非正弦周期電路的穩(wěn)態(tài)分析

非正弦周期電路的穩(wěn)態(tài)分析本章介紹非正弦周期波形的傅里葉三角級數(shù)展開、有效值、平均值，討論應(yīng)用傅里葉級數(shù)和疊加定理分析非正弦周期電源激勵下電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，電路的功率以及諧振等。最后介紹對稱三相電路的高次諧波。10.1非正弦周期波形的傅里葉級數(shù)展開10.1.1非正弦周期波形分解為傅里葉級數(shù)在工程數(shù)學(xué)中已經(jīng)知道，任一周期為T的周期函數(shù)f(t)只要滿足狄里赫利條件（即在每個周期上f(t)滿足：連續(xù)或者具有有限個第一類間斷點(diǎn)；具有有限個最大值和最小值；函數(shù)絕對可積），便可展開成三角級數(shù)(trigonometricseries)第2頁,共58頁，2024年2月25日，星期天級數(shù)中諸項的系數(shù)稱為傅里葉系數(shù)，利用三角函數(shù)的正交性(orthogonality)可以導(dǎo)出有關(guān)這些系數(shù)的公式為其中，T為f(t)的周期；

=2

/T為f(t)的(角)頻率。第3頁,共58頁，2024年2月25日，星期天在電路理論中，習(xí)慣于把級數(shù)中的常數(shù)項稱為直流分量(dccomponent)（或恒定分量），把其余正弦項和余弦項稱為諧波分量(harmoniccomponent)。其中，頻率等同于原波形頻率的諧波分量稱為基波分量，或基波，頻率為基波頻率整數(shù)倍的諧波分量一概稱為高次諧波(higherharmonic)。在高次諧波中，又按其對基波頻率之倍數(shù)分為二次諧波、三次諧波等等。在工程中所用到的非正弦周期量，一般都滿足狄里赫利條件，因此可以按上述計算公式，把它們展開成完全確定的傅里葉級數(shù)。第4頁,共58頁，2024年2月25日，星期天10.1.2波形的對稱性與傅里葉級數(shù)的關(guān)系則f(t)為偶函數(shù)(evenfunction)一、偶函數(shù)如果函數(shù)f(t)的波形對于縱軸是對稱的，即滿足其傅里葉系數(shù)：在偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)中不含正弦項，只有直流項和余弦項。第5頁,共58頁，2024年2月25日，星期天二、奇函數(shù)如果函數(shù)f(t)的波形是對于縱軸是反對稱的，即滿足則f(t)為奇函數(shù)(oddfunction)其傅里葉級數(shù)的系數(shù)在奇函數(shù)的傅里葉級數(shù)中不含余弦項，亦不含直流量，只有正弦項。第6頁,共58頁，2024年2月25日，星期天例如圖所示的周期三角波形是偶函數(shù)，它的傅里葉級數(shù)為偶函數(shù)

奇函數(shù)

例如圖所示的周期鋸齒波形是奇函數(shù)，它的傅里葉級數(shù)為第7頁,共58頁，2024年2月25日，星期天三、半波對稱函數(shù)如果函數(shù)f(t)的波形沿橫軸平移半個周期并相對于橫軸上下翻轉(zhuǎn)后，波形不發(fā)生變化，即滿足則此函數(shù)f(t)稱為半波對稱(half-wavesymmtry)函數(shù)或奇諧函數(shù)，如圖所示。圖中虛線部分是后半周期對橫軸的鏡像。橫軸對稱的波形第8頁,共58頁，2024年2月25日，星期天具有半波橫軸對稱的非正弦周期波形，其傅里葉級數(shù)中的系數(shù)分別為：可見，在半波對稱周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)中，只含有基波和奇次諧波的正弦和余弦項，而不含偶次諧波項第9頁,共58頁，2024年2月25日，星期天例10.1.1試將圖(a)和(b)中所示的兩種方波分解成傅里葉級數(shù)。解對于圖(a)所示的波形，可知其既對稱于縱軸，又具有半波對稱性質(zhì)，所以它是兼有奇諧波函數(shù)性質(zhì)的偶函數(shù)。其傅里葉級數(shù)中必定只含有余弦的奇次諧波項，計算Akm為(a)(b)第10頁,共58頁，2024年2月25日，星期天對圖(a)所示波形可以寫出

代入Akm，便得第11頁,共58頁，2024年2月25日，星期天

于是，圖(a)所示波形的傅里葉級數(shù)為第12頁,共58頁，2024年2月25日，星期天圖(b)所示方波對原點(diǎn)對稱，是奇函數(shù)，且又是半波橫軸對稱，所以其傅里葉級數(shù)僅是正弦奇次諧波分量組成。由于因此所求級數(shù)為：第13頁,共58頁，2024年2月25日，星期天例10.1.2試求圖(a)所示半波整流周期波形的傅里葉級數(shù)。(a)

解:圖(a)所示半波整流周期波形，既非奇函數(shù)，又非偶函數(shù)，求其傅里葉級數(shù)就要分別計算A0，Akm和Bkm。(b)

若將其坐標(biāo)原點(diǎn)右移T/4，半波整流周期波形就可用偶函數(shù)表示，新坐標(biāo)系如圖(b)所示，有第14頁,共58頁，2024年2月25日，星期天有其中第15頁,共58頁，2024年2月25日，星期天因此，傅里葉級數(shù)為第16頁,共58頁，2024年2月25日，星期天再回到圖(a)所示原坐標(biāo)系，有t=τ

T/4，或t=τ

T/4，則所求傅里葉級數(shù)為對于例10.1.1中兩個完全相同的非正弦周期波形，在選擇不同的坐標(biāo)后，其傅里葉級數(shù)的表達(dá)式完全不同。但如果也采用平移坐標(biāo)原點(diǎn)的方法，即平移T/4，那么，它們的傅里葉級數(shù)表達(dá)式完全相同。第17頁,共58頁，2024年2月25日，星期天例10.1.3試求圖(a)所示鋸齒波形的傅里葉級數(shù)。(a)

圖(a)所示鋸齒波形并不具備前述任何一種對稱性波形的特點(diǎn)。(b)

但如果將鋸齒波形分解為兩個波形的疊加，即f(t)=f1(t)+f2(t)，如圖(b)所示。其中f1(t)=A/2，f2(t)若以圖中虛線為橫坐標(biāo)，則為奇函數(shù)，就有第18頁,共58頁，2024年2月25日，星期天有第19頁,共58頁，2024年2月25日，星期天圖(a)所示鋸齒波形的傅里葉級數(shù)圖(a)第20頁,共58頁，2024年2月25日，星期天10.2非正弦周期波形的頻譜將一個非正弦周期波形展開成傅里葉級數(shù)的一般形式若將其中的同頻正弦項和余弦項合并可得出另一種表達(dá)式其中(10.2.2)(10.2.1)(10.2.3)第21頁,共58頁，2024年2月25日，星期天1.振幅頻譜(amplitudespectrum)2.相位頻譜(phasespectrum)表征非正弦周期波形的各次諧波的相位與頻率關(guān)系。表征非正弦周期波形的各次諧波的振幅與頻率關(guān)系。例10.2.1試作出如圖10.2.1所示三角波和方波的振幅頻譜和相位頻譜。第22頁,共58頁，2024年2月25日，星期天解：根據(jù)前面已得到的結(jié)果，圖(a)的三角波的傅里葉級數(shù)的系數(shù)為其傅里葉級數(shù)為傅里葉級數(shù)為圖(b)方波的傅里葉級數(shù)的系數(shù)為第23頁,共58頁，2024年2月25日，星期天將三角波和方波的傅里葉級數(shù)的系數(shù)分別代入式上式中，便可得出相應(yīng)的頻譜，如圖所示振幅頻譜和相位頻譜第24頁,共58頁，2024年2月25日，星期天10.3非正弦周期波形的有效值、平均值1.非正弦周期量的有效值：與正弦量的有效值的定義相同，即將代入上式根據(jù)正弦函數(shù)的正交性有第25頁,共58頁，2024年2月25日，星期天根據(jù)正弦函數(shù)的正交性有第26頁,共58頁，2024年2月25日，星期天得式中A1=Am1/,A2=Am2/,…

分別為基波，二次諧波，…的有效值。當(dāng)f(t)為電流或電壓的非正弦周期量時，有第27頁,共58頁，2024年2月25日，星期天2.非正弦周期量的平均值例10.3.1試求圖(a)矩形波和圖(b)半波整流周期波形的有效值和平均值。(a)偶函數(shù)(b)奇函數(shù)第28頁,共58頁，2024年2月25日，星期天解圖(a)所示矩形波是偶函數(shù)，有效值為平均值為對圖(b)所示半波整流周期波形，其有效值為平均值為第29頁,共58頁，2024年2月25日，星期天10.4非正弦周期電源激勵下電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)非正弦周期波形可分解成各諧波分量（包括直流分量）之和，因此非正弦周期電源激勵下線性非時變電路的響應(yīng)等于非正弦周期電源各諧波分量單獨(dú)作用時電路響應(yīng)之代數(shù)和。例10.4.1在如圖(a)所示電路中，已知uS=(2+2cost+3sin2t)V，求穩(wěn)態(tài)電壓u。(a)解：1.作出原電路的s域模型如圖(b)所示(b)第30頁,共58頁，2024年2月25日，星期天可得轉(zhuǎn)移電壓比函數(shù)為2.將j

替代s，可得正弦穩(wěn)態(tài)下的轉(zhuǎn)移電壓比函數(shù)為3.應(yīng)用疊加定理，分別求出每個激勵分量作用時的響應(yīng)第31頁,共58頁，2024年2月25日，星期天(1)當(dāng)直流電壓uS=2V單獨(dú)作用時，電感等效為短路，電容等效為開路，可求得對應(yīng)電壓為(2)當(dāng)電源2cost單獨(dú)作用時，激勵頻率

=1，激勵相量為20

V，響應(yīng)電壓相量為對應(yīng)電壓為第32頁,共58頁，2024年2月25日，星期天因此，將上述分量疊加就得到電路響應(yīng)穩(wěn)態(tài)電壓為(3)當(dāng)電源3sin2t單獨(dú)作用時，激勵頻率

=2，激勵相量為390

，響應(yīng)電壓相量為對應(yīng)電壓為注意:(1)感抗XL=k

L和容抗XC=1/(kC)與頻率有關(guān)。（2）若用相量法求得一系列穩(wěn)態(tài)響應(yīng)相量，由于其對應(yīng)的頻率各不相同，不能直接相加，而必須反變換為相應(yīng)的時域響應(yīng)后再進(jìn)行疊加第33頁,共58頁，2024年2月25日，星期天10.5非正弦周期電路的功率一個一端口電路，如果端口電壓u和端口電流i取一致參考方向，且均為非正弦周期量，即N+-ui1.瞬時功率第34頁,共58頁，2024年2月25日，星期天2.平均功率為第35頁,共58頁，2024年2月25日，星期天根據(jù)三角函數(shù)的正交性上式第三項、第四項、第五項積分為零。平均功率為：非正弦周期電路的平均功率等于直流分量和各次諧波分量分別產(chǎn)生的平均功率之和，而非相同頻率的電壓諧波和電流諧波只形成瞬時功率，并不產(chǎn)生平均功率。第36頁,共58頁，2024年2月25日，星期天3.表觀功率(視在功率）

4.無功功率5.功率因數(shù)由上述關(guān)系可知：

定義畸變功率(distortionpower)第37頁,共58頁，2024年2月25日，星期天例10.5.1已知一端口電路的電壓和電流分別為試求其平均功率、無功功率、表觀功率和畸變功率。解：一端口電路吸收的平均功率為第38頁,共58頁，2024年2月25日，星期天無功功率為表觀功率為畸變功率為第39頁,共58頁，2024年2月25日，星期天例10.5.2如圖所示電路，已知

L=10，R=20，所加電壓u=(60+120cos

t+80cos3

t)V，試求所接各表的讀數(shù)。在基波分量u1=120cos

t單獨(dú)作用下

解直流電流分量為第40頁,共58頁，2024年2月25日，星期天在三次諧波分量u3=80cos3

t單獨(dú)作用下電壓表讀數(shù)為功率表讀數(shù)為第41頁,共58頁，2024年2月25日，星期天10.6非正弦周期電源作用下電路的諧振1.在RLC串聯(lián)電路中諧振的角頻率為圖RLC串聯(lián)電路即對第k次（k=1，2，…）諧波分量引起的第k次電壓諧振的角頻率有別于其他分量的諧振角頻率。因此，非正弦周期電源作用下電路的諧振應(yīng)當(dāng)對各次諧波分別求解。第42頁,共58頁，2024年2月25日，星期天已知LaCa串聯(lián)支路和LbCb并聯(lián)支路均調(diào)諧到角頻率為2

時諧振，即2La=1/2

Ca和1/2Lb=2

Cb以及

La=

Lb=10，Uim=100V，試求電壓uo。例10.6.1二端口電路如圖所示。該電路的端口1-1’接有正弦波經(jīng)全波整流后的電壓為解:將Uim=100V代入ui第43頁,共58頁，2024年2月25日，星期天對應(yīng)于ui諧波分量的uo的各諧波分量相量第44頁,共58頁，2024年2月25日，星期天（1）當(dāng)k=0時Uo0

=0

（2）當(dāng)k=2時，Za=j0和Zb=

j∞已知：所以(3)當(dāng)k=4時第45頁,共58頁，2024年2月25日，星期天所以(4)當(dāng)k=6時第46頁,共58頁，2024年2月25日，星期天所以(5)當(dāng)k=8時所以第47頁,共58頁，2024年2月25日，星期天由此可見，該電路有選頻作用，能讓角頻率為2

的諧波順利地通過。然而，如果要使uo中只含有二次諧波，或者說使uo成為一個角頻率為2的正弦量，顯然用這個電路是實現(xiàn)不了的，因為這個電路還不能濾除四次、六次、…

諧波，特別是四次諧波在uo中還占有一定比重，其振幅與二次諧波振幅之比高達(dá)16%。高于八次的諧波其有效值則更小，所以略去有：第48頁,共58頁，2024年2月25日，星期天若要將四次諧波濾除，可在阻抗Za（即CaLa串聯(lián)支路）上再并聯(lián)上一個電容器Cd

，并選取Cd的值使在k=4時根據(jù)對四次諧波，由電容Cd和CaLa串聯(lián)支路組成的復(fù)合支路發(fā)生了并聯(lián)諧振。第49頁,共58頁，2024年2月25日，星期天加上電容Cd并不影響Uo2的數(shù)值因為在k=2時，Za=j0對六次諧波，可得六次諧波稍有增加，但增加不多。因此波形中已主要為二次諧波。第50頁,共58頁，2024年2月25日，星期天10.7對稱三相電路的高次諧波諧波會在三相電路中造成波形畸變、功率因數(shù)降低、電能損耗增加等電力系統(tǒng)污染，嚴(yán)重影響電力系統(tǒng)的高效運(yùn)行。例如：三相對稱電源，當(dāng)電源包含高次諧波時，三個電源電壓在波形上相同，在時間上相差1/3個周期，可以表示為一、三相電源的表示第51頁,共58頁，2024年2月25日，星期天通常電源電壓波形是上、下半波鏡像對稱的即U(t)=

U(t

T/2)

展開的級數(shù)形式為：（1）式中的各次諧波都是奇次項的。可看出：（2）7、13、19次等諧波與基波相位完全相同，組成正序三相電壓組第52頁,共58頁，2024年2月25日，星期天（3）5、11、17次等諧波與基波相序相反，組成為A

C

B負(fù)序三相電壓組（4）3、9、15次等諧波，uA、uB、uC的相位相差360，稱為零序(zerosequence)，因此3、9、15次等諧波組成零序三相電壓組。