廣東省湛江市雷高中學高二數(shù)學文摸底試卷含解析

廣東省湛江市雷高中學高二數(shù)學文摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列函數(shù)中，最小值為4的是Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．參考答案：C2.已知雙曲線（，）的一條漸近線過點，且雙曲線的一個焦點在拋物線的準線上，則雙曲線的方程為A. B.C. D.參考答案：B由題意，，

∵拋物線的準線方程為雙曲線的一個焦點在拋物線的準線上，∴雙曲線的方程為故選B．3.袋中共有6個除了顏色外完全相同的球，其中有1個紅球，2個白球和3個黑球，從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率等于（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B4.過點和的直線方程是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A5.已知拋物線y2＝2px(p>0)的準線與圓(x－3)2＋y2＝16相切，則p的值為()A.

B．1C．2D．4參考答案：C6.若橢圓的對稱軸為坐標軸，長軸長與短軸長的和為，焦距為，則橢圓的方程為（

）A．

B．

C．或

D．以上都不對參考答案：C略7.若實數(shù)滿足則的最小值是（

）A．0

B．

C．1

D．2參考答案：A略8.宋元時期數(shù)學名著《算學啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問題：松長五尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等.如圖是源于其思想的一個程序框圖，若輸入的a，b分別為4，2，則輸出的n等于（

）A．2

B．3

C．4

D．5參考答案：C由程序框圖可得，時，，繼續(xù)循環(huán)；時，，繼續(xù)循環(huán)；時，，繼續(xù)循環(huán)；結(jié)束輸出.

9.設(shè)全集U={1，3，5，7，9}，A={1，5，9}，B={3，7，9}，則（?UA）∩B=(

) A．{3} B．{7} C．{3，7} D．?參考答案：C考點：交、并、補集的混合運算．專題：集合．分析：由條件和補集的運算求出?UAB，由交集的運算求出（?UA）∩B．解答： 解：∵全集U={1，3，5，7，9}，A={1，5，9}，∴?UA={3，7}，又B={3，7，9}，∴（?UA）∩B={3，7}，故選：C．點評：本題考查交、并、補集的混合運算，屬于基礎(chǔ)題．10.設(shè)集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2﹣1＜0}，則A∪B=（）A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（0，+∞）參考答案：C【考點】1D：并集及其運算．【分析】求解指數(shù)函數(shù)的值域化簡A，求解一元二次不等式化簡B，再由并集運算得答案．【解答】解：∵A={y|y=2x，x∈R}=（0，+∞），B={x|x2﹣1＜0}=（﹣1，1），∴A∪B=（0，+∞）∪（﹣1，1）=（﹣1，+∞）．故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.用數(shù)學歸納法證明關(guān)于n的恒等式時，當n＝k時，表達式為1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，則當n＝k＋1時，待證表達式應(yīng)為________．參考答案：略12.的內(nèi)角對邊分別為，且b＝1，c＝2，如果是銳角三角形，則a的取值范圍是_______________.參考答案：略13.二項式（x2﹣）6展開式中的x3項的系數(shù)為_________．（用數(shù)字作答）參考答案：-16014.若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為________。參考答案：15.曲線C：x2+9y2=9經(jīng)過伸縮變換后，得到的曲線方程是_________．參考答案：略16.已知冪函數(shù)y＝f(x)的圖像過點(2，)，則f(x)=

▲

．參考答案：17.觀察下列不等式：1＞，1++＞1，1+++…+＞，1+++…+＞2，1+++…+＞，…，由此猜測第n個不等式為

（n∈N*）．

參考答案：1+++…+＞略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=lnx﹣，g（x）=f（x）+ax﹣6lnx，其中a∈R（1）當a=1時，判斷f（x）的單調(diào)性；（2）若g（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實數(shù)a的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)h（x）=x2﹣mx+4，當a=2時，若?x1∈（0，1），?x2∈[1，2]，總有g(shù)（x1）≥h（x2）成立，求實數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)恒成立問題．【分析】（1）當a=1時，f（x）=lnx﹣，f′（x）=+=，由此能推導出f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．（2）將函數(shù)為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為導函數(shù)大于等于0恒成立，分離出參數(shù)a，求出a的范圍．（3）對h（x）進行配方，討論其最值問題，根據(jù)題意?x1∈（0，1），?x2∈[1，2]，總有g(shù)（x1）≥h（x2）成立，只要要求g（x）max≥h（x）max，即可，從而求出m的范圍．【解答】解：（1）當a=1時，f（x）=lnx﹣，∴f′（x）=+=，x＞0．∵x＞0，∴f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．（2）∵f（x）=lnx﹣，g（x）=f（x）+ax﹣6lnx，a＞0．∴g（x）=ax﹣﹣5lnx，x＞0∴g′（x）=a+﹣=，若g′（x）＞0，可得ax2﹣5x+a＞0，在x＞0上成立，∴a＞=，∵≤=（x=1時等號成立），∴a≥．（3）當a=2時，g（x）=2x﹣﹣5lnx，h（x）=x2﹣mx+4=（x﹣）2+4﹣，?x1∈（0，1），?x2∈[1，2]，總有g(shù)（x1）≥h（x2）成立，∴要求g（x）的最大值，大于h（x）的最大值即可，g′（x）==，令g′（x）=0，解得x1=，x2=2，當0＜x＜，或x＞2時，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)；當＜x＜2時，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)；∵x1∈（0，1），∴g（x）在x=處取得極大值，也是最大值，∴g（x）max=g（）=1﹣4+5ln2=5ln2﹣3，∵h（x）=x2﹣mx+4=（x﹣）2+4﹣，若m≤3，hmax（x）=h（2）=4﹣2m+4=8﹣2m，∴5ln2﹣3≥8﹣2m，∴m≥，∵＞3，故m不存在；若m＞3時，hmax（x）=h（1）=5﹣m，∴5ln2﹣3≥5﹣m，∴m≥8﹣5ln2，實數(shù)m的取值范圍：m≥8﹣5ln2；19.已知函數(shù)，其定義域為，（1）用單調(diào)性的定義證明函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù);（2）利用所得到（1）的結(jié)論，求函數(shù)在上的最大值與最小值.參考答案：(1)證明：設(shè)，則

又在上為單調(diào)增函數(shù)(2)在上為單調(diào)增函數(shù)20.在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C1：2x2－y2＝1.(1)過C1的左頂點引C1的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積；(2)設(shè)斜率為1的直線l交C1于P、Q兩點．若l與圓x2＋y2＝1相切，求證：OP⊥OQ；參考答案：解：(1)雙曲線C1：－y2＝1，左頂點A，漸近線方程：y＝±x.過點A與漸近線y＝x平行的直線方程為y＝，即y＝x＋1.解方程組得所以所求三角形的面積為S＝|OA||y|＝.(2)設(shè)直線PQ的方程是y＝x＋b，因直線PQ與已知圓相切，故＝1，即b2＝2.由得x2－2bx－b2－1＝0.設(shè)P(x1，y1)、Q(x2，y2)，則又y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)，所以·＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝2(－1－b2)＋2b2＋b2＝b2－2＝0.故OP⊥OQ.21.設(shè)關(guān)于x的函數(shù)的最小值為．⑴寫出的表達式；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

⑵試確定能使的值，并求出此時函數(shù)的最大值．參考答案：

22.（14分）已知橢圓C：的離心率為，橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）已知動直線y=k（x+1）與橢圓C相交于A、B兩點，若線段AB中點的橫坐標為，求斜率k的值．參考答案：【考點】：直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標準方程．【專題】：綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】：（Ⅰ）利用橢圓的離心率為，橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為，建立方程，即可求橢圓C的方程；（Ⅱ）將y=k（x+1）代入橢圓方程，利用韋達定理，及線段AB中點的橫坐標為，可求斜率k的值．解：（Ⅰ