四川省雅安市雅安中學(xué)等校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)（文）試題

2024屆高三數(shù)學(xué)試題（文科）考生注意：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分．考試時(shí)間120分鐘．2．請(qǐng)將各題答案填寫(xiě)在答題卡上．3．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容．第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再利用共軛復(fù)數(shù)的定義可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋蕪?fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)為.故選：B.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)絕對(duì)值不等式的解法及函數(shù)定義域的求法，由集合并集可得結(jié)果.【詳解】由，解得，所以．因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，所以，故選：B.3.的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由正弦定理代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由正弦定理知，，則．因?yàn)?，所以．故選：A4.已知非零向量，滿足，且，則與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由數(shù)量積的運(yùn)算律，代入計(jì)算，結(jié)合平面向量的夾角計(jì)算公式，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以．設(shè)與的夾角為，則．故選：B5.已知是三條不重合的直線，是三個(gè)不重合的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則且C.若，則D.若，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線面以及面面平行的性質(zhì)可判斷A；根據(jù)線面平行的判定定理可判斷B；根據(jù)線面垂直的判定定理可判斷C；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的判定定理可判斷D.【詳解】對(duì)于A，若，則或，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則當(dāng)且時(shí)，才有且，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，當(dāng)時(shí)，推不出，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖，設(shè)，在內(nèi)取點(diǎn)P，，作，垂足為，因?yàn)?，則，而，則，又，故，D正確，故選：D6.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)特殊值即可得到選項(xiàng).【詳解】由函數(shù)，，令，解得，則其定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)在定義內(nèi)為偶函數(shù)，排除C，D選項(xiàng)，因?yàn)椋^察選項(xiàng)可知，選A.故選：A7.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為3和1，另一組數(shù)據(jù)（其中）的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為10和4，則（）A.16 B.8 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩組數(shù)據(jù)的線性關(guān)系確定它們的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系列方程，即可得的值，從而可得答案.【詳解】由題可知，，解得，則．故選：C8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值為，，，則輸出的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】執(zhí)行程序框圖可知，輸出的值為最小值，故判斷的大小關(guān)系即可得到答案.【詳解】執(zhí)行程序框圖可知，第一次判斷輸出中較小的數(shù)記為a，再進(jìn)行第二次判斷，將a與c進(jìn)行比較，記較小的數(shù)為a，最終輸出.故輸出的值為的最小值.因?yàn)?，，，所以輸出的值為．故選：D9.已知函數(shù)，若存在，使得，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.C.在內(nèi)有零點(diǎn) D.若在內(nèi)有零點(diǎn)，則【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在定理逐項(xiàng)判斷即可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，，所以，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，故C正確；又因?yàn)?，所以，故B正確；又因?yàn)?，則可能大于，故A不正確；若函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，則，故D正確.故選：A.10.當(dāng)兩個(gè)變量呈非線性相關(guān)時(shí)，有些可以通過(guò)適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換進(jìn)行線性相關(guān)化，比如反比例關(guān)系，可以設(shè)一個(gè)新的變量，這樣與之間就是線性關(guān)系．下列表格中的數(shù)據(jù)可以用非線性方程進(jìn)行擬合，1234562.53.64.45.46.67.5用線性回歸的相關(guān)知識(shí)，可求得的值約為（）A.2.98 B.2.88 C.2.78 D.2.68【答案】B【解析】【分析】設(shè)后，得到與之間的關(guān)系表格，計(jì)算出的值，利用在線性回歸方程上進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，則，則1491625362.53.64.45.46.67.5則，，則．故選：B.11.若函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等變換先化簡(jiǎn)函數(shù)式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】，令，得,由，得．因?yàn)榍∮袃山?，所以．故選：C12.我們把形如和的兩個(gè)雙曲線叫做共軛雙曲線．設(shè)共軛雙曲線，的離心率分別為，，則當(dāng)取得最大值時(shí)，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可得，由，可設(shè)，結(jié)合三角恒等變換與正弦型函數(shù)最值即可得答案.【詳解】由題意可知?jiǎng)t．由，可設(shè)，則，其中，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，此時(shí)．故選：A.第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13.已知實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則其表示封閉區(qū)域的面積為_(kāi)_____．【答案】2【解析】【分析】利用線性規(guī)劃作出約束條件所表示的封閉區(qū)域，從而得解.【詳解】根據(jù)約束條件作出的平面區(qū)域圖如圖所示，易得，，，則，故封閉區(qū)域的面積為2.故答案為：2.14.已知拋物線的焦點(diǎn)為，是上一點(diǎn)，且，則______．【答案】6【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義及焦半徑公式計(jì)算即可.【詳解】由題可知．故答案為：615.一個(gè)封閉的玻璃圓錐容器內(nèi)裝有部分水（如圖1），此時(shí)水面與線段交于點(diǎn)，將其倒置后（如圖2），水面與線段還是交于點(diǎn)，則______．【答案】##【解析】【分析】由已知可得前后兩次水面的交點(diǎn)相同可得圓錐的體積是圓錐體積的一半，再由圓錐的體積公式計(jì)算可求.【詳解】由題意知，在圖1中，圓錐的體積是圓錐體積的一半，分別設(shè)圓，圓的半徑為，，則．故答案為：16.已知，分別是函數(shù)和的零點(diǎn)，且，，則______．【答案】1【解析】【分析】求，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)及單調(diào)性可得，化簡(jiǎn)可得的值.【詳解】由題意可得，，又，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，，且，又，所以，所以．故答案為?.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知數(shù)列滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，用替換，然后代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由錯(cuò)位相減法代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，由，得，則，則，因?yàn)橐卜仙鲜剑裕拘?wèn)2詳解】由（1）可知，，則，則，兩式相減得，則．18.為了防止注冊(cè)賬號(hào)被他人非法登錄，某系統(tǒng)在賬號(hào)登錄前，要先輸入驗(yàn)證碼．已知該系統(tǒng)登入設(shè)置的每個(gè)驗(yàn)證碼均由有序數(shù)字串組成，其中，某人非法登錄一個(gè)賬號(hào)，任選一組驗(yàn)證碼輸入．（1）求這個(gè)人輸入的驗(yàn)證碼恰有兩位正確的概率；（2）若這個(gè)人通過(guò)技術(shù)獲得了驗(yàn)證碼的第一位數(shù)，求這個(gè)人輸入的驗(yàn)證碼正確的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用古典概型概率求解；（2）利用古典概型的概率求解.【小問(wèn)1詳解】解：由題可知，所有的驗(yàn)證碼包括111，112，113，121，122，123，131，132，133，211，212，213，221，222，223，231，232，233，311，312，313，321，322，323，331，332，333，共27種．不妨設(shè)正確的驗(yàn)證碼為111，則恰有兩位正確的驗(yàn)證碼包括112，113，121，131，211，311，共6種，故這個(gè)人輸入的驗(yàn)證碼恰有兩位正確的概率為．【小問(wèn)2詳解】不妨設(shè)正確的驗(yàn)證碼為111，這個(gè)人通過(guò)技術(shù)獲得的驗(yàn)證碼的第一位數(shù)為1，則這個(gè)人輸入的驗(yàn)證碼可能為111，112，113，121，122，123，131，132，133，共9種，則這個(gè)人輸入的驗(yàn)證碼正確的概率為．19.如圖，在四棱柱中，底面和側(cè)面均是邊長(zhǎng)為2的正方形．（1）證明：．（2）若，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由線面垂直證明線線垂直，先連接，由已知得到四邊形為菱形后推出，再證明平面，得到，推出平面，最后可證明.（2）用等體積法求點(diǎn)到面的距離，先求出，得到，再由，得到，最后由體積相等解出即可.【小問(wèn)1詳解】證明：連接，因?yàn)榈酌婧蛡?cè)面均為正方形，所以四邊形為菱形，則．由底面和側(cè)面均為正方形，得，．因?yàn)?，所以平面．又平面，所以．因?yàn)?，所以平面．又平面，所以．【小?wèn)2詳解】因?yàn)?，，所以．又平面，所以．，，則．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，則，解得，即點(diǎn)到平面的距離為．20.已知函數(shù)．（1）若，當(dāng)時(shí)，證明：．（2）若，證明：恰有一個(gè)零點(diǎn)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)可得，即可得到在上單調(diào)遞增，再由，即可證明；（2）根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得，即在上單調(diào)遞增，再結(jié)合，即可證明.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)?，所以，．?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，．【小問(wèn)2詳解】．令，則．令，則．當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，所以，則在上單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以恰有一個(gè)零點(diǎn)，則恰有一個(gè)零點(diǎn)．21.已知橢圓的離心率為，且橢圓的短軸長(zhǎng)為．（1）求橢圓的方程．（2）設(shè)是橢圓上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，是橢圓的左頂點(diǎn)，是橢圓的上頂點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn)．記的面積為，的面積為．證明：為定值．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程，代入計(jì)算，即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)題意，分別表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而表示出，然后結(jié)合橢圓的方程，代入計(jì)算，即可證明.【小問(wèn)1詳解】由題可知，，解得，故橢圓的方程為．【小問(wèn)2詳解】證明：設(shè)，則直線的方程為，令，得．直線的方程為，令，得．，，．由，得，則．故為定值．（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），與相交于，兩點(diǎn)．（1）求曲線的普通方程；（2）設(shè)，證明：為定值．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）把平方后相加即可；（2）把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程，化簡(jiǎn)后，利用韋達(dá)定理得到，再利用參數(shù)的幾何意