2020高考數(shù)學(xué)（理）大一輪復(fù)習(xí)考點和題型全歸納：第九章平面解析幾何

第九章平面解析幾何

第一節(jié)直線的傾斜角、斜率與直線的方程

一、基礎(chǔ)知識

1.直線的傾斜角

(1)定義：當(dāng)直線/與X軸相交時，取X軸作為基準(zhǔn)，

X軸正向與直線/向上方向之間所成的角叫做直線

/的傾斜角.

(2)規(guī)定：當(dāng)直線/與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0.

(3)范圍：直線/傾斜角的取值范圍是［0,兀).

2.斜率公式

(1)定義式：直線/的傾斜角為則斜率《=tana.

(2)坐標(biāo)式：PG”》),尸2。2,均在直線/上，

且為#X2，則/的斜率k=也二

X2~X1

3.直線方程的五種形式

名稱方程適用范圍

點斜式y(tǒng)—yo=k（x—x（））不含垂直于x軸的直線

斜截式y(tǒng)=kx+b不含垂直于X軸的直線

y~y\x-x\不含直線X=X］(九1中］2)和直線

兩點式

yi-y\12一汨y=y\(y\^y2)

不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點

-+^=1

截距式ab的直線

一般式Ax+By+C^0,A2+B2^0平面內(nèi)所有直線都適用

二、常用結(jié)論

特殊直線的方程

(1)直線過點尸Gi，yi),垂直于x軸的方程為x=xi；

(2)直線過點Pi(x”yi),垂直于)，軸的方程為y=yi；

(3)y軸的方程為x=0；

(4)x軸的方程為y=0.

考點一直線的傾斜角與斜率

）

71兀一「兀27rl

C.492_D[Z，TJ

⑵直線/過點尸(1,0),且與以A(2,l),8(0,正)為端點的線段有公共點，則直線/斜率

的取值范圍為

[解析]⑴直線2ACOSa—y—3=0的斜率k=2cosa,

因為5，與，所以吳cosaW坐，

因“匕攵=2?coscc￡[l,3].

設(shè)直線的傾斜角為仇則有tan9￡[l,小].

7U兀

又6?￡[0,兀），所以（9G413

即傾斜角的取值范圍是4,3

(2)設(shè)%與P8的傾斜角分別為a,0,直線布的斜率是以p=l,直線尸B的斜率是％BP

=一小，當(dāng)直線/由變化到與y軸平行的位置PC時，它的傾斜角由外

a增至90°,斜率的取值范圍為[1,+8).\l^X

當(dāng)直線/由PC變化到PB的位置時，它的傾斜角由90°增至p,斜-----我仔~~s

率的變化范圍是(一8,一小]./[：\

故直線/斜率的取值范圍是(-8,一小]U[1,+°o).

[答案](1)B(2)(—8,—73]U[1,+8)

［變透練清］

1.(變條件)若將本例⑴中的條件變?yōu)?平面上有相異兩點A(cos。，"產(chǎn)⑨，仇0,1),則直

線AB的傾斜角a的取值范圍是.

sin2。一［

解析：由題意知cosOWO,則斜率ZEanQU2-------=—cos1,0)U(0,1］,所以直

COSU-0

線48的傾斜角的取值范圍是(0,j］u［y,7t).

答案:(。，小序力

2.(變條件)若將本例⑵中P(l,0)改為「(-1,0),其他條件不變，則直線/斜率的取值范圍

為.

解析：設(shè)直線/的斜率為心則直線/的方程為y=k(x+l),即依一y+k=O.

VA,B兩點在直線/的兩側(cè)或其中一點在直線/上，

/.(2k—1+攵)(一小+攵)二0,

即(3&—1)(%一事)<0,解得〈小.

即直線/的斜率的取值范圍是佳，亞j.

-1-

答案：后，小

3.若點A(4,3),8(5,a),C(6,5)三點共線，則”的值為.

5-3a-3

解析：因為fcic=77=1,I<AB=W~A=a—3.由于A,B,C二點共線，所以a—3=1,

O-43—4

即a=4.

答案：4

考點二直線的方程

［典例］(1)若直線經(jīng)過點4—5,2),且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍，則

該直線的方程為.

(2)若直線經(jīng)過點A(一小，3),且傾斜角為直線，§x+y+1=0的傾斜角的一半，則該直

線的方程為.

(3)在△ABC中，已知A(5,-2),8(7,3),且AC的中點M在y軸上，BC的中點N在x

軸上，則直線MN的方程為.

［解析］(1)①當(dāng)橫截距、縱截距均為零時，設(shè)所求的直線方程為y=丘，將(一5,2)代入y

22

=日中，得&=一于此時，直線方程為)；=一尹，即2x+5y=0.

②當(dāng)橫截距、縱截距都不為零時，

設(shè)所求直線方程為成+1=1,

將(一5,2)代入所設(shè)方程，解得。=一:，此時，直線方程為x+2y+l=0.

綜上所述，所求直線方程為x+2y+l=0或2x+5)=0.

(2)由于x+)，+1=0得此直線的斜率為一小，所以傾斜角為120°,從而所求直線的傾斜

角為60°,故所求直線的斜率為小.

又直線過點A(一小，3),所以所求直線方程為y—3=小(犬+小)，即,x-y+6=0.

、匯5/5+xoyo-2、/7+xoyo+3)

(3)設(shè)C(xo,yo),則吠一^―,J,

因為點M在y軸上，所以注a=0,所以為=-5.

因為點N在x軸上，所以"愛=0,

所以泗=-3,即C(一5,—3),

所以40,一|),N(l,0),

所以直線MN的方程為土=1,

~2

即5jc-2y-5=0.

［答案］(l)x+2y+l=0或2x+5y=0

(2啦:一＞+6=0(3)5x—2y—5=0

［題組訓(xùn)練］

1.過點(1,2),傾斜角的正弦值是坐的直線方程是.

解析：由題知，傾斜角為:或苧，所以斜率為1或一1,直線方程為y—2=x—1或y—2

=-(%—1),即X-y+1=0或x+y—3=0.

答案：x—y+1=0或x+y—3=0

2.過點P(6,—2),且在x軸上的截距比在y軸上的截距大1的直線方程為

丫62

解析：設(shè)直線方程的截距式為/訐+)=1,則M+:-=1,解得4=2或4=1,則直

線的方程是不，+］=1或■jTjrj'+ju1,即2t+3y—6=0或x+2y—2=0.

答案：2x+3y—6=0或x+2y—2=0

考點三直線方程的綜合應(yīng)用

［典例］已知直線/過點"(2』)，且與x軸、y軸的正半軸分別相交于A,8兩點，。為

坐標(biāo)原點，求當(dāng)|笳卜|嬴I取得最小值時直線/的方程.

YV

［解］設(shè)A3Q),8(0,b),則〃>0,b>0,直線/的方程為力+;=1,

21

所以一+7=1.

ab

|AM|-|嬴|=一而?贏=一(〃一2,—1)?(一2,/?-1)

=2(〃-2)+b—1=2a+b—5

=(2"端+/—5

巖+巖》4,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時取等號，此時直線I的方程為x+y—3=0.

［解題技法］

與直線方程有關(guān)問題的常見類型及解題策略

(1)求解與直線方程有關(guān)的最值問題.先設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不

等式求解最值.

(2)求直線方程.弄清確定直線的兩個條件，由直線方程的幾種特殊形式直接寫出方程.

(3)求參數(shù)值或范圍.注意點在直線上，則點的坐標(biāo)適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的性

質(zhì)或基本不等式求解.

［題組訓(xùn)練］

1.若直線辦+力=外(">0,6>0)過點(1,1),則該直線在x軸，y軸上的截距之和的最小

值為()

A.1B.2

C.4D.8

解析：選C?.?直線or+by=H(a>0,方>0)過點(1,1),

：.a+b=ab,即5+[=1，

.?.4+匕=（“+份弓+￡|

cl"Ic/

=2+-+在2+27-7=4,

ab\lcibf

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時上式等號成立.

???直線在無軸，y軸上的截距之和的最小值為4.

2.已知直線/：x-my+yl3m=0上存在點M滿足與A（—1,0）,仇1,0）兩點連線的斜率

與之積為3,則實數(shù)，〃的取值范圍是（）

A.L冊,加]

D[邛,明

解析：選C設(shè)M（x,y）,由公《MMB=3,得力pfr[=3,即），=3?—3.

戈―"?y+巾"?=0,仔一3卜+乎x+GfmW。），

聯(lián)立＜

)2=3/—3,

則,=嘯-嗚T）即加峰3，解得機《一乎或"72平.

20,

???實數(shù)〃2的取值范圍是

j-釉陪+8).

[課時跟蹤檢測]

1.（2019?合肥模擬）直線/：xsin30°+ycos150°+1=0的斜率是（）

A.坐B書

C.一4D.—:

解析：選A設(shè)直線/的斜率為A,則上=一黑黑=坐.

2.傾斜角為120。，在x軸上的截距為一1的直線方程是（）

A#x—y+1=0B.小x—y一小=0

（：.小+廠小=0D#x+y+/=0

解析：選D由于傾斜角為120°,故斜率幺=一小.又直線過點（一1,0）,所以直線方程

為），=一?。▁+1）,即方工+），+小=0.

3.已知△ABC的三個頂點坐標(biāo)為41,2）,8（3,6）,C（5,2）,M為AB的中點，N為AC

的中點，則中位線所在直線的方程為（）

A.2x+y-12=0B.2%-y—12=0

C.2x+)-8=0D.2x—y+8=0

解析：選C由題知M(2,4),N(3,2),則中位線MN所在直線的方程為上整

理得2x+y—8=0.

解析：選C當(dāng)”＞0時，直線的斜率k=a＞0,在y軸上的截距b=一（＜0,各選項都

不符合此條件；當(dāng)“V0時，直線的斜率z=。＜0,在），軸上的截距b=—（＞0,只有選項C

符合此條件.故選C.

5.在等腰三角形MON中，MO=MM點0（0,0）,M（—1,3）,點N在x軸的負(fù)半軸上，

則直線MN的方程為（）

A.3x—y—6=0B.3x+y+6=0

C.3x—y+6=0D.3x+y~6=0

解析：選C因為MO=MN,所以直線MN的斜率與直線MO的斜率互為相反數(shù)，所

以kMN=-kMo=3,所以直線MN的方程為＞-3=3。+1）,即3工一），+6=0,選C.

6.若直線/nr+〃y+3=0在y軸上的截距為一3,且它的傾斜角是直線小x—y=34的

傾斜角的2倍，則（）

A.m=—yj3,n=\B.m=—y[3,n=—3

C.小,〃=-3D.m=小,n=\

33

解析：選D對于直線/nx+〃y+3=0,令x=0得y=一1即一7=-3,n=\.

因為小x—v=3小的斜率為60°,直線爾+町，+3=0的傾斜角是直線，y=3小的2

倍，所以直線/nr+〃y+3=0的傾斜角為120°,即一々=一小,m=y[3.

7.當(dāng)04?時，直線小心:一y=b-l與直線出由一x=2A的交點在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

\kx-y=k—\,

解析：選B得.

[ky—x=2k2k~\

y=k~\'

1k2k—1

又*?*0<依$,x—心]<0,y—心]>0,

乙KIK1

故直線/i：h一y=&一1與直線七：6，一元=2攵的交點在第二象限.

8.若直線/：fcc—y+2+4Z=0/￡R)交x軸負(fù)半軸于A,交y軸正半軸于5,則當(dāng)AAOB

的面積取最小值時直線/的方程為()

A.x—2y+4=0B.x—2y+8=0

C.2x~y+4=0D.2x—y+8=0

2+41

解析：選B由/的方程，得一巧也，ol8(0,2+4&).依題意得《一k<0,解

2+4攵>0,

112+必1(2+4小1/4\1

得心>0.因為5=K。4|?|。3|=5—j—?|2+4《=干1一~產(chǎn)=5164+/+162^(2X8+16)=

Z乙KZ.KKJZ.

41

當(dāng)且僅當(dāng)：即左時等號成立.此時/的方程為

16,164=7K,,=5乙x—2y+8=0.

9.以B(3,2),C(5,4)為頂點的△ABC,其邊AB上的高所在的直線方程是

解析：由A,B兩點、得kAB=3,則邊A8上的高所在直線的斜率為一2,故所求直線方程

是y—4=—2。-5),即2x+y—14=0.

答案：2x+y—14=0

10.已知直線/過點(1,0),且傾斜角為直線4)：x—2y—2=0的傾斜角的2倍，則直線/

的方程為.

解析：由題意可設(shè)直線4),/的傾斜角分別為見2a,

因為直線/o：x—2y—2=0的斜率為3，則tan

所以直線/的斜率A=tan2a=言需=:式=,

4

所以由點斜式可得直線/的方程為y—0=2(x—1),

即4x—3廠4=0.

答案：4x—3y—4=0

11.直線/經(jīng)過點41,2),在x軸上的截距的取值范圍是(一3,3),則其斜率的取值范

圍是.

解析：由題意知直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為〉一2=依1—1),直線/在x軸上

的截距為1一工,令一3<1—1<3,解不等式得層或k<一1.

答案：(-8,-l)U(j,+8)

12.設(shè)點4(-1,0),8(1,0),直線2》+廠6=0與線段48相交,則6的取值范圍是____.

解析：b為直線y=-2x+〃在y軸上的截距，如圖，當(dāng)直線)，=-\\丫

+6過點4(-1,0)和點8(1,0)時，方分別取得最小值和最大值.??./;的取值

范圍是[一2,2].廣瑞5?

答案：[—2,2]

13.已知直線/與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3,分別求滿足下列條件的直線/的

方程：

⑴過定點4—3,4)；

⑵斜率為去

4

解：⑴設(shè)直線/的方程為)，=-/+3)+4,它在x軸，y軸上的截距分別是一會一3,32+4,

K

由已知，得(3k+4?+3)=±6,

2Q

解得6=或&2=_].

故直線/的方程為2x+3y-6=o或8犬+3)，+12=0.

(2)設(shè)直線/在y軸上的截距為b,

則直線/的方程為y=^x+bf它在X軸上的截距是一6b,

由已知，得|一6|=6,：.b=±\.

，直線I的方程為x—6y+6=0或x—6y—6=0.

第二節(jié)兩直線的位置關(guān)系

一、基礎(chǔ)知識

1.兩條直線平行與垂直的判定

(1)兩條直線平行

①對于兩條不重合的直線h，若其斜率分別為％”&2,則有20M=h

②當(dāng)直線小/2不重合且斜率都不存在時，

(2)兩條直線垂直

①如果兩條直線/”/2的斜率存在，

設(shè)為h，k2,則有/」/20klM2=—l.

②當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時，/t±/2.

2.兩條直線的交點的求法

直線1\：Aix+Biy+Ci=0,I2：A2%+&y+C2=0,貝！J1\與乙的交點坐標(biāo)就是方程組

fAix+Biy+Cj=O,

[Avc+Biy+Ci^的解.

3.三種距離公式

(1)兩點間的距離公式

平面上任意兩點P1(X">,l),P1(X2,?)間的距離公式為|P|P2|="(X2—制吹+⑴一》|)2.

(2)點到直線的距離公式

|Aro+fivo+C|

點R)(X0,州)到直線/：Ax+By+C=0的距離d=

y)A2+B2

(3)兩平行直線間的距離公式

兩條平行直線Ar+B.y+G=0與Ax+By+C2=0

間的距離公器.

二、常用結(jié)論

(1)與直線Av+8y+C=0(A2+B2#0)垂直或平行的直線方程可設(shè)為:

①垂直：Bx—Ay+m=0；

②平行：Ax-\-By+n=O.

(2)與對稱問題相關(guān)的四個結(jié)論：

①點(x,y)關(guān)于點3，份的對稱點為(2。一%26—>).

②點(x,y)關(guān)于直線的對稱點為(2。一%,y),關(guān)于直線y=b的對稱點為(x,2b—y).

③點(x,y)關(guān)于直線、=工的對稱點為(y,幻，關(guān)于直線丁=一x的對稱點為(一y,—x).

④點(x,y)關(guān)于直線x+y=k的對稱點為(&—y,k-x)f關(guān)于直線無一y=A的對稱點為(攵

+y,x~k).

考點一兩條直線的位置關(guān)系

［典例］已知兩直線/i：〃優(yōu)+8y+〃=0和%2x+my—l=0f試確定〃的值，使

(1必與6相交于點玳如-1)；

(2)/I/7/2；

(3)ZI±/2,且/I在y軸上的截距為一1.

雇-8+〃=0,

［解］⑴由題意得。

［2相一機一】1=0n,

\m=\f

解得r

［n=7.

即m=1,〃=7時，/i與6相交于點P(八-1).

加—216=0,

⑵???/]〃/2,???

—m—2〃/0,

團(tuán)=4,m——4,

解得或'

〃￡一2及W2.

即團(tuán)=4,2或〃=—4,〃#2時,l\//h.

⑶當(dāng)且僅當(dāng)2m+8m=0,

即加=0時，l\±h.

n

又一§=-1,?"=8.

即加=0,〃=8時，/|±/2,且/］在y軸上的截距為一1.

［解題技法］

1..由一般式確定兩直線位置關(guān)系的方法

/i：Aix+Biy+G=O(A彳+歷W0)

直線方程

/2：A2x+B2y+C2=0(Al+Bl^0)

/l與，2垂直的充要條件442+81星=0

生=［干出汨2c2*0)

八與/2平行的充分條件

左臉(A2&W0)

1\與/2相交的充分條件

%矍=&(A252c2#0)

與/2重合的充分條件

1.已知直線4x+/wy—6=0與直線5x-2y+"=0垂直，垂足為(”)，則〃的值為()

A.7B.9

C.11D.-7

解析：選A由直線4x+my—6=0與直線5x—2y+”=0垂直得，20—2/n=0,m=10.

直線4x+10y—6=0過點?,1),所以4H-10—6=0,1=—1.點(-1,1)又在直線5x-2y+〃=0

上，所以-5—2+〃=0,"=7.

2.(2019?保定五校聯(lián)考)直線/i：mx~2y+\=0,/2：*一(，〃一l)y—1=0,貝U“帆=2”

是uh//hn的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：選C由八〃，2得一〃?(，"11)=1X(—2),得〃?=2或加=—1,經(jīng)驗證，當(dāng)〃?=—

1時，直線/|與/2重合，舍去，所以“，〃=2"是的充要條件，故選C.

考點二距離問題

［典例］⑴過點P(2,l)且與原點O距離最遠(yuǎn)的直線方程為()

A.2%+廠5=0B.2x—y—3—0

C.x+2y—4=0D.x—2y=0

(2)若兩平行直線/)：x—2y+/w=0伽＞0)與，2：2x+ny—6=0之間的距離是y［5,則m

+〃=()

A.0B.1

C.12D.—1

［解析］(1)過點P(2,l)且與原點。距離最遠(yuǎn)的直線為過點P(2,l)且與0P垂直的直線，

］—01

因為直線0P的斜率為至行=2，所以所求直線的斜率為一2,故所求直線方程為2JC+>—5

=0.

(2)因為八,/2平行，所以1X”=2X(—2),1X(-6)W2X〃?，解得”=一4,機工一3,

所以直線，2：X—2y—3=0.又/1,/2之間的距離是小，所以小，解得相=2或機=

一8(舍去)，所以，”+〃=-2,故選C.

［答案］(1)A(2)C

［解題技法］

1.點到直線的距離的求法

可直接利用點到直線的距離公式來求，但要注意此時直線方程必須為一般式.

2.兩平行線間的距離的求法

(1)利用“轉(zhuǎn)化法”將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點到另一條直線的

距離.

(2)利用兩平行線間的距離公式.

［題組訓(xùn)練］

1.已知點尸(2,〃。到直線2x—y+3=0的距離不小于2小，則實數(shù)m的取值范圍是

|2X2~ffl+3|

解析：由題意得，點P到直線的距離為224,即依一7|》10,解得，"217

^22+P

或加W—3,所以實數(shù)機的取值范圍是(一8,-3］U［17,+°°).

答案：(一8,一引U［17,+8)

2.如果直線/i：〃x+(l—b)y+5=0和直線6：(1+〃)x—y—匕=0都平行于直線，3：x~

2y+3=0,則/i，b之間的距離為.

解析：因為所以一2。一(1一切=0,同理一2(1+4)+1=0,解得。=一/b=0,

l-io-oi

因此/i：》一2)—10=0,/:x-2y=0,d=2小.

252+(-2)2-

答案：2小

考點三對稱問題

［典例］已知直線/：2x-3y+l=0,點4(一1,-2).

(1)求點A關(guān)于直線/的對稱點A'的坐標(biāo)；

(2)求直線〃?：3x-2y-6=0關(guān)于直線/的對稱直線加'的方程.

［解］(1)設(shè)4'(*,y),再由已知得

33

x=一不

4

一百

所以A,(41，專)

(2)在直線機上取一點，如"(2,0),則"(2,0)關(guān)于直線/的對稱點M'必在〃上.設(shè)

n+2/?+0

2X-5—3X—+1=0

解得M，佶，瑞),設(shè)與/的交

對稱點為M'(a,b),貝K

b-02

.^2X3=

2x-3y+l=0,

點為N,則由得M4,3).又因為M經(jīng)過點M4,3),所以由兩點式得直線

3x—2y-6=0,

mf方程為9x-46y+102=0.

［變透練清］

1.(變結(jié)論)在本例條件下，則直線I關(guān)于點4—1,一2)對稱的直線I'的方程為

解析：法一：在/:統(tǒng)一3)，+1=0上任取兩點，

如N(4,3),

則M,N關(guān)于點A的對稱點,N'均在直線/'上.

易知M'(—3,-5),N'(-6,-7),

由兩點式可得I'的方程為2x-3y-9=0.

法二：設(shè)P(x,y)為/'上任意一點，

則尸(x,y)關(guān)于點4—1,-2)的對稱點為

P'(―2—x,—4—y),

'：P'在直線/上，.,.2(-2-x)-3(-4-y)+l=0,

即2x-3>-9=0.

答案：2x-3>—9=0

2.(2019?合肥四校聯(lián)考)已知入射光線經(jīng)過點M(-3,4)，被直線/：x-y+3=0反射，

反射光線經(jīng)過點M2,6),則反射光線所在直線的方程為.

解析：設(shè)點M(—3,4)關(guān)于直線/:尤一y+3=0的對稱點為(a,b),則反射光線所在

Cb~4

I?—(―3)1)

直線過點M',所以〈解得〃=1,6=0.又反射光線經(jīng)過點N(2,6),

—3+ab+4.

所以所求直線的方程為E=W，即6L)，-6=0.

答案：6x—y—6=0

［解題技法］

1.中心對稱問題的兩個類型及求解方法

(1)點關(guān)于點對稱

x=2a—xt，

若點M(xi,yi)及N(x,y)關(guān)于P(“，6)對稱，則由中點坐標(biāo)公式得|進(jìn)而求

(y-2b—yi

解.

(2)直線關(guān)于點對稱

①在已知直線上取兩點，利用中點坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點對稱的兩點坐標(biāo)，再由

兩點式求出直線方程；

②求出一個對稱點，再利用兩對稱直線平行，由點斜式得到所求直線方程；

③軌跡法，設(shè)對稱直線上任一點M(x,y),其關(guān)于已知點的對稱點在已知直線上.

2.軸對稱問題的兩個類型及求解方法

(1)點關(guān)于直線的對稱

若兩點Pi(?,?)與尸2(x2，丫2)關(guān)于直線/：Ar+By+C=0對稱，

f尤|+及,V1+V2,

MX—2—+BX2-y*2-+C=O,

由方程組Iz“、可得到點丹關(guān)于/對稱的點P2的坐標(biāo)(X2,

口義(-”，

1及一X1\

>2)(其中8W0,X|WX2).

(2)直線關(guān)于直線的對稱

一般轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱來解決，有兩種情況：一是已知直線與對稱軸相交；二是

已知直線與對稱軸平行.

［課時跟蹤檢測］

1.過點(1,0)且與直線x—2y-2=0垂直的直線方程是()

A.x-2y-i=0B.x—2y+l=0

C.2x+y—2=0D.x-\-2y—1=0

解析：選C因為直線X-2廠2=0的斜率為今

所以所求直線的斜率火=-2.

所以所求直線的方程為y—0=~2(x—1),

即2x+y-2=0.

2.已知直線/i：20￥+(〃+1?+1=0和/2：(〃+l)x+(〃-l)y=0,若/I_L，2，則〃=()

A.2或3B.g或一1

C.1D.-1

解析：選B因為直線所以2a(“+1)+3+1)5-1)=0,解得或一1.

3.若點P在直線3x+y—5=0上，且P到直線x—yT=0的距離為啦，則點尸的坐

標(biāo)為()

A.(1,2)B.(2,1)

C.(1,2)或(2,-1)D.(2,1)或(一1,2)

lx—5+3x—1|

解析：選C設(shè)P(x,5-3x),則d=I；「化簡得|4x-6|=2,即4x-6=±2,

qy+(—1尸

解得x=l或x=2,故P(l,2)或(2,-1).

4.(2018?揭陽一模)若直線/］：x—3y+2=0與直線，2："式一y+0=0關(guān)于x軸對稱，則

ni+b=()

A.；B.—1

C.—|D.1

解析：選B直線/工x—3y+2=0關(guān)于x軸對稱的直線為x+3y+2=0.由題意知相#0.

因為fruc—y+b=09即天一1+'=°，且直線(與b關(guān)于x軸對稱，

則，"+6=_;+(_g=-l.

5.點A(l,3)關(guān)于直線＞=丘+6對稱的點是8(—2,1),則直線y=fcc+b在x軸上的截距

是()

3?5

A.-2B.z

C.—7D.T

56

.,.直線方程為y=—|x+^,它在x軸上的截距為一%(一凈)=3?故選D.

6.(2019?成都五校聯(lián)考)己知4,8是x軸上的兩點，點尸的橫坐標(biāo)為2,且照|=|尸3|,

若直線%的方程為x—y+l=0,則直線P8的方程是()

A.2%+廠7=0B.x+y-5=0

C.2y—x—4=0D.2x~y—1=0

解析：選B由照|=|P8|得點P一定在線段4B的垂直平分線上，根據(jù)直線雨的方程

為x-y+l=0,可得4-1,0),將x=2代入直線x-y+l=0,得y=3,所以P(2,3),所

以8(5,0),所以直線P8的方程是x+y—5=0,選B.

7.若動點A,B分別在直線6x+y—7=0和機x+y-5=0上移動，則AB的中點M

到原點的距離的最小值為()

A.3^2B.26

C.3^3D.4-72

解析：選A依題意知AB的中點M的集合為與直線/i：x+y—7=0和/2：x+y—5=0

距離都相等的直線，則M到原點的距離的最小值為原點到該直線的距離.設(shè)點M所在直線

的方程為/：x+y+/n=0,根據(jù)平行線間的距離公式得今去“=3去，=|，“+7|=|"z+5|=/n=

-6,即/:x+)-6=0.根據(jù)點到直線的距離公式，得M到原點的距離的最小值為導(dǎo)乎=341

8.已知點4(1,3),8(5,-2),在x軸上有一點P,若|AP|一|BP|最大,則P點坐標(biāo)為()

A.(3.4,0)B.(13,0)

C.(5,0)D.(-13,0)

解析：選B作出A點關(guān)于x軸的對稱點A'(1,-3),則A'2所在直線方程為x-4y

-13=0.令y=0得尤=13,所以點P的坐標(biāo)為(13,0).

9.經(jīng)過兩直線/1：x—2y+4=0和12：x+y—2=0的交點P,且與直線Z3：3x—4y+5

=0垂直的直線/的方程為.

x-2y+4=0,

解析：由方程組,得x=0,y=2,即尸(0,2).因為/_L/3,所以直線/的

x+y~2=0

44

斜率k=-g,所以直線/的方程為y—2=-即4x+3y—6=0.

答案：4x+3y—6=0

10.己知點Pi(2,3),22(—4,5)和A(—1,2),則過點4且與點P”七距離相等的直線方

程為.

3—51

解析：當(dāng)直線與點P,P2的連線所在的直線平行時，由直線的斜率k=W/=—最

得所求直線的方程為＞—2=-|(x+l),即x+3y—5=0.當(dāng)直線過線段8三的中點時，因為

線段PP2的中點坐標(biāo)為(-1,4),所以直線方程為》=-1.綜上所述，所求直線方程為x+3y

—5=0或x=-l.

答案：x+3y—5=0或x=—1

11.直線x—2y+l=0關(guān)于直線x=l對稱的直線方程是.

解析：由題意得直線x—2y+1=0與直線x=1的交點坐標(biāo)為(1』).又直線無一2y+l=0

y—0%3

上的點(一1,0)關(guān)于直線x=l的對稱點為(3,0),所以由直線方程的兩點式，得不二

即x+2y-3=0.

答案：x+2y—3=0

12.過點P(0,l)作直線/使它被直線A：2x+y-8=0和kx—3y+10=0截得的線段

被點P平分，則直線/的方程為.

解析：設(shè)/i與/的交點為A(a,S—2a),

則由題意知，點4關(guān)于點P的對稱點8(一”,2a—6)在b上，把B點坐標(biāo)代入/2的方程

得一a—3(2。-6)+10=0,

解得。=4,即點A(4,0)在直線/上，

所以由兩點式得直線/的方程為x+4y—4=0.

答案:x+4y—4=0

13.已知△ABC的三個頂點是C(3,4).

(1)求BC邊的高所在直線/|的方程；

(2)若直線已過C點，且A,B到直線"的距離相等，求直線/2的方程.

4—311

解：(1)因為屈0=君:=不又直線/］與3C垂直，所以直線/|的斜率攵=一嬴=—4,

所以直線/i的方程是y=-4(x—1)+1,即4x+y—5=0.

(2)因為直線/2過C點且A,B到直線，2的距離相等，

所以直線/2與AB平行或過A8的中點M,

3—1

因為以8=三［二］=一1,所以直線/2的方程是)，=-(x-3)+4,即x+y—7=0.

因為AB的中點M的坐標(biāo)為(0,2),

4—22

所以kcM=Z_Z=o,所以直線，2的方程是

3—。3

2

3)+4,即2x—3y+6=0.

綜上，直線/2的方程是x+y—7=0或2x-3y+6=0.

第三節(jié)圓的方程

一、基礎(chǔ)知識

1.圓的定義及方程

定義平面內(nèi)與定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)

(X—6!)2+(y—Z?)2=r2(r>0)

標(biāo)準(zhǔn)方程圓心：(〃，b),半徑：r

?

j(2+y2+Dx+Ey+F=0,圓心：(一孝，—f),

一般方程(Z)2+E2-4F>0)

半徑：^\/D2+E2—4F

?

?標(biāo)準(zhǔn)方程強調(diào)圓心坐標(biāo)為(db),半徑為二

?(1)當(dāng)尸=0時，方程表示一個點(一號-y

(2)當(dāng)。2+/一4尸＜0時，方程不表示任何圖形.

2.點與圓的位置關(guān)系

點M(xo，yo)與圓(X—4)2+。-6)2=戶的位置關(guān)系：

(1)若M(xo，泗)在圓外，則(x()—a)2+(yo—6)2＞尸

(2)若M(xo，州)在圓上，則(x()—a)2+(y()—Q2=汽

(3)若M(xo，州)在圓內(nèi)，則(xo-aA+Ob一力2〈汽

二、常用結(jié)論

4=C￥0,

⑴二元二次方程/+取丫+42+m+￡＞+尸=0表示圓的充要條件