50°．8.【答案】90°.【解析】°.9.【答案】120°.10.【答案】1+；11.【答案】42；【解析】解：∵將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BDE，∴△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，∴BD=BC=12cm，∴△BCD為等邊三角形，∴CD=BC=CD=12cm，在Rt△ACB中，AB==13，△ACF與△BDF的周長之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42（cm），故答案為：42．12.【答案】6；150°；【解析】△PAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后得到所以,,

即∠=60°，=AP=AP′=6，所以∠=60°又因為=6，=8，=10所以△是直角三角形，即∠=90°所以∠APB=150°.三．解答題13.【解析】解：因為∠AOD=∠MON=90°，即∠1+∠3=∠2+∠3所以∠1=∠2又因為正方形ABCD,所以OA=OD,∠BA0=∠ODA所以△OAM≌△ODN,即AM=DN所以AM+AN=AN+DN=AD=14.【解析】解：（1）分別找出點A、B、C關于直線l對稱的點A1、B1、C1，順次連接三點即可得出三角形A1B1C1，如圖1所示．（2）連接AP、BP、CP，以點P為中心按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后，得到點A2、B2、C2，順次連接三點即可得出三角形A2B2C2，如圖2所示．15.【解析】解：（1）如圖2，∵△ABP逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′BC，∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C∴△A′BA是等邊三角形，∴A′A=AB=BA′=2，在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，則當點A′A、C三點共線時，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6；故答案是：6．（2）如圖3，∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC．以B為中心，將△APB逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′P′B．則A′B=AB=BC=4，PA=P′A′，PB=P′B，∴PA+PB+PC=P′A′+P′B+PC．∵當A′、P′、P、C四點共線時，（P′A+P′B+PC）最短，即線段A′C最短，∴A′C=PA+PB+PC，∴A′C長度即為所求．過A′作A′D⊥CB延長線于D．∵∠A′BA=60°（由旋轉(zhuǎn)可知），∴∠1=30°．∵A′B=4，∴A′D=2，BD=2，∴CD=4+2．在Rt△A′DC中A′C====2+2；∴AP+BP+CP的最小值是：2+2（或不化簡為）．故答案是：2+2（或不化簡為）．正方形（基礎）【學習目標】1．理解正方形的概念，了解平行四邊形、矩形及菱形與正方形的概念之間的從屬關系；2．掌握正方形的性質(zhì)及判定方法．【要點梳理】要點一、正方形的定義四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形叫做正方形.要點詮釋：既是矩形又是菱形的四邊形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更為特殊的平行四邊形，正方形是有一組鄰邊相等的矩形，還是有一個角是直角的菱形.要點二、正方形的性質(zhì)正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).1.邊——四邊相等、鄰邊垂直、對邊平行；2.角——四個角都是直角；3.對角線——①相等，②互相垂直平分，③每條對角線平分一組對角；4.是軸對稱圖形，有4條對稱軸；又是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是對稱中心.要點詮釋：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，其對角線將正方形分為四個等腰直角三角形.要點三、正方形的判定正方形的判定除定義外，判定思路有兩條：或先證四邊形是菱形，再證明它有一個角是直角或?qū)蔷€相等（即矩形）；或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直（即菱形）.要點四、特殊平行四邊形之間的關系或者可表示為：【典型例題】類型一、正方形的性質(zhì) 1、（2015?揚州校級一模）如圖，在正方形ABCD中，邊長為2的等邊三角形AEF的頂點E、F分別在BC和CD上．下列結(jié)論：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正確的個數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4【思路點撥】根據(jù)三角形的全等的知識可以判斷①的正誤；根據(jù)角角之間的數(shù)量關系，以及三角形內(nèi)角和為180°判斷②的正誤；根據(jù)線段垂直平分線的知識可以判斷③的正誤，利用解三角形求正方形的面積等知識可以判斷④的正誤．【答案】C．【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵△AEF是等邊三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∵BC=DC，∴BC﹣BE=CD﹣DF，∴CE=CF，∴①說法正確；∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°，∴②說法正確；如圖，連接AC，交EF于G點，∴AC⊥EF，且AC平分EF，∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，∴③說法錯誤；∵EF=2，∴CE=CF=，設正方形的邊長為a，在Rt△ADF中，a2+（a﹣）2=4，解得a=，則a2=2+，∴S正方形ABCD=2+，④說法正確，∴正確的有①②④．故選C．【總結(jié)升華】本題主要考查正方形的性質(zhì)的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握全等三角形的證明以及輔助線的正確作法，此題難度不大，但是有一點麻煩．舉一反三：【變式1】已知：如圖，E為正方形ABCD的邊BC延長線上的點，F(xiàn)是CD邊上一點，且CE＝CF，連接DE，BF．求證：DE＝BF．【答案】證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCD＝90°∵E為BC延長線上的點，∴∠DCE＝90°，∴∠BCD＝∠DCE．在△BCF和△DCE中，，∴△BCF≌△DCE（SAS），∴BF＝DE．【變式2】（2015?咸寧模擬）如圖，在正方形ABCD外側(cè)，作等邊三角形ADE，AC，BE相交于點F，則∠BFC為（）A．75°B．60°C．55°D．45°【答案】B；提示：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD，∠BAF=45°，∵△ADE是等邊三角形，∴∠DAE=60°，AD=AE，∴∠BAE=90°+60°=150°，AB=AE，∴∠ABE=∠AEB=（180°﹣150°）=15°，∴∠BFC=∠BAF+∠ABE=45°+15°=60°；故選：B．2、（2016?貴陽）如圖，點E正方形ABCD外一點，點F是線段AE上一點，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，連接CE、CF．（1）求證：△ABF≌△CBE；（2）判斷△CEF的形狀，并說明理由．【思路點撥】（1）由四邊形ABCD是正方形可得出AB=CB，∠ABC=90°，再由△EBF是等腰直角三角形可得出BE=BF，通過角的計算可得出∠ABF=∠CBE，利用全等三角形的判定定理SAS即可證出△ABF≌△CBE；（2）根據(jù)△EBF是等腰直角三角形可得出∠BFE=∠FEB，通過角的計算可得出∠AFB=135°，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出∠CEB=∠AFB=135°，通過角的計算即可得出∠CEF=90°，從而得出△CEF是直角三角形．【答案與解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°，∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，∴BE=BF，∴∠ABC﹣∠CBF=∠EBF﹣∠CBF，∴∠ABF=∠CBE．在△ABF和△CBE中，有，∴△ABF≌△CBE（SAS）．（2）解：△CEF是直角三角形．理由如下：∵△EBF是等腰直角三角形，∴∠BFE=∠FEB=45°，∴∠AFB=180°﹣∠BFE=135°，又∵△ABF≌△CBE，∴∠CEB=∠AFB=135°，∴∠CEF=∠CEB﹣∠FEB=135°﹣45°=90°，∴△CEF是直角三角形．【總結(jié)升華】本題考查了正方形的性質(zhì)．全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及角的計算，解題的關鍵是：（1）根據(jù)判定定理SAS證明△ABF≌△CBE；（2）通過角的計算得出∠CEF=90°．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，通過正方形和等腰三角形的性質(zhì)找出相等的邊，再通過角的計算找出相等的角，以此來證明兩三角形全等是關鍵．舉一反三：【變式】如圖，A、B、C三點在同一條直線上，AB＝2BC，分別以AB，BC為邊做正方形ABEF和正方形BCMN連接FN，EC．求證：FN＝EC．【答案】證明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中，AB＝BE＝EF，BC＝BN，∠FEN＝∠EBC＝90°，∵AB＝2BC，即BC＝BN＝∴BN＝，即N為BE的中點，∴EN＝NB＝BC，∴△FNE≌△ECB，∴FN＝EC．類型二、正方形的判定 3、如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC、∠ABC的平分線相交于點D，且DE⊥BC于點E，DF⊥AC于點F，那么四邊形CEDF是正方形嗎?請說明理由．【答案與解析】解：是正方形，理由如下：作DG⊥AB于點G．∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，∴DF＝DG．同理可得：DG＝DE．∴DF＝DE．∵DF⊥AC，DE⊥BC，∠C＝90°，∴四邊形CEDF是矩形．∵DF＝DE．∴四邊形CEDF是正方形．【總結(jié)升華】(1)本題運用了“有一組鄰邊相等的矩形是正方形”來判定正方形．(2)證明正方形的方法還可以直接通過證四條邊相等加一個直角或四個角都是直角來證明正方形．舉一反三：【變式】如圖，點O是線段AB上的一點，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于點D，OF平分∠COB，CF⊥OF于點F．（1）求證：四邊形CDOF是矩形；（2）當∠AOC多少度時，四邊形CDOF是正方形？并說明理由．【答案】（1）證明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），∴∠AOC＝2∠COD，∠COB＝2∠COF，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∴2∠COD＋2∠COF＝180°，∴∠COD＋∠COF＝90°，∴∠DOF＝90°；∵OA＝OC，OD平分∠AOC（已知），∴OD⊥AC，AD＝DC（等腰三角形的“三合一”的性質(zhì)），∴∠CDO＝90°，∵CF⊥OF，∴∠CFO＝90°∴四邊形CDOF是矩形；（2）當∠AOC＝90°時，四邊形CDOF是正方形；理由如下：∵∠AOC＝90°，AD＝DC，∴OD＝DC；又由（1）知四邊形CDOF是矩形，則四邊形CDOF是正方形；因此，當∠AOC＝90°時，四邊形CDOF是正方形．類型三、正方形綜合應用4、如圖，在平面直角坐標系中，邊長為(為大于0的常數(shù))的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點P，頂點A在軸正半軸上運動，頂點B在軸正半軸上運動(軸的正半軸、軸的正半軸都不包含原點O)，頂點C、D都在第一象限．(1)當∠BAO＝45°時，求點P的坐標；(2)求證：無論點A在軸正半軸上、點B在軸正半軸上怎樣運動，點P都在∠AOB的平分線上；【答案與解析】解：(1)當∠BAO＝45°時，∠PAO＝90°，在Rt△AOB中，OA＝AB＝，在Rt△APB中，PA＝AB＝．∴點P的坐標為．(2)如圖過點P分別作軸、軸的垂線垂足分別為M、N，則有∠PMA＝∠PNB＝∠NPM＝∠BPA＝90°，∵∠BPN＋∠BPM＝∠APM＋∠BPM＝90°∴∠APM＝∠BPN，又PA＝PB，∴△PAM≌△PBN，∴PM＝PN，又∵PN⊥ON，PM⊥OM于是，點P在∠AOB的平分線上.【總結(jié)升華】根據(jù)題意作出輔助線，構造全等的直角三角形是解題關鍵.【鞏固練習】一.選擇題1.正方形是軸對稱圖形，它的對稱軸共有（）A．1條B．2條C．3條D．4條2.（2015?漳州一模）正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（）A.四條邊相等B.對角線互相垂直平分C.對角線平分一組對角D.對角線相等3.如圖，正方形ABCD的邊長為4，則圖中陰影部分的面積為()．A.6B.8C.16D.不能確定4.在正方形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上分別任意取點E、F、G、H．這樣得到的四邊形EFGH中，是正方形的有（）A．1個B．2個C．4個D．無窮多個5.如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，M為邊AD的中點，延長MD至點E，使ME＝MC，以DE為邊作正方形DEFG，點G在邊CD上，則DG的長為（）A．B.C.D.6.（2016?揚州二模）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點，∠EAF=45°，△ECF的周長為4，則正方形ABCD的邊長為（）A．2 B．3 C．4 D．5二.填空題7．若正方形的邊長為，則其對角線長為______，若正方形ACEF的邊是正方形ABCD的對角線，則正方形ACEF與正方形ABCD的面積之比等于______．8.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，對角線AC與BD相交于點O，若不增加任何字母與輔助線，要使四邊形ABCD是正方形，則還需增加一個條件是_________.9.如圖，將邊長為2的正方形ABCD沿其對角線AC剪開，再把△ABC沿著AD方向平移，得到△，若兩個三角形重疊部分的面積是1，則它移動的距離等于____.10.（2016春?陽泉期中）李燕在商場里看到一條很漂亮的絲巾，非常想買．但她拿起來看時感覺絲巾不太方．商店老板看她猶豫不決的樣子，馬上過來拉起一組對角，讓李燕看另一組對角是否對齊（如圖所示）．李燕還有些疑惑，老板又拉起另一組對角讓李燕檢驗．李燕終于買下這塊紗巾．你認為李燕買的這塊紗巾是正方形的嗎？（填是或否）．11.如圖．邊長為1的兩個正方形互相重合，按住其中一個不動，將另一個繞頂點A順時針旋轉(zhuǎn)45°，則這兩個正方形重疊部分的面積是______．12.（2015?長春）如圖，點E在正方形ABCD的邊CD上．若△ABE的面積為8，CE=3，則線段BE的長為．三.解答題13．已知：如圖，正方形ABCD中，點E、M、N分別在AB、BC、AD邊上，CE＝MN，∠MCE＝35°，求∠ANM的度數(shù)．14．（2015?鐵力市二模）如圖，點P是正方形ABCD的對角線BD上一點，PE⊥BC于點E；PF⊥CD于點F，連接EF，給出下列五個結(jié)論：①AP=EF；②AP⊥EF；③∠PFE=∠BAP；④PD=EC；⑤PB2+PD2=2PA2，正確的有幾個？．15．如圖，邊長為3的正方形ABCD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°后，得到正方形EFCG，EF交AD于H，求DH的長．【答案與解析】一.選擇題1.【答案】D；【解析】正方形的對稱軸是兩對角線所在的直線，兩對邊中點所在的直線，對稱軸共4條．2.【答案】D；【解析】正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊相等，四個角都是直角，對角線互相垂直平分且相等，并且每一條對角線平分一組對角；菱形的性質(zhì)：菱形的四條邊相等，對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角；因此正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是：對角線相等；故選：D．3．【答案】B；【解析】陰影部分面積為正方形面積的一半.4.【答案】D；【解析】在正方形四邊上任意取點E、F、G、H，AH＝DG＝CF＝BE，