2021年上半年教師資格證考試《數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與教學(xué)能力》(初級(jí)中學(xué))真題

2021年上半年教師資格證考試《數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與教學(xué)能力》(初級(jí)中學(xué))

真題

1［單選題］(江南博哥)單選題在空間直角坐標(biāo)系下，直線

x-2r-11二+1

丁二一1=丁與平面3x-2y-z+15=0的位置關(guān)系是()

A.相交且垂直

B.相交不垂直

C.平行

D.直線在平面上

正確答案：D

參考解析：

本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系。由題可知，直線的方向向量為n=(3,4,1),平面的法向量

為m=(3,-2,-1)E^n.m=3x3+4*(-2)+1*(-1)=0,所源哪方向向量與平面的法向垂直。

、=3+2

x-1v-11:+1［3+11

設(shè)鼓靡為，-?，則代入平的程中，可得酸在平面上

故本題選D。

2［單選題］使得函數(shù)”一致連續(xù)的x取值范圍是()

A.(0.1)

B.(0.1］

3jL-

C.

D.(-°0,+8)

正確答案：C

參考解析：

本題考查閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。根據(jù)一致連續(xù)性定理,如果函數(shù)在閉區(qū)間［南上遛娜么

V1U二J

爾)=-［3］［2

它在該區(qū)間上一致連續(xù)。可知，使得函數(shù),'一致連續(xù)的x的取值范圍,「故

本艇以

3［單選題］單選題方程+6、-4=0的整數(shù)解的個(gè)數(shù)是()

A.0

B.1

C.2

D.3

正確答案：C

參考解析:

丫"一彳-4-0Y-

本酵H妨瞰鍛解對(duì)’-兩醞聘以得:.

，2

\__=0x+—―3=0「

可得'或'，解得匚川或X=1或x=2。所以琬讖懈有2個(gè)。故本

題選Q

4［單選題］

v=/(.v)X)Ar,olAr).

單選題設(shè)函數(shù)在的自變量的改變量為“A，相應(yīng)的函數(shù)改變量為表示你的

高階無(wú)窮小。若函數(shù)‘""”在’可微則下列表述不正確的是()

AAr=/'(.r0)d.r

Bd】=/'(.")&

C/=/'(.”心+o(Nr)

0At,=仃+o(Av)

正確答案：A

參考解析：

本題考查微分的概念。根據(jù)微分的定義可得:打=/'%"函數(shù)的增量

為="+74)=/'(.鈔?，3)可知A選項(xiàng)鐲吳。古體雕A。

5［單選題］拋擲兩粒正方體骰子(每個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,....6),

假定每個(gè)面朝上的可能性相同,觀察向上的點(diǎn)數(shù),則點(diǎn)數(shù)之和等于5的概

率為()

A.5/36

B.1/9

C.1/12

D.1/18

正確答案：B

參考解析：

(.V.r)

本鵬璧怖廨。設(shè)第一冽螂螺子點(diǎn)觸:X,第二欠的為y,用.表示拋艇次

的結(jié)果。其中此'"6,卬W6脂36種結(jié)果。其中點(diǎn)姐和為5的(叫網(wǎng)(共

269

4種結(jié)果，根跚鞭俎故本題選B。

6［單選題］

B（B土0）

單選題對(duì)于蟲延矩陣A,存在n*.矩陣使得AB=O成立的充要條件懿陣A的秩

rank(A)

滿足0

Arank(J|<z/

Brank(J)<//

「rank(H)>〃

L/.

Drank(J)>//

正確答案：A

參考解析：

本題考查矩陣的運(yùn)算。必要性，由條件可設(shè)為"）

則43=川內(nèi)A-r4)=(/?」』區(qū)r)

小，小,…,p45=0

由題意可知B為m黑向量，故‘中至少有一華E零向量若，則

第=0（六L2,,s）#』）＜〃（4）＜〃

因此出二°,有修解，故充淵:若

一八n.為外…，夕M，=0（j=1.2..s）

則方程組&=°有三藩解，設(shè)非零解為即，

3=(4,外，A)JR-01fix01I

令則”-°述I。蟒齷&

7［單選題］一個(gè)五邊形與其經(jīng)過(guò)位似變換后的對(duì)應(yīng)圖形之間不滿足下

列關(guān)系的是（）。

A.對(duì)應(yīng)線段成比例

B.對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線共點(diǎn)

C.對(duì)應(yīng)角不相等

D.面積的比等于對(duì)應(yīng)線段的比的平方

正確答案：C

參考解析：本題考查位似圖形的性質(zhì)。兩個(gè)圖形位似，那么任意一對(duì)

對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比都等于位似比，任意一組對(duì)應(yīng)邊都互相平

行(或在一條直線上)。位似圖形面積的比等于相似比的平方。位似圖形

對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)是位似中心，位似圖形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比。位

似圖形高、周長(zhǎng)的比都等于相似比。位似圖形的對(duì)應(yīng)角都相等。c選項(xiàng)

不正確，故本題選C。

8［單選題］設(shè)二百一F-求當(dāng)有時(shí)，T的值”。主要考查學(xué)生的()

A.空間觀念

B.運(yùn)算能力

C.數(shù)據(jù)分析觀念

D.應(yīng)用意識(shí)

正確答案：B

參考解析：本題考查數(shù)學(xué)教學(xué)論的基本概念。帶入具體數(shù)值求解代數(shù)

式，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力。故本題選B。

9［簡(jiǎn)答題］

已知平面上一橢圓，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a,短半軸長(zhǎng)為b,0<b<a,求該橢圓繞

著長(zhǎng)軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積。

參考解析：

本題考查旋轉(zhuǎn)體的體積計(jì)算。由題意知，無(wú)論長(zhǎng)軸在x軸或y軸旋轉(zhuǎn)體

?、、二工

的體積不變；不妨設(shè)長(zhǎng)軸在X軸上，將橢圓"b繞X軸旋轉(zhuǎn)一周，所

得的旋轉(zhuǎn)體的體積為J°?小3

10［簡(jiǎn)答題］

設(shè)顧客在某銀行窗口等待服務(wù)的時(shí)間X(min)的概率密度為

［1c

3)=J「CO

［o.其他

用變量Y表示顧客對(duì)銀行服務(wù)質(zhì)量的評(píng)價(jià)值若顧客等待時(shí)間不超過(guò)5

(min)

u［-1,X>5

/=］X5

則評(píng)價(jià)值為Y=1;否則，評(píng)價(jià)值為y=T,即

(1)求X的分布函數(shù)。(2)求Y的分布律。

參考解析：（1）

Z?A.r>0

0.其他

其他是龍員從參數(shù)1/（.V）=

o,的指數(shù)分布，懶分布.的分

1-eA.r>01-e2,*>0

尸（、）=1尸（工）=

0.K他=_0,其他

2時(shí),

布函數(shù)為,則當(dāng)

(2)

P25)=尸(5)=1-eW1-e--

答案：〃-5則、，，，所以Y的

5

l-e-2,

呻叫=；4=1

e2,

分布律為

11［簡(jiǎn)答題］

%小/

已知方程組：I鏟f%:叫有惟一解當(dāng)且僅當(dāng)行列式:；：：；：不等于

零

請(qǐng)回答下列問(wèn)題：

（1）行列式②的幾何意義是什么？

（2）上述結(jié)論的集合意義是什么？

參考解析：（1）

ax+ay+a，:=b,Fli（ai<a）rii

由解析幾何知：n2是空間內(nèi)的fp面、而"是平n面"

的枷量"""""+好也"向內(nèi)K"個(gè)平面”而心心心）是￥?"的法^

量，"磔間砸一呼面“，而⑸,卷’如）是平面內(nèi)的法向量,

%q：%

%］電2。23

%七?

這樣系數(shù)矩陣33的每一行就是三個(gè)平面的法向量，他們可以構(gòu)成一個(gè)三維空間。

(2)

n）與兩平面相交的充要條件是。：電93=61：令：63

答案:即相交的充要條件是

qi?4

［q,&%）_,rank的a22a2i=3

心a~&.,同理得三個(gè)平面相交于一點(diǎn)的充要條件是&%

，即線性方程系數(shù)矩陣的行列式的值不為零的幾何意義為3個(gè)平面相交于一點(diǎn)。

12［簡(jiǎn)答題］

某教師在引領(lǐng)學(xué)生探究〃圓周角定理”時(shí)一，首先進(jìn)行畫圖、測(cè)量等探究

活動(dòng)，獲得對(duì)圓周角和圓心角大小關(guān)系的猜想；進(jìn)一步尋找證明猜想的

思路并進(jìn)行嚴(yán)格的證明；最后，教師又通過(guò)幾何軟件對(duì)兩類角的大小關(guān)

系進(jìn)行驗(yàn)證。

從推理的角度，請(qǐng)談?wù)勀銓?duì)教師這樣處理的看法。

參考解析：推理是人們思維活動(dòng)的過(guò)程，是根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判

斷來(lái)確定一個(gè)新的判斷的思維過(guò)程。在初中數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的兩種推

理是:合情推理和演繹推理。合情推理是學(xué)生經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、

聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類女比，然后提出猜想的推理，這位老師引領(lǐng)學(xué)生探

究“圓周角定理”時(shí)一，首先進(jìn)行畫圖、測(cè)量等探究活動(dòng)，獲得對(duì)圓周角

和圓心角大小關(guān)系的猜想；就是應(yīng)用了合情推理。合情推理融合了學(xué)生

的各種思維和活動(dòng)在中，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，開發(fā)學(xué)生的智力，

培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力都是非常重要的。演繹推理是從已有的實(shí)（包括定

義、公理、定理等）出發(fā)，按照規(guī)定的法則（包括邏輯和運(yùn)算）證明結(jié)論。

蓋老師在學(xué)生給出猜想后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步尋找證明猜想的思路并進(jìn)行

嚴(yán)格的證明；并通過(guò)幾何軟件對(duì)兩類角的大小關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證。應(yīng)用演繹

推理體現(xiàn)是數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。兩種方式相輔相成，更有利于學(xué)生掌握“圓

周角定理〃

13［簡(jiǎn)答題］

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程中，為了鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，深入理解問(wèn)題，教師常

常在呈現(xiàn)任務(wù)后，不是立刻講解，而是留給學(xué)生足夠的思考時(shí)間，這種

教學(xué)方式可稱之為“課堂留白”請(qǐng)你談?wù)務(wù)n堂留白的必要性及其意義。

參考解析：課堂的精彩不僅要關(guān)注教師講的多么精彩，更加關(guān)注學(xué)生

學(xué)得多么主動(dòng)，教師一個(gè)人講解的課堂不是精彩的課堂，只有當(dāng)學(xué)生通

過(guò)自己的主動(dòng)活動(dòng)去建構(gòu)自己對(duì)知識(shí)的理解，從而展現(xiàn)自己的精彩時(shí)，

這樣的課堂提精彩的，因?yàn)檎n堂留白是十分有必要的。

“課堂留白”的意義：

①課堂留白可以激發(fā)學(xué)生的求知欲和潛能;課堂中給學(xué)生留下活動(dòng)的時(shí)

間、思維的空間，使學(xué)生有所探索、有所思考，可放飛學(xué)生的思維。學(xué)

生在開動(dòng)學(xué)生的腦筋、利肥學(xué)知識(shí)解決留白問(wèn)題的同時(shí)順利進(jìn)行知識(shí)遷

移、主動(dòng)融合和構(gòu)建知識(shí)體系，容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、提高教學(xué)效

率。

②課堂留白能留給學(xué)生獨(dú)立思考的機(jī)會(huì)，有利于發(fā)揮學(xué)生的主體意識(shí)。

合理運(yùn)用教學(xué)留白，給學(xué)生留下獨(dú)立思考的時(shí)間，讓學(xué)生積極參與，自主

體驗(yàn)，真正成為學(xué)習(xí)的主人。

③課堂留白可以促進(jìn)學(xué)生的個(gè)性發(fā)展。

④課堂留白激發(fā)學(xué)生的想象力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力。在教學(xué)中給學(xué)生留

下更多的空間，正如畫家留白的道理一樣，可以讓學(xué)生有足夠的空間去

充分地想想，可以自由自在地展開聯(lián)想或創(chuàng)造。

14［簡(jiǎn)答題］

.Vj+2匕-4.Vj—5(——6

.Yi-Xj-=-2

2x1+5.t>-9$-12.r4=-14

I茁+3.r>-5.七+g=—8

已知非齊次線性方程組.

(1)a為何值時(shí)，其對(duì)應(yīng)齊次線性方程組解空間的維數(shù)為2?

(2)對(duì)于⑴中確定的a值，求該非齊次線性方程組的通解。

參考解析：(1)齊次方程組的解空間維數(shù)為2,可以得出齊次方程組

的自由變量個(gè)數(shù)為2,對(duì)應(yīng)的齊次方程組系數(shù)矩陣的秩為2,可得系數(shù)

矩陣為

2)-Fj

01

「I,

01/?(.4)=2.a

所以得到

(2)當(dāng)a=-7時(shí)得到增廣矩陣為

01-1-2-：

01-1-2-2

5-9-P-14I01-1-2

-'>[-itkMT)?〃

13-5-7-8,.01-1-2-：

,可得到

.Vj+-4叼-5XA--6

11

\-V3-2.r4=-2由此可得導(dǎo)出隨基礎(chǔ)解系0).2方程的通

解為會(huì)(即AwR)；〈=(-?"牖貝歸明次7猥組卻解為

〃=柘+於寅+二

15［簡(jiǎn)答題］

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)需要培養(yǎng)的基本能力。學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能

力具體表現(xiàn)為哪些方面?請(qǐng)以整式運(yùn)算為例予以說(shuō)明。

參考解析：

教學(xué)運(yùn)篁主要表現(xiàn)為理解運(yùn)篁?qū)ο?，掌握運(yùn)覲則；探究運(yùn)箕思路，求得運(yùn)爵果。

例：計(jì)篁整式篁式中的一道因式分解問(wèn)題，T=?首先要理解運(yùn)箕的篁式特點(diǎn)，觀察到要因

式分解題目彳導(dǎo)運(yùn)用到平方差公式I'的逆過(guò)程;同時(shí)要掌握平方差公式的算

理，此處的a,b可以看成任何滿足該條件的傲式，而不僅僅是簡(jiǎn)單的整位其次觀察題目夏

式，探究運(yùn)篁思路可以發(fā)現(xiàn)/t可以變形得到〃7'“)t運(yùn)用-次平方差公式的逆過(guò)程

a4-l=(trf-l=(<r+l)(tr-l)

得到此時(shí)發(fā)現(xiàn)還有可以提出因式的算式，繼續(xù)運(yùn)用一次平方

a4-l=(a2+l)(a-l)(o+l)

差徵的逆過(guò)程得到得更撮終的運(yùn)篁結(jié)懸

16［簡(jiǎn)答題］

案例：

下面是初中〃三角形的內(nèi)角和定理”的教學(xué)案例片段。教師請(qǐng)學(xué)生回憶

小學(xué)學(xué)過(guò)的三角形內(nèi)角和是多少度？并讓學(xué)生用提前準(zhǔn)備好的三角形

紙片進(jìn)行翦拼并演示。下面是部分學(xué)生演示的圖形(如圖1、圖2):

AA

cDB

圖/圖2

在圖1中，三角形的三個(gè)內(nèi)角拼在一起后，B、C、D在一條直線上，看

似構(gòu)成一個(gè)平角。教師質(zhì)疑，看上去是平角就是平角了嗎？學(xué)生的回答

是“不一定"。接著，教師利用圖1啟發(fā)學(xué)生思考：

①既然不能判定B、C、D是否一定在同一直線上(即組成平角)，可以換

個(gè)角度，先構(gòu)造一個(gè)平角，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖1思考如何作輔助線構(gòu)造平

角。學(xué)生想到了作BC的延長(zhǎng)線BD,如圖3所示。

②圖1中，N1與NA是什么關(guān)系？啟發(fā)學(xué)生在NACD內(nèi)作N1=NA,或過(guò)

點(diǎn)C作CE〃AB,如圖4所示。

③現(xiàn)在只要證明什么？(證明N2=NB)

問(wèn)題：

(1)該教師讓學(xué)生回憶并用拼圖的方法感知三角形的內(nèi)角和，請(qǐng)簡(jiǎn)述

其教學(xué)意圖。

(2)禾詞圖2設(shè)計(jì)問(wèn)題串，使得這些問(wèn)題能夠引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形的

內(nèi)角和定理的證法。

(3)請(qǐng)?jiān)俳o出其他2種三角形紙片的拼法，并畫圖表示

參考解析：(1)從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，利用物拼圖的方式引

導(dǎo)學(xué)生通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐，從而建立知識(shí)聯(lián)系，體現(xiàn)學(xué)生才是學(xué)習(xí)的主體。

(2)

問(wèn)題1：有同學(xué)把三角形的兩個(gè)底角撕下來(lái)拼到頂角上，你發(fā)現(xiàn)了什么？

問(wèn)題2：我們發(fā)現(xiàn)這樣可以把三角形的三個(gè)內(nèi)角湊到一起，可以湊成看

似是一個(gè)平角。怎么確定他就是一個(gè)平角呢？

問(wèn)題3：根據(jù)圖1,想一想如何作輔助線構(gòu)造平角呢？

問(wèn)題4：作出輔助線后，我們根據(jù)平行線的性質(zhì)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

(3)

證明方法一:

BD

如圖，過(guò)BC的中點(diǎn)D作DF〃AC,DE//AB,這時(shí)NA=N4,又N4=N2,

即NA=