周世勛《量子力學(xué)卷一第三版》課后習(xí)題解答

量子力學(xué)習(xí)題及解答

第一章量子理論基礎(chǔ)

1.1由黑體輻射公式導(dǎo)出維恩位移定律：能量密度極大值所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)4“與溫度T成反

比，即

4“T=b(常量);

并近似計(jì)算b的數(shù)值，準(zhǔn)確到二位有效數(shù)字。

解根據(jù)普朗克的黑體輻射公式

i8的/"—dv

(1)

/一1

以及Av-c,(2)

pvdv=-pvd^，(3)

有

dv

(㈤羽

P,.u)

2

8力ic1

he

e布-1

這里的夕,的物理意義是黑體內(nèi)波長(zhǎng)介于人與A+d入之間的輻射能量密度。

本題關(guān)注的是入取何值時(shí)，0t取得極大值，因此，就得要求夕義對(duì)人的一階導(dǎo)數(shù)為零,

由此可求得相應(yīng)的人的值，記作兒“。但要注意的是，還需要驗(yàn)證對(duì)人的二階導(dǎo)數(shù)在4”

處的取值是否小于零，如果小于零,那么前面求得的4.就是要求的，具體如下：

8就c一5+三一

=0

0丁刀汀端

l-eJ

,he

-5+---k=°

AkT

1-eAkT

he

5(1"而)二

如果令x=K,則上述方程為

AkT

5(l-e-t)=x

這是?個(gè)超越方程。首先，易知此方程有解：x=0,但經(jīng)過驗(yàn)證，此解是平庸的：另外的一

個(gè)解可以通過逐步近似法或者數(shù)值計(jì)算法獲得：x=4.97,經(jīng)過驗(yàn)證，此解iE是所要求的，這

樣則有

八ehe

把X以及三個(gè)物理常量代入到上式便知

4,7=2.9x10-3m?K

這便是維恩位移定律。據(jù)此，我們知識(shí)物體溫度升高的話，輻射的能量分布的峰值向較短波

長(zhǎng)方血移動(dòng)，這樣便會(huì)根據(jù)熱物體（如遙遠(yuǎn)星體）的發(fā)光顏色來判定溫度的高低。

1.2在0K附近，鈉的價(jià)電子能量約為3eV,求其德布羅意波長(zhǎng)。

解根據(jù)德布羅意波粒二象性的關(guān)系，可知

E=hv,

.h

P=-

2

如果所考慮的粒子是非相對(duì)論性的電子（/動(dòng)<<〃/2）,那么

如果我們考察的是相對(duì)性的光子，那么

E=pc

注意到本題所考慮的鈉的價(jià)電子的動(dòng)能僅為3eV,遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于電子的質(zhì)量與光速平方的乘積,

即因此利用非相對(duì)論性的電子的能量——?jiǎng)恿筷P(guān)系式，這樣，便有

z——

P

1.24x10-6

=/.in

V2X0.51X106X3

=0.71x10-9機(jī)

=0.7\nm

在這里，利用了

he=1.24x10^eVm

以及

“2=0.51xl06eV

最后，對(duì)

he

z=,__

個(gè)2人c?E

作一點(diǎn)討論，從上式可以看出，當(dāng)粒子的質(zhì)量越大時(shí)，這個(gè)粒子的波長(zhǎng)就越短，因而這個(gè)粒

子的波動(dòng)性較弱，而粒子性較強(qiáng)；同樣的，當(dāng)粒子的動(dòng)能越大時(shí)，這個(gè)粒子的波長(zhǎng)就越短，

因而這個(gè)粒子的波動(dòng)性較弱，而粒子性較強(qiáng)，由于宏觀世界的物體質(zhì)量普遍很大，因而波動(dòng)

性極弱，顯現(xiàn)出來的都是粒子性，這種波粒二象性，從某種子意義來說，只有在微觀世界才

能顯現(xiàn)。

3

1.3氧原子的動(dòng)能是￡=—kT（k為玻耳茲曼常數(shù)），求T=1K時(shí)，氫原子的德布羅意波

2

長(zhǎng)。

解根據(jù)

\k-K^\^eV,

知本題的氫原子的動(dòng)能為

33

E=-kT=-kK=l.5xlO~3eV,

22

顯然遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于〃核。2這樣，便有

2_he

核c?E

1.24x10、

=/二次

V2x3.7xl09xl.5xl0-3

=0.37x10-9加

=0.37〃加

這里，利用了

〃核=4x931xl06eV=3.7xl09eV

最后，再對(duì)德布羅意波長(zhǎng)蔣溫度的關(guān)系作一點(diǎn)討論，山某種粒子構(gòu)成的溫度為T的體

系，其中粒子的平均動(dòng)能的數(shù)量級(jí)為kT,這樣，其相慶的德布羅意波長(zhǎng)就為

A。,=-he-=—he—

42*2E?fcc2T

據(jù)此可知，當(dāng)體系的溫度越低，相應(yīng)的德布羅意波長(zhǎng)就越長(zhǎng)，這時(shí)這種粒子的波動(dòng)性就越明

顯，特別是當(dāng)波長(zhǎng)長(zhǎng)到比粒子間的平均距離還長(zhǎng)時(shí)，粒子間的相干性就尤為明顯，因此這時(shí)

就能用經(jīng)典的描述粒子統(tǒng)計(jì)分布的玻耳茲曼分布，而必須用量子的描述粒子的統(tǒng)計(jì)分布——

玻色分布或費(fèi)米公布。

1.4利用玻爾——索末菲的量子化條件，求：

(1)一維諧振子的能量；

(2)在均勻磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的電子軌道的可能半徑。

已知外磁場(chǎng)H=10T,玻爾磁子Mg=9x10-241.7-1,試計(jì)算運(yùn)能的量子化間隔^E,

并與T=4K及T=100K的熱運(yùn)動(dòng)能量相比較。

解玻爾——索末菲的量子化條件為

，pdq=nh

其中q是微觀粒子的一個(gè)廣義坐標(biāo)，p是與之相對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量，回路積分是沿運(yùn)動(dòng)軌道積

一圈，n是正整數(shù)。

(1)設(shè)一維諧振子的勁度常數(shù)為k,諧振子質(zhì)量為U,于是有

91

E=￡1+“

2〃2

這樣，便有

p=±,2〃(E_gk/)

這里的正負(fù)號(hào)分別表示諧振子沿著正方向運(yùn)動(dòng)和沿著負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，-正一負(fù)正好表示一個(gè)來

回，運(yùn)動(dòng)了一圈。此外，根據(jù)

E^-kx2

2

2E

可解出

這表示諧振子的正負(fù)方向的最大位移。這樣，根據(jù)玻爾——索末菲的量子化條件，有

r(-)^2p(E-kx1)dx=nh

「小2〃（E一；kx2）dx+J

=『，2〃3-3心）小+[^2jLi(E-^kx2)dx=nh

，[2〃（E-；心2）公二n,

=—h

2

為了積分上述方程的左邊，作以下變量代換；

x=J2E

——sinJ

k

這樣，便有

2\'J

〃Ecos0-J芥cosOdO=y/i

n2

n

EcQs1ede=-h

=>\\k2

這時(shí)，令上式左邊的積分為A，此外再構(gòu)造一個(gè)積分

8=e2￡?杉sin?Odd

這樣，便有

A+B心E；6=2E兀的

:(1)

=J/cos2用，

A-B

=￡E\COS2比(26)

=gE舊cos幽9,

這里夕=20,這樣，就有

A—B=[sin尹=0(2)

根據(jù)式（1）和（2）,便有

A=E書

這樣，便有

E書T

n

=叫〃,

U

其中h=—

27

最后，對(duì)此解作一點(diǎn)討論。首先，注意到諧振子的能量被量子化了；其次，這量子化的

能量是等間隔分布的。

(2)當(dāng)電子在均勻磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，有

U2

=>p==qBR

這時(shí)，玻爾——索末菲的量子化條件就為

rqBRd(Re)=nh

=>qBR2-2/1=nh

=>qBR?=nh

2

又因?yàn)閯?dòng)能耐￡=2—,所以，有

2〃

?(qBR)2q-B-R2

t=---------=----------

2〃2〃

=幽=孫祖

2〃2〃

=nBNB，

其中，M=，曳是玻爾磁子，這樣，發(fā)現(xiàn)量子化的能量也是等間隔的，而且

2〃

NE=BMB

具體到本題，有

A￡=10x9x10-24j=9x10—231

根據(jù)動(dòng)能與溫度的關(guān)系式

3

E^-kT

2

以及

1RK=10"=1.6x10-22/

可知，當(dāng)溫度T=4K時(shí)，

E=1.5X4X1.6X10QJ=96xl0@j

當(dāng)溫度T=100K時(shí)，

E=1.5x100x1.6x10<2j=2.4x10<°j

顯然，兩種情況下的熱運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的能量要大于前面的量子化的能量的間隔。

1.5兩個(gè)光子在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對(duì)，如果兩光子的能量相等，問要實(shí)現(xiàn)實(shí)

種轉(zhuǎn)化，光子的波長(zhǎng)最大是多少？

解關(guān)于兩個(gè)光子轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對(duì)的動(dòng)力學(xué)過程,如兩個(gè)光子以怎樣的概率轉(zhuǎn)化為正

負(fù)電子對(duì)的問題，嚴(yán)格來說，需要用到相時(shí)性量子場(chǎng)論的知識(shí)去計(jì)算，修正當(dāng)涉及到這個(gè)過

程的運(yùn)動(dòng)學(xué)方面，如能量守恒，動(dòng)量守恒等，我們不需要用那么高深的知識(shí)去計(jì)算，具休到

本題，兩個(gè)光子能量相等，因此當(dāng)對(duì)心碰撞時(shí)，轉(zhuǎn)化為正風(fēng)電子對(duì)反需的能量最小，因而所

對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)也就最長(zhǎng)，而且，有

2

E-hv-fiec

此外，還有

hc

E心=pc=—

2

于是，有

1.24x10-6

=--------w

0.51X106

=2.4xl(T，

=2.4x103nm

盡管這是光子轉(zhuǎn)化為電子的最大波長(zhǎng)，但從數(shù)值上看，也是相當(dāng)小的，我們知道，電子

是自然界中最輕的有質(zhì)量的粒子，如果是光子轉(zhuǎn)化為像正反質(zhì)子對(duì)之類的更大質(zhì)量的粒子，

那么所對(duì)應(yīng)的光子的最大波長(zhǎng)將會(huì)更小，這從某種意義上告訴我們，當(dāng)涉及到粒子的衰變，

產(chǎn)生，轉(zhuǎn)化等問題，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子間的轉(zhuǎn)化等現(xiàn)象就越豐富，

這樣，也許就能發(fā)現(xiàn)新粒子，這便是世界上在造越來越高能的加速器的原因：期待發(fā)現(xiàn)新現(xiàn)

象，新粒子，新物理。

第二章波函數(shù)和薛定譚方程

2.1證明在定態(tài)中，幾率流與時(shí)間無關(guān)。

證：對(duì)于定態(tài)，可令

中任,t)=^(r)f(t)

_--Et

=〃⑺eh

—*i方__**

J=一嚴(yán)火一火V/)

2m

i力—^~Et———^~Et—^~Et

=----(亍)e*V(〃(f)e")*一.*(f)eAV(a(f)eh)]

2m

=—Mr)V^*(r)-^*(f)V^(r)]

2m

可見/與f無關(guān)。

2.2由下列定態(tài)波函數(shù)計(jì)算幾率流密度：

ikr

(1)^,=(2)-2=~e-

rr

從所得結(jié)果說明％表示向外傳播的球面波，表示向內(nèi)(即向原點(diǎn))傳播的球面波。

解：Z和72只有「分量

在球坐標(biāo)中V=%—+eo------+e。------——

°%evdO"rsinB西

—?7**

(1)，=『(乙▽-，「▽-)

2m

ikrikrikrikr

=-[-e^(-e-)--e-—(.~e)]r0

2mrdrrrdrr

ih11.,1、11

=--[r—(z—f-ik—)—(z—^+永一)加

2mrrrrrr

hk_hk_

rr

=-mrro=-mrr

1與f同向。表示向外傳播的球面波。

**

⑵“樂…一…

-ikrikrikrikr

—[-e—(ie)-ie—(-e-)后

2mrdrrrdrr

i力」，1L1z1J-

=—+ik-)一一(一一r-ik一)兀

2mrrrr「r

力k一力k_

=-------Tro=r

mr--m--rr

可見，石與了反向。表示向內(nèi)(即向原點(diǎn))傳播的球面波。

補(bǔ)充：設(shè)-(x)=e'",粒子的位置幾率分布如何？這個(gè)波函數(shù)能否歸一化?

卜'=00

?.?〃*”/%=

9

???波函數(shù)不能按~dx=1方式歸一化。

其相對(duì)位置幾率分布函數(shù)為

。=帆『=1表示粒子在空間各處出現(xiàn)的幾率相同。

2.3一粒子在一維勢(shì)場(chǎng)

oo,x<0

U(x)=v0,0<x<tz

00,x>

中運(yùn)動(dòng)，求粒子的能級(jí)和對(duì)應(yīng)的波函數(shù)。

解：U(x)與，無關(guān)，是定態(tài)問題。其定態(tài)S—方程

力2d2

----7T夕(x)+U。)材(1)=E“(X)

2mdx~

在各區(qū)域的具體形式為

*212

I：x<0-------%(x)+U(x)%(x)=E〃](x)①

2mdx~

方2d2

II：0<x<a-------匕(x)=E匕(x)②

Imdx~-

方2d-

JI1：x>a----------工i//3(x)+U(x)y/3(x)=Ey/'x)③

2mdx-

由于(1)、(3)方程中，由于U(x)=oo,要等式成立，必須

〃i（x）=O

“2（x）=0

即粒子不能運(yùn)動(dòng)到勢(shì)階以外的地方去。

方程（2）可變?yōu)閐匕,3+2華匕（x）=0

dxtr

令T，得

dM（x）

+k?w?(x)=0

dx2

其解為〃2（x）=Asinfcc+Bcosb④

根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)漏條件確定系數(shù)A,B,由連續(xù)性條件，得

%（0）=%（0）⑤

匕⑷=憶（。）⑥

⑤=>B=0

⑥=Asin版=0

「AH0

二.sinka=0

=ka=nji(n=1,2,3,?…)

?(、人?〃萬

..3r2(x)-Asin——x

a

由歸?化條件

得Asiir——xdx=1

J)a

4.m兀.〃乃,a

由sin-----x*sin——xdx=—o,e?

Aaa2n

回.〃乃

”2(x)-i—sin——x

Vaa

.2mE

女2丁

:=—力2

42力2

n七二——"(〃=1,2,3,…)可見E是量子化的。

2ma2

對(duì)應(yīng)于E“的歸一化的定態(tài)波函數(shù)為

2.〃兀~^E?l

—sin——xen0<x<a

aa

0,x<a,x>a

#

2.4.證明(2.6-14)式中的歸一化常數(shù)是A=

Na

Asin——(x+a),|x|<a

證a

0,

(2.6-14)

由歸一化，得

1=J=￡A,2sin2—(x+tz)Jx

?1n九

A'2—[1-cos——(x+a)]dx

a2a

_A27n7r/、4

工cos——(x+a)ax

a

2I-aa

4'2a.n/v/、

=A人，2ac---A--—sin---(X+Q)

21171a-a

=A,2a

歸一化常數(shù)月'=+

#

2.5求一維諧振子處在激發(fā)態(tài)時(shí)幾率最大的位置。

=2a..2-a2x2

一I-Av

幽魚=軍[2%-2a

dxJ兀

令媽9=0,得

x=0x=±-x=±co

a

由a)1(x)的表達(dá)式可知，尤=0,x二±oo時(shí),(Dx(X)=0o顯然不是最大兒率的位置。

而二；丁)=竽卻(2_6a2%2)—2a2x(2x-2a2x3)^2

=隼[(1一5a2,—2a4x4)]e-a2x2

d?①i(x)個(gè)4/1

=-2——<0

dx2

x=:：±1〃?

2

可見=±工=力是所求幾率最大的位置。

x±JA#

a丫JLICO

2.6在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子，勢(shì)能對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱：U(—x)=U(x),證明粒子的定態(tài)波函

數(shù)具有確定的宇稱。

證：在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子的定態(tài)S-方程為

力2d2

-----YW+U(x)^(x)=E^(x)①

2/Jdx-

將式中的x以(-x)代換，得

力2d2

----^沙(一工)+〃(一工)〃(一工)=E^(-x)②

2〃dx"

利用U(—x)=U(x),得

方2d2

一「7/(-%)+U(x)”(—x)=EH—x)③

2〃dxT

比較①、③式可知，〃(-X)和〃(X)都是描寫在同一勢(shì)場(chǎng)作用下的粒子狀態(tài)的波函數(shù)。

由于它們描寫的是同一個(gè)狀態(tài)，因此以(-X)和“(X)之間只能相差一個(gè)常數(shù)C。方程①、③

可相互進(jìn)行空間反演(X--%)而得其對(duì)方，由①經(jīng)Xf-X反演，可得③，

④

由③再經(jīng)-XfX反演，可得①，反演步驟與上完全相同，即是完全等價(jià)的。

=〃(x)=c〃(—x)⑤

④乘⑤，得

/(X)?(-X)=cV(x>(-x)

可見，C2=1

C=±1

當(dāng)c=+l時(shí)，"(一x)=^/(x),n〃(x)具有偶字稱，

當(dāng)c=-l時(shí)，,=>〃(x)具有奇宇稱，

當(dāng)勢(shì)場(chǎng)滿足U(-x)=U(x)時(shí)，粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。#

2.7一粒子在一維勢(shì)阱中

U0>Q,|x|>a

(/(%)=<

0,|x|<a

運(yùn)動(dòng)，求束縛態(tài)(0<E<U°)的能級(jí)所滿足的方程。

解法一：粒子所滿足的S-方程為

方2d2

y/(x)+U(x)“(x)=E叭x)

2pdx2

按勢(shì)能U（x）的形式分區(qū)域的具體形式為

上土

I：%(x)+Uo%(x)=E%(x)-<x><x<a①

2〃dx2

力2d2

II：〃2(x)=E%。)-a<x<a

②

方2d2

HI：“3（X）+U（W3（X）=E〃3（X）a<x<co③

2〃dx?

整理后，得

點(diǎn)一2〃。。二切

%=0④

力2

?“2〃E

II：?-2+方2―2=0⑤

III：*_2以“)

0⑥

力2憶

2〃(U°—E)

令k；,2

力2

則

I：叫-k；W[=0⑦

⑧

II：.甲\~k；y/2-0

III：叭-k；W\=。⑨

各方程的解為

%=Ae-&x+Be%x

匕=Csink2x+Dcosk2x

-k,x

憶=Ee+&x+Fe

由波函數(shù)的有限性，有

有限nA=0

憶（°°）有限=>E=0

因此

Bek'x

Fe-k|X

由波函數(shù)的連續(xù)性，有

-ka

憶(一a)=^2(-a),=>Be'=-Csink2a+Dcosk2a(10)

-k,a

(一a)=歸(一a),=>k1Be=k2Ccosk2a+k2Dsink2a(11)

k,a

%(a)=%(a),=>Csink2a+Dcosk,a=Fe~(12)

ka

必(a)=歸(a),=>k2Ccosk2a-k2Dsink2a=-k(Fe^'(13)

整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程組，得

k,a

e~B+sink2aC-cosk2aD+0=0

k,a

k!e"B-k2cosk2aC-k2sink2aD+0=0

k,a

0+sink2aC+cosk2aD-eF=0

k,a

0+k2cosk2aC-k2sink2aD-f-kIe"F=0

解此方程即可得出B、C、-D、F,進(jìn)而得出波函數(shù)的具體形式，要方程組有非零解,

必須

e-k|i

sink2a一cosk2a0

1＜百"-k2cosk2a-ksinka0

220

-kja

0sink2acosk2ae

-ksinkakBe-k,a

0k2cosk2a221

-k2cosk2a-k2sink2a0

e禺a(chǎn)coska-e-k,a—

0=sink2a2

ksinkakg"'

k2cosk2a一22

sink2a-cosk2a0

-k-k'a-e-k'a

lesink2acosk2a

k,e-k'a

k2cosk2a-k2sink2a

k,ak,a2k,a

=e~[-k1k2e-cosk2a+k2e~sink2acosk2a+

k,a2

+k1k2e-sink2a+卜上一"sink2acosk2a]-

k,ak,ak,a2

-k,e[k]esink2acosk2a+k2ecosk2a+

k,a2

sink2acosk2a-k2e-sink2a]

2k,a2

=e-[-2k1k2cos2k2a+k2sin2k2a-k1sin2k2a]

2k,a

=e-[（k2-k^）sin2k2a-2k,k2cos2k2a]

??,。o

:.（k；2k-2k\k?cos2k2a=0

即（心-k；）tg2k2a-2k/?=0為所求束縛態(tài)能級(jí)所滿足的方程。#

解法二：接（13）式

kk

一Csink/+Dcosk.a=—Ccosk.a+—Dsink.a

k.k1

kk

Csink.a+Dcosk.a=——-Ccosk.a+—Dsink.a

%k.

A2k?

—cosAr?+sinA2a—sinAra-cosAra

?2Ji]22

kk0

—cosfca+sin七〃-(—sinZra-cosA:a)

k[2k、22

-(—cosA<z+sinAa)(—sin^a-cosAa)

k、22k、22

-(—coska-^sinka)(—sinka-coska)=0

ki22k、22

(—coska+sinka)(—sinka-cosA：?)=0

*22k、22

—ysinkacoska+—sin2ka——-cos2ka-smkacosA:a=0

k?22k]2k?222

k22k

(-14--y)sin2k2a------cos2k2a=0

4i%

(k；1242a-2%七cos2k2a=0

#

解法三：

ka

(11)-(13)=>2k2Dsink2a=k,e-'(B+F)

-k,a

(10)+(12)=>2Dcosk2a=e(B+F)

(11)-(13).,.

------------=>k9tgk?a=k.(a)

(10)+(12)221

-ikta

(11)+(13)n2k2Ccosk2a=-kx(F-B)e

-ik,a

(12)-(10)=>2Csink2a=(F-B)e

-------------=kctgka=-k

(12)-(10)，，1

令=k2a,T]=k2a,貝i」

看啥=〃(c)

或自儂=一〃(d)

（k;+k力=號(hào)至

鏟+方(f)

n

合并(a)、(b)：

2k.k2利用tg2k2”潭蚩

'g2。=PTF

?v2?v?

解法四：（最簡(jiǎn)方法-平移坐標(biāo)軸法）

"+=￡

I:-1(XW0)

"

II:-2=(0<x<2a)

力2

III：一丁嗯+UM=EW3(x22Q)

2M

*2〃…

%=0

力2

“2〃(u。-E)

八------n——k=0

n

〃;-kM=o(1)k：=2〃(U°—E)/力2

<I//"+k初2=0(2)吆=2比/力2束縛態(tài)O〈E<Uo

k?3=°⑶

=Ae+kiX+Be-kiX

W?=Csink2x+DeosJl2x

+k,xk,x

i//s=Ee+Fe-

%(-℃)有限nB=0

〃3(8)有限nE=0

因此

/.%=Aek'x

kx

y/3=Fe-'

由波函數(shù)的連續(xù)性，有

g(0)=%(0),nA=D(4)

^；(0)=^(0),=>k,A=k2C(5)

2113

*(2a)=歸(2a),nk2Ccos2k2a-k2Dsin2k2a=-k^e-"(6)

-2k,a

(2a)=憶(2a),nCsin2k2a+Deos2k2a=Fe(7)

⑺代入(6)

k、k,

Csin2k2a+Deos2k2a=——-Ceos2k2a+—Dsin2k2a

k、k[

利用⑷、(5),得

kk

-Asin2k9a+Acos2k9a=-Acos2k7a+-Dsin2k9a

k2k.

kk

A[(—-----)sin2k2a+2cos2k2a]=0

k2I

:AH0

kk

/.(------)sin2k2a+2cos2k2a=0

^2k1

兩邊乘上(-Ik?)即得

(k|-k；)sin2k2a-2k,k2cos2k2a=0

#

2.8分子間的范德瓦耳斯力所產(chǎn)生的勢(shì)能可以近似表示為

8,x<0,

t/,0<x<a,

UM="0

-q,a<x<b,

*，b<x,

求束縛態(tài)的能級(jí)所滿足的方程。

解：勢(shì)能曲線如圖示，分成四個(gè)區(qū)域求解。

定態(tài)S-方程為

----rr以x)+U(x)材(x)=E〃(x)

2〃dx

對(duì)各區(qū)域的具體形式為

力2

I：----/"+U(x)%=E%(x<0)

2〃

力2

II：----+UoW■>=Ew、(0Wx<a)

2〃

方2

III：----—UWs=Ei//?

2〃

力2

IV：——〃：+0=E〃4(b<x)

2〃

對(duì)于區(qū)域I,U(x)=°o,粒子不可能到達(dá)此區(qū)域，故

甲、（x）=0

而.------U----y2=0①

n

“2〃（q+E）八

聯(lián)產(chǎn)上——-^3=0②

n

歸+爺心=0

③

n

對(duì)于束縛態(tài)來說，有—U<E<0

22〃(UO-E)

明——0④

,‘2_2〃(q+E)

必+=0⑤

kg"33一小

歸+k?4=0kl=-2juE/h2⑥

各方程的解分別為

kxkx

y/2Ae'+Be-'

憶=Csink2x+Dcosk2x

W&=Ee+kiX+F”

由波函數(shù)的有限性，得

歹4（8）有限,=>E=0

?，?-4-Fe^k'x

由波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)，得

乙(0)=〃2(°)=>5=-4

???

W,a)=〃3(。)=一泊短)=Csin攵2〃+Deosk2a⑦

kakya

〃；(4)=%(a)=Ak}(e-+e~)=Ck2cosk2a-Dk2sink2a⑧

〃3(Z?)=%S)=>Csink2b+Dcosk2b=

⑨

kyb

%出)=3)=>Ck2sink2b-Dk2cosk2b=-Fk3e~⑩

z-xmM+6-”逐Ccosfca-Ocosfca/、

由⑦、⑧，得一Lr-----「=------2----------—2(11)

kakl

k2e'-eCsink2a+Dcosk2a

由⑨、⑩得他2cos上5)。一伏2§加左2力)。=(一々3§加左2方)。一(左3以)§42》)￡)

(—cosk2b+sink2b)C=(——-cosk2b+sink2b)D=0(12)

的k3

心”+「必k

令B=/,-第.黃'則①式變?yōu)?/p>

(/sink2a-cosfca)Ccoska+sinka)D=0

聯(lián)立(12)、(13)得，要此2方程組有非零解2，必須2’

k?k,

(^-COSA:26+sink2b)(-^-sin4-cosfc26)

(fisink2a-cosk2a)(^cosfc2a+sinfc2a)

k

即(,cosfc2a+sinAr2a)(—cosA：2Z>+sink2b)-sink2a-cosga)?

k3

?('——,-sinkZ^b+coskL.bz)=0

左3

—cosk2bcosk2a+—sink2bsink2a+fisink2bcosk2a+

/人3

+sink2bsmk2a+/?—sink2bsink2a-----sink2bcosk2a)-

43&3

一]3cosk2bsink2a+cosk2bcosk2a=0

sink2(b-a)(p--)+cos*2(b-a)((/"+1)=0

k3k3

tgk2(b-a)