3.7.1 二次函數(shù)與一元二次方程間的關(guān)系 課件

第3章二次函數(shù)3.7二次函數(shù)與一元二次方程第1課時二次函數(shù)與一元二次方程間的關(guān)系二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系二次函數(shù)圖象與x軸的交點個數(shù)問題回顧與思考一元二次方程根的判別式：式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判別式，通常用希臘字母Δ表示.(1)當(dāng)Δ>0時，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個不等的實數(shù)根.(2)當(dāng)Δ=0時，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個相等的實數(shù)根.(3)當(dāng)Δ<0時，方程ax2+bx+c=0(a≠0)無實數(shù)根.1.一次函數(shù)y=kx+b與一元一次方程kx+b=0有什么關(guān)系?2.你能否用類比的方法猜想二次函數(shù)y=ax2+bx+c與一元二次方程ax2+bx+c=0的關(guān)系?知識點二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系1問

題

以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時，球的飛行路線是一條拋物線，如果不考慮空氣阻力，球的飛行高度h(單位:m)與飛行時間t(單位:s)之間具有關(guān)系：h=20t–5t2.考慮下列問題:(1)球的飛行高度能否達到15m?若能，需要多少時間?(2)球的飛行高度能否達到20m?若能，需要多少時間?(3)球的飛行高度能否達到20.5m?為什么？(4)球從飛出到落地要用多少時間?分析：由于小球的飛行高度h與飛行時間t有函數(shù)關(guān)系h＝20t－5t2，所以可以將問題中h的值代入函數(shù)解析式，得到關(guān)于t的一元二次方程．如果方程有合乎實際的解，則說明小球的飛行高度可以達到問題中h的值；否則，說明小球的飛行高度不能達到問題中h的值．解：(1)當(dāng)h=15時，20t-5t2=15，

t2-4t+3=0，

t1=1，t2=3.當(dāng)球飛行1s和3s時，它的高度為15m.(2)當(dāng)h=20時，20t-5t2=20，

t2-4t+4=0，t1=t2=2.當(dāng)球飛行2s時，它的高度為20m.(3)當(dāng)h=20.5時，20t-5t2=20.5，

t2-4t+4.1=0，

因為(-4)2-4×4.1<0，所以方程無實根.

故球的飛行高度達不到20.5m.(4)當(dāng)h=0時，20t-5t2=0，

t2-4t=0，t1=0，t2=4.當(dāng)球飛行0s和4s時，它的高度為0m，即0s時，球從地面飛出，4s時球落回地面.歸納從以上可以看出：已知二次函數(shù)y的值為m，求相應(yīng)自變量x的值，就是求相應(yīng)一元二次方程的解.例如,已知二次函數(shù)y=-x2+4x的值為3,求自變量x的值.就是求方程3=-x2+4x的解.例如,解方程x2-4x+3=0，就是已知二次函數(shù)y=x2-4x+3的值為0,求自變量x的值.歸納二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：已知二次函數(shù)，求自變量的值解一元二次方程的根例1二次函數(shù)y=x2－6x+n

的圖象如圖所示，若關(guān)于x

的一元二次方程x2－6x+n=0的一個解為x1=1，則另一個解x2=

.5導(dǎo)引：緊扣拋物線與x軸兩交點坐標(biāo)與對稱軸的關(guān)系求解。

解法提醒對稱軸法求一元二次方程的根：根據(jù)一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，當(dāng)已知拋物線與x軸一個公共點的坐標(biāo)和對稱軸時，可根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求出拋物線與x軸另一個公共點的坐標(biāo)，從而求得對應(yīng)一元二次方程的根.1.一個足球被從地面向上踢出，它距地面的高度h(m)可以用公式h=－4.9t2

＋19.6t來表示，其中t(s)表示足球被踢出后經(jīng)過的時間.(1)畫出函數(shù)h=－4.9t2

＋19.6t的圖象；(2)當(dāng)t=1,t=2時，足球距地面的高度分別是多少？(3)方程－4.9t2

＋19.6t=0,－4.9t2

＋19.6t=14.7的根的實際意義分別是什么？你能在圖象上表示出來嗎？(1)函數(shù)h＝－4.9t2＋19.6t的圖象如圖．(2)當(dāng)t＝1時，h＝－4.9＋19.6＝14.7；

當(dāng)t＝2時，h＝－4.9×4＋19.6×2＝19.6.解：(3)方程－4.9t2＋19.6t＝0的根的實際意義是當(dāng)足球距地面的高度為0m時經(jīng)過的時間；方程－4.9t2＋19.6t＝14.7的根的實際意義是當(dāng)足球距地面的高度為14.7m時經(jīng)過的時間．方程－4.9t2＋19.6t＝0的根在圖象上表示出來如圖中O，A兩點；方程－4.9t2＋19.6t＝14.7的根在圖象上表示出來如圖中M，N兩點．2.觀察圖象(如圖)填空：(1)二次函數(shù)y＝x2＋x－2的圖象與x軸有______個交點，則一元二次方程x2＋x－2＝0的根的判別式Δ________0；(2)二次函數(shù)y＝x2－6x＋9的圖象與x軸有_____個交點，則一元二次方程x2－6x＋9＝0的根的判別式Δ_______0；(3)二次函數(shù)y＝x2－x＋1的圖象與x軸_______公共點，則一元二次方程x2－x＋1＝0的根的判別式Δ_____0.兩＞一＝?jīng)]有＜3.小蘭畫了一個函數(shù)y＝x2＋ax＋b的圖象如圖，則關(guān)于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是(

)A．無解

B．x＝1C．x＝－4D．x＝－1或x＝4D二次函數(shù)y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y=x2－2x＋2的圖象如圖所示.知識點二次函數(shù)圖象與x軸的交點個數(shù)問題2(1)每個圖象與x軸各有幾個交點？(2)一元二次方程x2＋2x=0，x2－2x＋1=0有幾個根？用判別式驗證一下，一元二次方程x2－2x＋2=0有根嗎？(3)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點的坐標(biāo)與一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么關(guān)系?二次函數(shù)y＝x2＋2x的圖象與x軸有2個交點：(－2，0)和(0，0).一元二次方程x2＋2x＝0的根：x(x＋2)＝0x＝0或x＋2＝0∴x1＝－2，x2＝0.方程的根是－2和0二次函數(shù)y＝x2－2x＋1的圖象與x軸有1個交點：(1，0).一元二次方程x2－2x＋1＝0的根：(x－1)2＝0∴x1＝x2＝1方程的根是1.二次函數(shù)y＝x2－2x＋2的圖象與x軸沒有交點.一元二次方程x2－2x＋1＝0的根：∵△＝(－2)2－4×1×2＝－4<0∴原方程無實根通過二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象可知,(1)如果拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸有公共點,公共點的橫坐標(biāo)是x0,那么當(dāng)x=x0時,函數(shù)的值為0,因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一個根.(2)拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸的位置關(guān)系與一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的關(guān)系:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸的公共點的個數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況b2-4ac>0有兩個有兩個不相等的實數(shù)根b2-4ac=0有一個有兩個相等的實數(shù)根b2-4ac<0沒有公共點沒有實數(shù)根如果函數(shù)y=kx2-kx+3x+1的圖象與x

軸有且只有一個交點，那么交點坐標(biāo)是

.例2

1.拋物線y＝x2＋bx＋1與x軸只有一個公共點，則b等于(

)A．2B．－2C．±2D．0C2.已知函數(shù)y＝ax2－2ax－1(a是常數(shù)，a≠0)，下列結(jié)論正確的是(

)A．當(dāng)a＝1時，函數(shù)圖象經(jīng)過點(－1，1)B．當(dāng)a＝－2時，函數(shù)圖象與x軸沒有交點C．若a＜0，函數(shù)圖象的頂點始終在x軸的下方D．若a＞0，則當(dāng)x≥1時，y隨x的增大而增大D3.已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的y與x的部分對應(yīng)值如下表：下列結(jié)論：①拋物線的開口向下；②其圖象的對稱軸為直線x＝1；③當(dāng)x＜1時，函數(shù)值y隨x的增大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一個根大于4，其中正確的結(jié)論有(

)A．1個B．2個C．3個D．4個x－1013y－3131BB1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則方程ax2＋bx＋c＝0的根的情況是(

)

A．有兩個相等的實數(shù)根B．有兩個不相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根D．無法判斷92．[2023·郴州]已知拋物線y＝x2－6x＋m與x軸有且只有一個交點，則m＝________．【點撥】∵拋物線y＝x2－6x＋m與x軸有且只有一個交點，∴方程x2－6x＋m＝0有兩個相等的實數(shù)根，即b2－4ac＝36－4m＝0，解得m＝9.3．若函數(shù)y＝