專題07 拋物線與阿基米德三角形（模擬+真題）2024高考總復(fù)習(xí)壓軸題教師版

第第頁專題07拋物線與阿基米德三角形1．（2024·江西贛州·南康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為，且拋物線過點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，分別為兩點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的投影，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．線段長度的最小值為2 B．的形狀為銳角三角形C．三點(diǎn)共線 D．的坐標(biāo)不可能為【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)可判斷A；根據(jù)拋物線的定義和平行線的性質(zhì)判斷B；設(shè)直線和點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理和三點(diǎn)共線經(jīng)過任意兩點(diǎn)的直線斜率相等，判斷C；設(shè)的中點(diǎn)為，則，，取求出可判斷D.【詳解】對于A，因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)，所以拋物線的方程為，線段長度的最小值為通徑，所以A錯(cuò)誤；對于B，由定義知，軸，所以，同理，所以，所以B錯(cuò)誤；對于C，設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立，得，設(shè)，，則，，因?yàn)?，所以，三點(diǎn)共線，所以C正確；對于D，設(shè)的中點(diǎn)為，則，，取，可得，所以D錯(cuò)誤.故選：C.2．（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）設(shè)拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與對稱軸交于點(diǎn)，過的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，對稱軸上一點(diǎn)滿足，若的面積為，則到拋物線準(zhǔn)線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】假設(shè)焦點(diǎn)在軸上，不妨設(shè)拋物線方程為，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，結(jié)合得到，解得，根據(jù)相似得到，從而列出方程，求出，再考慮焦點(diǎn)在軸上，同理可得到，求出答案.【詳解】假設(shè)焦點(diǎn)在軸上，不妨設(shè)拋物線方程為，由題意得，，若過點(diǎn)的直線斜率為0時(shí)，與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn)，不合要求，舍去，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，，與拋物線聯(lián)立得，設(shè)，則，因?yàn)?，設(shè)，則，即，將代入中得，，如圖所示，可知，，因?yàn)椤?，所以，故，即，解得，則到拋物線準(zhǔn)線的距離為，

假設(shè)焦點(diǎn)在軸上，不妨設(shè)拋物線方程為同理可得，故到拋物線準(zhǔn)線的距離為，綜上，到拋物線準(zhǔn)線的距離為.故選：B3．（2023·湖南長沙·長沙市明德中學(xué)?？既＃┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為上一點(diǎn)，，垂足為，與軸交點(diǎn)為，若，且的面積為，則的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)拋物線定義，結(jié)合圖形特征，用p表示三角形面積列式可求拋物線方程.【詳解】由拋物線定義知，所以為等邊三角形，為的中點(diǎn)，所以，，的面積，所以的方程為.故選：A.4．（2022·河南平頂山·長葛市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線（不與x軸垂直）交拋物線于A，B兩點(diǎn)，以AB為直徑作圓Q，過點(diǎn)引圓Q的兩條切線，切點(diǎn)為P，S，若∠PMS＝90°，則直線AB的斜率為（

）A．1 B．－2 C．1或 D．1或－2【答案】C【分析】根據(jù)拋物線定義得到圓Q與準(zhǔn)線相切，從而求出MQ的斜率和方程為，設(shè)出直線AB的方程，利用韋達(dá)定理得到AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入方程中，求出直線AB的斜率.【詳解】如圖，分別作，垂直準(zhǔn)線于，，作QT垂直準(zhǔn)線于T，連接SQ，則，故圓Q與準(zhǔn)線相切，故T與P重合．因?yàn)椤螾MS＝90°，故軸，又MS，MT為圓Q的切線，故MQ平分∠TMS，故MQ的斜率為－1，則直線MQ的方程為．設(shè)，直線AB的方程為，，代入，整理得，故，．代入為，解得：m＝1或m＝－2，故或故選：C．5．（2022·四川遂寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知F是拋物線C：的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，直線l與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)M，若，則（

）A． B． C． D．3【答案】B【分析】過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線交于點(diǎn)，則，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線交于點(diǎn)，則，利用三角形相似即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線交于點(diǎn)，由拋物線的定義有，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線交于點(diǎn)，則，，，根據(jù)，可得，．，即，，故選：B．6、已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與交于A，B兩點(diǎn)，C在A處的切線與C的準(zhǔn)線交于P點(diǎn)，連接BP．若|PF|＝3，則的最小值為_____【答案】如圖，則有PF⊥AB，PA⊥PB，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等7、（多選）過拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)（A在第一象限），M為線段AB的中點(diǎn).M在拋物線的準(zhǔn)線l上的射影為點(diǎn)N，則下列說法正確的是（）A.的最小值為4 B.C.△NAB面積的最小值為6 D.若直線AB的斜率為，則【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)直線AB方程為,，根據(jù)弦長公式表示出，可判斷A;求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，根據(jù)斜率之間的關(guān)系，可判斷B;表示出點(diǎn)點(diǎn)N到直線AB的距離，繼而求得，可判斷C;直線AB的斜率為，結(jié)合可求得，即可判斷D.【詳解】由題意知,設(shè)直線AB方程為,，聯(lián)立，可得，，故，則，故當(dāng)時(shí)，的最小值為4，故A正確；又，即M點(diǎn)縱坐標(biāo)為2m,故，當(dāng)時(shí)，軸，NF在x軸上，此時(shí);當(dāng)時(shí),，，故，綜合可知，,故B正確；又點(diǎn)N到直線AB的距離為，故，當(dāng)時(shí)，取最小值4，故C錯(cuò)誤；若直線AB的斜率為，則直線AB方程為，即，則，由于A在第一象限，故解得，故，由于同向，故，故D正確8、已知是拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)．若，則直線的斜率．【答案】2【解答】因?yàn)锳M=BM=PM，所以∠APB=90°，故P在準(zhǔn)線上，且PM⊥準(zhǔn)線，PF⊥⊥AB故【常規(guī)法分析】方法一：設(shè)直線：，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線的方程求出，由可得，將韋達(dá)定理代入化簡即可得出答案；方法二：設(shè)，，在準(zhǔn)線上的射影分別是，，，由題意可得出軸，設(shè)，，：，聯(lián)立直線與拋物線的方程可得，解方程即可得出答案.【常規(guī)法詳解】方法一：由題意，，設(shè)直線：，其中，聯(lián)立消去得，，設(shè)，，則，，又，則，即，而，，則，即，即，所以，解得，所以.方法二：如下圖，由題意，，點(diǎn)在準(zhǔn)線上，設(shè)，，在準(zhǔn)線上的射影分別是，，，則，所以軸，設(shè)，，：，聯(lián)立消去得，所以，所以，9、（多選）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，直線與交于、兩點(diǎn)，且，，若過點(diǎn)、分別作的兩條切線交于點(diǎn)，則下列各選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．以為直徑的圓過點(diǎn)【答案】ACD【簡證】第一步：由性質(zhì)一可得AR∥y軸，故A點(diǎn)橫坐標(biāo)為4第二步：由性質(zhì)2可得:點(diǎn)所在直線為，故A正確，故B錯(cuò)；而A點(diǎn)在準(zhǔn)線上，可得C對，D對附：【性質(zhì)2】若阿基米德三角形的底邊即弦AB過定點(diǎn)拋物線內(nèi)部的定點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡為直線.若焦點(diǎn)在y軸上的拋物線，則軌跡方程為【詳解】拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以，拋物線的方程為，設(shè)、，由可知為的中點(diǎn)，所以，且，，由可得，所以，直線的斜率為，則直線的方程為，可得，聯(lián)立可得，所以，，對函數(shù)求導(dǎo)可得，所以，切線的方程為，即，同理可知，切線的方程為，聯(lián)立可得，即點(diǎn)，易知拋物線的焦點(diǎn)為，所以，，A對；因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，，B錯(cuò)；因?yàn)?，，所以，，所以，故C正確；因?yàn)椋覟榈闹悬c(diǎn)，所以，，因此，以為直徑的圓過點(diǎn)，故D正確. 10、（多選）已知拋物線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則（

）A．拋物線的準(zhǔn)線方程為 B．直線一定過拋物線的焦點(diǎn)C．線段長的最小值為 D．【答案】ACD【分析】根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，結(jié)合一元二次方程根的判別式進(jìn)行判斷A、B、D；聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)韋達(dá)定理,結(jié)合弦長公式即可判斷C.【詳解】由拋物線可知，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，故選項(xiàng)A正確；設(shè)，顯然直線存在斜率且不為零，設(shè)為，方程為，與拋物線方程聯(lián)立，得，因?yàn)槭窃搾佄锞€的切線，所以，即，且的縱坐標(biāo)為：，代入拋物線方程中可得的橫坐標(biāo)為：，設(shè)直線存在斜率且不為零，設(shè)為，同理可得：，且的縱坐標(biāo)為：，橫坐標(biāo)為，顯然、是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，所以，因?yàn)?，所以，因此選項(xiàng)D正確；由上可知：的斜率為，直線的方程為：，即，又，所以，所以，即，所以直線AB一定過，顯然該點(diǎn)不是拋物線的焦點(diǎn)，因此選項(xiàng)B不正確，由題意知，直線AB的斜率不為0，設(shè)直線AB的方程為，，，由得，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選項(xiàng)C正確；故選：ACD

11、已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是圓（）與的一個(gè)交點(diǎn)，若的內(nèi)切圓的半徑為a，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】由雙曲線定義和得到方程組，求出，再由內(nèi)切圓半徑，利用面積列出方程，得到齊次方程，求出離心率.【詳解】由題意知，所，又因?yàn)椋c聯(lián)立，得，，所以，又因?yàn)?，所以，即，所以，即，所以，所以?2、已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，點(diǎn)P為與的一個(gè)交點(diǎn)，若△的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為4，的準(zhǔn)線與交于A，B兩點(diǎn)，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，由題設(shè)知且求得，再由內(nèi)切圓中切線長性質(zhì)及雙曲線定義、性質(zhì)確定與的切點(diǎn)的位置，進(jìn)而求離心率.【詳解】由題設(shè)，又點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，即，由，則，故，即，如下圖示，內(nèi)切圓與△各邊的切點(diǎn)為，所以，又，則，所以為雙曲線右頂點(diǎn)，又△的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為4，即，故，則，所以離心率為.13、過雙曲線右焦點(diǎn)的直線交雙曲線右支于兩點(diǎn)，的內(nèi)切圓分別切直線于點(diǎn)，內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，則（

）

A．切點(diǎn)與右焦點(diǎn)重合 B．C． D．【答案】ACD【分析】利用切線長定理及雙曲線的定義可判定A、B，利用內(nèi)切圓的性質(zhì)及雙曲線的定義可判定C，利用三角恒等變換計(jì)算可判定D.【詳解】對于A，由切線長定理可知：，則，，故①，又②，①②得，得，即，故點(diǎn)與點(diǎn)重合，正確；對于B，，B錯(cuò)誤；對于C，根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，即，故C正確；對于D，令，則結(jié)合A、B選項(xiàng)可得：，∴．故D正確．14、（2024·廣東中山·中山紀(jì)念中學(xué)校考二模）（多選題）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作互相垂直的兩條直線與拋物線E分別交于點(diǎn)A，B，C，D，P，Q分別為，的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．C．若F恰好為的中點(diǎn)，則直線的斜率為D．直線過定點(diǎn)【答案】ABD【分析】設(shè)直線的方程、，，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理表示、，結(jié)合弦長公式計(jì)算即可判斷A；利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出點(diǎn)P、Q坐標(biāo)，結(jié)合平面向量的數(shù)量積坐標(biāo)表示和基本不等式即可判斷B；由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，進(jìn)而求得，結(jié)合兩點(diǎn)表示斜率公式計(jì)算即可判斷C；根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程表示直線PQ方程，即可求出直線恒過的定點(diǎn)，進(jìn)而判斷D.【詳解】A：設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立方程組得，則，，所以，同理可得，所以，故A正確；B：由選項(xiàng)A知，，因?yàn)镻分別為的中點(diǎn)，所以，同理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B正確．C：，若F為的中點(diǎn)，則．因?yàn)?，所以．所以，故，所以，故C錯(cuò)誤．D：當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，，所以直線的方程為，整理得，所以直線過定點(diǎn)；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，直線的方程為，過點(diǎn)，所以直線過定點(diǎn)．故D正確．故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.15．（2024·吉林白山·統(tǒng)考一模）（多選題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若為的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，則（

）A．直線若的斜率為，則 B．的取值范圍為C． D．的余弦有最小值為【答案】BCD【分析】對于拋物線的焦點(diǎn)弦相關(guān)問題，首先要熟悉一些二級(jí)結(jié)論，如A項(xiàng)，若記得焦點(diǎn)弦關(guān)于傾斜角的弦長公式則可以秒殺；B項(xiàng)熟悉“以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切”則可以迅速判斷結(jié)論；而對于C,D兩個(gè)選項(xiàng)，則需要將直線與拋物線方程聯(lián)立，借助于韋達(dá)定理進(jìn)行計(jì)算推理才可得到.【詳解】對于A選項(xiàng)，由題知，的斜率為，則，代入整理得：，設(shè)，則而；故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，∵以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，為的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)在以為直徑的圓上或圓外，∴，當(dāng)在直線上時(shí)，，即的取值范圍為，故B項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，設(shè)，，，設(shè)，聯(lián)立,消元得：，則故，故C項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，，即的余弦的最小值為，故D項(xiàng)正確．故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查拋物線的焦點(diǎn)弦的相關(guān)問題.解決過焦點(diǎn)的直線與拋物線相交的相關(guān)問題，一般需要二級(jí)結(jié)論和常規(guī)方法相結(jié)合，如焦半徑，焦點(diǎn)弦的長度公式，以焦半徑為直徑的圓與軸相切，以焦點(diǎn)弦為半徑的圓與準(zhǔn)線相切等結(jié)論需要熟悉，另外在選設(shè)直線方程時(shí)，常設(shè)成的形式便于計(jì)算解題，在代換字母時(shí)，常常通過拋物線方程代換計(jì)算較易.16．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考三模）（多選題）已知，是拋物線上不同于原點(diǎn)O的兩點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，則（

）．A．C的準(zhǔn)線為B．當(dāng)直線的斜率k存在時(shí)，C．當(dāng)A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，D．當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，【答案】BCD【分析】由拋物線方程求其準(zhǔn)線方程判斷A，由點(diǎn)差法判斷B，根據(jù)拋物線定義判斷C，根據(jù)設(shè)而不求法判斷D.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，A錯(cuò)誤；因?yàn)辄c(diǎn)，在拋物線上，所以，所以，若直線的斜率k存在，則，B正確；當(dāng)A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，，C正確；若直線過點(diǎn)時(shí)且斜率為，則其方程為，直線與拋物線只有一交點(diǎn)，與條件矛盾，所以設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消可得，方程的判別式，所以，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，所以，，所以，所以，D正確；故選：BCD

17．（2023·山東濟(jì)寧·嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）（多選題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，為線段中點(diǎn)，、、分別為、、在上的射影，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A．的坐標(biāo)為 B．C．、、、四點(diǎn)共圓 D．直線的方程為【答案】BCD【分析】根據(jù)拋物線的方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)拋物線的定義以及數(shù)形結(jié)合求出直線的方程，可判斷D選項(xiàng)；利用斜率關(guān)系判斷出，可判斷C選項(xiàng)；求出、，可判斷B選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，拋物線的焦點(diǎn)為，A錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)在第一象限，過點(diǎn)作垂直于，為垂足，如圖所示，

設(shè)，則，因?yàn)?，，，則四邊形為矩形，所以，，則，設(shè)直線的傾斜角為，則為銳角，且，則，此時(shí)，直線的方程為，當(dāng)點(diǎn)在第二象限時(shí)，同理可知，直線的方程為，綜上所述，直線的方程為，D對；對于B選項(xiàng)，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，，由韋達(dá)定理可得，，設(shè)點(diǎn)，則，故點(diǎn)，所以，直線的斜率為，而直線的斜率為，所以，，故，又因?yàn)?，故、、、四點(diǎn)共圓，同理可知，當(dāng)點(diǎn)在第二象限時(shí)，、、、四點(diǎn)共圓，綜上所述，故、、、四點(diǎn)共圓，C對；對于B選項(xiàng)，，，B對.故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：拋物線定義的兩種應(yīng)用：（1）實(shí)現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化，根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，因此，由拋物線的定義可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離與點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的相互轉(zhuǎn)化，從而簡化某些問題；（2）解決最值問題，在拋物線中求解與焦點(diǎn)有關(guān)的兩點(diǎn)間距離和的最小值時(shí)，往往用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化折線為直線解決最值問題.18．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)F作傾斜角為（為銳角）的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，如圖，把平面沿x軸折起，使平面平面，則三棱錐體積為；若，則異面直線，所成角的余弦值取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可得，，進(jìn)而根據(jù)面面垂直即可求三棱錐的高，進(jìn)而利用體積公式即可求解，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角就可求解異面直線的夾角.【詳解】過作準(zhǔn)線，垂足為,在中，，又，同理可得，過作于,由于平面平面，且交線為，平面,所以平面,且，故三棱錐的體積為，，且，，所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，即，,所以，當(dāng)時(shí)，，所以，由于為銳角，所以異面直線，所成角的角等于，故異面直線，所成角的余弦值取值范圍為故答案為：，【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中的范圍或最值問題，可根據(jù)題意構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，然后根據(jù)題目中給出的范圍或由判別式得到的范圍求解，解題中注意函數(shù)單調(diào)性和基本不等式的作用．另外在解析幾何中還要注意向量的應(yīng)用，如本題中根據(jù)向量的共線得到點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，進(jìn)而為消去變量起到了重要的作用19．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考二模）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出．反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線：（）焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于軸的光線從點(diǎn)（點(diǎn)在拋物線內(nèi)）射入，經(jīng)過上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)過上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，且經(jīng)過點(diǎn)，若直線與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，則直線的斜率為；若，且平分，則.【答案】02【分析】①設(shè)直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立得出韋達(dá)定理，求出的坐標(biāo)，寫出直線的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到直線的斜率；②由平分推導(dǎo)角的關(guān)系得出，即，根據(jù)弦長公式寫出方程，求出結(jié)果.【詳解】依題意直線過拋物線的焦點(diǎn).設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立方程組得，則，．因?yàn)?，所以，．因?yàn)橹本€的方程為，所以直線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為，所以直線的斜率為0．②因?yàn)槠椒?，所以，所以．因?yàn)椋?，即所以，得．故答案為：?；②2.20．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足．記點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）設(shè)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作的兩條切線，切點(diǎn)分別是，．證明：直線過定點(diǎn)．【解析】解：（1）設(shè)，則，，，所以，所以化簡得，所以的方程為．（2）由題意可設(shè)，，，，，由題意知切線，的斜率都存在，由，得，則，所以，直線的方程為，即，①因?yàn)?，在上，所以，即，②將②代入①得，所以直線的方程為，同理可得直線的方程為，因?yàn)樵谥本€上，所以，又在直線上，所以，所以直線的方程為，故直線過定點(diǎn)．21．在平面直角坐標(biāo)系中，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，為的中點(diǎn)．（1）證明：軸；（2）直線是否恒過一定點(diǎn)？若是，求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．【解析】解：（1）設(shè)切點(diǎn)，，，，因?yàn)?，所以切線的斜率為，直線的方程為：，設(shè)的坐標(biāo)為：所以，直線的斜率為，切線的方程為，所以點(diǎn)是方程，所以，是方程的兩根，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)．所以，所以，的橫坐標(biāo)相同，即證軸．（2）由（1）得，又因?yàn)?，所以直線的方程為：，即，所以直線恒過一定點(diǎn)，．22．拋物級(jí)的焦點(diǎn)到直線的距離為2．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)直線交拋物線于，，，兩點(diǎn)，分別過，兩點(diǎn)作拋物線的兩條切線，兩切線的交點(diǎn)為，求證：．【解析】解：（1）因?yàn)閽佄锛?jí)的焦點(diǎn)到直線的距離為2．所以，所以；（2）證明：聯(lián)立直線與，得，所以，，，求導(dǎo)數(shù)得，所以過點(diǎn)的拋物線切線為：，①過點(diǎn)的拋物線切線為：，②①②得，所以，①②，得，，，所以，，所以，所以．23．已知拋物線的方程為，點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，且到拋物線焦點(diǎn)的距離為2．（1）求拋物線的方程；（2）點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，求面積的最小值．【解析】解：（1）設(shè)拋物線焦點(diǎn)為，由題意可得，故，拋物線的方程為．（2）設(shè)．由題可知切線的斜率存在且不為0，故可設(shè)切線方程為，．聯(lián)立，消去得．．由直線與拋物線相切可得△，，即．，解得，可得切點(diǎn)坐標(biāo)為，故可設(shè)，，，，由，可得，，，為直角三角形，的面積．令切點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，則，，，，當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，的面積取得最小值1．24．如圖，已知拋物線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，焦點(diǎn)為，且，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過作拋物線的切線，切點(diǎn)為（異于點(diǎn)，，且直線交線段于點(diǎn)．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）（?。┣笞C：為定值；（ⅱ）設(shè)，的面積分別為，，求的最小值．【解析】解：（Ⅰ）拋物線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，焦點(diǎn)為，且，由拋物線定義得，解得，拋物線的方程為．（Ⅱ）證明：設(shè)直線，由，得，△，解得，代入方程，得，設(shè)，，則，，設(shè)，，設(shè)直線，則由，得，由△，可得，解得，或（舍，，，，由，得，為定值．由得，，，，，，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，（1），的最小值為6．25．（2023·廣東廣州·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┰O(shè)拋物線，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)、.當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)已知點(diǎn)，直線、分別與拋物線交于點(diǎn)、.求證：直線過定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用弦長求解，即可求解拋物線方程；（2）設(shè)直線方程，與拋物線聯(lián)立，韋達(dá)定理找到坐標(biāo)關(guān)系，表示出直線方程，即可求出定點(diǎn).【詳解】（1）解：由題意，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，直線的方程為，聯(lián)立可得，則，所以，即，所以拋物線的方程為.（2）證明：若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，同理可知，直線也不與軸重合，設(shè)、，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，，因此，.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，則，因此，，則，同理可得.所以.因此直線的方程為，由對稱性知，定點(diǎn)在軸上，令得，，所以，直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明.26．（2022·江西上饒·上饒市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)F斜率為的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），交拋物線準(zhǔn)線于G，且滿足．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知C，D為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且，求證直線CD過定點(diǎn)P，并求出P點(diǎn)坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，求的最大值．【答案】(1)(2)證明見解析；P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）(3)【分析】（1）過點(diǎn)B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為H，設(shè)準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)M，由直線的斜率得出傾斜角，利用三角函數(shù)及拋物線的定義求出即可得解；（2）設(shè)直線CD的方程為：，，，聯(lián)立方程組，由根與系數(shù)的關(guān)系求出，再由建立斜率的方程即可得解；（3）由向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算化簡，利用二次函數(shù)求最值.【詳解】（1）過點(diǎn)B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為H，設(shè)準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)M，如圖，由題知，直線l的傾斜角為．∴在中，，又∵，∴，∴．∴，∴在中，又，∴，∴，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）可知，拋物線方程為，設(shè)直線CD的方程為：，，，直線與拋物線聯(lián)立：，得：，則，，∵，且，∴則，∴直線CD過定點(diǎn)（4，0），即P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），（3）由（2）可知P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），∴，∴的最大值為．27．（2020·全國·校聯(lián)考一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F與x軸垂直的直線交拋物線的弦長為2．(1)求拋物線N的方程；(2)點(diǎn)和點(diǎn)為兩定點(diǎn)，點(diǎn)A和點(diǎn)B為拋物線N上的兩動(dòng)點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)Q在直線OM上，求△ABC面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）令，可得，得到，求得，即可求得拋物線的方程；（2）設(shè)，直線AB的斜率為，得到，得到直線的方程，聯(lián)立方程組得到，結(jié)合弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式，求得面積，令，得到，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】（1）解：由題意得拋物線的焦點(diǎn)為，在方程中，令，可得，所以弦長為，即，解得，所以拋物線C的方程為．（2）解：由（1）知拋物線的方程為，設(shè)，直線AB的斜率為，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)在直線上，由可知直線OM的方程為，設(shè)，所以，所以，又，所以，即得，設(shè)直線的方程為，即，聯(lián)立方程組，所以，所以，即，由根據(jù)與系數(shù)的關(guān)系得，則，又由點(diǎn)到直線的距離為，所以，記，因?yàn)椋?，所以，令，可得，令，可得，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即有最大值為.28．（2021·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為是拋物線上一點(diǎn)，過F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，直線AP?BP分別交準(zhǔn)線于M?N.當(dāng)，點(diǎn)P恰好與原點(diǎn)O重合時(shí)，的面積為4.（1）求拋物線C的方程；（2）記點(diǎn)的橫坐標(biāo)與AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，若，求的最小值.【答案】（1）；（2）8.【分析】（1）由題設(shè)，結(jié)合拋物線的性質(zhì)知：當(dāng)且P恰好與原點(diǎn)O重合時(shí)有，進(jìn)而根據(jù)三角形面積求p，寫出拋物線方程.（2）設(shè)為，，，聯(lián)立拋物線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理求，，可求，即可得、、到的距離，進(jìn)而可得關(guān)于k的表達(dá)式，再寫出直線、方程，即可求，可得關(guān)于k的表達(dá)式，結(jié)合已知條件應(yīng)用基本不等式求的最小值.【詳解】（1）由題設(shè)，當(dāng)且P恰好與原點(diǎn)O重合，的面積為4，∴，即，可得，∴拋物線C的方程為.（2）由題意，可設(shè)為，，，∴聯(lián)立拋物線方程，整理得：，顯然，∴，，則，∵的橫坐標(biāo)與AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，∴，則，若在第一象限，則，可得到的距離，∴，由上知：，，令，有，，∴，∴，∴知：，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴的最小值為8.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，設(shè)交點(diǎn)及直線方程，聯(lián)立拋物線應(yīng)用韋達(dá)定理求，，進(jìn)而得到坐標(biāo)，綜合應(yīng)用點(diǎn)線距離公式、三角形面積公式，結(jié)合已知條件列方程求參數(shù)的范圍.29．（2020·廣東東莞·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓，圓心，點(diǎn)E在直線上，點(diǎn)P滿足，，點(diǎn)P的軌跡為曲線M．（1）求曲線M的方程．（2）過點(diǎn)N的直線l分別交M于點(diǎn)A、B，交圓N于點(diǎn)C、D（自上而下），若、、成等差數(shù)列，求直線l的方程．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）設(shè)，由，得，代入化簡得：，所以點(diǎn)P的軌跡曲線M的方程為：；（2）由、、成等差數(shù)列，得弦長，對直線l的斜率分情況討論，當(dāng)斜率不存在時(shí)，，不符合題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)，，直線l的方程為：，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可求得k的值，從而得到直線l的方程．【詳解】（1）設(shè)，由，得，則，，，，由，得，即，化簡得：，所以點(diǎn)P的軌跡曲線M的方程為：；（2）由、、成等差數(shù)列，得，所以弦長，①當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線l的方程為：，交點(diǎn)，，此時(shí)，不符合題意；②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為：，，，聯(lián)立方程，消去y得：，∴，，顯然恒成立，由拋物線的定義可知，，∴，解得：，∴直線l的方程為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軌跡方程的求解，直線與拋物線的位置關(guān)系，向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

30．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn)，與雙曲線的漸近線交于點(diǎn)A，若，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知可得出的值，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，分析可得，由此可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)量的值，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，則，則、，不妨設(shè)點(diǎn)為第二象限內(nèi)的點(diǎn)，聯(lián)立，可得，即點(diǎn)，因?yàn)榍遥瑒t為等腰直角三角形，且，即，可得，所以，，解得，因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.31．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于C、D兩點(diǎn)，若．則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】設(shè)公共焦點(diǎn)為，進(jìn)而可得準(zhǔn)線為，代入雙曲線及漸近線方程，結(jié)合線段長度比值可得，再由雙曲線離心率公式即可得解.【詳解】設(shè)雙曲線與拋物線的公共焦點(diǎn)為，則拋物線的準(zhǔn)線為，令，則，解得，所以,又因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，所以，即，所以，所以雙曲線的離心率.故選：A.32．（2020·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為．是拋物線上異于的一點(diǎn)，過作于，則線段的垂直平分線（

）．A．經(jīng)過點(diǎn) B．經(jīng)過點(diǎn)C．平行于直線 D．垂直于直線【答案】B【分析】依據(jù)題意不妨作出焦點(diǎn)在軸上的開口向右的拋物線，根據(jù)垂直平分線的定義和拋物線的定義可知，線段的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)，即求解.【詳解】如圖所示：．因?yàn)榫€段的垂直平分線上的點(diǎn)到的距離相等，又點(diǎn)在拋物線上，根據(jù)定義可知，，所以線段的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn).故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.33．（2017·全國·高考真題）已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為A．16 B．14 C．12 D．10【答案】A【詳解】設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立方程，得，∴，同理直線與拋物線的交點(diǎn)滿足，由拋物線定義可知，當(dāng)且僅當(dāng)（或）時(shí)，取等號(hào).點(diǎn)睛:對于拋物線弦長問題，要重點(diǎn)抓住拋物線定義，到定點(diǎn)的距離要想到轉(zhuǎn)化到準(zhǔn)線上，另外，直線與拋物線聯(lián)立，求判別式，利用根與系數(shù)的關(guān)系是通法，需要重點(diǎn)掌握.考查最值問題時(shí)要能想到用函數(shù)方法和基本不等式進(jìn)行解決.此題還可以利用弦長的傾斜角表示，設(shè)直線的傾斜角為，則，則，所以.34．（2007·山東·高考真題）設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上的一點(diǎn)，與軸正向的夾角為，則為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點(diǎn)做軸，令，則，利用拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離求解即可.【詳解】如圖所示過點(diǎn)做軸，令，因?yàn)槭菕佄锞€的焦點(diǎn)，與軸正向的夾角為，所以由拋物線的性質(zhì)得，解得，所以，故選：B35．（2015·天津·高考真題）已知雙曲線的一條漸近線過點(diǎn)，且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：雙曲線的一條漸近線是，則①，拋物線的準(zhǔn)線是，因此，即②，由①②聯(lián)立解得，所以雙曲線方程為．故選D．考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．36．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）（多選題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則（

）A．C的準(zhǔn)線為 B．直線AB與C相切C． D．【答案】BCD【分析】求出拋物線方程可判斷A，聯(lián)立AB與拋物線的方程求交點(diǎn)可判斷B，利用距離公式及弦長公式可判斷C、D.【詳解】將點(diǎn)的代入拋物線方程得，所以拋物線方程為，故準(zhǔn)線方程為，A錯(cuò)誤；，所以直線的方程為，聯(lián)立，可得，解得，故B正確；設(shè)過的直線為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，所以，直線的斜率存在，設(shè)其方程為，，聯(lián)立，得，所以，所以或，，又，，所以，故C正確；因?yàn)?，，所以，而，故D正確.故選：BCD37．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）（多選題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)，若，則（

）A．直線的斜率為 B．C． D．【答案】ACD【分析】由及拋物線方程求得，再由斜率公式即可判斷A選項(xiàng)；表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得，即可求出判斷B選項(xiàng)；由拋物線的定義求出即可判斷C選項(xiàng)；由，求得，為鈍角即可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A，易得，由可得點(diǎn)在的垂直平分線上，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；對于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則，則，B錯(cuò)誤；對于C，由拋物線定義知：，C正確；對于D，，則為鈍角，又，則為鈍角，又，則，D正確.故選：ACD.38．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）（多選題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，則（

）．A． B．C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形【答案】AC【分析】先求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得，根據(jù)弦長公式求得，根據(jù)圓與等腰三角形的知識(shí)確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)：直線過點(diǎn)，所以拋物線的焦點(diǎn)，所以，則A選項(xiàng)正確，且拋物線的方程為.B選項(xiàng)：設(shè)，由消去并化簡得，解得，所以，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)：設(shè)的中點(diǎn)為，到直線的距離分別為，因?yàn)?，即到直線的距離等于的一半，所以以為直徑的圓與直線相切，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)：直線，即，到直線的距離為，所以三角形的面積為，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.

39．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線：()的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，與軸垂直，為軸上一點(diǎn)，且，若，則的準(zhǔn)線方程為.【答案】【分析】先用坐標(biāo)表示，再根據(jù)向量垂直坐標(biāo)表示列方程，解得，即得結(jié)果.【詳解】拋物線：()的焦點(diǎn),∵P為上一點(diǎn)，與軸垂直，所以P的橫坐標(biāo)為，代入拋物線方程求得P的縱坐標(biāo)為,不妨設(shè),因?yàn)镼為軸上一點(diǎn)，且，所以Q在F的右側(cè)，又，因?yàn)?，所?，所以的準(zhǔn)線方程為故答案為：.【點(diǎn)睛】利用向量數(shù)量積處理垂直關(guān)系是本題關(guān)鍵.40．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)與雙曲線的左焦點(diǎn)重合，若兩曲線相交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)是點(diǎn)，則該雙曲線的離心率等于.【答案】【分析】利用拋物線的性質(zhì)，得到M的坐標(biāo)，再帶入到雙曲線方程中，即可求解.【詳解】由題意知：拋物線方程為：在拋物線上，所以在雙曲線上，，又，故答案為：41．（2017·山東·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右支與焦點(diǎn)為的拋物線交于兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的漸近線方程為.【答案】【詳解】，因?yàn)椋詽u近線方程為.【名師點(diǎn)睛】1.在雙曲線的幾何性質(zhì)中，漸近線是其獨(dú)特的一種性質(zhì)，也是考查的重點(diǎn)內(nèi)容.對漸近線：(1)掌握方程；(2)掌握其傾斜角、斜率的求法；(3)會(huì)利用漸近線方程求雙曲線方程的待定系數(shù).求雙曲線方程的方法以及雙曲線定義和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用都和與橢圓有關(guān)的問題相類似.因此，雙曲線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)一為的形式，當(dāng)，，時(shí)為橢圓，當(dāng)時(shí)為雙曲線.2.凡涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離時(shí)，一般運(yùn)用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離處理．42．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由拋物線的定義可得，即可得解；（2）法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線，由韋達(dá)定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，設(shè)直線，結(jié)合韋達(dá)定理可解.【詳解】（1）拋物線的準(zhǔn)線為，當(dāng)與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為p，此時(shí)，所以，所以拋物線C的方程為；（2）[方法一]：【最優(yōu)解】直線方程橫截式設(shè)，直線，由可得，，由斜率公式可得，，直線，代入拋物線方程可得，，所以，同理可得，所以又因?yàn)橹本€MN、AB的傾斜角分別為，所以，若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)最大時(shí)，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.[方法二]：直線方程點(diǎn)斜式由題可知，直線MN的斜率存在.設(shè),直線由得：，,同理，.直線MD:,代入拋物線方程可得：，同理，.代入拋物線方程可得:,所以，同理可得，由斜率公式可得：（下同方法一）若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)最大時(shí)，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.[方法三]：三點(diǎn)共線設(shè)，設(shè),若P、M、N三點(diǎn)共線，由所以，化簡得，反之，若,可得MN過定點(diǎn)因此，由M、N、F三點(diǎn)共線，得，

由M、D、A三點(diǎn)共線，得，

由N、D、B三點(diǎn)共線，得，則，AB過定點(diǎn)（4,0）（下同方法一）若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)最大時(shí)，，所以直線.【整體點(diǎn)評】（2）法一：利用直線方程橫截式，簡化了聯(lián)立方程的運(yùn)算，通過尋找直線的斜率關(guān)系，由基本不等式即可求出直線AB的斜率，再根據(jù)韋達(dá)定理求出直線方程，是該題的最優(yōu)解，也是通性通法；法二：常規(guī)設(shè)直線方程點(diǎn)斜式，解題過程同解法一；法三：通過設(shè)點(diǎn)由三點(diǎn)共線尋找縱坐標(biāo)關(guān)系，快速找到直線過定點(diǎn)，省去聯(lián)立過程，也不失為一種簡化運(yùn)算的好方法．43．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2．（1）求C的方程;（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿足，求直線斜率的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為.【分析】（1）由拋物線焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離即可得解；（2）設(shè)，由平面向量的知識(shí)可得，進(jìn)而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，由題意，該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以該拋物線的方程為；（2）[方法一]：軌跡方程+基本不等式法設(shè)，則，所以，由在拋物線上可得，即，據(jù)此整理可得點(diǎn)的軌跡方程為，所以直線的斜率，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，；綜上，直線的斜率的最大值為.[方法二]：【最優(yōu)解】軌跡方程+數(shù)形結(jié)合法同方法一得到點(diǎn)Q的軌跡方程為．設(shè)直線的方程為，則當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，其斜率k取到最值．聯(lián)立得，其判別式，解得，所以直線斜率的最大值為．[方法三]：軌跡方程+換元求最值法同方法一得點(diǎn)Q的軌跡方程為．設(shè)直線的斜率為k，則．令，則的對稱軸為，所以．故直線斜率的最大值為．[方法四]：參數(shù)+基本不等式法由題可設(shè)．因?yàn)?，所以．于是，所以則直線的斜率為．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以直線斜率的最大值為．【整體點(diǎn)評】方法一根據(jù)向量關(guān)系，利用代點(diǎn)法求得Q的軌跡方程，得到直線OQ的斜率關(guān)于的表達(dá)式，然后利用分類討論，結(jié)合基本不等式求得最大值；方法二同方法一得到點(diǎn)Q的軌跡方程，然后利用數(shù)形結(jié)合法，利用判別式求得直線OQ的斜率的最大值，為最優(yōu)解；方法三同方法一求得Q的軌跡方程，得到直線的斜率k的平方關(guān)于的表達(dá)式，利用換元方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求得最大值，進(jìn)而得到直線斜率的最大值；方法四利用參數(shù)法，由題可設(shè)，求得x,y關(guān)于的參數(shù)表達(dá)式，得到直線的斜率關(guān)于的表達(dá)式，結(jié)合使用基本不等式，求得直線斜率的最大值.44．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知F是拋物線的焦點(diǎn)，M是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，且，（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)F的直線交拋物線與A?B兩點(diǎn)，斜率為2的直線l與直線，x軸依次交于點(diǎn)P，Q，R，N，且，求直線l在x軸上截距的范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出的值后可求拋物線的方程.（2）方法一：設(shè)，，，聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程后可得，求出直線的方程，聯(lián)立各直線方程可求出，根據(jù)題設(shè)條件可得，從而可求的范圍.【詳解】（1）因?yàn)?，故，故拋物線的方程為：.（2）[方法一]：通式通法設(shè)，，，所以直線，由題設(shè)可得且.由可得，故，因?yàn)椋?，?又，由可得，同理，由可得，所以，整理得到，故，令，則且，故，故即，解得或或.故直線在軸上的截距的范圍為或或.[方法二]：利用焦點(diǎn)弦性質(zhì)設(shè)直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為，由題設(shè)可得且．由得，所以．因?yàn)?，，．由得．同理．由得．因?yàn)?，所以即．故．令，則．所以，解得或或．故直線在x軸上的截距的范圍為．[方法三]【最優(yōu)解】：設(shè)，由三點(diǎn)共線得，即．所以直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為．設(shè)直線的方程為，則．所以．故（其中）．所以．因此直線在x軸上的截距為．【整體點(diǎn)評】本題主要是處理共線的線段長度問題，主要方法是長度轉(zhuǎn)化為坐標(biāo).方法一：主要是用坐標(biāo)表示直線，利用弦長公式將線段長度關(guān)系轉(zhuǎn)為縱坐標(biāo)關(guān)系，再將所求構(gòu)建出函數(shù)關(guān)系式，再利用換元法等把復(fù)雜函數(shù)的范圍問題轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)的范圍.方法二：利用焦點(diǎn)弦的性質(zhì)求得直線的斜率之和為0，再利用線段長度關(guān)系即為縱坐標(biāo)關(guān)系，再將所求構(gòu)建出函數(shù)關(guān)系式，再利用換元法等把復(fù)雜函數(shù)的范圍問題轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)的范圍.方法三：利用點(diǎn)在拋物線上，巧妙設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，借助于焦點(diǎn)弦的性質(zhì)求得點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系，這樣有助于減少變元，再將所求構(gòu)建出函數(shù)關(guān)系式，再利用換元法等把復(fù)雜函數(shù)的范圍問題轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)的范圍.45．（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知橢圓，拋物線，點(diǎn)A是橢圓與拋物線的交點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l交橢圓于點(diǎn)B，交拋物線于M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若，求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）若存在不過原點(diǎn)的直線l使M為線段AB的中點(diǎn)，求p的最大值．【答