安徽省黃山市泰安中學高三數(shù)學文期末試題含解析

安徽省黃山市泰安中學高三數(shù)學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設，則二項式展開式的常數(shù)項是（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：D略2.“”是“的展開式的第三項是60”的

（

）A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A3.是在上的奇函數(shù)，當時，，則當時=（

）A

B

C

D

參考答案：D略4.全國十運會期間，某高校有14名志愿者參加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，則開幕式當天不同的排班種數(shù)為

(

)

A.

B.

C.

D.

參考答案：答案：A

解析：先從14人中選出12人,再將12人進行分組,且每組4人.5.設，則a，b，c的大小關系是

(

）A．

B．

C．

D．參考答案：B6.定義在上的函數(shù)滿足，當時，；當時，，則

(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B略7.已知a是函數(shù)f（x）=2x﹣的零點，若0＜x0＜a，則f（x0）的值滿足（）A．f（x0）=0 B．f（x0）＞0C．f（x0）＜0 D．f（x0）的符號不確定參考答案：C考點： 函數(shù)的零點；函數(shù)的零點與方程根的關系．專題： 壓軸題．分析： a是函數(shù)的零點，函數(shù)增函數(shù)，本題根據(jù)函數(shù)的單調性和零點的性質進行求解．解答： 解：∵在（0，+∞）上是增函數(shù)，a是函數(shù)的零點，即f（a）=0，∴當0＜x0＜a時，f（x0）＜0，故選C．點評： 函數(shù)是增函數(shù)，單調函數(shù)最多只有一個零點，a是函數(shù)的唯一零點8.設y=，則=（

）A．2x

B．(2+4x2)

C．(2x+x2)

D．(2+2x2)參考答案：答案：B9.已知函數(shù)y=f（x）是R上偶函數(shù)，且對于?x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，當x1，x2∈[0.3]，且x1≠x2時，都有＞0．對于下列敘述；①f（3）=0；

②直線x=﹣6是函數(shù)y=f（x）的一條對稱軸；③函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[﹣9，﹣6]上為增函數(shù)；

④函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[﹣9，9]上有四個零點．其中正確命題的序號是（）A．①②③ B．①② C．①②④ D．②③④參考答案：C【考點】抽象函數(shù)及其應用；命題的真假判斷與應用．【分析】分析4個命題，對于①，在用特殊值法，將x=﹣3代入f（x+6）=f（x）+f（3）中，變形可得f（﹣3）=0，結合函數(shù)的奇偶性可得f（3）=f（﹣3）=0，可得①正確；對于②，結合①的結論可得f（x+6）=f（x），即f（x）是以6為周期的函數(shù)，結合函數(shù)的奇偶性可得f（x）的一條對稱軸為y軸，即x=0，可得直線x=﹣6也是函數(shù)y=f（x）的一條對稱軸，可得②正確；對于③，由題意可得f（x）在[0，3]上為單調增函數(shù)，結合函數(shù)是偶函數(shù)，可得f（x）在[﹣3，0]上為減函數(shù)，又由f（x）是以6為周期的函數(shù)，分析函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[﹣9，﹣6]的單調性可得③錯誤；對于④，由①可得，f（3）=f（﹣3）=0，又由f（x）是以6為周期的函數(shù)，則f（﹣9）=f（9）=0，即函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[﹣9，9]上有四個零點，④正確；綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析命題，對于①，在f（x+6）=f（x）+f（3）中，令x=﹣3可得，f（3）=f（﹣3）+f（3），即f（﹣3）=0，又由函數(shù)y=f（x）是R上偶函數(shù)，則f（3）=f（﹣3）=0，則①正確；對于②，由①可得，f（3）=0，又由f（x+6）=f（x）+f（3），則有f（x+6）=f（x），即f（x）是以6為周期的函數(shù)，又由函數(shù)y=f（x）是R上偶函數(shù)，即f（x）的一條對稱軸為y軸，即x=0，則直線x=﹣6也是函數(shù)y=f（x）的一條對稱軸，②正確；對于③，由當x1，x2∈[0，3]，都有＞0，可得f（x）在[0，3]上為單調增函數(shù)，又由函數(shù)y=f（x）是R上偶函數(shù)，則f（x）在[﹣3，0]上為減函數(shù)，又由f（x）是以6為周期的函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[﹣9，﹣6]上為減函數(shù)，③錯誤；對于④，由①可得，f（3）=f（﹣3）=0，又由f（x）是以6為周期的函數(shù)，則f（﹣9）=f（﹣3）=0，f（9）=f（3）=0，即函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[﹣9，9]上有四個零點，④正確；正確的命題為①②④；故選C．10.（理科做）定積分的值為() A．2π

B．2π＋1C．－2π

D．2π－1參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知非零向量，滿足||=||=|+|，則與2－夾角的余弦值為．參考答案：

【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】利用兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，余弦定理，數(shù)形結合求得與夾角的余弦值．【解答】解：非零向量滿足，不妨設=1，設與夾角為θ，如圖所示：設=，=，=+，則OA=0B=0C=1，設=2=2，則=2﹣，∠ODA即為θ，△OAC和△OBC都是邊長等于3的等邊三角形．利用余弦定理可得BD==，cosθ==，故答案為：．【點評】本題主要考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，余弦定理的應用，屬于中檔題．12.若，則的單調遞減區(qū)間為

．參考答案：13.過雙曲線的左焦點的切線，切點E，延長FE交雙曲線于點P，O為原點，若，則雙曲線的離心率為_________參考答案：14.若x∈A則∈A，就稱A是伙伴關系集合，集合M={－1，0，，，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴關系的集合的個數(shù)為▲

.參考答案：15略15.已知不共線向量，，||=||=|﹣|，則+與的夾角是．參考答案：【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】根據(jù)向量的三角形法則，結合向量的幾何意義，畫圖即可得到答案．【解答】解：如圖，∵不共線向量，，滿足||=||=|﹣|，∴以，為鄰邊的平行四邊形為菱形，且∠BAC=，則與的夾角為∠BAD=．故答案為：．16.若數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+1=2an（n∈N*），則a5=；前8項的和S8=．（用數(shù)字作答）參考答案：16，255．【考點】等比數(shù)列的前n項和．【專題】計算題．【分析】先根據(jù)a1=1，an+1=2an通過分別求出a1，a2，a3，a4，a5；通過an+1=2an可推知數(shù)列為等比數(shù)列，根據(jù)求和公式進而求得S8．【解答】解：a1=1，a2=2a1=2，a3=2a2=4，a4=2a3=8，a5=2a4=16，∵an+1=2an，即=2∴數(shù)列{an}為等比數(shù)列，首項為1，公比為2．∴，∴故答案為：16，255．【點評】本題主要考查簡單的遞推數(shù)列以及數(shù)列的求和問題．屬于基礎知識、基本運算的考查．17.從中隨機選取一個數(shù)，從中隨機選取一個數(shù)，則關于的方程有兩個虛根的概率是

▲

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）若正項數(shù)列的前項和為，首項，點（）在曲線上.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，表示數(shù)列的前項和，求證：.參考答案：(1)因為點在曲線上,所以.…………1分

由得.

……………3分且所以數(shù)列是以為首項,1為公差的等差數(shù)列

……………4分所以,

即

……………5分當時，

……………6分當時，也成立

……………7分所以，

……………8分(2)因為,所以,

……………9分

……………12分

……………14分19.已知函數(shù)f（x）=（x+1）e﹣x（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；（Ⅱ）設函數(shù)φ（x）=xf（x）+tf′（x）+e﹣x，存在x1，x2∈[0，1]，使得成立2φ（x1）＜φ（x2）成立，求實數(shù)t的取值范圍．參考答案：考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；導數(shù)的運算．專題：導數(shù)的綜合應用．分析：（Ⅰ）先求出，得當x＜0時，f'（x）＞0，當x＞0時，f'（x）＜0．從而有f（x）在（﹣∞，0）上單調遞增，在（0，+∞）上單調遞減．（Ⅱ）假設存在x1，x2∈[0，1]，使得2φ（x1）＜φ（x2）成立，則2[φ（x）]min＜[φ（x）]max．∴，分別討論①當t≥1時，②當t≤0時，③當0＜t＜1時的情況，從而求出t的范圍．解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)的定義域為R，，∴當x＜0時，f′（x）＞0，當x＞0時，f′（x）＜0．∴f（x）增區(qū)間為（﹣∞，0），減區(qū)間為（0，+∞）．（Ⅱ）假設存在x1，x2∈[0，1]，使得2φ（x1）＜φ（x2）成立，則2[φ（x）]min＜[φ（x）]max．∵，∴φ′（x）==﹣，①當t≥1時，φ′（x）≤0，φ（x）在[0，1]上單調遞減，∴2φ（1）＜φ（0），即；②當t≤0時，φ′（x）＞0，φ（x）在[0，1]上單調遞增，∴2φ（0）＜φ（1），即t＜3﹣2e＜0；③當0＜t＜1時，在x∈[0，t]，φ′（x）＜0，φ（x）在[0，t]上單調遞減在x∈（t，1]，φ′（x）＞0，φ（x）在[t，1]上單調遞增所以2φ（t）＜max{φ（0），φ（1）}，即﹣﹣（*）由（Ⅰ）知，在[0，1]上單調遞減，故，而，所以不等式（*）無解綜上所述，存在，使得命題成立．點評：本題考察了函數(shù)的單調性，參數(shù)的求法，導數(shù)的應用，是一道綜合題．20.（15分）（2015?楊浦區(qū)二模）數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=r（r＞0），令bn=an?an+1，{bn}是公比為q（q≠0，q≠﹣1）的等比數(shù)列，設cn=a2n﹣1+a2n．（1）求證：cn=（1+r）?qn﹣1；（2）設{cn}的前n項和為Sn，求的值；（3）設{cn}前n項積為Tn，當q=﹣時，Tn的最大值在n=8和n=9的時候取到，求n為何值時，Tn取到最小值．參考答案：【考點】：等比數(shù)列的前n項和；極限及其運算；數(shù)列的求和．【專題】：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】：（1）根據(jù)題意得出=q（n≥2），判斷出奇數(shù)項，偶數(shù)項分別成等比數(shù)列，運用等比數(shù)列的通項公式求解即可．（2）運用等比數(shù)列的求和公式得出q=1時，Sn=（1+r）n，=0，q≠1時，Sn=，=，分類討論求解即可（3）利用條件得出（1+r）8（﹣）28=（1+r）9（﹣）36，r=28﹣1=255，Tn=（256）n?（﹣2）=（﹣1）?2，再根據(jù)函數(shù)性質得出最小項，注意符號即可．解：（1）bn=an?an+1，{bn}是公比為q（q≠0，q≠﹣1）的等比數(shù)列，因為數(shù)列{anan+1}是一個以q（q＞0）為公比的等比數(shù)列因此=q，所以=q（n≥2），即=q（n≥2），∴奇數(shù)項，偶數(shù)項分別成等比數(shù)列∵設cn=a2n﹣1+a2n．∴cn=1?qn﹣1+r?qn﹣1=（1+t）?qn﹣1∴bn=（1+r）?qn﹣1（2）q=1時，Sn=（1+r）n，=0q≠1時，Sn=，=若0＜q＜1，=若q＞1，=0∴=（3）設{cn}前n項積為Tn，當q=﹣時，Tn=（1+r）n∵Tn的最大值在n=8和n=9的時候取到，∴（1+r）8（﹣）28=（1+r）9（﹣）36，r=28﹣1=255，∴Tn=（256）n?（﹣2）=（﹣1）?2，根據(jù)數(shù)列的函數(shù)性質得出n=7，n=10時，Tn的最小值為﹣235．【點評】：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構造等比數(shù)列求通項公式，等比數(shù)列求和公式的應用，數(shù)列極限的求解，要注意等比數(shù)列求和公式應用時對公比q的討論，根據(jù)函數(shù)的性質解析式確定最值．21.在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），以O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為9ρ2cos2θ+16ρ2sin2θ=144，且直線l與曲線C交于P，Q兩點．（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程及直線l恒過的頂點A的坐標；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若|AP|?|AQ|=9，求直線l的普通方程．參考答案：【考點】QH：參數(shù)方程化成普通方程；Q4：簡單曲線的極坐標方程．【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲線C的直角坐標方程，由直線l的參數(shù)方程能求出直線l恒過的定點A的坐標．（Ⅱ）把直線l的方程代入曲線C的直角坐標方程中，得：（9+7sin2α）t2+36tcosα﹣9×12=0．由t的幾何意義知|AP|=|t1|，|AQ|=|t2|，點A在橢圓內，這個方程必有兩個實根，從而得到||=9，進而求出tan，由此能求出直線l的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵曲線C的極坐標方程為9ρ2cos2θ+16ρ2sin2θ=144，x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲線C的直角坐標方程為：=1．∵直線l的參數(shù)方程是