考向11 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)（重點(diǎn)）-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)微專題（新高考地區(qū)專用）

考向11對數(shù)與對數(shù)函數(shù)1．（2020·海南高考真題）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出的定義域，然后求出的單調(diào)遞增區(qū)間即可.【詳解】由得或所以的定義域?yàn)橐驗(yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增所以在上單調(diào)遞增所以故選：D【點(diǎn)睛】在求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)一定要先求函數(shù)的定義域.2．（2020·全國高考真題（文））Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I()=0.95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為（）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．69【答案】C【分析】將代入函數(shù)結(jié)合求得即可得解.【詳解】，所以，則，所以，，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)的運(yùn)算，考查指數(shù)與對數(shù)的互化，考查計(jì)算能力，屬于中等題1.在對數(shù)運(yùn)算中，先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后正用對數(shù)運(yùn)算法則化簡合并.2.先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算.3.ab＝N?b＝logaN(a>0，且a≠1)是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)注意互化.4.識別對數(shù)函數(shù)圖象時(shí)，要注意底數(shù)a以1為分界：當(dāng)a＞1時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，是減函數(shù)．注意對數(shù)函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)(1,0)，且以y軸為漸近線．5.一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解．6.比較對數(shù)值的大?。?）若對數(shù)值同底數(shù)，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較（2）若對數(shù)值同真數(shù)，利用圖象法或轉(zhuǎn)化為同底數(shù)進(jìn)行比較（3）若底數(shù)、真數(shù)均不同，引入中間量進(jìn)行比較7.解決對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用有以下三個(gè)步驟：(1)求出函數(shù)的定義域；(2)判斷對數(shù)函數(shù)的底數(shù)與1的大小關(guān)系，當(dāng)?shù)讛?shù)是含字母的代數(shù)式(包含單獨(dú)一個(gè)字母)時(shí)，若涉及其單調(diào)性，就必須對底數(shù)進(jìn)行分類討論；(3)判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用復(fù)合函數(shù)“同增異減”原則判斷函數(shù)的單調(diào)性1.對數(shù)的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).2.對數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算性質(zhì)(1)對數(shù)的性質(zhì)：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)對數(shù)的運(yùn)算法則：如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝eq\f(n,m)logaM(m，n∈R，且m≠0).(3)換底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1).3.對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞).(2)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：(0，＋∞)值域：R當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，即過定點(diǎn)(1，0)當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對稱.【知識拓展】1.換底公式的兩個(gè)重要結(jié)論(1)logab＝eq\f(1,logba)；(2)logambn＝eq\f(n,m)logab.其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.2.在第一象限內(nèi)，不同底的對數(shù)函數(shù)的圖象從左到右底數(shù)逐漸增大.3.對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象過定點(diǎn)(1，0)，且過點(diǎn)(a，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1))，函數(shù)圖象只在第一、四象限.1．（2021·新沂市第一中學(xué)高三其他模擬）函數(shù)的定義域是（）A． B．C． D．2．（2021·合肥市第六中學(xué)高三其他模擬（理））已知，則（）A． B． C． D．3．（2021·全國高三其他模擬（理））已知，，，則（）A． B． C． D．4．（2021·廣東茂名市·高三二模）（多選題）已知函數(shù)若函數(shù)有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值可以是（）A．-1 B．0 C．1 D．21．（2021·四川遂寧市·高三三模（理））已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；若，，，則（）A． B．C． D．2．（2021·四川成都市·石室中學(xué)高三三模）已知函數(shù)的圖像關(guān)于對稱，滿足，且在上遞減，若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．3．（2021·新安縣第一高級中學(xué)高三其他模擬（文））被譽(yù)為信息論之父的香農(nóng)提出了一個(gè)著名的公式：，其中為最大數(shù)據(jù)傳輸速率，單位為bit/s：為信道帶寬，單位為：為信噪比.香農(nóng)公式在5G技術(shù)中發(fā)揮著舉足輕重的作用.當(dāng)，時(shí)，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為；在信道帶寬不變的情況下，若要使最大數(shù)據(jù)傳輸速率翻一番，則信噪比變?yōu)樵瓉淼亩嗌俦叮ǎ〢．2 B．99 C．101 D．99994．（2021·濟(jì)南市·山東師范大學(xué)附中高三其他模擬）若函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．5．（2021·廣東佛山市·高三其他模擬）（多選題）函數(shù)，下列說法正確的是（）A．的定義域?yàn)锽．在定義域內(nèi)單調(diào)遞増C．不等式的解集為D．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱6．（2021·黑龍江哈爾濱市·哈九中高三月考（文））已知函數(shù)，則不等式的解集為___________.8．（2021·全國高三其他模擬）已知不為的正實(shí)數(shù)滿足則下列不等式中一定成立的是_____.（將所有正確答案的序號都填在橫線上）①；②；③；④；⑤．9．（2019·吉林高三其他模擬（理））已知等比數(shù)列滿足，等差數(shù)列滿足，則___________.10．（2021·山東高三其他模擬）已知數(shù)列滿足．給出定義：使數(shù)列的前項(xiàng)和為正整數(shù)的叫做“好數(shù)”，則在內(nèi)的所有“好數(shù)”的和為______．11．（2021·遼寧鐵嶺市·高三二模）設(shè)定義域?yàn)椋阎谏蠁握{(diào)遞減，是奇函數(shù)，則使得不等式成立的取值范圍為___________.12．（2021·全國高三其他模擬）已知函數(shù)，函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)Q的軌跡恰好是函數(shù)的圖象．（1）寫出的解析式：（2）若，時(shí)，總有成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．1．（2020·全國高考真題（文））設(shè)，，，則（）A． B． C． D．2．（2008·山東高考真題（文））已知函數(shù)的圖象如圖所示，則滿足的關(guān)系是（）A． B．C． D．3．（2013·遼寧高考真題（文））已知函數(shù)A． B． C． D．4．（2019·北京高考真題（理））在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．5．（2020·海南高考真題）（多選題）信息熵是信息論中的一個(gè)重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為，且，定義X的信息熵.（）A．若n=1，則H(X)=0B．若n=2，則H(X)隨著的增大而增大C．若，則H(X)隨著n的增大而增大D．若n=2m，隨機(jī)變量Y所有可能的取值為，且，則H(X)≤H(Y)6．（2020·北京高考真題）函數(shù)的定義域是____________．7．（2019·上海高考真題）函數(shù)的反函數(shù)為___________8．（2014·重慶高考真題（理））函數(shù)的最小值為__________．9．（2014·廣東高考真題（理））若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則.10．（2017·上海高考真題）已知數(shù)列和，其中，，的項(xiàng)是互不相等的正整數(shù)，若對于任意，的第項(xiàng)等于的第項(xiàng)，則________1．【答案】C【分析】根據(jù)題意列不等式組，化簡得出結(jié)論.【詳解】由題意得解得或.所以原函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C.2．【答案】A【分析】運(yùn)用對數(shù)運(yùn)算法則和換底公式進(jìn)行求解.【詳解】由，可得，所以.故選：A3．【答案】A【分析】先由對數(shù)的性質(zhì)可得，，，然后利用作差法判斷的大小即可【詳解】首先，，因?yàn)?，，所以，所以，因?yàn)椋?故選：A.4．【答案】BCD【分析】作出函數(shù)的圖象如下圖所示，將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，根據(jù)圖示可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意，作出的圖像如下所示：令，得，所以要使函數(shù)有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以只需函數(shù)的圖像與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，根據(jù)圖形可得實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．1．【答案】D【分析】由奇函數(shù)性質(zhì)及的解析式，求得，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)單調(diào)遞減，比較數(shù)的大小，從而有.【詳解】當(dāng)時(shí)，，由奇函數(shù)的性質(zhì)知，，，函數(shù)單調(diào)遞減；又，，則由函數(shù)單減知，故選：D2．【答案】A【分析】根據(jù)題意得出是以2為周期的周期函數(shù)，且在上遞增函數(shù)，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得，結(jié)合單調(diào)性，即可求解.【詳解】由函數(shù)關(guān)于對稱，可得函數(shù)關(guān)于對稱，即，又由函數(shù)滿足，可得，即，所以函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，則，，，又由，且，因?yàn)樵谏线f減，可得函數(shù)在上遞增函數(shù)，所以，即.故選：A.3．【答案】C【分析】利用香農(nóng)公式求的值，根據(jù)的值求的值，從而就能求出信噪比變?yōu)樵瓉淼亩嗌俦?【詳解】當(dāng)，時(shí)，，由，得，所以，所以，即信噪比變?yōu)樵瓉淼?01倍.故選：.4．【答案】A【分析】由分段函數(shù)單調(diào)遞增的特性結(jié)合單調(diào)增函數(shù)的圖象特征列出不等式組求解即得.【詳解】因函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則有在上遞增，在上也遞增，根據(jù)增函數(shù)圖象特征知，點(diǎn)不能在點(diǎn)上方，于是得，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：A5．【答案】AD【分析】分別考慮函數(shù)的定義域、單調(diào)性及對稱性就可以對每一個(gè)選項(xiàng)作出判斷.【詳解】要使函數(shù)有意義，則，故A正確；，令，易知其在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故B不正確；由于在上單調(diào)遞減，所以對于，有，故C不正確；令，解得，所以關(guān)于直線對稱，故D正確.故選：AD6．【答案】【分析】確定函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，然后由奇偶性與單調(diào)性解不等式．【詳解】函數(shù)定義域是，，是偶函數(shù)，時(shí)，是減函數(shù)，又，所以由得，且，解得且．故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查解函數(shù)不等式，解題關(guān)鍵是確定函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，然后利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式，解題時(shí)注意函數(shù)的定義域，否則易出錯(cuò)．7．【答案】6【分析】首先利用換底公式表示，再代入求值.【詳解】由條件得，所以.故答案為：8．【答案】④⑤.【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性先分析出的大小關(guān)系，然后結(jié)合函數(shù)性質(zhì)以及不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)分析.【詳解】因?yàn)榍也粸椋蓪?shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，①當(dāng)時(shí)，，所以，故①不一定成立；②因?yàn)?，由指?shù)函數(shù)的單調(diào)性可知,故②不成立；③當(dāng)時(shí)，，所以，故③不一定成立；④因?yàn)?，所以，故④一定成立；⑤因?yàn)?，所以，故⑤一定成立；故答案為：④?9．【答案】10【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求，然后結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列中，，所以，因?yàn)?，則由等差數(shù)列的性質(zhì)得.故答案為：10.10．【答案】2026【分析】先計(jì)算出數(shù)列的前項(xiàng)和，然后找到使其為正整數(shù)的，相加即可得到答案．【詳解】由題，．所以，．因?yàn)闉檎麛?shù)，所以，即．令，則．因?yàn)?，所以．因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，且所以．所以所有“好數(shù)”的和為．故答案為：2026．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的新定義、對數(shù)運(yùn)算法則，解題時(shí)應(yīng)認(rèn)真審題，找到規(guī)律，注意等比數(shù)列求前項(xiàng)和公式的靈活運(yùn)用．11．【答案】【分析】根據(jù)是奇函數(shù)判斷函數(shù)的對稱中心，等價(jià)于，等價(jià)于，即可得到關(guān)于x的不等式，求出x的范圍.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，故圖像關(guān)于對稱，由題設(shè)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以等價(jià)于，因此不等式等價(jià)于，即，即且，解得取值范圍為.故答案為：12．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）設(shè)是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，則P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)在函數(shù)的圖象上得，再是函數(shù)圖象上的點(diǎn)，可得答案；（2）求時(shí)，利用換元法求出的最小值可得答案．【詳解】（1）由題意，設(shè)是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，則P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，因?yàn)橐阎c(diǎn)Q在函數(shù)的圖象上，所以，而，所以，所以，而是函數(shù)圖象上的點(diǎn)，所以．（2）當(dāng)時(shí)，，下面求當(dāng)時(shí)，的最小值，令，則，因?yàn)?，即，解得，所以，又，所以，所以，所以時(shí)，的最小值為0，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，總有成立，所以，即所求m的取值范圍為．1．【答案】A【分析】分別將,改寫為，，再利用單調(diào)性比較即可.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：A.【點(diǎn)晴】本題考查對數(shù)式大小的比較，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.2．【答案】A【解析】本小題主要考查正確利用對數(shù)函數(shù)的圖象來比較大小．由圖易得，；取特殊點(diǎn)，，．選A．3．【答案】D【詳解】試題分析：設(shè)，則，，所以，所以答案為D.考點(diǎn)：1.對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算律；2.換元法.4．【答案】A【分析】由題意得到關(guān)于的等式，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算法則可得亮度的比值.【詳解】兩顆星的星等與亮度滿足,令,.故選A.【點(diǎn)睛】本題以天文學(xué)問題為背景,考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數(shù)對數(shù)運(yùn)算.5．【答案】AC【分析】對于A選項(xiàng)，求得，由此判斷出A選項(xiàng)；對于B選項(xiàng)，利用特殊值法進(jìn)行排除；對于C選項(xiàng)，計(jì)算出，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷出C選項(xiàng)；對于D選項(xiàng)，計(jì)算出，利用基本不等式和對數(shù)