三角函數的應用高一上學期數學人教A版（2019）必修第一冊

三角函數的應用(三角函數第12課時)冊別：必修1學科：高中數學（人教A版）

現(xiàn)實生活中存在大量具有周而復始、循環(huán)往復特點的周期運動變化現(xiàn)象，例如地球自轉引起的晝夜交替變化和公轉引起的四季交替變化、月亮圓缺、潮汐變化、物體做勻速圓周運動時的位置變化、物體做簡諧運動時的位移變化、交變電流變化等.情景導入一、

如果某種變化著的現(xiàn)象具有周期性，那么就可以考慮借助三角函數來描述.構建模型

振子運動是物理中常見的一類較為理想化的模型.通過課前查閱的彈簧振子相關資料，你能說說振子運動的原理嗎？

實例探究二、構建模型實例探究二、

振子的運動具有循環(huán)往復的特點，它的位移隨時間的變化規(guī)律具有周期性，并且振子在某一中心位置兩側做往復運動，這個中心位置就是平衡位置.

全振動是從任一時刻起，物體的運動狀態(tài)(位置、速度、加速度)再次恢復到與該時刻完全相同所經歷的過程.你能結合振子運動相關知識完成下面的問題1嗎？構建模型實例探究二、

問題1某個彈簧振子(簡稱振子)在完成一次全振動的過程中，時間t(單位：s)與位移y(單位:mm)之間的對應數據如表所示，試根據這些數據確定這個振子的位移關于時間的函數解析式.t0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.60y-20.0-17.8-10.10.110.317.720.017.710.30.1-10.1-17.8-20.0構建模型

表示函數有哪些方法？如何讓表格中數據反映出的位移隨時間變化的規(guī)律更直觀？作出散點圖實例探究二、構建模型

追問:結合振子運動原理及下面圖象，位移隨時間的變化規(guī)律可以用怎樣的函數模型進行刻畫？實例探究二、函數擬合構建模型

追問:結合振子運動原理及下面圖象，位移隨時間的變化規(guī)律可以用怎樣的函數模型進行刻畫？函數擬合y＝Asin（ωx＋φ)實例探究二、由圖象及振子運動的物理學原理可知構建模型實例探究二、

分析:振子振動時位移的最大值為20mm，因此A=20；振子振動的周期為0.6s，即

，因此

；t0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.60y-20.0-17.8-10.10.110.317.720.017.710.30.1-10.1-17.8-20.0構建模型實例探究二、所以振子的位移關于時間的函數解析式為t0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.60y-20.0-17.8-10.10.110.317.720.017.710.30.1-10.1-17.8-20.0

再由初始狀態(tài)t=0時，振子的位移為-20，可得：

，因此.此時：構建模型實例探究二、

試根據所求函數解析式估計當時間t=5s時振子的位移.思考：

分析:因為振子的位移關于時間的函數解析式為

當t=5s時，所以當時間t=5s時振子的位移約為10mm.構建模型

現(xiàn)實生活中存在大量類似彈簧振子的運動，如鐘擺的擺動，水中浮標的上下浮動，琴弦的振動，等等．這些都是物體在某一中心位置附近循環(huán)往復的運動．知識歸納

在物理學中，把物體受到的力(總是指向平衡位置)正比于它離開平衡位置的距離的運動稱為“簡諧運動”．構建模型

可以證明，在適當的直角坐標系下，簡諧運動可以用函數y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0,＋∞)，其中A>0,ω>0，來表示．描述簡諧運動的物理量，如振幅、周期和頻率等都與這個解析式中的常數有關：

A是簡諧運動的振幅，它是做簡諧運動的物體離開平衡位置的最大距離；知識歸納構建模型

可以看到我們在物理學中把三角函數中的三個參數都賦予了物理意義.知識歸納構建模型鞏固練習某簡諧振動的圖象如圖所示，試根據圖象回答下列問題：（1）這個簡諧振動的振幅、周期與頻率各是多少？（2）寫出這個簡諧振動的函數解析式.

解:（1）根據圖象所示，振幅A=3(cm)，由

，周期

（s），頻率.構建模型將點

代入，得：

解:（2）因為

，所以這個簡諧振動的函數解析式可設為

，取.則這個簡諧振動的函數解析式為2.2鞏固練習構建模型問題2如圖(1)是某次實驗測得的交變電流i（單位：A）隨時間（單位：s）變化的圖象.將測得的圖象放大，得到圖（2）.（1）求電流i隨時間t變化的函數解析式；

實例探究二、構建模型觀察函數圖象你發(fā)現(xiàn)電流隨時間變化有什么特點？可以用什么函數刻畫？

實例探究二、構建模型實例探究二、

解:（1）由交變電流產生的原理可知，電流i隨時間t的變化規(guī)律可以用i＝Asin（ωt＋φ)來刻畫,其中

表示頻率，A表示振幅，φ表示初相.由圖象可知，電流最大值為5A,因此A=5;電流變化的周期為0.02s，頻率為50Hz；即

；構建模型實例探究二、可得sinφ=0.866，因此φ約為.所以電流i隨時間t變化的函數解析式是

此時，i＝5sin（100πt＋φ)，再由初始狀態(tài)（t=0）的電流為4.33A，構建模型實例探究二、

問題2如圖(1)是某次實驗測得的交變電流i（單位：A）隨時間（單位：s）變化的圖象.將測得的圖象放大，得到圖（2）.（1）求電流i隨時間t變化的函數解析式；

構建模型實例探究二、

(2)構建模型方法歸納（1）先求振幅A：觀察圖象最高點和最低點來確定；通過前面的兩個三角函數模型問題學習，你能總結利用函數圖象求解析式步驟嗎？（2）再由周期T求ω：通過圖象分析周期T；（3）最后求初相φ：通過代入圖象上的特殊點求出φ的值．三、課堂小結振幅是A1.函數y＝Asin(ωx＋φ)，x∈