第01講 正數(shù)和負(fù)數(shù)、有理數(shù)（2大考點(diǎn)7種解題方法）（原卷版）

第01講正數(shù)和負(fù)數(shù)、有理數(shù)（2大考點(diǎn)7種解題方法）考點(diǎn)考點(diǎn)考向一．正數(shù)和負(fù)數(shù)1、在以前學(xué)過的0以外的數(shù)叫做正數(shù)，在正數(shù)前面加負(fù)號(hào)“﹣”，叫做負(fù)數(shù)，一個(gè)數(shù)前面的“+”“﹣”號(hào)叫做它的符號(hào)．2、0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)．0是正負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)，正數(shù)是大于0的數(shù)，負(fù)數(shù)是小于0的數(shù)．3、用正負(fù)數(shù)表示兩種具有相反意義的量．具有相反意義的量都是互相依存的兩個(gè)量，它包含兩個(gè)要素，一是它們的意義相反，二是它們都是數(shù)量．二．有理數(shù)1、有理數(shù)的概念：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)．2、有理數(shù)的分類：①按整數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)系分類：有理數(shù)；②按正數(shù)、負(fù)數(shù)與0的關(guān)系分類：有理數(shù)．注意：如果一個(gè)數(shù)是小數(shù)，它是否屬于有理數(shù)，就看它是否能化成分?jǐn)?shù)的形式，所有的有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù)的形式，因而屬于有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)，不能化成分?jǐn)?shù)形式，因而不屬于有理數(shù)．三．?dāng)?shù)軸（1）數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸．?dāng)?shù)軸的三要素：原點(diǎn)，單位長度，正方向．（2）數(shù)軸上的點(diǎn)：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理數(shù)．（一般取右方向?yàn)檎较?，?shù)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)任意實(shí)數(shù)，包括無理數(shù)．）（3）用數(shù)軸比較大?。阂话銇碚f，當(dāng)數(shù)軸方向朝右時(shí)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．四．相反數(shù)（1）相反數(shù)的概念：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)．（2）相反數(shù)的意義：掌握相反數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的，不能單獨(dú)存在，從數(shù)軸上看，除0外，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，它們分別在原點(diǎn)兩旁且到原點(diǎn)距離相等．（3）多重符號(hào)的化簡：與“+”個(gè)數(shù)無關(guān)，有奇數(shù)個(gè)“﹣”號(hào)結(jié)果為負(fù)，有偶數(shù)個(gè)“﹣”號(hào)，結(jié)果為正．（4）規(guī)律方法總結(jié)：求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個(gè)數(shù)的前邊添加“﹣”，如a的相反數(shù)是﹣a，m+n的相反數(shù)是﹣（m+n），這時(shí)m+n是一個(gè)整體，在整體前面添負(fù)號(hào)時(shí)，要用小括號(hào)．五．絕對(duì)值（1）概念：數(shù)軸上某個(gè)數(shù)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值．①互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)絕對(duì)值相等；②絕對(duì)值等于一個(gè)正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，絕對(duì)值等于0的數(shù)有一個(gè)，沒有絕對(duì)值等于負(fù)數(shù)的數(shù)．③有理數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)．（2）如果用字母a表示有理數(shù)，則數(shù)a絕對(duì)值要由字母a本身的取值來確定：①當(dāng)a是正有理數(shù)時(shí)，a的絕對(duì)值是它本身a；②當(dāng)a是負(fù)有理數(shù)時(shí)，a的絕對(duì)值是它的相反數(shù)﹣a；③當(dāng)a是零時(shí)，a的絕對(duì)值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）六．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，任意一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的絕對(duì)值相加和為0時(shí)，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0．根據(jù)上述的性質(zhì)可列出方程求出未知數(shù)的值．七．有理數(shù)大小比較（1）有理數(shù)的大小比較比較有理數(shù)的大小可以利用數(shù)軸，他們從右到左的順序，即從大到小的順序（在數(shù)軸上表示的兩個(gè)有理數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大）；也可以利用數(shù)的性質(zhì)比較異號(hào)兩數(shù)及0的大小，利用絕對(duì)值比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大?。?）有理數(shù)大小比較的法則：①正數(shù)都大于0；②負(fù)數(shù)都小于0；③正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；④兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的其值反而?。疽?guī)律方法】有理數(shù)大小比較的三種方法1．法則比較：正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)．兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而?。?．?dāng)?shù)軸比較：在數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)大于左邊的點(diǎn)表示的數(shù)．3．作差比較：若a﹣b＞0，則a＞b；若a﹣b＜0，則a＜b；若a﹣b＝0，則a＝b．考點(diǎn)考點(diǎn)精講一．正數(shù)和負(fù)數(shù)（共4小題）1．（2022?西寧）下列各數(shù)是負(fù)數(shù)的是（）A．0 B． C．﹣（﹣5） D．2．（2021秋?包頭期末）南、北為兩個(gè)相反方向，如果+3m表示一個(gè)物體向北移動(dòng)3m，那么﹣4m表示一個(gè)物體（）A．向北移動(dòng)4m B．向南移動(dòng)4m C．向北移動(dòng)運(yùn)動(dòng)7m D．向南移動(dòng)運(yùn)動(dòng)7m3．（2021秋?天津期末）下列各數(shù)是正數(shù)的是（）A．﹣ B．0 C．2 D．﹣0.24．（2021秋?瓦房店市期末）在﹣2，3，，0，﹣1.7五個(gè)數(shù)中，正數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二．有理數(shù)（共6小題）5．（2021秋?雁峰區(qū)校級(jí)期末）下列各數(shù)，﹣6，25，0，3.14，20%中，分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．46．（2021秋?原陽縣期末）在﹣3.5，，0.161161116…，中，有理數(shù)有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．47．（2021秋?雁塔區(qū)校級(jí)期末）在，，+3.5，0，，﹣0.7中，負(fù)分?jǐn)?shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)8．（2021秋?寶應(yīng)縣期末）在下列數(shù)﹣，﹣π，2，﹣3中，為負(fù)整數(shù)的是（）A． B．﹣π C．2 D．﹣39．（2021秋?無錫期末）在數(shù)﹣12，π，﹣3.4，0，+3，﹣中，屬于非負(fù)整數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．110．（2021秋?南陽期末）下列說法中正確的是（）A．正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù) B．正整數(shù)、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù) C．零既可以是正整數(shù)，也可以是負(fù)整數(shù) D．一個(gè)有理數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)三．?dāng)?shù)軸（共3小題）11．（2021秋?襄都區(qū)校級(jí)期末）如圖所示，數(shù)軸上點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的有理數(shù)分別為a，b，下列關(guān)系式：①a﹣b＞0；②ab＜0；③；④a2＞b2．正確的有（）A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③12．（2021秋?綿陽期末）如圖，數(shù)軸上從左至右依次排列的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，其中A、C兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等，且AC＝8，BC＝2AB，則點(diǎn)B表示的數(shù)為（）A．﹣1 B．1 C． D．13．（2022春?香坊區(qū)期末）如圖是某一條東西方向直線上的公交線路的部分路段，西起A站，東至L站，途中共設(shè)12個(gè)上下車站點(diǎn)，某天，小明參加該線路上的志愿者服務(wù)活動(dòng)，從C站出發(fā)，最后在某站結(jié)束服務(wù)活動(dòng)．如果規(guī)定向東為正，向西為負(fù)，當(dāng)天的乘車站數(shù)按先后順序依次記錄如下（單位：站）：+5，﹣3，+4，﹣5，+8，﹣2，+1，﹣3，﹣4，+1．（1）請(qǐng)通過計(jì)算說明結(jié)束服務(wù)的“某站”是哪一站？（2）若相鄰兩站之間的平均距離約為2.5千米，求這次小明志愿服務(wù)期間乘坐公交車行進(jìn)的總路程約是多少千米？（3）已知油箱中要保持不低于10%的油量才能保證汽車安全行駛，若小明開始志愿服務(wù)活動(dòng)時(shí)該汽車油量占油箱總量的，每行駛1千米耗油0.2升，活動(dòng)結(jié)束時(shí)油量恰好能保證汽車安全行駛，則該汽車油箱能存儲(chǔ)油多少升？四．相反數(shù)（共4小題）14．（2022?桓臺(tái)縣一模）﹣3的相反數(shù)等于（）A．﹣3 B．3 C．±3 D．15．（2021秋?上杭縣期末）如圖，數(shù)軸上表示數(shù)3的相反數(shù)的點(diǎn)是（）A．M B．N C．P D．Q16．（2021秋?畢節(jié)市期末）下列各對(duì)數(shù)中，互為相反數(shù)的是（）A．﹣（+1）和+（﹣1） B．﹣（﹣1）和+（﹣1） C．﹣（+1）和﹣1 D．+（﹣1）和﹣117．（2021秋?中山區(qū)期末）若x與3互為相反數(shù)，則x等于（）A．0 B．﹣ C．﹣3 D．3五．絕對(duì)值（共5小題）18．（2021秋?開封期末）如圖，檢測排球的質(zhì)量，其中質(zhì)量超過標(biāo)準(zhǔn)的克數(shù)記為正數(shù)，不足的克數(shù)記為負(fù)數(shù)，下面已檢測的四個(gè)排球中其中質(zhì)量最接近標(biāo)準(zhǔn)的是（）A． B． C． D．19．（2021秋?城廂區(qū)期末）若a＜0，則2a+5|a|等于（）A．3a B．﹣3a C．7a D．﹣7a20．（2022?開福區(qū)校級(jí)二模）如果|m|＝﹣m，下列各式成立的是（）A．m＞0 B．m＜0 C．m≥0 D．m≤021．（2021秋?武侯區(qū)期末）﹣6的絕對(duì)值是（）A． B． C． D．22．（2021秋?西峽縣期末）|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值等于（）A．10 B．11 C．17 D．21六．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值（共3小題）23．（2021秋?聊城期末）若|a﹣1|+|b﹣3|＝0，則b﹣a﹣的值是（）A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．124．（2022春?通川區(qū)期末）已知|a﹣1|+|b+2|＝0?，則（a+2b）（a﹣2b）＝?．25．（2021秋?讓胡路區(qū)校級(jí)期末）若|x+3|+|y﹣5|＝0，那么x+y的值是多少？七．有理數(shù)大小比較（共4小題）26．（2022?廬陽區(qū)校級(jí)三模）下列各數(shù)中，最大的數(shù)是（）A．1 B．0 C．﹣2 D．﹣0.227．（2021秋?全州縣期末）下列各數(shù)中最小的數(shù)是（）A．1 B．﹣0.1 C．0 D．﹣128．（2022?兗州區(qū)一模）在0，﹣1，﹣5，這四個(gè)數(shù)中，比﹣2小的數(shù)是（）A．0 B．﹣1 C．﹣5 D．29．（2021秋?臨高縣期末）已知a＝﹣，b＝﹣2，c＝0.01，則a、b、c的大小關(guān)系是（）A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a鞏固鞏固提升一、單選題1．（2022·全國·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列是具有相反意義的量是（）A．身高增加1cm和體重減少1kg B．順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°C．向右走2米和向西走5米 D．購買5本圖書和借出4本圖書2．（2020·陜西商洛·七年級(jí)期末）若小剛同學(xué)通過微信搶紅包“收入”5.5元，記作“+5.5”，則他用微信消費(fèi)3.8元應(yīng)記作（

）A．3.8元 B．-3.8元 C．1.7元 D．9.3元3．（2022·貴州六盤水·七年級(jí)期末）昆昆沉迷游戲，有個(gè)人加了他好友，哄騙他能送游戲英雄和皮膚，并要求加他為QQ好友，這位“游戲好友”告知其現(xiàn)在有個(gè)“掃碼轉(zhuǎn)賬返利”活動(dòng)，充值300元可返利500元，充值700元可返利1000元，如果你是昆昆你會(huì)（

）A．這么劃算，趕緊充值后可以購買更多游戲裝備和皮膚B．天上沒有掉餡餅的事，肯定是騙子，必須立馬刪除“好友”C．立即和喜歡玩游戲的同學(xué)分享這么好的事情D．對(duì)這種事情一直抱著期待4．（2021·湖南·長沙市立信中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）下列集合中，所填的數(shù)正確的是（

）A．整數(shù)集合： B．分?jǐn)?shù)集合：C．正整數(shù)集合： D．非負(fù)整數(shù)集合：5．（2022·全國·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在解決數(shù)學(xué)實(shí)際問題時(shí)，常常用到數(shù)形結(jié)合思想，比如：的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與表示數(shù)的點(diǎn)的距離，的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與表示數(shù)2的點(diǎn)的距離．當(dāng)取得最小值時(shí)，的取值范圍是（

）A． B．或 C． D．6．（2022·全國·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，直線l上有三點(diǎn)A，B，C，，，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，向點(diǎn)C移動(dòng)，點(diǎn)P的速度是m個(gè)單位長/秒，點(diǎn)Q的速度是n個(gè)單位長/秒，，那么（

）A．點(diǎn)P先到 B．點(diǎn)Q先到C．點(diǎn)P，Q同時(shí)到 D．無法確定哪點(diǎn)先到7．（2020·湖南·常德市第七中學(xué)七年級(jí)期中）下列大小比較錯(cuò)誤的是（

）A． B．－（+2）<－[－(－2.250)]C． D．－0.01>－0.1二、填空題8．（2022·全國·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）負(fù)數(shù)的概念最早出現(xiàn)在中國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中，負(fù)數(shù)與對(duì)應(yīng)的正數(shù)“數(shù)量相等，意義相反”，如果向東走了5米，記作＋5米，那么向西走5米，可記作______米．9．（2022·全國·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）①0.32，②，③30%，④，⑤0，⑥1，⑦，以上的數(shù)中屬于正分?jǐn)?shù)的有________．10．（2022·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）化簡符號(hào)：-（+0.75）＝_____，-（-68）＝_____，-（-0.5）＝_____，-（+3.8）＝_____．11．（2022·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）（1）是_______的相反數(shù)，=_______（2）是_______的相反數(shù)，=_______（3）是_______的相反數(shù)，=_______（4）是_______的相反數(shù)，=_______12．（2022·全國·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在數(shù)4.3，，｜0｜，，-｜-3｜，-（+5）中，___________是正數(shù)13．（2022·全國·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）某工廠有甲、乙、丙、丁、戊五臺(tái)車床．若同時(shí)啟動(dòng)其中兩臺(tái)車床，加工10000個(gè)W型零件所需時(shí)間如表：車床編號(hào)甲、乙乙、丙丙、丁丁、戊甲、戊所需時(shí)間（h）13910128則加工W型零件最快的一臺(tái)車床的編號(hào)是_____．三、解答題14．（2021·廣東·江門市第二中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）將下列數(shù)字填入圈內(nèi)：25，，，0，，95%．15．（2022·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）在小學(xué)里，我們會(huì)根據(jù)直線上的一個(gè)點(diǎn)的位置寫出合適的數(shù)，也會(huì)在直線上畫出表示一個(gè)數(shù)的點(diǎn)．把圖中直線上的點(diǎn)所表示的數(shù)寫在相應(yīng)的方框里．16．（2022·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）下列六個(gè)數(shù)中：﹣2.5，，0，+5，﹣4，．(1)整數(shù)有個(gè)；負(fù)分?jǐn)?shù)有個(gè)；既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)的是．(2)把所有數(shù)據(jù)分別在數(shù)軸上表示出來．17．（2022·江蘇·七年級(jí)）（1）﹣[﹣(+2)]＝_______（2）﹣[﹣(﹣2007)]＝_______（3）﹣[+(﹣27)]＝_______（4）＝_______．18．（2022·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）（1）將﹣4.5，﹣2，（﹣1）2，﹣（﹣3.5）在數(shù)軸上表示出來；（2）若﹣4.5，﹣2，（﹣1）2，﹣（﹣3.5）所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A，B，C，D，那么C，D兩點(diǎn)間距離＝；B，C兩點(diǎn)間距離＝；（3）若