等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（第2課時(shí)）（教學(xué)設(shè)計(jì)）高二數(shù)學(xué)（人教A版2019選擇性）

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（第2課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)課時(shí)教學(xué)內(nèi)容等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用.課時(shí)教學(xué)目標(biāo)1.進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，了解等差數(shù)列前n項(xiàng)和的一些性質(zhì).2.掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題．教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn):等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用.難點(diǎn):綜合與靈活運(yùn)用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式.教學(xué)過程設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境，引入課題例8某校新建一個(gè)報(bào)告廳，要求容納800個(gè)座位，報(bào)告廳共有20排座位，從第2排起后一排都比前一排多2個(gè)座位．問第1排應(yīng)安排多少個(gè)座位．分析：將第1排到第20排的座位數(shù)依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．由題意可知，是等差數(shù)列，且公差及前20項(xiàng)的和已知，所以可利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求首項(xiàng)．解：設(shè)報(bào)告廳的座位從第1排到第20排，各排的座位數(shù)依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列，其前項(xiàng)和為根據(jù)題意，數(shù)列是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列，且．由，可得．因此，第1排應(yīng)安排21個(gè)座位．環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念例9已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，公差，則是否存在最大值?若存在，求的最大值及取得最大值時(shí)的值；若不存在，請說明理由．分析：由和，可以證明是遞減數(shù)列，且存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，，遞減．這樣，就把求的最大值轉(zhuǎn)化為求的所有正數(shù)項(xiàng)的和．另一方面，等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可寫成，所以當(dāng)時(shí)，可以看成二次函數(shù)當(dāng)時(shí)的函數(shù)值．如圖，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的圖象是一條開口向下的物物線上的一些點(diǎn)．因此，可以利用二次函數(shù)求相應(yīng)的，的值．環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念解法1：由，得，所以是遞減數(shù)列．又由，可知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以．也就是說，當(dāng)或6時(shí)，最大．因?yàn)?，所以的最大值?0．環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念解法2：因?yàn)椋?，?dāng)取與最接近的整數(shù)即5或6時(shí)，最大，最大值為30．環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化想一想，這是為什么？思考在例9中，當(dāng)時(shí)，有最大值嗎？結(jié)合例9考慮更一般的等差數(shù)列前項(xiàng)和的最大值問題．環(huán)節(jié)六歸納總結(jié),反思提升問題請同學(xué)們回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容,并回答下列問題：1.本節(jié)課學(xué)習(xí)的概念有哪些？2.在解決問題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特征1.公式可化是關(guān)于的表達(dá)式:.當(dāng)時(shí),關(guān)于的表達(dá)式是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)式,即點(diǎn)在其相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象上,這就是說等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式是關(guān)于的二次函數(shù),它的圖象是拋物線上橫坐標(biāo)為正整數(shù)的一系列孤立的點(diǎn).2.等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值(1)在等差數(shù)列中,當(dāng)時(shí),有最大值,使取得最值的可由不等式組確定;當(dāng)時(shí),有最小值,使取到最值的可由不等式組確定.(2),若,零的二次函數(shù)的角度中:當(dāng)時(shí),有最小值;當(dāng)時(shí),有最大值.當(dāng)取最接近對稱軸的正整數(shù)時(shí),取到最值.環(huán)節(jié)七 目標(biāo)檢測，作業(yè)布置完成教材：教科書練習(xí)第24頁第4,5題習(xí)題第24頁第5,6,7,8題.練習(xí)（第24頁）1．某市一家商場的新年最高促銷獎(jiǎng)設(shè)立了兩種領(lǐng)獎(jiǎng)方式：第一種，獲獎(jiǎng)?wù)呖梢赃x擇2000元的獎(jiǎng)金；第二種，從12月20日到第二年的1月1日，每天到該商場領(lǐng)取獎(jiǎng)品，第1天領(lǐng)取的獎(jiǎng)品價(jià)值為100元，第2天為110元，以后逐天增加10元．你認(rèn)為哪種領(lǐng)獎(jiǎng)方式獲獎(jiǎng)?wù)呤芤娓啵?．解析：從12月20日到第二年的1月1日共13天，每天領(lǐng)取獎(jiǎng)金數(shù)是以100為首項(xiàng)，10為公差的等差數(shù)列，設(shè)為，則，，．∴共獲獎(jiǎng)金(元)．，∴第二種領(lǐng)獎(jiǎng)方式獲獎(jiǎng)?wù)呤芤娓啵?．已知數(shù)列的前項(xiàng)和．求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．2．解析：當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，．3．已知等差數(shù)列，，，…的前項(xiàng)和為，是否存在最大（?。┲?如果存在，求出取得最值時(shí)的值．3．解：(方法一)由題意知，，，，令，則，數(shù)列的前9項(xiàng)為負(fù)項(xiàng)，從第10項(xiàng)起為正項(xiàng)，存在最小值，此時(shí)．（方法二）由題意知，，，，對應(yīng)圖象的對稱軸為直線，存在最小值，此時(shí)．4．求集合且中元素的個(gè)數(shù)，并求這些元素的和．4．解析：，，，，最大取30，最小取1，∴集合中共有30個(gè)元素．其和．*5．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前項(xiàng)和為．求取得最小值時(shí)的值．5．解析：令，得或．又，所以數(shù)列滿足，，，，…，，，，…，取得最小值時(shí)．習(xí)題（第24頁）1．根據(jù)下列等差數(shù)列中的已知量，求相應(yīng)的未知量：（1），，，求及； （2），，，求及；（3），，，求及； （4），，，求及．1．解析：（1）將，，．代入，得，解得．將，，代入，得，解得．（2）將，，分別代入，，得．解這個(gè)方程組，得，．（3）將，，，代入，得，解得．將，，代入得．（4）將，，代入，得．解得．將，，代入，得．提示：等差數(shù)列的通向公式及前項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量，，，，，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想來解決問題．2．已知為等差數(shù)列，，，求．2．解析：，，，，．．3．（1）求從小到大排列的前個(gè)正偶數(shù)的和．（2）求從小到大排列的前個(gè)正奇數(shù)的和．（3）在三位正整數(shù)的集合中有多少個(gè)數(shù)是5的倍數(shù)？求這些數(shù)的和．（4）在小于100的正整數(shù)中，有多少個(gè)數(shù)被7除余2？這些數(shù)的和是多少？3．解析：（1）設(shè)這個(gè)正偶數(shù)依次排列構(gòu)成等差數(shù)列，則，，．（2）設(shè)這個(gè)正奇數(shù)依次排列構(gòu)成等差數(shù)列，則，，．（3）設(shè)這些5的倍數(shù)從小到大依次排列構(gòu)成等差數(shù)列，則，，．，，，即有180個(gè)數(shù)是5的倍數(shù)．．（4）小于100的正整數(shù)中被7除余2的最小數(shù)為2，最大數(shù)為93，這些數(shù)構(gòu)成以2為首項(xiàng)，7為公差的等差數(shù)列．設(shè)有個(gè)數(shù)，由，得，即有14個(gè)數(shù)被7除余2．．4．1682年，英國天文學(xué)家哈雷發(fā)現(xiàn)一顆大星的運(yùn)行曲線和1531年、1607年的星驚人地相似．他大膽斷定，這是同一天體的三次出現(xiàn)，并預(yù)言它將于76年后再度回歸．這就是著名的哈雷慧星，它的回歸周期大約是76年．請你查找資料，列出哈雷慧星的回歸時(shí)間表，并預(yù)測它在本世紀(jì)回歸的年份．4．解析：根據(jù)歷史記載，哈雷彗星在1607年以后的回歸時(shí)間依次為1682年，1759年，1835年，1910年，1986年，預(yù)測它在本世紀(jì)回歸的年份為2062年．5．已知一個(gè)多邊形的周長等于158cm，所有各邊的長成等差數(shù)列，最大的邊長為44cm，公差為3cm．求這個(gè)多邊形的邊數(shù)．5．解析：(方法一)設(shè)這個(gè)多邊形最短邊的長為，邊數(shù)為，則，，．根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式與通項(xiàng)公式，得，解得或（不合題意，舍去)．故這個(gè)各邊形的邊數(shù)是4．(方法二)設(shè)這個(gè)多邊形最長邊的長為，邊數(shù)為，則，，．由，解得或(不合題意，舍去)．故這個(gè)多邊形的邊數(shù)是4．6．?dāng)?shù)列，都是等差數(shù)列，且，，．求數(shù)列的前100項(xiàng)的和．6．解析：由題意知，數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為，，．7．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）證明是等差數(shù)列；（2）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，求．7．解析：（1）證明：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，又（常數(shù)），是等差數(shù)列．（2）是等差數(shù)列，設(shè)，則數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，，，，．．8．已知兩個(gè)等差數(shù)列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，將這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列．求這個(gè)新數(shù)列的各項(xiàng)之和．8．解析：有兩個(gè)等差數(shù)列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，由這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，2，14，26，38，50，…，182是兩個(gè)數(shù)列的相同項(xiàng)．共有個(gè)，也是等差數(shù)列，它們的和為，這個(gè)新數(shù)列的各項(xiàng)之和為1472．9．一支車隊(duì)有15輛車，某天下午依次出發(fā)執(zhí)行運(yùn)輸任務(wù)．第一輛車于14時(shí)出發(fā)，以后每間隔10min發(fā)出一輛車．假設(shè)所有的司機(jī)都連續(xù)開車，并都在18時(shí)停下來休息．（1）截止到18時(shí)，最后一輛車行駛了多長時(shí)間？（2）如果每輛車行駛的速度都是60km/h，這個(gè)車隊(duì)當(dāng)天一共行駛了多少千米？9．解析：（1）第一輛車出發(fā)時(shí)間為14時(shí)，每輛車的間隔事件為，即為小時(shí)，則第15輛車在小時(shí)后，出發(fā)的時(shí)間為時(shí)，所以第15輛車行駛的時(shí)間為小時(shí)，即1小時(shí)40分鐘．（2）設(shè)每輛車行駛的時(shí)間構(gòu)成數(shù)列，由題意可得構(gòu)成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則15輛車行駛的時(shí)間的和為小時(shí)，所以行駛的總里程為．10．已知等差數(shù)列的公差為，求證．你能從直線的斜率角度來解釋這個(gè)結(jié)果嗎?10．解析：因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差為，所以．在斜率為的直線上任取兩點(diǎn)，，則，即公差為的等差數(shù)列的圖象是由點(diǎn)組成的集合，這些點(diǎn)均勻分布在直線上．11．虎甲蟲以爬行速度快聞名，下表記錄了一只虎甲蟲連續(xù)爬行時(shí)爬行的距離．時(shí)間/s12345678910距離/m2.505.037.5510.0512.4515.0117.2819.9022.4825.07（1）你能建立一個(gè)數(shù)列模型，近似地表示這只虎甲蟲連續(xù)爬行的距離與時(shí)間之間的關(guān)系嗎？（2）利用建立的模型計(jì)算，這只虎甲蟲連續(xù)爬行1min能爬多遠(yuǎn)（精確到0.01m）？它連續(xù)爬行10m需要多長時(shí)間（精確到0.1s）？11．解析：（1）這只虎甲蟲的爬行距離依次排列可構(gòu)成數(shù)列．設(shè)為，可近似地看成一個(gè)等差數(shù)列，，，．（2）這只虎甲蟲連續(xù)爬行，，；這只虎甲蟲爬行時(shí)，令，即，．∴這只虎甲蟲連續(xù)爬行min能爬行