一元一次不等式組復(fù)習(xí)要點(diǎn)

一元一次不等式組復(fù)習(xí)要點(diǎn)山東沂源縣徐家莊中學(xué)左效平郵政編碼：256116一元一次不等式組，是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。它在中考中也占有非常重要的地位。為了幫助同學(xué)們掌握好這一部分的內(nèi)容，本文從一元一次不等式組的基礎(chǔ)知識(shí)梳理、一元一次不等式組的解題要領(lǐng)和一元一次不等式組的題型歸納三個(gè)方面，對(duì)這一部分的內(nèi)容進(jìn)行梳理歸納，希望能對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有幫助。一、基礎(chǔ)知識(shí)梳理1、一元一次不等式組的定義：有兩個(gè)或兩個(gè)以上的一元一次不等式組成的一組不等式。說明：一個(gè)一元一次不等式組中至少要包含兩個(gè)一元一次不等式。2、一元一次不等式組的常見類型我們根據(jù)一元一次不等式組，化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)不等式組后進(jìn)行分類，通常把一元一次不等式組分成如下的四類：設(shè)a＞b①大于型：，②小于型：，③小大、大小型：，④大大、小小型：。說明：當(dāng)不等式組中，含有“≤”或“≥”時(shí)，在解題時(shí)，我們可以不關(guān)注這個(gè)等號(hào)，這樣就這類不等式組化歸為上述四種基本不等式組中的某一種類型。但是，在解題的過程中，這個(gè)等號(hào)要與相連的不等號(hào)，不能分開。3、一元一次不等式組解集的確定確定一元一次不等式組的解集，是解一元一次不等式組的關(guān)鍵點(diǎn)。為此，我們?yōu)橥瑢W(xué)們，提供如下的口訣，幫助同學(xué)們?cè)谧铌P(guān)鍵時(shí)候收好關(guān)。具體為：大于號(hào)，大于號(hào)，留下大數(shù)錯(cuò)不了。小于號(hào)、小于號(hào)，留下小數(shù)錯(cuò)不了。小于、大于混其中，兩種情況要分清，小于號(hào)連大數(shù)，解集就在中間駐。小于號(hào)接小數(shù)，一定無解即清楚。二、一元一次不等式組解題的要領(lǐng)解一元一次不等式組，不能象解一元一次不等式那樣，步步都要書寫，特別是求每一個(gè)不等式的解集時(shí)，詳細(xì)的解題過程都應(yīng)寫在草紙上，只保留如下四個(gè)主要步驟，具體模式為：解：不等式（1）的解集是，不等式（2）的解集是，所以，原不等式組的解集是，在數(shù)軸上的表示為。第四環(huán)節(jié)，如果題目不作要求，同學(xué)們就可以不用畫數(shù)軸。當(dāng)然，畫數(shù)軸，能幫你檢驗(yàn)?zāi)愦_定的解集的正誤，是你能及時(shí)把錯(cuò)誤矯正過來。三、一元一次不等式組的常見題型1、常規(guī)型例1、(解不等式組，并將解集在數(shù)軸上表示出來．（2008安徽)分析:按照解不等式組的基本步驟進(jìn)行求解就可以了。解：不等式①的解集是：x＞-1；不等式②的解集是：x＜2；比較解集，知道這是大小小大型的，所以，不等式組的解集是：-1＜x＜2.在數(shù)軸上表示略。2、特解型例2、求不等式：2（x＋）－1≥－x-9的負(fù)整數(shù)解。分析：首先，按照解一元一次不等式的步驟，求得不等式的解集；其次，把不等式的解集在數(shù)軸上表示出來，簡(jiǎn)單的，也可以不用數(shù)軸表示；最后，結(jié)合數(shù)軸確定不等式的特殊解。解：去括號(hào)，得：2x＋1－1≥－x－9，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得：2x＋x≥－9，3x≥－9，不等式兩邊同時(shí)除以3，得：x≥－3。數(shù)軸表示為：如圖1所示，結(jié)合數(shù)軸，知道原不等式的負(fù)整數(shù)解有-3，-2，-1一共三個(gè)。點(diǎn)評(píng)：在數(shù)軸上表示不等式的解集時(shí)，要注意如下口訣：數(shù)軸上描解集，不等符號(hào)看仔細(xì)，有等號(hào)實(shí)心點(diǎn)，要把該數(shù)包裹嚴(yán)，沒等號(hào)空心圓，該數(shù)占據(jù)圓心點(diǎn)，位置確定還不全，最后再把方向添，大于號(hào)向右靠，小于向左錯(cuò)不了。小口訣要記牢，包你解題快又好。3、方程的解為條件型例3、當(dāng)m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程3x+m-2（m+2）=3m+x的解在-6與6之間？分析：同學(xué)們首先按照解方程的方法，求出方程的解；然后，根據(jù)解的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化成一元一次不等式組；解不等式組就可以求得a的范圍。解：解方程3x+m-2（m+2）=3m+x，得：x=2m+2，因?yàn)?，方程的解?6與6之間，所以，轉(zhuǎn)化成不等式組為：不等式（1）的解集是：m＞-4；不等式（2）的解集是：m＜2；所以，原不等式組的解集是：-4＜m＜2，因此，m的范圍是-4＜m＜2。4、方程組的解為條件型例4、如果方程組的解x、y都是正數(shù)，求a的范圍。分析：同學(xué)們首先按照解方程組的方法，求出方程組的解；然后，根據(jù)解的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化成一元一次不等式組；解不等式組就可以求得a的范圍。解：（1）×3得：3x+3y=3a………（3），（2）-（3），得：2x=31-3a，解得：x=，把x=代入（1），得：y=，因?yàn)?，x、y都是正數(shù)，所以，得到一元一次不等式組不等式（1）的解集是：a＜；不等式（2）的解集是：a＞；所以，原不等式組的解集是：＜a＜，因此，a的范圍是＜a＜。5、一次函數(shù)型例5、已知直線y=-2x-4與直線y=3x+b的交點(diǎn)在第二象限，求b的取值范圍。分析：在解答這道題時(shí)，同學(xué)們的思路應(yīng)該是這樣的：1、將直線的解析式聯(lián)立成方程組，求得方程組的解；2、把方程組的解轉(zhuǎn)化成點(diǎn)的坐標(biāo)的形式；3、根據(jù)點(diǎn)所在的象限，建立起一元一次不等式組；4、解不等式組，得b的范圍。解：根據(jù)題意，得：解方程組，得：，所以，兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是（-，），因?yàn)椋c(diǎn)在第二象限，所以，坐標(biāo)的符號(hào)是（-，+），所以，得到一元一次不等式組為：不等式（1）的解集是：b＞-4；不等式（2）的解集是：b＞6；所以，原不等式組的解集是：b＞6，即b的范圍是：b＞6。6、解集定范圍型例6、如果不等式組的解集是x＞3，那么m的取值范圍是：A、m=3B、m≥3C、m＜3D、m≤3分析：同學(xué)們先按照解不等式組的基本步驟，求得不等式組的解集，然后利用數(shù)軸，把解集在數(shù)軸上表示出來，因?yàn)?，不等式組有解，所以，在數(shù)軸上表示時(shí)，表示解集范圍的兩條射線，一定有公共部分。所以，同學(xué)們先在數(shù)軸上表示出解集的大致范圍，然后根據(jù)范圍的描述，就可以確定字母的范圍。解：因?yàn)?，不等式?）的解集是：x＞3；不等式（2）的解集是：x＞m，因?yàn)椋坏仁浇M的解集是x＞3，所以，不等式組的解集在數(shù)軸上的大致范圍，如圖1所示，仔細(xì)觀察數(shù)軸，要想保證有公共部分，不等式的解集x＞m的部分，必須在x＞3的左邊，因此，m的范圍應(yīng)該是：m≤3，所以，m的范圍是m≤3。所以，我們應(yīng)該選擇D。7、對(duì)應(yīng)比較型例7、已知不等式組的解集是-1＜x＜1，則（a+1）（b-1）的值是多少？分析：同學(xué)們先按照解不等式組的基本步驟，求得各個(gè)不等式的解集；把不等式組的解集分解成兩個(gè)不等式的形式，利用對(duì)應(yīng)不等式的對(duì)應(yīng)項(xiàng)應(yīng)該相同的原理，把不等式問題轉(zhuǎn)化成方程問題。求得a、b的值后，就可以求代數(shù)式的值了。解：因?yàn)?，不等式組，所以，不等式（1）的解集是：x＜；不等式（2）的解集是：x＞3+2b；因?yàn)椋坏仁浇M的解集是-1＜x＜1，所以，x＞-1，且x＜1，因此，比較x＞3+2b與x＞-1，得：3+2b=-1，解得：b=-2；比較x＜與x＜1，得：=1，解得：a=1；所以，（a+1）（b-1）=2×（-3）=-6.8、方案優(yōu)化型例8、2008年8月，北京奧運(yùn)會(huì)帆船比賽將在青島國(guó)際帆船中心舉行．觀看帆船比賽的船票分為兩種：A種船票600元/張，B種船票120元/張．某旅行社要為一個(gè)旅行團(tuán)代購(gòu)部分船票，在購(gòu)票費(fèi)不超過5000元的情況下，購(gòu)買A，B兩種船票共15張，要求A種船票的數(shù)量不少于B種船票數(shù)量的一半．若設(shè)購(gòu)買A種船票x張，請(qǐng)你解答下列問題：（1）共有幾種符合題意的購(gòu)票方案？寫出解答過程；（2）根據(jù)計(jì)算判斷：哪種購(gòu)票方案更省錢？（2008年山東省青島市）分析：在解答這類問題時(shí)，根據(jù)題目的要求正確布列出不等式組，是問題解決的第一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，其次，在解答時(shí)，符合條件的數(shù)，常常是條件范圍內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)，這是這類問題的第二個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。解：（1）由題意：，解得：5≤x≤因?yàn)椋瑇為整數(shù)，所以，x＝5，6所以，共兩種購(gòu)票方案：即方案一：A種船票5張，B種船票10張方案二：A種船票6張，B種船票9張（2）因?yàn)?，B種船票價(jià)格便宜，因此B種船票越多，總購(gòu)票費(fèi)用少.所以，第一種方案省錢，為5×600＋120×10＝4200（元）9、生活應(yīng)用型例9、“五·四”青年節(jié)，市團(tuán)委組織部分中學(xué)的團(tuán)員去西山植樹．某校九年級(jí)（3）班團(tuán)支部領(lǐng)到一批樹苗，若每人植4棵樹，還剩37棵；若每人植6棵樹，則最后一人有樹植，但不足3棵，這批樹苗共有棵．（2008青海西寧）分析：設(shè)有x名學(xué)生，則有第一種植樹法，知道一共有(4x+37)棵樹；第二種植樹法中，前x-1名學(xué)生中共植6（x-1）棵樹；最后一名學(xué)生植樹的數(shù)量是：〔(4x+37)-6（x-1）〕棵，這樣，我們就探求到第一個(gè)不等量關(guān)系：第一次植樹的數(shù)量比第二次植樹法中前x-1名學(xué)生植樹的數(shù)量要多，即(4x+37)＞6（x-1）；由于，第二種植樹法中，最后一名學(xué)生植樹的數(shù)量不到3棵，也就是說〔(4x+37)-6（x-1）〕＜3，或者理