浙江省金華市繡湖中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析

浙江省金華市繡湖中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)集合A=，則A.

B.

C.

D.參考答案：A，故選A.2.已知,則值為（A）

（B）

（C）

（D）5參考答案：D3.“”是“過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)”（

）（A）充分而不必要條件

(B)必要而不充分條件（C）充分必要條件

(D)既不充分也不必要條件

參考答案：A4.下列各式中值為的是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略5.已知拋物線x2=4y上有一條長(zhǎng)為6的動(dòng)弦AB，則AB中點(diǎn)到x軸的最短距離為（）A． B． C．1 D．2參考答案：D【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】設(shè)A（x1，y1）B（x2，y2），根據(jù)拋物線方程可求得準(zhǔn)線方程，所求的距離為S==根據(jù)拋物線的定義可知S=根據(jù)兩邊之和大于第三邊且A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)求得S的最小值．【解答】解：設(shè)A（x1，y1）B（x2，y2）拋物線準(zhǔn)線y=﹣1，根據(jù)梯形的中位線定理，得所求的距離為：S==由拋物線定義=﹣1（兩邊之和大于第三邊且A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)）≥﹣1=2故選D．6.如圖，平面⊥平面，，是內(nèi)不同的兩點(diǎn)，是內(nèi)不同的兩點(diǎn)，且直線，分別是線段的中點(diǎn)．下列判斷正確的是A．當(dāng)時(shí)，兩點(diǎn)不可能重合B．兩點(diǎn)可能重合，但此時(shí)直線與不可能相交C．當(dāng)與相交，直線平行于時(shí)，直線可以與相交D．當(dāng)是異面直線時(shí)，直線可能與平行參考答案：B略7.在極坐標(biāo)系中，曲線關(guān)于()．A．點(diǎn)中心對(duì)稱 B．極點(diǎn)中心對(duì)稱C．直線對(duì)稱

D．直線對(duì)稱參考答案：D略8.一個(gè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)等于一個(gè)球的半徑，該正三棱錐的高等于這個(gè)球的直徑，則球的體積與正三棱錐體積的比值為（）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A9.設(shè)，滿足約束條件，則的最小值是（

）A．0

B．-1

C．-2

D．-3參考答案：C10.已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，若f（x）=，則關(guān)于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）的所有根之和為（）A．1﹣（）a B．（）a﹣1 C．1﹣2a D．2a﹣1參考答案：C【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】由題意，關(guān)于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）共有5個(gè)根，從左向右分別為x1，x2，x3，x4，x5，則x1+x2=﹣6，﹣log2（1﹣x3）=﹣a，x4+x5=6，即可得出關(guān)于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）的所有根之和．【解答】解：由題意，關(guān)于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）共有5個(gè)根，從左向右分別為x1，x2，x3，x4，x5，則x≥1，f（x）=，對(duì)稱軸為x=3，根據(jù)對(duì)稱性，x≤﹣1時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸為x=﹣3，∴x1+x2=﹣6，x4+x5=6，∵0＜x＜1，f（x）=log2（x+1），∴﹣1＜x＜0時(shí)，0＜﹣x＜1，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣log2（﹣x+1），∴﹣log2（1﹣x3）=﹣a，∴x3=1﹣2a，∴x1+x2+x3+x4+x5=﹣6+1﹣2a+6=1﹣2a，故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若變量x，y滿足約束條件則（x+3）2+（y﹣）2的最小值為

．參考答案：4【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：變量x，y滿足約束條件的可行域如圖：則（x+3）2+（y﹣）2的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)與（﹣3，）距離的平方，由可行域可知A與（﹣3，）距離取得最小值，由．解得A（﹣1，），則（x+3）2+（y﹣）2的最小值為：（﹣1+3）2+（﹣）2=4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用，判斷目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．12.當(dāng)x∈[﹣2，1]時(shí)，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：[﹣6，﹣2]【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題．

【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三種情況進(jìn)行討論，分離出參數(shù)a后轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值即可，利用導(dǎo)數(shù)即可求得函數(shù)最值，注意最后要對(duì)a取交集．【解答】解：當(dāng)x=0時(shí)，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0對(duì)任意a∈R恒成立；當(dāng)0＜x≤1時(shí)，ax3﹣x2+4x+3≥0可化為a≥，令f（x）=，則f′（x）=﹣++=﹣（*），當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；當(dāng)﹣2≤x＜0時(shí)，ax3﹣x2+4x+3≥0可化為a≤﹣﹣，由（*）式可知，當(dāng)﹣2≤x＜﹣1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是﹣6≤a≤﹣2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[﹣6，﹣2]．故答案為：[﹣6，﹣2]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想，按照自變量討論，最后要對(duì)參數(shù)范圍取交集．若按照參數(shù)討論則取并集，是中檔題．13.如圖所示，圓O的直徑AB＝6，C為圓周上一點(diǎn)，BC＝3過(guò)C作圓的切線l，則點(diǎn)A直線l的距離AD=_____________________參考答案：略14.在△ABC中，若，則此三角形的形狀是

.參考答案：15.復(fù)數(shù)z滿足等式（2一i）?z=i，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____________．參考答案：略16.已知復(fù)數(shù)，，且是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)=

.參考答案：17.已知，則

.參考答案：因?yàn)?，所以，所以。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)。（1）若曲線與直線相切，求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，證明。參考答案：（1）由，得，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，依題意得，解得，即實(shí)數(shù)的值為1。（2）不妨設(shè)，由，得，即，所以，令，則，設(shè)，則，即函數(shù)在上遞減，所以，從而，即。19.若數(shù)列{an}中的項(xiàng)都滿足a2n﹣1=a2n＜a2n+1（n∈N*），則稱{an}為“階梯數(shù)列”．（1）設(shè)數(shù)列{bn}是“階梯數(shù)列”，且b1=1，b2n+1=9b2n﹣1（n∈N*），求b2016；（2）設(shè)數(shù)列{cn}是“階梯數(shù)列”，其前n項(xiàng)和為Sn，求證：{Sn}中存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列，但不存在連續(xù)四項(xiàng)成等差數(shù)列；（3）設(shè)數(shù)列{dn}是“階梯數(shù)列”，且d1=1，d2n+1=d2n﹣1+2（n∈N*），記數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Tn，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)t，使得（t﹣Tn）（t+）＜0對(duì)任意的n∈N*恒成立？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)t的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【分析】（1）設(shè)數(shù)列{bn}是“階梯數(shù)列”，且b1=1，b2n+1=9b2n﹣1（n∈N*），b2016=b2015，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．（2）由數(shù)列{cn}是“階梯數(shù)列”，可得c2n﹣1=c2n．即可得出S2n﹣1﹣S2n﹣2=S2n﹣S2n﹣1，即可證明{Sn}中存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列．假設(shè){Sn}中存在連續(xù)四項(xiàng)成等差數(shù)．Sn+1﹣Sn=Sn+2﹣Sn+1=Sn+3﹣Sn+2，可得an+1=an+2=an+3，得出矛盾．（3）設(shè)數(shù)列{dn}是“階梯數(shù)列”，且d1=1，d2n+1=d2n﹣1+2（n∈N*），利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：d2n﹣1=2n﹣1=d2n．==．n=2k（k∈N*）時(shí)，Tn=T2k=++…+=2，利用“裂項(xiàng)求和”及其數(shù)列的單調(diào)性可得Tn∈，由（t﹣Tn）（t+）＜0，可得＜t＜Tn．n=2k﹣1（k∈N*）時(shí)，Tn=T2k﹣=T2k﹣，同理可得．【解答】（1）解：設(shè)數(shù)列{bn}是“階梯數(shù)列”，且b1=1，b2n+1=9b2n﹣1（n∈N*），∴數(shù)列{b2n﹣1}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為9．∴b2016=b2015=b2×1008﹣1=1×91008﹣1=91007=32014．（2）證明：∵數(shù)列{cn}是“階梯數(shù)列”，∴c2n﹣1=c2n．∴S2n﹣1﹣S2n﹣2=S2n﹣S2n﹣1，因此{(lán)Sn}中存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列．假設(shè){Sn}中存在連續(xù)四項(xiàng)成等差數(shù)．∴Sn+1﹣Sn=Sn+2﹣Sn+1=Sn+3﹣Sn+2，∴an+1=an+2=an+3，n=2k﹣1時(shí)，a2k=a2k+1=a2k+2，與數(shù)列{cn}是“階梯數(shù)列”矛盾；同理n=2k時(shí)，也得出矛盾．（3）解：設(shè)數(shù)列{dn}是“階梯數(shù)列”，且d1=1，d2n+1=d2n﹣1+2（n∈N*），∴數(shù)列{d2n﹣1}是等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)為1．∴d2n﹣1=1+2（n﹣1）=2n﹣1=d2n．===．n=2k（k∈N*）時(shí)，Tn=T2k=++…+=2=2××=1﹣=1﹣=．∴Tn∈，∈．∴（t﹣Tn）（t+）＜0，∴＜t＜Tn，解得﹣1≤t．①n=2k﹣1（k∈N*）時(shí)，Tn=T2k﹣=T2k﹣=1﹣﹣（12k﹣1﹣12k+1）=1﹣∈，∴∈[﹣3，﹣1）．∴（t﹣Tn）（t+）＜0，∴＜t＜Tn，∴﹣1≤t．②．由①②可得：實(shí)數(shù)t的取值范圍是﹣1≤t．20.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面積為，求cosA與a的值．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理的應(yīng)用．【分析】利用三角形的面積公式，求出sinA=，利用平方關(guān)系，求出cosA，利用余弦定理求出a的值．【解答】解：∵b=3，c=1，△ABC的面積為，∴=，∴sinA=，又∵sin2A+cos2A=1∴cosA=±，由余弦定理可得a==2或2．21.如圖，用一平面去截球O，所得截面面積為16π，球心O到截面的距離為3，O1為截面小圓圓心，AB為截面小圓的直徑；（1）計(jì)算球O的表面積和體積；（2）若C是截面小圓上一點(diǎn)，∠ABC=30°，M、N分別是線段AO1和OO1的中點(diǎn)，求異面直線AC與MN所成的角；（結(jié)果用反三角表示）參考答案：【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】（1）求出小圓的半徑，然后利用球心到該截面的距離為3cm，小圓的半徑，通過(guò)勾股定理求出球的半徑，即可求出球的表面積．（2）由MN∥OA得，∠OAC為異面直線AC與MN所成的角（或補(bǔ)角），連接OC，然后利用余弦定理求出此角的余弦值，最后利用反三角表示出此角即可．【解答】解：（1）連接OA，由題意得，截面小圓半徑為4，在Rt△OAO1中，O1A=4，OO1=3，由勾股定理知，AO=5，∴球O的表面積為：4π?25=100π（2）由MN∥OA得，∠OAC為異面直線AC與MN所成的角（或補(bǔ)角）．在Rt△ABC中，AB=8，∠ABC=30°，則AC=4，連接OC，在△OAC中，OA=OC=5，由余弦定理知：cos∠OAC===，∴∠OAC=，∴異面直線AC與MN所成的角為．22.已知{an}是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a3a5=45，a2+a6=14．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足：+1（n∈N*），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．參考答案：考點(diǎn)：數(shù)列的求和．專題：綜合題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則依題設(shè)d＞0．運(yùn)用已知條件列方程組可求a1，d，從而可得an；（Ⅱ）設(shè)cn=，則c1+c2+…+cn=an+1，易求cn，進(jìn)而可得bn，由等比數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果；解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)