2020-2021學(xué)年廣西欽州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2020-2021學(xué)年廣西欽州市高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題(共12小題，每小題5分，共60分).

1.已知直線過點A(-2,3?)和點8(1,0),則直線/的斜率為()

A--V3B.V3C.-哮D.除

OO

2.圓C：(x+2)2+(y-4)2=2的圓心關(guān)于原點的對稱點為()

A.(4,-2)B.(-2,4)C.(2,-4)D.(-4,2)

3.已知一個正三棱臺的兩個底面的邊長分別為4和16,側(cè)棱長為10,則該棱臺的側(cè)面積為

()

A.80B.240C.320D.640

4.若機，〃表示直線，a表示平面，則下列命題中，正確的是()

A.若m〃n,m//a,貝B.若m_La,〃_La,則加〃〃

C.若mua,m//n,貝U〃〃aD.若根〃a,m.Lnf貝!Jzz_La

5.已知｛。"｝為等差數(shù)列，若43=1,S4=0,則46的值為()

A.6B.7C.8D.9

6.若機=2N+1,〃=N+2x,p=-x-3,貝!J()

A.n^m>pB.n>m>pC.m2p2nD.m^n>p

7.如圖，在直角三角形ABC中，ZC=90°,ZB=30°,。為3C邊上一點，已知30=2,

A.V6W2B.遍-&C.^3+1D.-/3-I

8.下列說法正確的有()

①棱臺的各條側(cè)棱所在的直線交于同一點；

②經(jīng)過球面上不同的兩點只能作一個面積最大的截面圓；

③各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正四棱柱；

④正三棱錐的各個側(cè)面一定是全等的正三角形.

A.1個B.2個C.3個D.4個

9.在△A3C中，內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為〃，b,c.若〃=遮，b=近,5=45

則角C的值為()

A.75°B.15°C.135°D.75°或15°

10.過點尸(2,1)作圓(X-1)2+y2=4的最短弦，延長該弦與無軸、y軸分別交于A,

8兩點，則的面積為()

A.2B.3C.4D.5

11.已知圓錐的底面半徑為1,高為2,該圓錐的頂點和底面圓周上的點都在球。的表面上，

則此球的半徑為()

A.返B.退C.—D.—

3344

12.已知。>0,b>Q,若不等式1+22恒成立，則上的最大值等于()

ab2a+b

A.10B.9C.8D.7

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.過點(1,1),且傾斜角為60°的直線/的方程為.

2

14.函數(shù)/(x)=生_」支(%>0)取得最小值時x的取值為.

x

15.已知數(shù)列｛an｝滿足ai=3,an+i=2an-1,則數(shù)列｛an｝的通項公式

為.

16.在銳角△ABC中，a,b,c分別是角A,B,C所對的邊，b=M，且角A,B,C順次

成等差數(shù)列，則△ABC周長的取值范圍是.

三、解答題：本大題共6題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟

17.設(shè)/(x)—ax2-ax-2,(aWO).

(1)當(dāng)。=1時，解關(guān)于x的不等式/(x)>0；

(2)若不等式/(x)W0對一切實數(shù)尤恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

18.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A(0,2),2(4,0),C

(m,0).

(1)求A8邊的垂直平分線所在的直線/的方程；

(2)若△A8C的面積為5,求點C的坐標(biāo).

19.已知等差數(shù)列｛雨｝的前〃項和為S“，公差d/0,&=20,且0，的，。7成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛?。耐椆剑?/p>

2

(2)求數(shù)列｛-------｝的前”項和為

anan<-l

20.海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象,被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”,

我國擁有世界上最深的海洋藍洞.為測得如圖所示的海洋藍洞口徑(圖中42兩點間的

距離)，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點C和Q,測得CD=45加，ZADB=135°,/BDC=/

DCA=15°,ZACB=120°.

(1)求A、。兩點的距離；

(2)判斷此海洋藍洞的口徑是否超過100帆.

21.如圖是一個圓柱沿圓柱的軸截去一半后所得的幾何體，點M是底面的半圓弧而上異于

C,D的點，連接M4,MB,MC,MD.

(1)證明：平面BCM；

(2)若點P是線段AM中點，求證：〃平面尸3。.

22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓N過點(-1,0),(1,0),且圓心N在直線/：

x+y-1=0上；圓M：(x-3)2+(y-4)2=8.

(1)求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷圓M與圓N的位置關(guān)系；

(2)直線上是否存在點2,使得過點B分別作圓M與圓N的切線，切點分別為T,

S(不重合)，滿足BS=28T?若存在，求出點B的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

參考答案

一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）.

1.已知直線過點A（-2,3?）和點2（1,0）,則直線/的斜率為（）

A--V3B.V3C.一坐D.除

OO

解：：直線過點A（-2,3立）和點8（1,0）,

直線I的斜率為3娓一。=-如,

-2-1

故選：A.

2.圓C：（x+2）2+（j-4）2=2的圓心關(guān)于原點的對稱點為（）

A.(4,-2)B.(-2,4)C.(2,-4)D.(-4,2)

解：圓C：(x+2)2+(y-4)2=2的圓心(-2,4),

所以圓C：（x+2）2+（＞-4）2=2的圓心關(guān)于原點的對稱點為（2,-4）.

故選：C.

3.已知一個正三棱臺的兩個底面的邊長分別為4和16,側(cè)棱長為10,則該棱臺的側(cè)面積為

()

A.80B.240C.320D.640

解：作出一個側(cè)面等腰梯形的高，也是棱臺的斜高，

則由等腰梯形的性質(zhì)，可得斜高”=J]02_（1^±）2=&

再用棱臺側(cè)面積公式，得棱臺的側(cè)面積為S惻=焉（3X4+3X16）X8=240.

4.若相，”表示直線，a表示平面，則下列命題中，正確的是（）

A.若相〃〃，m//a,則〃〃aB.若機_La,〃_La,貝加〃幾

C.若mua,m//n,貝!J〃〃aD.若加〃a,則〃J_a

解：若根〃mm//a,則〃〃a或〃ua,故A錯誤;

若根J_a,n_La,由直線與平面垂直的性質(zhì)可得加〃幾，故3正確;

若機ua,m//n,貝U〃〃a或〃ua,故。錯誤;

若m//a,m±n,則〃ua或〃〃a或〃與a相交，相交也不一定垂直，故。錯誤.

故選：B.

5.己知｛3｝為等差數(shù)列，若的1,S4=0,則。6的值為（）

A.6B.7C.8D.9

ao=lai+2d=laj=-3

解：設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,由<，得《，解得，

s4=o4a1+6d=0d=2

所以期=-3+2X5=7.

故選：B.

6.若m=2x2+1,〃=N+2X,p=-x-3,則（）

A.n^m>pB.n>m>pC.m2P2〃D.m^n>p

解：由加-〃=2N+1-(x2+2x)=x2-2x+l=(x-1)220,得

又w-p=N+2尤-(-x-3)=N+3x+3=(x+—)2+—>0,得w>p,

24

所以m》n>p.

故選：D.

7.如圖，在直角三角形ABC中，ZC=90°,N5=30。，。為3c邊上一點，已知30=2,

(

娓c.V3+1D.V3-1

解：法一：在△48。中,ZB=30°,ZADC=45°：.ZBAD=15°，

由正弦定理得「卑BD-sin3014

_AD_：.AD=2X—XL

sini5sin30sinl502V6-V2

V6+V2-

在直角三角形AOC中，VZC=90°,NAZ)C=45°,

.?.AC=AD?sin45o=(近+我)義堂=遮+1.

故選：c.

法二：設(shè)AC=x,在RtZXACD中，VZADC=45°，：.CD^x,

在RtZXACB中，VZABC=30°,：.AB=2x,BC=心,

2+x=y[2>c,

看=E

故選：C.

8.下列說法正確的有（）

①棱臺的各條側(cè)棱所在的直線交于同一點；

②經(jīng)過球面上不同的兩點只能作一個面積最大的截面圓；

③各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正四棱柱；

④正三棱錐的各個側(cè)面一定是全等的正三角形.

A.1個B.2個C.3個D.4個

解：對于①：因為棱臺是用平行于棱錐底面的平面截棱錐得到的，

故延長一個棱臺的各條側(cè)棱，它們相交于一點，①正確.

對于②：如果這兩點是球的直徑上的2個點，

經(jīng)過球面上的這兩點作無數(shù)個面積最大的截面圓，故②錯誤；

對于③：各側(cè)面都是正方形的四棱柱，

如果底面是菱形，一定不是正方體，故③錯誤；

對于④：若一個三棱錐是正三棱錐，

則底面是正三角形，三個側(cè)面是全等的等腰三角形，故④錯誤；

所以正確的只有一個，

故選：A.

9.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若.=?,b=近,8=45

則角C的值為()

A.75°B.15°C.135°D.75°或15°

解：：。=遂，b=近,8=45°,

由正弦定理可得：sinA=a?sinB=?X~^~=返,

卜~^f2~2

VAe(45°,180°),

：.A=60°,或120°,

.?.C=180°-A-8=15°或75°.

故選：D.

10.過點尸(2,1)作圓M：(X-1)2+y2=4的最短弦，延長該弦與無軸、y軸分別交于A,

8兩點，則的面積為()

A.2B.3C.4D.5

解：過點P(2,1)作圓M：(尤-1)2+y2=4的最短弦，的向量為：1,弦所在直線

的斜率為：-1,

所以y-l=-(x-2),即x+y-3=0,

所以A(3,0),B(0,3),M到AB的距離為：d=

則的面積為：亞=3,

故選：B.

11.已知圓錐的底面半徑為1,高為2,該圓錐的頂點和底面圓周上的點都在球。的表面上,

則此球的半徑為()

A.返B.退C.—D.—

3344

解：當(dāng)圓錐頂點與底面在球心。的兩側(cè)時，如圖，

設(shè)球O的半徑為R,則(2-R)2+12=R2,

解得討

當(dāng)圓錐頂點與底面在球心。的同側(cè)時，如圖,

s

圓錐SO的底面半徑04=1,高SO1=2,

設(shè)球。的半徑為R,則（R-2）2+12=R2,

解得R-^-.

4

綜上，此球的半徑為

4

故選：D.

12.已知a>0,b>0,若不等式工+2》—^恒成立，則左的最大值等于（）

ab2a+b

A.10B.9C.8D.7

解：由于a>0,b>0,所以2a+6>0,

故不等式』+2'/一等價于左W（2a+b）（-+-）,

ab2a+bab

不等式工+2、）一恒成立，等價于左（2a+b）（工+2）

ab2a+bab

由于（2a+b）（—+—）=4+2■全*2+2、回冕=8,

ababVab

（當(dāng)且僅當(dāng)2a=6時“=”成立），

故人W8.

故選：C.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.過點（1,1）,且傾斜角為60。的直線/的方程為、隔丘+1=0.

解：過點（1,1）,且傾斜角為60°的直線/的方程為y-l=tan60°（x-1）,

即y-1=^3（尤-1），即，日+1=0,

故答案為：J§+i=0.

21

14.函數(shù)/（x）=AX4a>o）取得最小值時尤的取值為

x2

解：Vx>0,

21.-

,f(x)=4^=4x+l>2CJ=4)當(dāng)且僅當(dāng)即x9時等號成立.

故答案為：，■.

15.已知數(shù)列｛斯｝滿足。1=3,斯+i=2a〃T,則數(shù)列｛3｝的通項公式為_an=2n+l_

解：由an+i—2an-1,得an+i-1=2(an-1),

"."ai-l=2W0,

可得數(shù)列｛斯-1｝是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列,

則an-l=2?2kl=2n，

n

an=2+l.

n

故答案為：an=2+l.

16.在銳角△ABC中，a,b,。分別是角A,B,C所對的邊，b=?,且角A,B,C順次

成等差數(shù)列，則△ABC周長的取值范圍是(3+妙，3日.

解：B,C成等差數(shù)列，

：.A+C^2B.

又A+B+C=TI,

a近

???在△ABC中，由正弦定理?=如=2,

sinAsinC

2

/.AABC的周長/=〃+Z?+c=2sinA+^/^+2sinC=2sinA+^/^+2sin(^--A)=2?sin

o

(A+T)+仃

?/△ABC為銳角三角形,

.I2

o<"-A<4

32

解得，

62

63

.?.返<sin(AH-----)Wl,

26

...△ABC的周長的取值范圍(3+遮，3?].

故答案為：(3+遮，3?].

三、解答題：本大題共6題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟

17.設(shè)/(無)—ax2-ax-1(a#0).

(1)當(dāng)。=1時，解關(guān)于x的不等式/(無)>0；

(2)若不等式/(x)W0對一切實數(shù)無恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

解：(1)由題意，當(dāng)。=1時，不等式/(x)>0,即N-尤-2>0,

/.(尤-2)(x+1)>0,解得尤<-1或x>2.

.?.不等式/(無)>0的解集為(-8,-1)U(2,+8).

(2),/cz#0,f(x)W0即or?--2W0恒成立，

即函數(shù)/(x)的圖象在x軸的下方，且至多與x軸一個交點，

,'a<0

、△=a2-4a(-2)40

解得-8Wa<0；

，實數(shù)。的取值范圍為[-8,0).

18.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，己知△A8C的三個頂點坐標(biāo)分別為A(0,2),8(4,0),C

(機，0).

(1)求A8邊的垂直平分線所在的直線/的方程；

(2)若△ABC的面積為5,求點C的坐標(biāo).

解：(1);△A8C的三個頂點坐標(biāo)分別為A(0,2),B(4,0),C(機，0),

線段A8的中點M的坐標(biāo)為(2,1),

又?.?線段AB的斜率為笑=-4，

4-02

設(shè)AB邊的垂直平分線所在的直線/的斜率為左，則左=2,

可得/的方程為y-1=2(尤-2),

即2x-y-3=0.

???邊A8的垂直平分線所在的直線I的方程2x-y-3=0.

(2)邊所在的直線方程為y-2=(x-0),x+2y-4=0,

\AB\(0-4)2+(2-0)2=2泥，

設(shè)AB邊上的高為d,即點C到直線AB的距離為1=母乳=上駛L,

Vl+4V5

AABC的面積為5=￡XXd=掂％

解得d=泥，即疾=?,...m=9,或%=-1,

故點C的坐標(biāo)為(9,0)或(-1,0).

19.已知等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S“，公差dWO,S5=20,且g,g,由成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛?。耐椆?；

2

(2)求數(shù)列｛-------｝的前w項和為4.

anaiH-l

解：(1)等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和為公差dWO,

由題意，得41,。3,〃7成等比數(shù)列，

所以(〃+2d)2=ai(ai+6d),

整理得：2d2=aid,

又因為dWO,

所以ai=2d,

由于S5=20,

所以5al?^41=20，

解得41=2,d=l,

所以斯=〃+1.

(2)由于斯=〃+1,

所以：=7~4-1'if4-9'i=2(~~TV一~Zo"),

anan1_1(n+1)(n+2)n+1n+2

故中X?W4+...TrY?)=備?

20.海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象,被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”,

我國擁有世界上最深的海洋藍洞.為測得如圖所示的海洋藍洞口徑(圖中A,8兩點間的

距離)，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點C和。，測得CO=45"z,ZADB=135°,/BDC=N

DCA=15°,ZACB=nO°.

(1)求A、O兩點的距離；

（2）判斷此海洋藍洞的口徑是否超過100w.

在△ACD中，ZADC=ZADB+ZBDC=135°+15°=150°,

因為/￡>CA=15°,

所以/D4c=15°,

所以△AOC為等腰三角形，

所以AO=CO=45(m),

A、D兩點的距離為45〃z；

(2)在△BCD中，ZBZ)C=15°，ZBCD=ZACB+ZACD=120°+15°=135°

所以NC3Z)=30°,

CDBD

由正弦定理可得

sinZCBDsinZBCD

45X

CD-sinl35°當(dāng)

解得BD=45y(m),

sin300

2

在△A3Z)中，AD=45mfBD=45/^jn,

ZADB=135°,由余弦定理可得

AB2=AD2+BD2-2AD?BDcosZADB=452+(45^)2-2X45X45?X(-浮)

=5X

452,

解得