靜力學平衡問題

靜力學平衡問題第一節(jié)

平面力系的平衡條件和平衡方程一、平面一般力系的平衡條件

FR’=0，MO=0。

二、平面一般力系平衡方程的三種形式

1.一般形式平面一般力系有三個獨立的平衡方程，可求解三個未知數。

目錄第2頁,共54頁，2024年2月25日，星期天證明2.二力矩形式3.三力矩形式限制條件限制條件證明目錄第3頁,共54頁，2024年2月25日，星期天三、特殊平面力系的平衡方程3.平面力偶系2.平面平行力系1.平面匯交力系在平面一般力系的平衡方程中去掉恒等式，可得各特殊平面力系的平衡方程。1.取研究對象；2.畫受力圖；3.建立坐標系；4.列平衡方程四、解題步驟目錄第4頁,共54頁，2024年2月25日，星期天例題號題型例3-1解題格式示范例3-2平面匯交力系例3-3平面力偶系例3-4平面平行力系例3-5平面一般力系單個物體平衡例題導航目錄第5頁,共54頁，2024年2月25日，星期天例3-1xy解：取ABC為研究對象返回目錄第6頁,共54頁，2024年2月25日，星期天FFBFAWRAOxyBαB

例3-2、磙子受力如圖，已知W=20kN，R=0.6m，h=0.08m，求（1）水平力F至少為多大，可將磙子拉過障礙物？（2）F沿什么方向最省力？此時力為多大？hRAFWOBA解：取磙子為研究對象（一）求F（FA=0）解析法∑Fy=0,FBcosα-W=0FB=W/cosα∑Fx=0,FBsinα-F=0F=Wtanα=11.5kNFBFW2.幾何法作封閉的力三角形βFminF=Wtanα=11.5kN返回目錄第7頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

(二)求FminFmin的方向未知，必須補充一個條件。由圖可知，Fmin應和FB垂直，Fmin=Wsinα=10kNβ=α=21°FBFminFW返回目錄第8頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

例3-3、已知力偶的力偶矩為M，如圖所示，試求鉸鏈

A的約束反力和撐桿CD所受的力。

解：選取橫梁AB為研究對象，梁受力偶系作用。返回目錄第9頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

例3-4

塔式起重機機架重W1=700kN，作用線通過塔架的中心。最大起重量W2=200kN，最大懸臂長為12m，軌道AB的間距為4m。平衡重W3到機身中心線距離為6m。試問：保證起重機在滿載和空載時都不致翻到，平衡重W3應為多少？

解：取起重機為研究對象，起重機受平行力系作用。（一）滿載臨界情況下，FA=0

返回目錄第10頁,共54頁，2024年2月25日，星期天（二）空載

W2=0。臨界情況，FB=0。

保證起重機不致翻到，平衡重W3的取值范圍：返回目錄第11頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

例3-5平面剛架如圖所示，已知F＝50kN，q＝10kN/m，M＝30kN·m，試求固定端A處的約束反力。解：取剛架為研究對象返回目錄第12頁,共54頁，2024年2月25日，星期天二、求解物體系統(tǒng)平衡的一般思路第二節(jié)物體系統(tǒng)的平衡一、物體系統(tǒng)平衡由n個物體組成的物系，獨立方程數≤3n緊扣待求量，取與之有關的物體為研究對象，建立足夠數目的平衡方程。目錄第13頁,共54頁，2024年2月25日，星期天例題號題型例3-6、3-7研究對象上未知數等于方程數

例3-8、3-9兩鉸共線例3-10一般問題物體系統(tǒng)平衡例題導航目錄第14頁,共54頁，2024年2月25日，星期天例3-6

沖壓機構在圖示位置保持平衡，已知：OA=R，AB=L，沖頭所受的力為F，試求：作用于飛輪上的力偶，固定鉸支座O處的反力，連桿AB所受的力，導軌對沖頭的側壓力。解：（1）取沖頭為研究對象，選取投影軸如圖，列平衡方程：返回目錄第15頁,共54頁，2024年2月25日，星期天（2）取飛輪為研究對象，列平衡方程：注意到FA=FB

，解題時，二力桿的受力圖可略去不畫。返回目錄第16頁,共54頁，2024年2月25日，星期天例3-7返回目錄第17頁,共54頁，2024年2月25日，星期天例3-8返回目錄第18頁,共54頁，2024年2月25日，星期天例3-9圖示構架，重W＝1kN的重物B通過滑輪A用繩系于桿CD上。桿和滑輪的自重不計，試求鉸鏈C、E處約束反力。

解：（1）取ACE以及滑輪加重物為研究對象,選取投影軸如圖，建立平衡方程

xy返回目錄第19頁,共54頁，2024年2月25日，星期天(2)取桿CD為研究對象，以點D為矩心，寫力矩方程，(3)再考慮ACE，寫出其第三個平衡方程，

解得返回目錄第20頁,共54頁，2024年2月25日，星期天例3-10返回目錄第21頁,共54頁，2024年2月25日，星期天第三節(jié)考慮摩擦的平衡問題兩接觸物體之間有相對運動或相對運動趨勢時，接觸面上產生阻礙稱為摩擦。1.摩擦的兩重性摩損；有用。2.摩擦的分類靜摩擦與動摩擦；滑動摩擦滾動摩擦；干摩擦與濕摩擦。目錄第22頁,共54頁，2024年2月25日，星期天一、滑動摩擦

兩個表面粗糙相互接觸的物體，發(fā)生相對滑動或有相對滑動趨勢時，在接觸面上產生阻礙相對滑動的力，稱為滑動摩擦力，簡稱摩擦力，一般以F表示。只有相對滑動趨勢為靜摩擦力；有相對滑動為動摩擦力。1、靜滑動摩擦力

靜摩擦力特點：0≤FS≤Fmax方向和相對滑動趨勢方向相反目錄第23頁,共54頁，2024年2月25日，星期天2．最大靜滑動摩擦力

Fmax=fSFN

靜滑動摩擦力最大時，物體臨界平衡。f

S，靜滑動摩擦因數，和物體的材料以及接觸表面的狀態(tài)有關。3．動摩擦力Fd＝fd

FN

fd，動摩擦因數，當vr不大時，可認為是常數。和物體的材料以及接觸表面的狀態(tài)有關。目錄第24頁,共54頁，2024年2月25日，星期天二、摩擦角與自鎖現象

支承面全約束力FR

＝FN＋FS1．摩擦角m

全約束力與法線夾角的最大值。FRm與fS都是表示材料摩擦性質的物理量。

目錄第25頁,共54頁，2024年2月25日，星期天2．自鎖現象FFR1FR物體依靠摩擦能保持平衡的現象稱為自鎖。

作用于物體的主動力合力FR的作用線在摩擦角范圍之內時，

目錄第26頁,共54頁，2024年2月25日，星期天根據摩擦角的概念，可測定靜摩擦因數。將待測定摩擦因數的材料制成物塊和平板，逐漸增加平板和水平線的夾角θ，使物塊達到臨界平衡狀態(tài)，此時θ=m

，tanθ=fS

。由此還可知，斜面的自鎖條件為：目錄問題：如何測定散粒體之間的摩擦因數？第27頁,共54頁，2024年2月25日，星期天三、考慮摩擦的平衡問題求解考慮摩擦的平衡問題：力系平衡方程加摩擦平衡條件。

摩擦平衡條件1、一般平衡：FS≤fSFN

或

≤m。2、臨界平衡：FS=fSFN

或

=m。注意：1、只要解題時用摩擦平衡條件，FS的方向不可假設。2、考慮摩擦的平衡問題，解常為一個范圍。3、可先考慮臨界平衡狀態(tài)，再對結果進行討論。4、有幾處存在摩擦，有幾種可能的運動趨勢時，應注意作逐一判別。目錄第28頁,共54頁，2024年2月25日，星期天例題號題型例3-11判別物體是否平衡例3-12物體有幾個可能的臨界平衡狀態(tài)例3-13求最大、最小值例3-11求單向變化范圍例3-14求雙向變化范圍考慮摩擦物體平衡例題導航目錄第29頁,共54頁，2024年2月25日，星期天返回目錄例3-11

一物塊重W=100N，受水平力F=500N作用，物塊與墻面間的靜摩擦因數為fs=0.3，動摩擦因數f=0.28。（1）問物塊是否靜止，并求摩擦力的大小；（2）物塊與墻面間的靜摩擦因數為fs為多大物塊可平衡？解：（1）該問為判斷物體是否平衡的問題。第30頁,共54頁，2024年2月25日，星期天（2）該問為求某量的單向變化范圍問題。可用摩擦關系式求fs的取值范圍。令：

解得：

第31頁,共54頁，2024年2月25日，星期天設B塊相對于A塊臨界滑動設B塊相對于A塊臨界傾倒設B塊和A塊相對于地面臨界滑動比較知，不引起物塊運動的最大水平力：Fmax=3kN例3-12返回目錄第32頁,共54頁，2024年2月25日，星期天例3-13

制動器的構造和主要尺寸如圖所示，制動塊和鼓輪表面之間的摩擦因數為fs，試求制動鼓輪所需的力F1的最小值。

解：本題屬求最大、最小值問題，只需令物體處于臨界平衡狀態(tài)即可求解。此時所需力F1最小。與待求量有關的物體OAB的平衡，其上有五個未知量，平面一般力系有三個獨立平衡方程，再加一個摩擦關系式，還缺一個方程，因此，應取鼓輪為研究對象，再建立一個平衡方程。返回目錄第33頁,共54頁，2024年2月25日，星期天（1）取鼓輪為研究對象

解得解得返回目錄第34頁,共54頁，2024年2月25日，星期天（2）取曲桿OAB為研究對象；

返回目錄第35頁,共54頁，2024年2月25日，星期天例3-14返回目錄第36頁,共54頁，2024年2月25日，星期天返回(1)上滑臨界狀態(tài)WAFT1FNFS1Axy目錄第37頁,共54頁，2024年2月25日，星期天返回(2)下滑臨界狀態(tài)WAFT1FNFS1AxyWAFT2FNFS2Axy解得：目錄第38頁,共54頁，2024年2月25日，星期天第四節(jié)空間一般力系的平衡問題各力的作用線在空間任意分布的力系稱為空間一般力系。

一、空間一般力系的平衡條件1.各分力在x、y、z軸上投影的代數和為零；2.各分力對x、y、z軸之矩的代數和為零。

目錄第39頁,共54頁，2024年2月25日，星期天二、空間一般力系的平衡方程：

空間一般力系有六個平衡方程，可用來求解六個未知數。

三、空間約束的類型根據約束可能限制的運動，可確定空間約束的約束反力與約束力偶。目錄第40頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

徑向軸承球形鉸推力軸承空間固定端第41頁,共54頁，2024年2月25日，星期天例3-15

電動機通過聯軸器來帶動皮帶輪軸，已知轉矩M=20N·m，帶輪直徑d=160mm，跨距a=200mm，皮帶斜角a=30°,帶輪兩邊拉力。試求A、B兩軸承的約束反力。解：取輪軸為研究對象；畫出其受力圖，取投影軸如圖，列出平衡方程：目錄第42頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

目錄第43頁,共54頁，2024年2月25日，星期天一、平面力系的平衡方程平面匯交力系的平衡方程∑Fx=0，∑Fy=0.

2.平面平行力系的平衡方程（1）一般式∑Fy=0,∑MO(F)=0；（2）二力矩式∑MA(F)=0，∑MB(F)=0，

AB連線不平行于力線。3.平面力偶系平衡方程∑Mi=

0小結目錄第44頁,共54頁，2024年2月25日，星期天3.平面一般力系平衡方程（1）一般式

∑Fx=0，∑Fy=0；∑MO(F)=0；

（2）二力矩式∑MA(F)=0，∑MB(F)=0，∑Fx=0。AB連線不垂直于x軸。（3）三力矩式∑MA(F)=0，∑MB(F)=0，∑MC(F)=0

。A、B、C三點不共線。目錄第45頁,共54頁，2024年2月25日，星期天二、考慮摩擦的平衡問題4.摩擦平衡條件(1)一般平衡：FS≤fSFN

或

≤m。(2)臨界平衡：FS=fSFN

或

=m。1．最大靜滑動摩擦力

Fmax=fSFN

2．動摩擦力Fd＝fd

FN

3．摩擦角目錄第46頁,共54頁，2024年2月25日，星期天三、空間一般力系的平衡方程：目錄第47頁,共54頁，2024年2月25日，星期天討論題1、平面力系的平衡條件是什么？什么是力系的平衡方程？2、各平面力系有幾個獨立的平衡方程