高考數(shù)學(xué)學(xué)科二輪備考關(guān)鍵問(wèn)題指導(dǎo)系列十（統(tǒng)計(jì)與概率典例剖析與資源推送）

福建省2022屆高中畢業(yè)班數(shù)學(xué)學(xué)科二輪備考關(guān)鍵問(wèn)題指導(dǎo)系列十——統(tǒng)計(jì)與概率典例剖析與資源推送（陳智猛執(zhí)筆）在高考考查中，統(tǒng)計(jì)與概率板塊著重考查：五個(gè)樣本頻率分布圖表即頻率分布表、頻率分布直方圖、柱形圖、折線圖、莖葉圖；四個(gè)數(shù)字特征即眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)（期望）、方差與標(biāo)準(zhǔn)差；三種統(tǒng)計(jì)推斷即用樣本估計(jì)總體、獨(dú)立性檢驗(yàn)、回歸分析；三類(lèi)事件即互斥事件、對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件；兩種概型即古典概型、條件概型；三種特殊的分布列及期望超幾何分布、二項(xiàng)分布與兩點(diǎn)分布、正態(tài)分布．有實(shí)際生產(chǎn)生活背景的統(tǒng)計(jì)應(yīng)用題一般文字量大，在考查學(xué)生數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí)的同時(shí)，兼顧考查學(xué)生的閱讀理解能力。試題的呈現(xiàn)方式和設(shè)問(wèn)方式有所創(chuàng)新，增強(qiáng)試題的靈活性和開(kāi)放性，采取多樣的形式、多角度的提問(wèn)、答案不唯一，鼓勵(lì)學(xué)生從不同角度認(rèn)識(shí)問(wèn)題，把學(xué)生從標(biāo)準(zhǔn)答案中解放出來(lái)，真實(shí)地考查考生的數(shù)學(xué)能力，而不是訓(xùn)練技巧，引導(dǎo)學(xué)生從“解題”到“解決問(wèn)題”能力的培養(yǎng)。一、典型問(wèn)題剖析典型一：對(duì)圖形圖表的分析統(tǒng)計(jì)圖表：頻數(shù)分布表——扇形統(tǒng)計(jì)圖，復(fù)式（合）扇形統(tǒng)計(jì)圖，復(fù)式（合）條形統(tǒng)計(jì)圖，折線統(tǒng)計(jì)圖，頻率分布表，頻率分布直方圖，頻率分布折線圖，雷達(dá)圖，散點(diǎn)圖，等高條形圖……．例1：【2021年全國(guó)甲卷文】為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是A．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%B．該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%C．估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元D．估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間【解析】對(duì)于A：根據(jù)頻率分布直方圖可知，該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率約為，故A正確；對(duì)于B：根據(jù)頻率分布直方圖可知，該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率約為，故B正確；對(duì)于C：根據(jù)頻率分布直方圖知該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值估計(jì)為（萬(wàn)元），故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：根據(jù)頻率分布直方圖知該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間的農(nóng)戶比率估計(jì)為，故D正確．【評(píng)析】本題以頻率分布直觀圖為載體，考查運(yùn)算求解等能力；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．本題的解題關(guān)鍵是利用樣本頻率直方圖估計(jì)總體頻率和平均值，樣本的頻率可作為總體的頻率的估計(jì)值，樣本的平均值的估計(jì)值是各組的中間值乘以其相應(yīng)頻率然后求和所值，可以作為總體的平均值的估計(jì)值．例2：【2020年天津卷4】從一批零件中抽取80個(gè)，測(cè)量其直徑（單位：，將所得數(shù)據(jù)分為9組：，，，，，，，，，并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間，內(nèi)的個(gè)數(shù)為A．10 B．18 C．20 D．36【解析】直徑徑落在區(qū)間，的頻率為，則被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間，內(nèi)的個(gè)數(shù)為個(gè)，故選：．【評(píng)析】本題以頻率分布直觀圖為載體，考查運(yùn)算求解等能力；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．本題的解題關(guān)鍵是根據(jù)頻率分布直方圖求出徑徑落在區(qū)間，的頻率，再乘以樣本的個(gè)數(shù)即可．例3：【2017新課標(biāo)Ⅲ3】某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位：萬(wàn)人)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖．根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D．各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)【解析】由折線圖，7月份后月接待游客量減少，A錯(cuò)誤；選A．

【評(píng)析】本題以折線圖為載體，考查識(shí)圖能力、數(shù)據(jù)處理能力；考查數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

解決本題的關(guān)鍵是能從折線圖中大致估計(jì)相應(yīng)年份所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)，以及直觀感知數(shù)據(jù)的變化情況．典型二：關(guān)注樣本數(shù)字特征的含義——根據(jù)解決問(wèn)題的需要選擇合理的數(shù)字特征說(shuō)明問(wèn)題．總體特征估計(jì)：樣本估計(jì)總體（中位數(shù)；眾數(shù)；平均數(shù)（期望）；方差，標(biāo)準(zhǔn)差；極差）．總體取值規(guī)律的估計(jì)：頻率分布直方圖；總體百分位數(shù)的估計(jì)：頻率分布直方圖，分布表（頻率分布表，頻數(shù)分布表，統(tǒng)計(jì)表），莖葉圖；總體集中趨勢(shì)的估計(jì)：中位數(shù)，平均數(shù)，眾數(shù)；總體離散程度的估計(jì)：極差，方差，標(biāo)準(zhǔn)差；總體趨勢(shì)判斷：回歸分析、趨勢(shì)預(yù)報(bào)；有效性判斷：概率大小，小概率事件；相關(guān)性（擬合效果）判斷：相關(guān)系數(shù)，相關(guān)指數(shù)；假設(shè)檢驗(yàn)：假設(shè)沒(méi)有關(guān)系（獨(dú)立性判斷檢驗(yàn)）；假設(shè)沒(méi)有變化（概率判斷）．例4：【2021年全國(guó)甲卷理】甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)甲機(jī)床15050200乙機(jī)床12080200合計(jì)270130400(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少?(2)能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?附：0.0500.0100.001【解析】(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)知，甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率是，乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率是．(2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得．因?yàn)椋杂?9%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.【評(píng)析】本題考查頻率、獨(dú)立性檢驗(yàn)等等知識(shí)；考查運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理等能力；考查數(shù)據(jù)分析、等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．解決本題的關(guān)鍵是會(huì)利用圖表得到一級(jí)品的頻率，利用的值判斷兩個(gè)機(jī)床產(chǎn)品質(zhì)量是否有差異．例5：【2020?全國(guó)3卷】在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為，且，則下面四種情形中，對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是A． B．C． D．【解析】通解：對(duì)于A選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對(duì)于B選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對(duì)于C選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對(duì)于D選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為．因此，B選項(xiàng)這一組標(biāo)準(zhǔn)差最大．故選：B．優(yōu)解：1，4所對(duì)應(yīng)的概率越大，說(shuō)明分布在1，4的數(shù)字就比較多，說(shuō)明數(shù)據(jù)就不集中，所以標(biāo)準(zhǔn)差就越大．故選：B．【評(píng)析】本題考查樣本的標(biāo)準(zhǔn)差等知識(shí)；考查運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理等能力；考查數(shù)據(jù)分析、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．解決本題的關(guān)鍵是會(huì)利用離散型隨機(jī)變量的分布列知識(shí)來(lái)求解平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差；本題也可以不用計(jì)算，根據(jù)數(shù)據(jù)的概率分布，直觀感知數(shù)據(jù)的離散程度．例6：【2012陜西】對(duì)某商店一個(gè)月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到樣本的莖葉圖（如所示），則該樣本的中位數(shù)、眾數(shù)、極差分別是A．46，45，56B．46，45，53C．47，45，56D．45，47，53【解析】由圖可知去掉的兩個(gè)數(shù)是87,99，所以，．．【評(píng)析】本題以莖葉圖為載體，考查樣本的數(shù)據(jù)特征等知識(shí)；考查數(shù)據(jù)處理等能力；考查數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．解決本題的關(guān)鍵是從莖葉圖中提取數(shù)據(jù)，能觀察到本題莖葉圖中的數(shù)據(jù)規(guī)律，從而快速的得到中位數(shù)、眾數(shù)、以及由最大數(shù)減去最小數(shù)算出極差．典型三：厘清事件及其概率——厘清事件間的關(guān)系，準(zhǔn)確計(jì)算相關(guān)事件的概率．和事件、積事件、互斥事件、對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件、概率分布列（兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布）例7：【2020?新全國(guó)1山東】某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是A．62%B．56%C．46%D．42%【解析】記“該中學(xué)學(xué)生喜歡足球”為事件，“該中學(xué)學(xué)生喜歡游泳”為事件，則“該中學(xué)學(xué)生喜歡足球或游泳”為事件，“該中學(xué)學(xué)生既喜歡足球又喜歡游泳”為事件，則，，，所以，所以該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為．故選：C．【評(píng)析】本題考查了積事件的概率公式等知識(shí)；考查應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí)；考查數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．解決本題的關(guān)鍵是能用字母表示事件，能用集合的觀點(diǎn)理解積事件．例8：【2019新課標(biāo)Ⅰ15】甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）．根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0．6，客場(chǎng)取勝的概率為0．5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是_______．【解析】記事件為甲隊(duì)以4:1獲勝，則甲隊(duì)共比賽五場(chǎng)，且第五場(chǎng)甲隊(duì)獲勝，前四場(chǎng)甲隊(duì)勝三場(chǎng)負(fù)一場(chǎng)，所以=．【評(píng)析】本題主要考查：相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算等知識(shí)；考查運(yùn)算求解、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)等能力；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．解題的關(guān)鍵是能讀懂題意，知道比賽的規(guī)則，認(rèn)識(shí)到第五場(chǎng)甲一定勝利，前面四場(chǎng)勝三場(chǎng)，負(fù)一場(chǎng)，因?yàn)橛兄骺蛨?chǎng)的區(qū)別，要能分類(lèi)討論，負(fù)一場(chǎng)是在主場(chǎng)還是在客場(chǎng)；應(yīng)注意由于主客場(chǎng)的甲勝利與失敗的概率計(jì)算錯(cuò)誤引起的失分．典型四：關(guān)注概率模型的識(shí)別與應(yīng)用——厘清各種概率模型及適用范圍．古典概型、條件概率模型例9：【2021年全國(guó)甲卷理】將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為【詳解】將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，可利用插空法，4個(gè)1產(chǎn)生5個(gè)空，若2個(gè)0相鄰，則有種排法，若2個(gè)0不相鄰，則有種排法，所以2個(gè)0不相鄰的概率為．故選：C．A．B．C．D．【評(píng)析】本題考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解等數(shù)學(xué)能力；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．解決本題的關(guān)鍵是采用插空法，4個(gè)1產(chǎn)生5個(gè)空，分2個(gè)0相鄰和2個(gè)0不相鄰進(jìn)行求解．例10：【2018全國(guó)卷Ⅱ】我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如．在不超過(guò)30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是A． B． C． D．【解析】不超過(guò)30的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個(gè)，從中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)有種不同的取法，這10個(gè)數(shù)中兩個(gè)不同的數(shù)的和等于30的有3對(duì)，所以所求概率，故選C．【評(píng)析】本題考查素?cái)?shù)、古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解、創(chuàng)新意識(shí)等數(shù)學(xué)能力；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．解決本題的關(guān)鍵是能理解素?cái)?shù)的定義，能從羅列出30以內(nèi)的素?cái)?shù)．例11：（隨機(jī)模擬估計(jì)值）2018年平昌冬季奧運(yùn)會(huì)于2月9日~2月25日舉行，為了解奧運(yùn)會(huì)五環(huán)所占面積與單獨(dú)五個(gè)環(huán)面積和的比例，某學(xué)生設(shè)計(jì)了如下的計(jì)算機(jī)模擬，通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬長(zhǎng)為8，寬為5的長(zhǎng)方形內(nèi)隨機(jī)取了N個(gè)點(diǎn)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)落入五環(huán)及其內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)為，圓環(huán)半徑為1，如圖，則比值的近似值為A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【解析】設(shè)奧運(yùn)五環(huán)所占的面積為，矩形的面積為，由在長(zhǎng)方體內(nèi)隨機(jī)取了個(gè)點(diǎn)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)落入五環(huán)及其內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)為，得，則，又單獨(dú)五個(gè)圓環(huán)的面積為，所以?shī)W運(yùn)五環(huán)所占面積與單獨(dú)五個(gè)環(huán)面積和的比例為．【評(píng)析】本題考查隨機(jī)模擬試驗(yàn)的原理等知識(shí)；考查應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)等能力；考查數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．解決本題的關(guān)鍵是理解隨機(jī)模擬試驗(yàn)的原理，會(huì)計(jì)算單個(gè)圓的面積．例12：【2014新課標(biāo)2】某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0．75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0．6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是A．0．8B．0．75C．0．6D．0．45【解析】根據(jù)條件概率公式，可得所求概率為．【評(píng)析】本題考查條件概率等知識(shí)；考查運(yùn)算求解等能力；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．解決此題的關(guān)鍵是能將“已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率”理解為“在已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的條件下，求隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率”，即理解條件概率的含義，會(huì)用條件概率公式．典型五：關(guān)注用樣本估計(jì)總體的思想分析解決問(wèn)題——預(yù)測(cè)與決策例13：【2018全國(guó)卷Ⅱ】下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額（單位：億元）的折線圖．為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了與時(shí)間變量的兩個(gè)線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量的值依次為）建立模型①：；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量的值依次為）建立模型②：．（1）分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值；（2）你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說(shuō)明理由．【解析】（1）利用模型①，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為(億元)．利用模型②，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為(億元)．（2）利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠．理由如下：（?。恼劬€圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒(méi)有隨機(jī)散布在直線上下．這說(shuō)明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì)．2010年相對(duì)2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說(shuō)明從2010年開(kāi)始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì)，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì)，因此利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠．（ⅱ）從計(jì)算結(jié)果看，相對(duì)于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)測(cè)值226．1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測(cè)值的增幅比較合理．說(shuō)明利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠．【評(píng)析】本題考查線性回歸、折線統(tǒng)計(jì)圖等知識(shí)；考查數(shù)據(jù)處理、運(yùn)算求解、圖形識(shí)別等能力；考查數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．解決本題第一問(wèn)的關(guān)鍵是能將2018年轉(zhuǎn)化為年份代碼，代入模型①與模型②的方程進(jìn)行計(jì)算；解決本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是能根據(jù)模型①與模型②，并結(jié)合已知的折線圖進(jìn)行分析；也可以根據(jù)兩個(gè)線性回歸方程對(duì)2018年（或附近的其他年份）的環(huán)境設(shè)施投資額進(jìn)行預(yù)報(bào)，分析它們與真實(shí)值的產(chǎn)生的殘差進(jìn)行分析兩個(gè)模型的可靠性．典型六：關(guān)注“冷門(mén)”知識(shí)的復(fù)習(xí)．正態(tài)分布、條件概率、相關(guān)系數(shù)、殘差圖、擬合效果、線性回歸分析、非線性回歸分析、獨(dú)立性檢驗(yàn)等．例14：【2021年全國(guó)甲卷理】甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)甲機(jī)床15050200乙機(jī)床12080200合計(jì)270130400(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少?(2)能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【解析】(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)知，甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率是，乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率是．(2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得．因?yàn)?，所以?9%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異．【評(píng)析】本題考查頻率、獨(dú)立性檢驗(yàn)等等知識(shí)，考查運(yùn)算求解等能力；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．解決本題的關(guān)鍵是提取數(shù)據(jù)，運(yùn)算的值，進(jìn)行判斷．例15：【2020全國(guó)卷Ⅱ】某沙漠地區(qū)經(jīng)過(guò)治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加．為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)，2，，，其中和分別表示第個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得，，，，．（1）求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值（這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；（2）求樣本，，2，，的相關(guān)系數(shù)（精確到；（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大．為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說(shuō)明理由．附：相關(guān)系數(shù)，．【解析】（1）樣區(qū)野生動(dòng)物平均數(shù)為，地塊數(shù)為200，該地區(qū)這種野生動(dòng)物的估計(jì)值為．（2）樣本(i＝1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)為．（3）由（2）知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物的數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān)性，由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動(dòng)物的數(shù)量差異很大，采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)得以執(zhí)行，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)．【評(píng)析】本題考查平均數(shù)的估計(jì)值、相關(guān)系數(shù)的計(jì)算以及抽樣方法的選取等知識(shí)，考查運(yùn)算求解等能力；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．解決本題的關(guān)鍵是利用野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)野生動(dòng)物平均數(shù)乘以地塊數(shù)，并代入數(shù)據(jù)計(jì)算；及利用公式計(jì)算相關(guān)系數(shù)；再利用相關(guān)系數(shù)說(shuō)理．二、資源推送第一部分統(tǒng)計(jì)初步1．(2021年全國(guó)甲卷理)為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是A．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%B．該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%C．估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元D．估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間2．(2021年新高考Ⅱ卷)下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本的離散程度的是（）A．樣本的標(biāo)準(zhǔn)差B．樣本的中位數(shù)C．樣本的極差D．樣本的平均數(shù)3．(2020年天津卷)從一批零件中抽取80個(gè)，測(cè)量其直徑（單位：），將所得數(shù)據(jù)分為9組：，，，，并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間內(nèi)的個(gè)數(shù)為A．10B．18C．20D．364．(2020年山東新全國(guó)卷Ⅰ)某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是A．62% B．56%C．46% D．42%5．(2019年全國(guó)Ⅱ卷)演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí)，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分．7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是A．中位數(shù) B．平均數(shù) C．方差 D．極差6．(2018全國(guó)卷Ⅰ)某地區(qū)經(jīng)過(guò)一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番，為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例則下面結(jié)論中不正確的是A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過(guò)了經(jīng)濟(jì)收入的一半7．（2017新課標(biāo)Ⅲ）某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位：萬(wàn)人)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖．根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D．各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)8．（2017江蘇）某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200，400，300，100件，為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取件．9．(2016年山東)某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí)），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為，，，，．根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是A．56 B．60 C．120 D．14010．(2016年全國(guó)III)某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖。圖中A點(diǎn)表示十月的平均最高氣溫約為15℃，B點(diǎn)表示四月的平均最低氣溫約為5℃。下面敘述不正確的是A．各月的平均最低氣溫都在0℃以上B．七月的平均溫差比一月的平均溫差大C．三月和十一月的平均最高氣溫基本相同D．平均氣溫高于20℃的月份有5個(gè)參考答案：1．C【解析】對(duì)于A：根據(jù)頻率分布直方圖可知，該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率約為，故A正確；對(duì)于B：根據(jù)頻率分布直方圖可知，該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率約為，故B正確；對(duì)于C：根據(jù)頻率分布直方圖知該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值估計(jì)為（萬(wàn)元），故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：根據(jù)頻率分布直方圖知該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間的農(nóng)戶比率估計(jì)為，故D正確．2．AC【解析】標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根，它反映一個(gè)數(shù)據(jù)集的離散程度．極差是最大值與最小值的差，可反應(yīng)數(shù)據(jù)的離散程度，中位數(shù)是通過(guò)排序得到的，它不受最大、最小兩個(gè)極端數(shù)值的影響，不可用于度量樣本離散程度，平均數(shù)反應(yīng)數(shù)據(jù)的平均水平，它是反應(yīng)數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的一項(xiàng)指標(biāo)，不可用于度量樣本離散程度．故選AC．3．B【解析】由題知與所對(duì)應(yīng)的小矩形的高分別為，，所以的頻率為，所以直徑落在區(qū)間內(nèi)的個(gè)數(shù)為，故選B．4．C【解析】不妨設(shè)該校學(xué)生總?cè)藬?shù)為100，既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生人數(shù)為，則，所以，所以既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為46%．選C．5．A【解析】記9個(gè)原始評(píng)分分別為，，，，，，，，(按從小到大的順序排列)，易知為7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分的中位數(shù)，故不變的數(shù)字特征是中位數(shù)，故選A．6．A【解析】通解設(shè)建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入為，則建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入為，則由餅圖可得建設(shè)前種植收入為，其他收入為，養(yǎng)殖收入為．建設(shè)后種植收入為，其他收入為，養(yǎng)殖收入為，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和為，所以新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少是錯(cuò)誤的．故選A．優(yōu)解因?yàn)?，所以新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入增加，而不是減少，所以A是錯(cuò)誤的．故選A．7．A【解析】由折線圖，7月份后月接待游客量減少，A錯(cuò)誤；選A．

8．18【解析】應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取件．9．D【解析】由頻率分布直方圖可知，這200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的頻率為(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7，故這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)為200×0.7=140．故選D．10．D【解析】由圖可知0℃在虛線框內(nèi)，所以各月的平均最低氣溫都在0℃以上，A正確；由圖可知七月的平均溫差比一月的平均溫差大，B正確；由圖可知三月和十一月的平均最高氣溫都約為10℃，基本相同，C正確；由圖可知平均最高氣溫高于20℃的月份不是5個(gè)，D不正確，故選D．第二部分：回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)1．(2020年全國(guó)卷Ⅰ)某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率和溫度(單位：°C)的關(guān)系，在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到下面的散點(diǎn)圖：由此散點(diǎn)圖，在10°C至40°C之間，下面四個(gè)回歸方程類(lèi)型中最適宜作為發(fā)芽率和溫度的回歸方程類(lèi)型的是A．B．C．D．2．（2017山東）為了研究某班學(xué)生的腳長(zhǎng)（單位：厘米）和身高（單位：厘米）的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出與之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回歸直線方程為．已知，，．該班某學(xué)生的腳長(zhǎng)為24，據(jù)此估計(jì)其身高為A．B．C．D．3．(2021年全國(guó)甲卷理)甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)甲機(jī)床15050200乙機(jī)床12080200合計(jì)270130400(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少?(2)能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?附：0.0500.0100.0013.8416.63510.8284．(2020年全國(guó)卷Ⅲ)某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：鍛煉人次空氣質(zhì)量等級(jí)[0，200](200，400](400，600]1（優(yōu)）216252（良）510123（輕度污染）6784（中度污染）720(1)分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1，2，3，4的概率；(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(3)若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次≤400人次>400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附：0．0500．0100．0013．8416．63510．8285．(2020年山東新全國(guó)卷Ⅰ)為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測(cè)部門(mén)對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天空氣中的和濃度（單位：），得下表：3218468123710(1)估計(jì)事件“該市一天空氣中濃度不超過(guò)75，且濃度不超過(guò)150”的概率；(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，判斷是否有的把握認(rèn)為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān)？附：，0．0500．0100．0013．8416．63510．8286．(2019年全國(guó)Ⅲ卷)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成，兩組，每組100只，其中組小鼠給服甲離子溶液，組小鼠給服乙離子溶液．每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比．根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5．5”，根據(jù)直方圖得到的估計(jì)值為0．70．(1)求乙離子殘留百分比直方圖中，的值；(2)分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．7．（2018全國(guó)卷Ⅱ）下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額（單位：億元）的折線圖．為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了與時(shí)間變量的兩個(gè)線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量的值依次為）建立模型①：；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量的值依次為）建立模型②：．(1)分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值；(2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說(shuō)明理由．8．(2016年全國(guó)III)下圖是我國(guó)2008年至2014年生活垃圾無(wú)害化處理量（單位：億噸）的折線圖（Ⅰ）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；（Ⅱ）建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到0．01），預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量．附注：參考數(shù)據(jù)：，，，EQ\R(7)≈2．646．參考公式：相關(guān)系數(shù)回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：9．（2015新課標(biāo)1）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)（單位：千元）對(duì)年銷(xiāo)售量（單位：t）和年利潤(rùn)（單位：千元）的影響，對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)和年銷(xiāo)售量（=1，2，···，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．46．65636．8289．81．61469108．8表中，=．（Ⅰ）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)適宜作為年銷(xiāo)售量關(guān)于年宣傳費(fèi)的回歸方程類(lèi)型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；（Ⅲ）已知這種產(chǎn)品的年利率與、的關(guān)系為．根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果回答下列問(wèn)題：（ⅰ）年宣傳費(fèi)=49時(shí)，年銷(xiāo)售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？（ⅱ）年宣傳費(fèi)為何值時(shí)，年利率的預(yù)報(bào)值最大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，，，其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，．參考答案：1．D【解析】根據(jù)散點(diǎn)圖，用光滑的曲線把圖中各點(diǎn)依次連起來(lái)（圖略），由圖并結(jié)合選項(xiàng)可排除A，B，C，故選D．2．C【解析】因?yàn)?，，所以，，選C．3．【解析】(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)知，甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率是，乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率是．(2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得．因?yàn)?，所以?9%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異，4．【解析】(1)由所給數(shù)據(jù)，該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1，2，3，4的概率的估計(jì)值如下表：空氣質(zhì)量等級(jí)1234概率的估計(jì)值0.430.270.210.09(2)一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值為．(3)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表：人次≤400人次>400空氣質(zhì)量好3337空氣質(zhì)量不好228根據(jù)列聯(lián)表得．由于，故有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)．5．【解析】(1)根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，該市100天的空氣中PM2．5濃度不超過(guò)75，且濃度不超過(guò)150的天數(shù)為，因此，該市一天空氣中PM2．5濃度不超過(guò)75，且濃度不超過(guò)150的概率的估計(jì)值為．(2)根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表：64161010(3)根據(jù)(2)的列聯(lián)表得．由于，故有的把握認(rèn)為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān)．6．【解析】(1)由已知得，故．．(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為．乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為．7．【解析】(1)利用模型①，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為(億元)．利用模型②，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為(億元)．(2)利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠．理由如下：（?。恼劬€圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒(méi)有隨機(jī)散布在直線上下．這說(shuō)明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì)．2010年相對(duì)2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說(shuō)明從2010年開(kāi)始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì)，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì)，因此利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠．（ⅱ）從計(jì)算結(jié)果看，相對(duì)于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)測(cè)值226．1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測(cè)值的增幅比較合理．說(shuō)明利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠．以上給出了2種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分．8．【解析】（Ⅰ）由折線圖這數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得，，，，．因?yàn)榕c的相關(guān)系數(shù)近似為0．99，說(shuō)明與的線性相關(guān)相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，．所以，關(guān)于的回歸方程為：．將2016年對(duì)應(yīng)的代入回歸方程得：．所以預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量將約1.82億噸．9．【解析】（Ⅰ）由散點(diǎn)圖可以判斷，適宜作為年銷(xiāo)售量關(guān)于年宣傳費(fèi)的回歸方程類(lèi)型．（Ⅱ）令，先建立關(guān)于的線性回歸方程，由于．，所以關(guān)于的線性回歸方程為，因此關(guān)于的回歸方程為．（Ⅲ）（?。┯桑á颍┲?，當(dāng)時(shí)，年銷(xiāo)售量的預(yù)報(bào)值年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值．（ⅱ）根據(jù)（Ⅱ）得結(jié)果知，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值．所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值．故年宣傳費(fèi)為千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大．第三部分：古典概型1．(2021年全國(guó)甲卷理)將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為A．B．C．D．2．(2021年新高考Ⅰ卷)有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則A．甲與丙相互獨(dú)立 B．甲與丁相互獨(dú)立C．乙與丙相互獨(dú)立 D．丙與丁相互獨(dú)立3．(2020年全國(guó)卷Ⅱ)在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開(kāi)通網(wǎng)上銷(xiāo)售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓．為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作．已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過(guò)1600份的概率為0．05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0．95，則至少需要志愿者A．10名B．18名 C．24名 D．32名4．(2020年天津卷)已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為和．假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為_(kāi)__；甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為_(kāi)__．5．(2019年全國(guó)Ⅰ卷)我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“——”和陰爻“——”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是A． B． C． D．6．(2019年全國(guó)Ⅲ卷)《西游記》《三國(guó)演義》《水滸傳》和《紅樓夢(mèng)》是中國(guó)古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國(guó)古典小說(shuō)四大名著．某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過(guò)《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有90位，閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80位，閱讀過(guò)《西游記》且閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.87．(2018全國(guó)卷Ⅱ)我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如．在不超過(guò)30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是A． B． C． D．參考答案：1．C【解析】解法一（將4個(gè)1和2個(gè)0視為完全不同的元素）4個(gè)1分別設(shè)為1A，1B，1C，1D，2個(gè)0分別設(shè)為0A，0B，將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行有種排法，將1A，1B，1C，1D排成一行有種排法，再將0A，0B插空有種排法，所以2個(gè)0不相鄰的概率．解法二（含有相同元素的排列）將4個(gè)1和2個(gè)0安排在6個(gè)位置，則選擇2個(gè)位置安排0，共有種排法；將4個(gè)1排成一行，把2個(gè)0插空，即在5個(gè)位置中選2個(gè)位置安排0，共有種排法．所以2個(gè)0不相鄰的概率．2．B【解析】事件甲發(fā)生的概率，事件乙發(fā)牛的概率，事件丙發(fā)生的概率，事件丁發(fā)生的概率，事件甲與事件丙同時(shí)發(fā)生的概率為0，，故A錯(cuò)誤；事件甲與事件丁同時(shí)發(fā)生的概率為，，故B正確；事件乙與事件丙同時(shí)發(fā)生的概率為，，故C錯(cuò)誤；事件丙與事件丁是互斥事件，不是相互獨(dú)立事件，故D錯(cuò)誤，選B．3．B【解析】由題意知超市第二天能完成1200份訂單的配貨，如果沒(méi)有志愿者幫忙，則超市第二天共會(huì)積壓超過(guò)500+(1600?1200)=900份訂單的概率為0.05，因此要使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，至少需要志愿者（名），故選B．4．【解析】依題意得，甲、乙兩球都落入盒子的概率為，甲、乙兩球都不落入盒子的概率為，則甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盆子的概率為．5．A【解析】由6個(gè)爻組成的重卦種數(shù)為=64，在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的種數(shù)為．根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式得，所求概率，故選A．6．C【解析】根據(jù)題意閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》《西游記》的人數(shù)用韋恩圖表示如下：所以該校閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總?cè)藬?shù)比值的估計(jì)值為．7．C【解析】不超過(guò)30的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個(gè)，從中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)有種不同的取法，這10個(gè)數(shù)中兩個(gè)不同的數(shù)的和等于30的有3對(duì)，所以所求概率，故選C．第四部分：離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差1．(2020年全國(guó)卷Ⅲ)在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為，，，，且，則下面四種情形中，對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是A．，B．，C．，D．，2．(2020年山東新全國(guó)卷Ⅰ)信息熵是信息論中的一個(gè)重要概念．設(shè)隨機(jī)變量所有可能的取值為，且，，定義的信息熵．A．若，則B．若，則隨著的增大而增大C．若，則隨著的增大而增大D．若，隨機(jī)變量所有可能的取值為，且，則3．(2019年浙江卷)設(shè)，則隨機(jī)變量的分布列是01則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，A．增大 B．減小C．先增大后減小 D．先減小后增大4．(2018全國(guó)卷Ⅲ)某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，，，則=A．0．7 B．0．6 C．0．4 D．0．35．(2018浙江)設(shè)，隨機(jī)變量的分布列是012則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，A．減小 B．增大C．先減小后增大 D．先增大后減小6．（2017浙江）已知隨機(jī)變量滿足，，=1，2．若，則A．<，< B．<，>C．>，< D．>，>7．（2014浙江）已知甲盒中僅有1個(gè)球且為紅球，乙盒中有個(gè)紅球和個(gè)籃球，從乙盒中隨機(jī)抽取個(gè)球放入甲盒中．（a）放入個(gè)球后，甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)記為；（b）放入個(gè)球后，從甲盒中取1個(gè)球是紅球的概率記為．則A．B．C．D．二、填空題8．(2021年浙江卷)袋中有4個(gè)紅球，個(gè)黃球，個(gè)綠球．現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的紅球數(shù)為，若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，則=______，=_______．9．(2020年浙江卷)盒中有4個(gè)球，其中1個(gè)紅球，1個(gè)綠球，2個(gè)黃球．從盒中隨機(jī)取球，每次取1個(gè)，不放回，直到取出紅球?yàn)橹梗O(shè)此過(guò)程中取到黃球的個(gè)數(shù)為，則_______，_______．10．（2017新課標(biāo)Ⅱ）一批產(chǎn)品的二等品率為，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取次，Χ表示抽到的二等品件數(shù)，則=．11．(2016年四川)同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功，則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)的均值是.12．（2014浙江）隨機(jī)變量的取值為0,1,2，若，，則__．三、解答題13．(2021年新高考Ⅰ卷)某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類(lèi)問(wèn)題．每位參加比賽的同學(xué)先在兩類(lèi)問(wèn)題中選擇一類(lèi)并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類(lèi)問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；B類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分．己知小明能正確回答A類(lèi)問(wèn)題的概率為0．8，能正確回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題的概率為0．6，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān)．(1)若小明先回答A類(lèi)問(wèn)題，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列；(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類(lèi)問(wèn)題？并說(shuō)明理由．14．(2021年新高考Ⅱ卷)一種微生物群體可以經(jīng)過(guò)自身繁殖不斷生存下來(lái)，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第2代，……，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，．(1)已知，，，，求；(2)設(shè)表示該種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕的概率，是關(guān)于的方程：的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；(3)根據(jù)你的理解說(shuō)明(2)問(wèn)結(jié)論的實(shí)際含義．15．(2021年北京卷)為加快新冠肺炎檢測(cè)效率，某檢測(cè)機(jī)構(gòu)采取“合1檢測(cè)法”，即將個(gè)人的拭子樣本合并檢測(cè)，若為陰性，則可確定所有樣本都是陰性的；若為陽(yáng)性，則還需要對(duì)本組的每個(gè)人再做檢測(cè)．現(xiàn)有100人，已知其中2人感染病毒．(1)①若采用“10合1檢測(cè)法”，且兩名患者在同一組，求總檢測(cè)次數(shù)；②已知10人分成一組，分10組，兩名感染患者在同一組的概率為，定義隨機(jī)變量為總檢測(cè)次數(shù)，求檢測(cè)次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若采用“5合1檢測(cè)法”，檢測(cè)次數(shù)的期望為，試比較和的大小(直接寫(xiě)出結(jié)果)．16．(2020年江蘇卷)甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為，恰有2個(gè)黑球的概率為，恰有1個(gè)黑球的概率為．（1）求，和，；（2）求與的遞推關(guān)系式和的數(shù)學(xué)期望(用表示)．17．(2019年全國(guó)Ⅰ卷)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問(wèn)題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為和，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為．(1)求的分布列；(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開(kāi)始時(shí)都賦予4分，表示“甲藥的累計(jì)得分為時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設(shè)，．(i)證明：為等比數(shù)列；(ii)求，并根據(jù)的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性．18．(2019年天津卷)設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為．假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立．（Ⅰ）用表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）設(shè)為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件發(fā)生的概率．19．(2019年北京)改革開(kāi)放以來(lái)，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來(lái)，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個(gè)月，兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中，兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用和僅使用的學(xué)生的支付金額分布情況如下：支付金額（元）支付方式（0，1000]（1000，2000]大于2000僅使用18人9人3人僅使用10人14人1人(Ⅰ)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月，兩種支付方式都使用的概率；(Ⅱ)從樣本僅使用和僅使用的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1000元的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(Ⅲ)已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒(méi)有變化．現(xiàn)從樣本僅使用的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元．根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說(shuō)明理由．20．(2019年江蘇)在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)集，，()．令．從集合中任取兩個(gè)不同的點(diǎn)，用隨機(jī)變量表示它們之間的距離．(1)當(dāng)時(shí)，求的概率分布；(2)對(duì)給定的正整數(shù)，求概率(用表示)．21．（2018北京）電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類(lèi)整理得到下表：電影類(lèi)型第一類(lèi)第二類(lèi)第三類(lèi)第四類(lèi)第五類(lèi)第六類(lèi)電影部數(shù)14050300200800510好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1好評(píng)率是指：一類(lèi)電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類(lèi)電影的部數(shù)的比值．假設(shè)所有電影是否獲得好評(píng)相互獨(dú)立．(1)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類(lèi)電影的概率；(2)從第四類(lèi)電影和第五類(lèi)電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率；(3)假設(shè)每類(lèi)電影得到人們喜歡的概率與表格中該類(lèi)電影的好評(píng)率相等，用“”表示第類(lèi)電影得到人們喜歡，“”表示第k類(lèi)電影沒(méi)有得到人們喜歡（=1，2，3，4，5，6）．寫(xiě)出方差，，，，，的大小關(guān)系．22．（2018全國(guó)卷Ⅰ）某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立．(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為，求的最大值點(diǎn)．(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的作為的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用．（i）若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為，求；（ii）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？23．(2018天津)已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工人數(shù)分別為24，16，16．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查．(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工中分別抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查．（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ii）設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率．24．（2017新課標(biāo)Ⅲ）某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率。(1)求六月份這種酸奶一天的需求量(單位：瓶)的分布列；(2)設(shè)六月份一天銷(xiāo)售這種酸奶的利潤(rùn)為(單位：元)，當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量(單位：瓶)為多少時(shí)，的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？25．（2017江蘇）已知一個(gè)口袋有個(gè)白球，個(gè)黑球（，，），這些球除顏色外全部相同．現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)的逐個(gè)取出，并放入如圖所示的編號(hào)為1，2，3，…，的抽屜內(nèi)，其中第次取球放入編號(hào)為的抽屜（=1，2，3，…，）．123…（1）試求編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率；（2）隨機(jī)變量表示最后一個(gè)取出的黑球所在抽屜編號(hào)的倒數(shù)，是的數(shù)學(xué)期望，證明．26．（2017天津）從甲地到乙地要經(jīng)過(guò)3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為．（Ⅰ）設(shè)表示一輛車(chē)從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）若有2輛車(chē)獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車(chē)共遇到1個(gè)紅燈的概率．27．（2017山東）在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過(guò)對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來(lái)評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者，，，，，和4名女志愿者，，，，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示．（Ⅰ）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的頻率。（Ⅱ）用表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．28．（2017北京）為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機(jī)分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥．一段時(shí)間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)和的數(shù)據(jù)，并制成下圖，其中“*”表示服藥者，“+”表示未服藥者．（Ⅰ）從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，求此人指標(biāo)的值小于60的概率；（Ⅱ）從圖中A，B，C，D四人中隨機(jī)選出兩人，記為選出的兩人中指標(biāo)的值大于1.7的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）29．(2016年全國(guó)I)某公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰．機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買(mǎi)這種零件作為備件，每個(gè)200元．在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買(mǎi)，則每個(gè)500元．現(xiàn)需決策在購(gòu)買(mǎi)機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買(mǎi)幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，表示購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的易損零件數(shù).（I）求的分布列；（=2\*ROMANII）若要求，確定的最小值；（=3\*ROMANIII）以購(gòu)買(mǎi)易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在與之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？參考答案：1．B【解析】對(duì)于A，當(dāng)，時(shí)，隨機(jī)變量置的分布列為12340.10.40.40.1，，所以，對(duì)于B，當(dāng)，時(shí)，隨機(jī)變量的分布列為12340.40.10.10.4，，所以．對(duì)于C，當(dāng)，時(shí)，隨機(jī)變量的分布列為12340.20.30.30.2，，所以．對(duì)于D，當(dāng)，時(shí)，隨機(jī)變量的分布列為12340.30.20.20.3，，所以，所以B中的標(biāo)準(zhǔn)差最大．2．AC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，若，則，，∴，A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由此可得，當(dāng)與時(shí)，信息熵相等，∴B不正確，對(duì)于選項(xiàng)C，若，則，∴隨著的增大而增大，C正確．對(duì)于選項(xiàng)D，若，隨機(jī)變量的可能取值為1，2，…，，由()知，；；；…；．，，．易知，…，，∴，…，，∴，故D錯(cuò)誤．3．D【解析】由題意可得，，所以，所以當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，先減小后增大．故選D．4．B【解析】由題意知，該群體的10位成員使用移動(dòng)支付的概率分布符合二項(xiàng)分布，所以，所以或．由，得，即，所以，所以．故選B．5．D【解析】由題可得，所以，所以當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，先增大后減?。蔬xD．6．A【解析】由題意可得0101由兩點(diǎn)分布，；，，∵∵，∴，∴<，<，選A．7．A【解析】解法一（特值法）取=3進(jìn)行計(jì)算、比較即可．解法二從乙盒中取1個(gè)球時(shí)，取出的紅球的個(gè)數(shù)記為，則的所有可能取值為0，1，則，，所以，所以；從乙盒中取2個(gè)球時(shí)，取出的紅球的個(gè)數(shù)記為，則的所有可能的取值為0，1，2，則，，∴，∴，所以，，故選A．8．1【解析】由題意可得，，化簡(jiǎn)得，得，取出的兩個(gè)球一紅一黃的概率，解得，故．所以，易知的所有可能取值為0，1，2，且，，，所以．9．1【解析】表示停止取球時(shí)沒(méi)有取到黃球，所以．隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，則，，所以．10．1.96【解析】由題意可得，抽到二等品的件數(shù)符合二項(xiàng)分布，即，由二項(xiàng)分布的期望公式可得．11．【解析】實(shí)驗(yàn)成功的概率，故，所以．12．【解析】由題意設(shè)的分布列如下012由，可得，所以．13．【解析】(1)由題可知，的所有可能取值為0，20，100．；；．所以的分布列為0201000.20.320.48(2)當(dāng)小明先回答A類(lèi)問(wèn)題時(shí)，由(1)可得．當(dāng)小明先回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題時(shí)，記為小明的累計(jì)得分，則的所有可能取值為0，80，100．；；．所以的分布列為0801000.40.120.48所以．因?yàn)?，即，所以為使累?jì)得分的期望值最大，小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題．14．【解析】(1)．(2)由題意，，設(shè)，，則，令，則，∵，∴在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞減，又，，故．當(dāng)時(shí)，，，則存在，使，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，所以，故，即．(3)當(dāng)時(shí)，，即繁殖下一代的均值不大于1個(gè)時(shí)，該微生物臨近滅絕的概率為1，必然滅絕；當(dāng)時(shí)，，即繁殖下一代的均值大于1個(gè)時(shí)，該微生物臨近滅絕的概率為小于1，該微生物不會(huì)滅絕．15．【解析】(1)①對(duì)每組進(jìn)行檢測(cè)，需要10次；再對(duì)結(jié)果為陽(yáng)性的每個(gè)人進(jìn)行檢測(cè)，需要10次；所以總檢測(cè)次數(shù)為20次．②由題意，兩名感染者在同一組時(shí)，共需測(cè)20次；若兩名感染者不在同一組，需要測(cè)30次．故可以取20，30．，，則的分布列為2030所以．(2)由題意，可取25，39，設(shè)兩名感染者在同一組的概率為，，，則，若，；若，；若，．16．【解析】(1)，，，．(2)當(dāng)時(shí)，，①，②，得．從而，又，所以，．③由②，有，又，所以，．由③，有，．故，．的概率分布012則，．17．【解析】(1)的所有可能取值為．所以的分布列為01(2)(i)由(1)得，，．因此，故，即．又因?yàn)?，所以為公比?，首項(xiàng)為的等比數(shù)列．(ii)由(i)可得．由于，故，所以表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率，由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為，此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小，說(shuō)明這種試驗(yàn)方案合理．18．【解析】(Ⅰ)因?yàn)榧淄瑢W(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨(dú)立，且每天7：30之前到校的概率均為，故，從而．所以，隨機(jī)變量的分布列為0123隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望．(Ⅱ)設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)為，則，且．由題意知事件與互斥，且事件與，事件與均相互獨(dú)立，從而由(Ⅰ)知．19．【解析】(Ⅰ)由題意知，樣本中僅使用的學(xué)生有18+9+3=30人，僅使用的學(xué)生有10+14+1=25人，，兩種支付方式都不使用的學(xué)生有5人．故樣本中，兩種支付方式都使用的學(xué)生有100?30?25?5=40人．所以從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月，兩種支付方式都使用的概率估計(jì)為．(Ⅱ)的所有可能值為0，1，2．記事件為“從樣本僅使用的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1000元”，事件為“從樣本僅使用的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1000元”．由題設(shè)知，事件，相互獨(dú)立，且，．所以，=0.4×(1?0.6)+(1?0.4)×0.6=0.52，．所以的分布列為0120.240.520.24故的數(shù)學(xué)期望=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1．(Ⅲ)記事件為“從樣本僅使用的學(xué)生中隨機(jī)抽查3人，他們本月的支付金額都大于2000元”．假設(shè)樣本僅使用的學(xué)生中，本月支付金額大于2000元的人數(shù)沒(méi)有變化，則由上個(gè)月的樣本數(shù)據(jù)得．答案示例1：可以認(rèn)為有變化．理由如下：比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生．一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為本月的支付金額大于2000元的人數(shù)發(fā)生了變化．所以可以認(rèn)為有變化．答案示例2：無(wú)法確定有沒(méi)有變化．理由如下：事件是隨機(jī)事件，比較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的，所以無(wú)法確定有沒(méi)有變化．20．【解析】(1)當(dāng)時(shí)，的所有可能取值是．的概率分布為，．(2)設(shè)和是從中取出的兩個(gè)點(diǎn)．因?yàn)?，所以僅需考慮的情況．①若，則，不存在的取法；②若，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)或，有2種取法；③若，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)或，有2種取法；④若，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)或，有2種取法．綜上，當(dāng)時(shí)，的所有可能取值是和，且．因此，．21．【解析】(1)由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000，第四類(lèi)電影中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是200×0.25=50．故所求概率為．(2)設(shè)事件A為“從第四類(lèi)電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評(píng)”，事件B為“從第五類(lèi)電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評(píng)”．故所求概率為=．由題意知：估計(jì)為0．25，估計(jì)為0．2．故所求概率估計(jì)為0．25×0．8+0．75×0．2=0．35．(3)>>=>>．22．【解析】(1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為．因此．令，得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以的最大值點(diǎn)為．(2)由(1)知，．（i）令表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知，，即．所以．（ii）如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元．由于，故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)．23．【解析】(1)由已知，甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工中分別抽取3人，2人，2人．(2)（i）隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3．(=0，1，2，3)．所以，隨機(jī)變量的分布列為0123隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望．（ii）設(shè)事件為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；事件為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，則，且與互斥，由（i）知，，，故．所以，事件發(fā)生的概率為．24．【解析】（1）由題意知，所有的可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知，，．因此的分布列為0．20．40．4（2）由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，因此只需考慮當(dāng)時(shí)，若最高氣溫不低于25，則；若最高氣溫位于區(qū)間，則；若最高氣溫低于20，則；因此．當(dāng)時(shí)，若最高氣溫不低于20，則；若最高氣溫低于20，則；因此．所以時(shí)，的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元．

25．【解析】(1)編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率為:.

(2)隨機(jī)變量的概率分布為:…………隨機(jī)變量的期望為：.所以.26．【解析】（Ⅰ）隨機(jī)變量的所有可能取值為0,1,2,3.，，，.所以，隨機(jī)變量的分布列為0123隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.（Ⅱ）設(shè)表示第一輛車(chē)遇到紅燈的個(gè)數(shù)，表示第二輛車(chē)遇到紅燈的個(gè)數(shù)，則所求事件的概率為.所以，這2輛車(chē)共遇到1個(gè)紅燈的概率為.27．【解析】（Ⅰ）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為，則(Ⅱ)由題意知可取的值為：．則因此的分布列為01234的數(shù)學(xué)期望是==2．28．【解析】（Ⅰ）由圖知，在服藥的50名患者中，指標(biāo)的值小于60的有15人，所以從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，此人指標(biāo)的值小于60的概率為．（Ⅱ）由圖知，A,B,C,D四人中，指標(biāo)的值大于1.7的有2人：A和C．所以的所有可能取值為0,1,2．．所以的分布列為012故的期望．（Ⅲ）在這100名患者中，服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差．29．【解析】（Ⅰ）由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11的概率分別為0.2，0.4，0.2，0.2，從而；；；；；；.所以的分布列為16171819202122（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故的最小值為19.（Ⅲ）記表示2臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買(mǎi)易損零件上所需的費(fèi)用（單位：元）.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.可知當(dāng)時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于時(shí)所需費(fèi)用的期望值，故應(yīng)選.第五部分：二項(xiàng)分布及其應(yīng)用、正態(tài)分布1．(2021年新高考Ⅱ卷)某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中不正確的是A．越小，