立體幾何(一)答案

立體幾何專題專練(一)答案

1、(I)證明：在四棱錐P-A6CO中，

因底面ABC。，CDu平面ABC。，故CD，PA.

由條件CO1A。，PAC\AC=A,二。。J.面PAC.又AEu面PAC,AE1CD.

由PA=A6=6C,ZABC=60°,可得AC=PA.〈E是PC的中點，AE1PC,

PCC\CD=C.綜上得AEL平面PCD.

(H)解:在四棱錐P-ABCD中因P4_L底面ABCD,A8u平面ABCD，故PA_LAB.

又A3J.AO,PAC\AD=A,從而43,平面PAD.故PB在平面P4。內的射影為尸4,

從而NAPB為PB和平面PAD所成的角.

在中，AB=PA,故NAP3=45°.

所以P8和平面PA0所成的角的大小為45°.

(III)解：過點E作EMLP。，垂足為M,連結

由(II)知，AEL平面PCD,AM在平面PCO內的射影

是EM,則AM1PD.

因此N4WE是二面角A—PO-。的平面角.由已知，得NC4O=30°.設AC=a,得

0」,八_26Dn_V21V2

PA—ci,A.D-----a,PD-----a,AE——ci.

332

在Rt^ADP中，?/AMLPD,AMPD=PAAD,則

273

…PAAD°r。2不…A……『A￡V14

AM=-------=—f=--------a.在RtZXAEM中，sinAME==.

PD7217AM4

2、(I)證明：連結AC交5。于。，連結。M

因為Af為Af中點，。為AC中點，

所以FC〃MO,

又因為MOu平面

所以FC〃平面MB。；..............4分

(II)因為正方形ABCD和矩形ABEF所在平面互相垂直，

所以A廠，平面A8CO

以4為原點，以AD,A8,AF為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如圖取A8=l

C(l,l,0),M(0,0,1)，5(0,1,0),0(1,0,0),N(3/)

設平面的法向量為p=(x,y,z),

p-BD=Oz.

~P=(U,l)6分

p-BM=0

設平面BON的法向量為q=(x,y,

[q-BD=0--i)、

P—-q=(1,1-2)

[q-BN=Q

]與湎夾角為e.....................

cos。=1,"=0

IpI?IqI

所以二面角M—8?！狽的大小為90°。..............12分

3,(1)證明：連結A￡,與AJ交于O點，連結OD.

因為O,D分別為A|C和BC的中點，

所以OD〃A|B。

又ODu平面AJD,A|Bu平面ACQ,

所以A1〃平面ACQ........................................4分

(2)證明:在直三棱柱ABC-ABG中,

BB|_L平面及酈uABC,

所以BB,1AD.

因為AB=AC,D為BC中點，

所以ADJ.BC.又BCcBB1=B,

所以AD_L平面B|BCC「

又CEu平面斯BCG，ADICE

因為四邊形BBCC1為正方形，D,E分別為BC,BB1的中點，

所以RtACBEsRtAC.CD,ZCC,D=ZBCE.

所以NBCE+NC|DC=90。.所以CQ_LCE

又ADcJD=D

所以的IAC,D

(3)解：如圖，以的中點G為原點，建立空間直角坐標系,

貝ijA(0,6,4),E(3,3,0),C(-3,6,0),

C,(-3,0,0).

由(H)知CEL平面廨T),(,)CE=6-3,0為

平面ACQ的一個法向量。

設n=(x,y,z)為平面ACCj的一個法向量，

AC=(-3,0,-4),CC,=(0,-6,0).

,[n-AC=0,-3x+4z=0,

由《_____可得

n-CC,=0,-6y=0.

令x=1,貝ljy=0,z=——

4

□

所以5=(1,0,——).

4

從而cos（而6=罌濡=孩石.

因為二面角C-AC.-D為銳角,

所以二面角C-AC「D的余弦值為第.

12分

4、瞅：（1）證明：連結8G,交B\C于E,DE.

直三棱柱4叱加?心，〃是力6中點,

，側面B8CC為矩形，DE為AABG的中位線,

：.DE//AG.2分

因為%'u平面B\CD,力G2平面ByCD,

二/G〃平面B、CD.4分

(2),/ACLBC,

所以如圖，以C為原點建立空間直角坐標系C-xyz.

則B(3,0,0),A(0,4,0),4(0,0,c),

8⑶0,4).

設〃（a,b,0）（。>0,/?>0）,5分

:點〃在線段46上，且處=工

即3D=—BA.

AB55

???—

7分

55

——124

所以BQ=(-3,0,-4),BA=(-3,4,0),CD=(-,-,0).

平面切9的法向量為.n=（0,0,1）8分

設平面笈切的法向量為〃2=（x，y，D，

—3x—4z=0

0,得1124八，

由B]C?ri?=0,CD-n2

155*

4一4

所以x=-§,y=4,n2=(--,4,1).10分

\a-b\_3

設二面角3—CD—用的大小為e,cos6=11分

fflP

3

所以二面角8—CO—用的余弦值為二.12分

113

5、(I)

證明：如圖，連接CO,AC,.........1分

則四邊形ABC。為正方形，.........2分

.-.OC=AB=AlBi,且.?.0C//A8//A4

故四邊形44。。為平行四邊形，.......3分

A.O//B.C,.........4分

又平面AB。，8ICu平面48c...-5分

4。//平面Age..6分

(II)D}A=2。，。為AO的中點，D01AD,又側面_L底面ABCD,

故Z)iO_L底面ABC。，.........7分

以。為原點，所。C,OD,在直線分

別為x軸，y軸，Z軸建立如圖所示的坐標

系，則“1,0,0),0(0,1,0),

R(0,0,1),A(0,-1,0),........8分

.■.DC(1,-1,O)，西(0,-1,1),

5^4(0,-1,-1),=OC=(1，—1，°)，.......一9分

—?、—??―.-----x—V=U

設〃z=(x,y,z)為平面CO2G的一個法向量，由,〃z_LOA,得＜',

-y+z=O

令Z=l,則y=l,x=l,r.m=(1,1,1).....10分

又設1=(xi，%,zj為平面ACQ的一個法向量，由［，即，3,前，得

-y.-Z,=0

<令

VM=0

Z]=1,則％=-1，玉=-1,n=(-1,-1,1),.......11分

——-1-14-111

則cos<m,n>--7=_L=——，故所求銳二面角A—CD—C的余弦值為一.......12分

V3-V333

6、解：

(I)；E4_L平面ABC,BMu平面ABC,AEA±BM...........................2分

又BMLAC,EAcAC=A,；.BM，平面ACFE,

而EM<=平面ACFE,BM_LEM........................................3分

VAC是圓0的直徑，ZABC=90n.又ABAC=30°,AC=4,

AB=2y/3,BC=2,AM=3,CM=1...............................5分

EA±平面ABC,EC//EA,FC±平面ABC.

...易知△￡4M與△FC"都是等腰直角三角形.

:.NEMA=ZFMC=45°.，NEMF=90°,BPEM1MF..............7分

MFCBM=M,/.EM_L平面MBF,而BFu平面MBF,

EM1BF.........................................................8分

(II)由(I)知,平面ACFE,ABM1MF,

又,:BMLAC,

ZCMF為二面角C—BM—F的平面角.................................10分

在△CMf中，由（I）知NCME=450..............................11分

因為ABC。是正方形，

所以AC_LB。，因為。EcBO=O...........4分

從而AC,平面3OE.....................6分

（2）當M是BD的一個四等分點，即48M=8。時，，AM〃平面8E尸......8分

取8E上的四等分點N,使4BN=BE,連結MMNF,則。E〃MN,且。E=4MN,

因為AF〃OE,且。E=4AF,所以AF〃MN,且AF=〃N,

故四邊形AMNF是平行四邊形.....................10分

所以AM〃尸M

因為4加仁平面3￡尸，月7<=平面8后/，.............................11分

所以AM〃平面8EF.........................12分

8、解：（1）設。廠的中點為N,則MNHLcD,又AO//-CD,則MN//AO,MNAO

=。=。=

為平行四邊形，.?.OM〃AN,又ANu平面D4尸，。加0平面

OM//平面DAF。

(2)過點尸作尸G，A8于G,平面ABCD_L平面ABEF,

]2

FG-L平面ABCD,VFABCD=—SABCD-FG=—FG,

\-CBl^ABEF,

?"F-CBE=^C-BFE~2SSBFEeCB

=--EFFGCB=-FG

326

??^F-ABCD:V~c8E=4：1

9、解（D以A為原點，以45,AO,AP為X軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，

設A8=L則尸4=4。=2,又設14萬1=丁，貝U：尸Z=(1,2,—2),薪=(一1,%0)

T->]

由PC^BE=0,可得lx(—1)+2y+(-2)x0=0,解得y=—

——1

又AE=A,AD=>A=—

4

一]

(ID由⑴知面PAC的法向量為85=(一1,一,0)

2

—>

又因為8P=(—1,0,2)

設P6與面PAC所成的角為a,則：

.\BE^BP\H+><0+0x212

sina=——=.=-------------=—aG

I向J加p+l+oJP+o+45歸

2

二所求P3與面PAC所成的角的正弦值為一

5

10、

解KD以A為原點，建立如圖所示的坐標系(y軸〃CB),則A(O,O,O),D(O,O,

2),B(2,2,O),C(2,0,0)，從而E(1,O,1),F(1,1,O)，所以

AC-(2,O,O),E?=(O,1,-1),.............................................................3分

所蛇^?群=2XO+OX1+OX(-D=O,所漢前_L前，因此AC_LEF.…，6分

(2)因為AC=CB且F為AB的中點，所以CFJLAB,又CFJLAD,從而CF,平面

ABD,故元=(1,-1,0)為平面ABD的法向■.又AD=AC,E為CD中點，所以

AEJLCD,又因BC_L平面ACD,所以AEJLBC,從而AE_L平面BCD,

故融=(1,0,1)為平面BCD的一法向量，..........................19分

.........................11分

二面角C-DB-A為60。.........12分

11、

19.M：

連/C交80于N

由40〃6c可得.MNQsMNC、

AQAN\

'---'SE-

BCNC2...............2分

R學答*X1網共4頁

???Pkf^PCPAHMN..............4分

■：PAHMBQ.........................6分

(2)由PA?PO-AD=2.Q為AD的中點，MPQI.

AD.-7分

乂平面PADd_平面ABC。，所以PQJ■平面ABCD.

連BD.

四邊形ABCD為菱形.

VAD-=AB.ZBAD-60-ZiABD為正三角形.

Q為AD中點..'.ADXBQ....................8分

以Q為坐標*點,分別以QA、QB.QP所在的直線為

x,y,z柏.建立如圖所示的坐標系，則各點坐標為

A(1.0.0).B(0,^,0).Q(0.0.0).P(0.0.&

國平面MQB的法向量為:可用

n-QB=0n-QB=0

,vPAMMN,，a

n-MN=0〃?P/=0

?z=i.解得7=(J5,O,I)10分

取平面ABCD的法向量0A,(0,0.6)設所求二面角為0?

則\Qf?\_1故二面角M-8Q-C的大小為6CT.............1....2...分

12、（1）證明：因為四邊形ABCD是菱形,

所以AC1BD.

因為PAJ.平面ABCD,

所有PA_LBD...........

又因為PAcAC=A,

所以BD_L面PAC.—?

而BDu面PBD,

所以面PBD_L面PAC.

（2）如圖，設ACcBD=O.取PC的中點Q,連接0Q.

在aAPC中，AO=OC,CQ=QP,0Q為AAPC的中位線，所以OQ//PA.

因為PAJ_平面ABCD,

所以OQ_L平面ABCD,

以OA、OB、OQ所在直線分別為x軸、z軸，建立空間直角坐標系O-*Z.

則A（g,0,0）B（0,l,0）,C（-6,0,0）

P(60,2)

因為BOJ_面PAC,

所以平面PAC的一個法向量為0B=（0,1,0）.

設平面PBC的一個法向量為〃=(x,y,z),

而BC=(-反,-1,0)麗=(-73,1-2)

n±BC,,—V3x-y=0,

由<_一得〈「'

n1PB,[-yJ3x+y-2x=0.

令x=1,則y=-V3,Z=一6.

所以％=（1,-后-閭為平面PBC的一個法向量.

10分

OBnV21

cos<OB.n>

OBx□"1x71+3+3

所以銳二面角A—PC—B的余弦值為12分

7

13、解:連AC交BQ于N,由于〃BC可得,

AANC\BNC,.型=四=_L...2分

BCNC2

PM=-PC,：.PA//MN...4分

3

：.PA//MBQ..............6分

(2)由PA=PD=AD=2,Q為AD的中點，則PQ處AD.......7

又平面PAD平面ABCD,所以PQ平面ABCD,連接BD,

則四邊形ABCD為菱形vAD=AB,ZBAD=60°A48O為正三角形

。為的用點，B砌.......8

以Q為坐標原點，分別以QA、QB、QP所在的直線為x,y,z軸，

建立如圖所示的坐標系，則各點坐標為A(1,O,0),B(0,60),

Q(0,0,0),P(0,0,73),

—)

設平面MQB的法向量為n可得,y,z),

nQB=0nQB=0fy/3y=0

nMN=OnPA=OU-底=0

??？嘛得n分f=(6,0,1)……10

取平面ABCD的法向量

分=(0,0,6),設所求的二面角為。則cosO=￥2=L

\QP\\n\2

故二面角的大小為優(yōu)＞°........12

14、(I)證明：在△46C中，因為AB=5,A(=4,BC=3、

所以/+BC=初，所以ACLBC.

因為直三棱柱相e4笈G,所以CGVAC.

Bi

因為BCCAC=C,所以4C_L平面BBCC.

所以ACLRC........4分

(II)證明：連結8G,交.BC于■E,連接〃反

D

因為直三棱柱/a〃是仍中點，B

所以側面66CC為矩形，然為回的中位線，

所以DE//ACx.

因為DEu平面BCD,16仁平面瓜繆，

所以4G〃平面BED........8分

(III)解：由(I)ACA.BC,如圖，以C為原點建立

空間直角坐標系C-xyz.則8(3,0,0),1(0,4,0),

4(0,4,4),5(3,0,4).

設。(a,b,0)(。>0,/?>()),

因為點〃在線段46上，且B二D=上1，即——1―-

AB33

4―?4—■

所以。=2,h=~,BD=(-1,-,O),CB,=(3,0,4),

平面時的法向量為〃?=(0,0,1).設平面3曲的法向量為/J=(x,y,D，

3x+4=0

由CB、?〃,—0,CD-n7=0,得《4

2x+-y=0

4—4%。3

所以x=——，y=2,n=(——,2,1).所以cos9=

3-23Ui=~向^=

所以二面角B-CZ)-B1的余弦值為地L

12分

161

15、(I)證明：因為四邊形48co是菱形，所以ACLBO.

又因為以_1平面48(?。,所以PALBD,

所以8O_L平面PAC.4分

(II)設ACCI8O=O.因為NBAO=60。，PA=AB=2,所以80=1,AO=CO=事.

如圖，以。為坐標原點，OB、0C所在直線及過點。且與抬平行的直線分別為x軸、

y軸、z軸建立空間直角坐標系。一移z，則

P(0,一小,2),A(0,-A/3,0),B(1,0,0),C(0,

所以=(1,5，-2),=(0,25，0).

設PB與4c所成角為0,則

o_______6_____V6

3。--而訴-4-8分

(III)由(H)知=(―1,小,0).

設P(0,一小，力(z>0),則=(-1,一事,Q.

設平面P8C的法向量機=(x,y,z),則?m=0,m=0.

—x+V5y=0,6

所以l令y=V5,則x=3,z---.

—x—yi3y+tz—0,1

所以加=(3,A/3,yj.

同理，可求得平面POC的法向量"=(一3,小，y).

因為平面P8CL平面PQC,所以"?"=(),即-6+*=0.解得尸灰.

所以當平面小與平面垂直時，PA=y/6..................12分

16、解：(1)找BC中點G點，連接AG,FG

AF,G分別為DC,BC中點

J.VGU-DBi'EA

2

：.四邊形EFGA為平行四邊形二EF//AG

'：AE1平面ABC,BD//AE：.DB±平面A8C

又；OBu平面BCD

二平面ABCJ.平面BCD

又：G為BC中點且AC=AB=BCAG±BC

AG±平面BCD；.EF1平面BCD

(2)以H為原點建立如圖所示的空間直角坐標系

則c(省,O,O),E(O,-：,l),F(g，!，l),ED(-*,-g,l),CF(-g,；,l)

22442244

設平面CEF的法向量為n=(x,y,z)，

且

2——y+z=0

由得5=(6,-1,1)

旦

1八

4——y+z=0

4

平面ABC的法向量為G=(0,0,1)

nu_1_^5

則cos(n,u)=

InIIuI-x/55

平面角ECD和平面ACB所成的銳二面角的余弦值為正

5

17、(1)以C為坐標原點建立空間直角坐標系C—xyz,則

11---------------11

4(1,0,1),與(0,1,1),C,(0,0,1),D(-,-,0),則=(-1,1,0),G。=

則病?弓5=0,所以漉,布，則4坊_LGO............6分

(2)M(1,0,芻,E(0,2,0)屈=(《，0,0)，贏=(一1,上一g,

22222

設誨平面般廣個法砌E,

小屈=0

則盟一，廠

n-ME=Q,1V3?

i-x+—y----z=()

I22

令我闞做分x=0,z=l,n=(0,61),.........10

又CC1-L平面?！?,西=(0,0,1),

-*--->1

cos<〃i，CG>=一，

所以M-DE-A的大小為工

3

18、解：(I)取BD的中點P,連結EP、

又?:E盤、DC,，EA』PF,

2

???四邊形AFPE是平行四邊形，，AF〃EP,

又VEPu面BDE,AF仁平面80E,

.?.AF〃面BDE..................................4分

(H)以CA、CD所在直線分別作為x軸，z軸，以過C點和AB平行的直線作為y釉，建立

如圖所示坐標系..............5分

由。。=AC=2AE=2可得：A(2,0,0,),B(2,2,0),E(2,0,1),D(0,0,2)

則AB=(0,2,0),BE=(0,-2,l),5D=(-2,-2,2).............6分

?.?面AC0E1面ABC,面ACOEPI面A8C=AC,，面ACOE.

.??麗=(0,2,0)是面CDE的一個法向量.....................8分

設面BDE的一個法向量n=(x,y,z),則n_L屜，n_L而.

nBE=0—2y+z=02y—z=0

_即1,整理，得4令y=1,則z=2,x=1,

nBD=Q,—2x-2y+2z=0,x+y-z=0.

所以n=(l,l,2)是面COE的一個法向量.......................10分

ABn_1x2

故cos〈48,〃〉旦

\AB\\n\2xVl2+l2+226

7T,所以其余弦值為逅

圖形可知二面角B-DE-C的平面角0G(0,-)12分

6

19、

TT

解：（I）在梯形ABC。中，由AB=BC,得NBAC=°,

4

TT

：.ZDCA=ZBAC=-.又AC_LAO,故AD4C為等腰直角三角形.

4

DC=42AC=儀CAB）=2AB.

連接8。，交AC于點“，則也=空=2.

MBAB

???PD〃平面EAC,又平面EACfl平面PO5=ME,；.PDHEM

PEDMc

在.ABPD中,--------2

~EBMB

即PE=2E3時，PO〃平面EAC6分

(II)方法一：在等腰直角\PAB由取P8中點N,藏AN,則ANJ.尸8.???平面PAB

，平面PCB,月.平面PABPI平面PCB=P8,...AN_L平面P8C.

在平面P8C內，過N作N”,直線CE于H,連結A”，由AN_LC￡、NHICE,

得CE_L平面AN”，故A”1CE..?.44HN就是二面角A—CE-P的平面角.

在RfAPBC中，設CB=。，則PB=NPA1+信="/,

BE=-PB=—a,NE=-PB=—a,

3366

CE=yjCB2+BE2=-a,

3

由N”1CE,E6_LCB可知：^NEH\CEB,.?.吧=竺

NECE

代入解得:

在A/AA//N中，AN=—a,

2

tanZAHN=更=E,

NH

cosZAHN=/，=—

Vll+16

...二面角A-CE-P的余弦值為—............12分

6

方法二：以A為原點，所在直線分別為y軸、z軸，如圖建立空間直角坐標系.

設PA=AB=BC=a,則A(0,0,0),B(0,a,0),

C(cz,a,0),尸(0,0,a),《0,學

設/=(蒼乂1)為平面E4c的一個法向量，y

則n[±AC,%±AE,

ax+ay=0,[[

'2aya，解得x=7,y=-彳，

---1—=0.22

33

設％=（"y；l）為平面P8C的一個法向量，則n21BC,n2lBP,

------/、—.6ZX'=0,

又3C=(〃,0,0),8P=(0,—a,a),???《，，解得V=0,y=l

-ay+a=0,

.一/八[八一一n,-n71

..=(0,1,1)./.cos<>=~2=—

212

ln,l.lrt2l6

...二面角A-CE-P的余弦值為上............12分

6

20、證明：⑴取DED中點G,建系如圖,則A(0,m,。)、B(0,T,0)、C(l,0,0)、

D(-l,0,1),E(1,0,3)、F(0,m,2)、G(0,0,2),

笳=(2,02),DF=(l，V3,1).

設平面DEF的一法向量iit二

呼0即x+z=O,、

則<

x+/y+z=。,不妨取x=l,則y=0,z=-l,

^?DF=O

.*.2=(1,0,-1),平面ABC的一法向量3=(0,0,1),6A=(O，V3,0).

0A?n=0,AOAln.又OA<z平面DEF,.;OA//平面DEF.

⑵顯然,平面BCED的一法向量為三=(0,1,0),H=0,.,.平面DEF_L平面BCED

⑶由⑴知平面DEF的一法向量3=(1,0,-1),平面ABC的一法向量2=(0,0,1),

->-?、AM

cos<zm,n>^——=--V

|m|.|n|2

求平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值為坐.

21、解法一：向量法

由AD_L面DEFG和直角梯形EFGD可知，AD、DE、DG兩兩垂直，建立如圖的坐標系，

則A(0,0,2),B(2,0,2),C(0,1,2),E(2,0,0),G(0,2,0),F(2,1,0)

(1)BF=(2,1,0)-(2,0,2)=(0,1,-2)

CG=(0,2,0)-(0,1,2)=(0,1,-2)

：.BF=CG,即四邊形BCGF是平行四邊形.

故四點B、C、F、G共面.................4分

(2)FG=(0,2,0)-(2,1,0)=(-2,1,0),

設平面BCGF的法向量為=(x,y,z)，

則［亍!!72=0,

nx-FG=—2x+y=0

令y=2,貝【J/=(1,2,1),

而平面ADGC的法向量*=7=(1,0,0)

-------n.-n?1x1

..cos<n,,n0>=-=r―=z-=,=——；=-----------------

■V12+22+12XV12+02+026

故面ADGC與面BCGF所組成的二面角余弦值為如................8分

6

(3)設DG的中點為M,讖AM、FM,則%面體ABCQEFG=V:棱柱ZEF+V

=DEXS△9+ADXs=2x—x2xl+2x—x2xl=4.12分

解法二：(1)設DG的中點為M,嶗AM、FM,則由已知條件易證四邊形DEFM

是平行四邊形，所以MF//DE,且MF=DE

XVAB//DE,且AB=DE；.MF//AB,且MF=AB

...四邊形ABMF是平行四邊形，即BF〃AM,且BF=AM

又：M為DG的中點，DG=2,AC=1,面ABC〃面DEFG

.?.AC//MG,且AC=MG,即四邊形ACGM是平行四邊形

AGC//AM,月.GC=AM

故GC//BF,且GC=BF,

即四點B、C、F、G共面............4分

(2)1?四邊形EFGD是直角梯形，ADJ^iDEFG

ADEIDG,DE±AD,即DE_L面ADGC,

VMF//DE,且MF=DE,，MF_L而ADGC

在平面ADGC中，過M作MN_LGC,垂足為N,連接NF,

顯然/MNF是所求二面角的平面角.

:在四邊形ADGC中,AD±AC,AD1DG,AC=DM=MG=1

.GC2+GD2-CD25+4-5V5

CD=CG=也,??cos4DGC------------------------------=-------T=---------------

2xGCxGD2x^5x25

2尺

：.sin/DGC=X???MN=MG?sinZDGC=1

55

DMG

2

在直角三角形MNF中，MF=2,MN=、y一

5

tanNMNF="==石，cos4MNF=—

MN2-756

5

娓

故而ADGC與面BCGF所組成的二面角余弦值為8分

6

(3)彩面體ABC-DEFG=丫：枝柱A1WIBEF+ABC-MFG

；=DExS△和M+ADxSMFG

=2x—x2xl+2x—x2xl=4.

22

22、解：依題意可知，AA|J_平面ABC,ZBAC=90°,

空間向量法如圖建立空間直角坐標系。一xyz，因為AB=AC=AA=4,

則A(0,0,0),8(4,0,0)￡(0,4,2),0(2,2,0),4(4,0,4)

(I)西=(-2,2,-4麗=(2-2-2,XO=(2,2,0)

而的=(-2煙X(-2>(-4)(-2/0,.?.而_L由，:.BQ工EO

B}0A0=(-2W2C2+(-4)0=0,ABXOLAO,：.BtO1AO

VAOC\EO=O,4。,后。匚平面/1七0與。，平面AEO

(II)平面AEO的法向量為4。=(-22,-4),設平面B|AE的法向量為

n-AE=02y+z=0

n-(x,y,z).\<即.

“?81A=0x+z=0

令x=2,則z=-2,y,，彳=(21-2)

元舊06V6

cos<n,B0>

}79X724-6

...二面角B,—AE—F的余弦值為—(8分)

6

(HI)因為瓦麗=2x2—2x2+0=0,...加，麗，...AO1EO

,/AO=1XO1=V22+22+0=2V2,EO=\'EO\=26

匕BOF=%AOF=LSMOF?B\()=、Lx2也x2?>=8

n—?jjC/E/>|-/it/zl3txnlyc.I32。2分)

23、(I)取AE的中點M,連接&M,因為BA=4D=OC=』BC=a,AA3E為等邊

'2

三角形，則又因為面與4￡_1面4后。。，所以用知_1面AEC。，…2分

「…，，1J3