2022年北京高考數(shù)學(xué)試題和答案

絕密本科目考試啟用前2022北京高考真題數(shù)學(xué)本試卷共5頁(yè)，分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分(選擇題共一、選擇題共小題，每小題4分，共分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知全集U=x?3x3，集合A=x?2x1，則CA=U(?（A）2,1（）(??2)?)（）2,1（D）(??2]（2）若復(fù)數(shù)z滿足iz=3?i，則z=（A）1（）7（）5（D）25（3）若直線2x+y?1=0是圓xa(?)2+y2=1的一條對(duì)稱軸，則a=11（A）（）?221（）1（D）11+2（4）己知函數(shù)f(x)=,則對(duì)任意實(shí)數(shù)，有xx(?)+()=fx(?)?()=fx（A）f（）fx0（）f（D）fx013(?)+()=fx(?)?()=fxx1x（5）己知函數(shù)f(x)=cos2x?sinx，則226412()??()fx?（A）fx在,上單調(diào)遞減（）在,上單調(diào)遞增（D）fx在,()()（）fx在上單調(diào)遞減上單調(diào)遞增3412是公差不為0的無(wú)窮等差數(shù)列，則“n為遞增數(shù)列”是存在正整數(shù)N0，當(dāng)n（6nN0時(shí)，n0”的（A）充分而不必要條件（）充分必要條件（）必要而不充分條件（D）既不充分也不必要條件（7）在北京冬奧會(huì)上，國(guó)家速滑館冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn)，如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和1gP的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強(qiáng)，單位是bar，下列結(jié)論中正確的是（A）當(dāng)T=220，P=時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)，（）當(dāng)T=270P=128時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)（）當(dāng)T=300，P=時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)（D）當(dāng)T=360，P=729（8(2x?4=a4x4+3x3+a2x+ax+a，則a+a+a=100242（A）40（）41?41（D）（）P?S是△ABC及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合，設(shè)集合（9）已知正三棱錐的六條棱長(zhǎng)均為，6T=QSPQ，則T表示的區(qū)域的面積為（A）（）（）4（D）（10）在△ABC中，AC=3，BC=4，C=90．為△ABCPC=1，則PA所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且P的取值范圍是?（A）5,3（）4?（）3,5（D）6第二部分（非選擇題共二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。1()=+1?x的定義域是_________．（11）函數(shù)fxxx23（12）已知雙曲線y2+=1的漸近線方程為y=x，則m=_________．m312（13）若函數(shù)f(x)=Asinx?3cosx的一個(gè)零點(diǎn)為，則A=_______；f=_________．3?ax+xa（14）設(shè)函數(shù)f(x)=()，若fx存在最小值，則的一個(gè)取值為_(kāi)________a；a的最大值為(x?2),x2_________．（15）已知數(shù)列n的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和S，滿足aS=n9(n=)給出下列四個(gè)結(jié)論：nn②n為等比數(shù)列；①n2項(xiàng)小于；1③n為遞減數(shù)列；④n中存在小于的項(xiàng)。其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_________．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。（16）（本小題在△ABC中，sinC=3sinC．（I）求C：（II）若b=6，且△ABC的面積為63，求△ABC的周長(zhǎng)．（17）（本小題如圖，在三棱柱?ABC中，側(cè)面BCCB為正方形，平面BCCB⊥平面ABBA，AB=BC=2，M,N111111111分別為AB，AC的中點(diǎn)．11（I）求證：MN//平面1B；1（II）再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求ABBMN所成角的正弦值。直線與平面AB⊥MN=條件①：條件②：；．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分。（18）（本小題在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到9.50m以上（含9.50m）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)，為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.25；乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；丙：9.85,9.65,9.20,．假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立（I）估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；（II）設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望XEX；（III）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰(shuí)獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）（19）（本小題x22y22已知橢圓E:+=ab0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A()，焦距為23．a(chǎn)b（I）求橢圓E的方程：(?)（）過(guò)點(diǎn)P2,1作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B,C，直線AB,分別與x軸交于點(diǎn)M,N，當(dāng)MN=2時(shí)，求k的值。（20）（本小題()=x(+)己知函數(shù)fxe1x．()（I）求曲線yfx=()在點(diǎn)f(0)處的切線方程；()=()()+)上的單調(diào)性；（I）設(shè)gxfx，討論函數(shù)gx在（III）證明：對(duì)任意的s,t(0,+)f(s+t)f(s)+ft)．（21）（本小題己知Q:a,a,為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)，若對(duì)任意的mn，在Q中存在連續(xù)可表數(shù)列．連續(xù)可表數(shù)列？說(shuō)明理由；12a+a+a+i+2n，則稱Qm?為a,a,a,，使得1i1i+2ii1（I）判斷Q:4是否為5-連續(xù)可表數(shù)列？是否為6?（II）若Q:a,a,為8?連續(xù)可表數(shù)列，求證：的最小值為；k12（III）若Q:a,a,為20?連續(xù)可表數(shù)列，a+a+20k7，求證：．1212參考答案一、選擇題12345678910DDBACCCDBB1【解析】UA=(2)3?i2.【解析】由條件可知z==?4?i所以z=5i123.【解析】若直線是圓的對(duì)稱軸，則直線過(guò)圓心，圓心坐標(biāo)（a）,所以由a+0-1=0a=11+211+22x22xx+1+14.【解析】由f(x)=,可得f(?x)==所以得f(?x)+f(x)==1x?x2x+15.【解析】f(x)=2x?sin2x=2x,選項(xiàng)A2x(,?),此時(shí)f(x)單調(diào)遞增，選項(xiàng)B中：32x(?,此時(shí)f(x)先遞增后遞減，選項(xiàng)C中：2x此時(shí)f(x)單調(diào)遞減，選項(xiàng)D2632x(,此時(shí)f(x)先遞減后遞增；所以選C266.【解析】①充分性證明：=?若n為遞增數(shù)列，則有對(duì)nN,aan,dan1ann1aN=?a+2（其中?a11為不大于?1的最大正整數(shù)），取正整數(shù)0dddaa=a+(n?da+(?則當(dāng)nN時(shí)，只要a都有1+d0nn11d②必要性證明：若存在正整數(shù)N，當(dāng)nN時(shí)，a00n因?yàn)閍=a+(n?dn1d?1所以因?yàn)閐,對(duì)nN0,nN都成立=且d0nd?1n→+n所以>0所以對(duì)nN,都有an1?an=dan1a,a即：為遞增數(shù)列；nna0“的充要條件n所以“a為遞增數(shù)列是存在正整數(shù)”“N,0當(dāng)nN,時(shí)，0”n所以選C7.【解析】A選項(xiàng)：P=lg1026T=由圖易知處于固態(tài)；B選項(xiàng)：P=lg128T=由圖易知處于液態(tài)；C選項(xiàng)：P=99873.999,T=由圖易知處于固態(tài)；D選項(xiàng)：P=7292,T=由圖易知處于超臨界狀態(tài)；所以選D8.【解析】當(dāng)x時(shí)，1=a+a+a+a+a①；當(dāng)=-181=a?a+a?a+a②；①+②得原式=4143210432109.【解析】過(guò)點(diǎn)P作底面射影點(diǎn)O，則由題意，CO=23,PC=所以PO=26,當(dāng)上存在一點(diǎn)Q使得PQ=5，此時(shí)QO=1，則動(dòng)點(diǎn)QQO為半徑，O為圓心得圓里，所以面積為Π10.【解析】方法一：建立如圖所示坐標(biāo)系，由題易知，設(shè)（00），（3，），（0，），P,sin0,2,因?yàn)镻C=1，所以設(shè)PAPB=(3?cos,?sin)(?cos,4?sin)=?3cos,?4sin+cos2+sin23,cos4,6,=4)?=1?5sin(+)(sin=55所以選D方法二：PC,CB=?PC,CA,CACB=0注意：2所以PAPB=(PC+)(PC+CB)=+CA+CB+CACB二、填空題11.【答案】(?,0)x1?x【解析】依題意解得x(?,0)=1的漸近線方程為y=12.【答案】?3x2x2+,故m=-3【解析】雙曲線ym?m13.【答案】?233【解析】f()=Asin?3=A?=A=133322f(x)=sinx?3x=2sin(x?f()=2sin(?)=2sin(?)=?2312123414.),1【解析】由題意知，函數(shù)最值于單調(diào)性相關(guān)，故可考慮以02為分界點(diǎn)研究函數(shù)(x)的性質(zhì)，當(dāng)+故整個(gè)函數(shù)沒(méi)有最小值；當(dāng)時(shí)，(x)=-+1,a該段值域?yàn)?，?x)=-ax+1,xa,該段的值域?yàn)??,?a2f(x)=(x?2)0<a2時(shí)，(x)=-+1,<a該段的值域?yàn)??a?a2,xa的值域?yàn)閇0,+故此時(shí)(x)的值域?yàn)閇0,+即存在最小值為，故第一個(gè)空可填寫(xiě)0++而f(x)=(x?2),xa的值域?yàn)閇0,+若存在最小值，則+1于是可得0<a≤1>2時(shí)(x)=-+1,<,該段得值域?yàn)?a++),而f(x)=(x?2),xa22222需滿足的值域?yàn)閇(a?2)2,+若存在最小值，則需滿足?a2+1(a?2),此不等式無(wú)解綜上，a的取值范圍是故a2的最大值為1.15.【答案】①③④【解析】a21=又各項(xiàng)均為正，可得a=令n=2可得a+a)=可解得1225?9999nn19?an22=故①正確；當(dāng)n2時(shí)，由Sn=得Sn1=,于是可得n=?，即=,若2nan1nn19=a,nan2a即從第二項(xiàng)起為常數(shù)，可檢驗(yàn)則不成立，故②錯(cuò)誤；為等比數(shù)列，則時(shí)，nn1an1nSnSn1aS=9(n=1,2).可得aS=aSn1,于是=所以an1an,于是③正確，對(duì)于④，若所有項(xiàng)nnnnn111均大于等于三、解答題n>90000,則an,S于是aS與已知矛盾，所以④正確.nnn10016.（I）由已知2sinCC=3sinC3由于C在ABC中，故0C,sinC故C=2C=6111（II）由（IsinC=S=absinC=63代入sinCb=6得a=43222由余弦定理：C=aC=6+632+b?2abcosC=23,217.（）設(shè)點(diǎn)P為中點(diǎn)，由于P為中點(diǎn)，N為中點(diǎn)ABC所以為PN∥中位線又M為中點(diǎn)，是正方形AABB的中位線11所以PM∥1BB∥PM1∥PN面BCCB∥面11BB1PM面MPN又∥面1B1（2）選擇條件①，∵面BCCB⊥A1111面BBCC面面面11⊥AB,NPBCNP⊥AB,又由①：⊥NP⊥⊥面MNP⊥NPN面MNP，⊥AB故AB,BC,BB1兩兩垂直以B為原點(diǎn)，為x軸正方向，為y軸正方向，1為z軸正方向建立坐標(biāo)系B:(0,0,0),M2),N:0),A:(0,0),BM:2),BN:0),AB:(0,0)則BMN的法向量n:(2,423BMN所成角的正弦等于與n所夾余弦的絕對(duì)值，即=6ABn2答：所求正弦為.318.（）甲共投10次，優(yōu)秀4次425由頻率估計(jì)概率P==10（2）XP012332571211甲優(yōu)秀概率為，乙優(yōu)秀概率為，丙優(yōu)秀概率為xX可取的值為01，，35223113故P(x=0)==52220211311311P(x==++=522522822208311311311P(x=2)=++=522522522207211P(x===522202337175EX=0+1+2+32020=510（3）丙：丙投到過(guò)3人中的最大值9.85，比甲、乙的最大值都要大，若比賽中發(fā)揮出好狀態(tài)，丙實(shí)力最強(qiáng)。19.x2（1）由已知b=2c=23,a=E:+y2=14y?1=k(x+B=(x,yC:(x,y)（2）由題可設(shè)直線方程為：1122y?1=k(x+，聯(lián)立直線和橢圓E方程：x2+y2=，+8k)x+k?4+4kk?k+8k)4可得(4k2+x2+k22+16k)=0可得k2+8k)222+16k)k<0，由216k+16k2根據(jù)韋達(dá)定理可得x+x=?,xx=122+124k+124k11?111?11+直線的斜率為k=,AB的直線方程為：y=11?y21?yx=M,x=同理可得點(diǎn)N的橫坐標(biāo),令y=0，可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)N12則有1212121=?=?=(?)1?11?y2?k(x+2)?k(x+2)kx+22+21221x(x2)x(x2)+?+12(1+2)2?41x=2112=2=kxx+2(x+x)+4kxx+2(x+x)+4121212122?2+16k+16k2k8k)2?41+4k21+4k21代入韋達(dá)定理可得=2k16k2+16k16k2?8k+2+41+4k21+4k264(2k2+k)2?416(k+k+4k)2221+214k化簡(jiǎn)可得：=2k16k2+16k?32k2?16k416k+2++1+4k21+4k21+4k214+4k3+k2?4k4?4k?13?k2?k=2即44kk?k11=,=,可得兩邊平方則有解得k2k4故k的值為-4.11+x20.解：（）fx)=ex+x+)f=f(0)故所求切線方程為y=x=21（2）gx)=ex+x+)?1+x+x)2211+2xex+x+)?ln1+0又1+x+x)2+x)2故gx)0x+)成立，g(x在[0,+)上單調(diào)遞增（3）證明：不妨設(shè)S≥,由拉個(gè)日朗中值定理f(s+t)?f(s)=f),其中[s,s+t],f(s+t)?f(s)=tf)(s+t)?sft)?f(0)t?0=f，其中(0,t即ft)?f(0)=tf)由g(x)在[0,+)上單調(diào)遞增，故f)f)f(s+t)?f(s)ft)?f(0)=ft)f(s+t)f(s)+ft)證畢21.【解析】（）若m=5，則對(duì)于任意∈，23，45}a=1=a=2=a+a=2+1=a=4=a+a=1+4=2112323所以Q是連續(xù)可表數(shù)列；由不存在任意連續(xù)若干項(xiàng)之和相加為6，所以Q