列寫系統(tǒng)微分方程的一般方法省公開課一等獎全國示范課微課金獎

5/5/20241第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第1頁控制系統(tǒng)性能普通從哪三個方面來評價？5/5/20242第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第2頁第二章控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型1.定義：數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)輸入輸出變量以及內(nèi)部其它變量之間關(guān)系數(shù)學(xué)表示式2.描述方法：輸入-輸出描述（端部描述）

常微分方程傳遞函數(shù)系統(tǒng)框圖狀態(tài)變量描述（內(nèi)部描述）狀態(tài)方程是這種描述最基本形式，適用多輸入多輸出系統(tǒng)一.描述系統(tǒng)運(yùn)動數(shù)學(xué)模型5/5/20243第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第3頁二.建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型方法解析法:依據(jù)系統(tǒng)各變量所依據(jù)物理定律、化學(xué)定律或者其它自然規(guī)律，列寫出每一個元件輸入-輸出關(guān)系式，然后消去中間變量，從而求得系統(tǒng)輸出與輸入表示式。

試驗(yàn)法：給系統(tǒng)施加一定測試信號，依據(jù)系統(tǒng)對測試信號響應(yīng)或試驗(yàn)數(shù)據(jù)來建立數(shù)學(xué)模型，又稱系統(tǒng)辨識。5/5/20244第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第4頁2.1列寫系統(tǒng)微分方程普通方法一.用解析法建立系統(tǒng)微分方程普通步驟

分析元件工作原理和在系統(tǒng)中作用，確定元件輸入量和輸出量，并依據(jù)需要引進(jìn)一些中間變量（必要擾動）。依據(jù)各元件在工作過程中所遵照物理、化學(xué)定律，列寫系統(tǒng)中每一個元件輸入與輸出微分方程式（考慮相鄰元件之間影響）。消去中間變量，求得只含輸出、輸入變量及其各階導(dǎo)數(shù)微分方程。對所求微分方程進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。與輸入相關(guān)項(xiàng)寫在方程等號右方，與輸出相關(guān)項(xiàng)寫在方程等號左方。5/5/20245第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第5頁圖2-1Ｒ-L-C電路二.例子消去中間變量，則有:解：由基爾霍夫定律得：1、電氣網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)例1：無負(fù)載效應(yīng)電路5/5/20246第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第6頁圖2-2R-C濾波網(wǎng)絡(luò)消去中間變量i1、i2得或?qū)懽骼?：有負(fù)載效應(yīng)電路列寫2極相同形式RC串聯(lián)電路組成濾波電路微分方程對于圖2-2所表示電路，在列寫方程時必須考慮后級電路對前級電路影響，由基爾霍夫定律列出以下方程組：解：5/5/20247第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第7頁例3：求圖2-3所表示彈簧-質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng)數(shù)據(jù)模型解：由牛頓第二定律列出方程圖2-3彈簧-質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng)即式中：-阻尼器阻力ky(t)-彈簧拉力ｋ-為彈簧彈性系數(shù)2、機(jī)械位移系統(tǒng)ｆ-為阻尼系數(shù)5/5/20248第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第8頁描述線性定常系統(tǒng)輸入與輸出關(guān)系微分方程式為列寫元件和系統(tǒng)方程式前,首先要明確誰是輸入量和輸出量，把與輸出量相關(guān)項(xiàng)寫在方程式等號左方，與輸入量相關(guān)系項(xiàng)寫在等號右方，列寫系統(tǒng)中各元件輸入－輸出微分方程式，消去中間變量，求得系統(tǒng)輸出與輸入微分方程式

寫微分方程式普通步驟5/5/20249第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第9頁直流他勵發(fā)電機(jī)由電機(jī)學(xué)原理得：圖2-4直流他勵電動機(jī)電路圖把式（2-2）代入（2-1），則得（2-1）（2-2）（2-3）式中假設(shè)拖動發(fā)電機(jī)原動機(jī)轉(zhuǎn)速n0恒定不變，發(fā)電機(jī)沒有磁滯回線和剩磁，發(fā)電機(jī)磁化曲線為一直線，即Φ/ib=L。5/5/202410第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第10頁2.2非線性數(shù)學(xué)模型線性化一、可線性化條件變量對于平衡工作點(diǎn)偏離較小非線性函數(shù)不但連續(xù)，而且其多階導(dǎo)數(shù)均存在二、微偏法在給定工作點(diǎn)鄰域?qū)⒋朔蔷€性函數(shù)展開為泰勒級數(shù)，并略去二階及二階以上各項(xiàng)，用所得線性化方程代替原有非線性方程。5/5/202411第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第11頁設(shè)一非線性元件輸入為x、輸出為y，它們間關(guān)系如圖2-5所表示，對應(yīng)數(shù)學(xué)表示式為

圖2-5非線性特征線性化y=f(x)（2-4）在給定工作點(diǎn)A（x0,y0）附近，將上式展開為泰勒級數(shù)5/5/202412第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第12頁y=f(x)→5/5/202413第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第13頁三、舉例直流他勵發(fā)電動機(jī)微分方程式時，曾假設(shè)其磁化曲線為直線，實(shí)際上發(fā)電機(jī)磁化曲線如圖2-5所表示。

設(shè)發(fā)電機(jī)原工作于磁化曲線A點(diǎn)，若令發(fā)電機(jī)勵磁電壓增加△U1，求其增量電勢△EG改變規(guī)律。圖2-5發(fā)電機(jī)磁化曲線若勵磁電壓增量，則有

假如發(fā)電機(jī)在小信號勵磁電壓作用下，工作點(diǎn)A偏離便較小，從而能夠經(jīng)過點(diǎn)A作一切線CD，且以此切線CD近似代替原有曲線EAF。在平衡點(diǎn)A處，直流電機(jī)方程為5/5/202414第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第14頁由式（2-21）減式（2-19），式（2-22）減式（2-20）后得

式（2-23）、（2-24）均為增量方程，它們描述了發(fā)電機(jī)在平衡點(diǎn)A處受到△u1作用后運(yùn)動過程。對增量方程式而言，磁化曲線坐標(biāo)原點(diǎn)不是在O點(diǎn)，而是移到A點(diǎn)。因而發(fā)電機(jī)初始條件仍為零。式中N為勵磁繞組匝數(shù)。5/5/202415第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第15頁5/5/202416第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第16頁在實(shí)際應(yīng)用中，常把增量符號“△”省去，這么上述兩式顯然和（2-9）（2-10）完全相同小結(jié)伴隨發(fā)電機(jī)