2024新高考新題型數(shù)學(xué)信息必刷押題卷信息必刷卷04（解析版）

試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages2222頁(yè)絕密★啟用前2024年高考考前信息必刷卷04數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）全國(guó)陸續(xù)有多個(gè)省份官宣布在2024年的高考數(shù)學(xué)中將采用新題型模式。新的試題模式與原模式相比變化較大，考試題型為8（單＋3（多選題）＋3（填空題）＋5（解答題），其中單選題的題量不變，多選題、填空題、解答題各減少1題，多選題由原來(lái)的0分、2分、5分三種得分變?yōu)椤安糠诌x對(duì)得部分分，滿分為6分”，填空題每題仍為5分，總分15分，解答題變?yōu)?題，分值依次為13分、15分、15分、17分、17分。函數(shù)和導(dǎo)數(shù)不再是壓軸類型，甚至有可能是第一道大題，增加的新定義的壓軸題，以新舊知識(shí)材料為主來(lái)考察考生的數(shù)學(xué)思維能力，難度較大。從2024屆九省聯(lián)考新模式出題方向可以看出，除了8+3+3+5的模式外，核心的變化在于改變以往的死記硬背的備考策略，改變了以前套公式的學(xué)習(xí)套路，現(xiàn)在主要是考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的靈活，對(duì)三角函數(shù)喝數(shù)列的考察更加注重技巧的應(yīng)用，統(tǒng)計(jì)概率結(jié)合生活情景來(lái)考查考生數(shù)學(xué)在生活中的實(shí)際應(yīng)用，特別是最后一道大題，題目給出定義，讓考生推導(dǎo)性質(zhì)，考查考生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)探索能力，這就要求考生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要注重定理、公式的推導(dǎo)證明，才能培養(yǎng)數(shù)學(xué)解決這類問題的思維素養(yǎng)。一：選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．現(xiàn)有隨機(jī)選出的20個(gè)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)如下，則（

）7

24

39

54

61

66

73

82

82

8287

91

95

8

98

102

102

108

114

120A．該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為102 B．該組數(shù)據(jù)的極差為112C．該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為87 D．該組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為102【答案】D【解析】將數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列：7，8，24，39，54，61，66，73，82，82，82，87，91，95，98，102，102，108，114，120，對(duì)于A，出現(xiàn)次數(shù)最多的是82，所以眾數(shù)是82，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，極差為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，第10個(gè)數(shù)和第11個(gè)數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，第16個(gè)數(shù)和第17個(gè)數(shù)的平均數(shù)為80%分位數(shù)，即，故D正確.故選：D.2．的值為（

）A． B． C．2 D．4【答案】D【解析】，則，故選：D.3．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，設(shè)，則，故在上為減函數(shù)，故即，所以，故，故選：D.4．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)M為關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)．若，且的面積為8，則C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】記與漸近線相交于點(diǎn)N，由題可知，ON為的中位線，且，所以，因?yàn)榻裹c(diǎn)到漸近線的距離，所以，，則，

又，即，聯(lián)立解得，所以C的方程為.故選：C5．已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，則該展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令得，，解得，所以的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為．故選：D.6．已知正四棱錐各頂點(diǎn)都在同一球面上，且正四棱錐底面邊長(zhǎng)為4，體積為，則該球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，設(shè)在底面的射影為，則平面，且為的交點(diǎn).因?yàn)檎睦忮F底面邊長(zhǎng)為4，故底面正方形的面積可為，且，故，故.由正四棱錐的對(duì)稱性可知在直線上，設(shè)外接球的半徑為，則，故，故，故正四棱錐的外接球的表面積為，故選：B.7．已知數(shù)列滿足，，若為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A．624 B．625 C．626 D．650【答案】C【解析】數(shù)列中，，，當(dāng)時(shí)，，即數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公差為2，則，當(dāng)時(shí)，，即數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公比為，則，所以.故選：C8．在三棱錐中，，，，，且，則二面角的余弦值的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，點(diǎn)的軌跡方程為（橢球），

又因?yàn)?，所以點(diǎn)的軌跡方程為，（雙曲線的一支）

過點(diǎn)作，而面，所以面，

設(shè)為中點(diǎn)，則二面角為，所以不妨設(shè)，所以，所以，令，所以，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）

A．B．的圖象過點(diǎn)C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】BCD【解析】A：設(shè)該函數(shù)的最小正周期為，則有，即，由函數(shù)的圖象可知：，即，由圖象可知：，所以，因此本選項(xiàng)不正確；B：，所以本選項(xiàng)正確；C：因?yàn)?，，所以，所以函?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，因此本選項(xiàng)正確；D：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)時(shí)，則有，故選：BCD10．如圖，在正方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．是直角三角形B．異面直線與所成的角為C．當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為定值時(shí)，三棱錐的體積為定值D．平面平面【答案】ABC【解析】對(duì)于A，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)是的中點(diǎn)，故;平面平面，故，則，則，即，即是直角三角形，A正確；對(duì)于B，在正方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，

則直線DP即為直線，異面直線與所成的角即異面直線與所成的角，由于，，故四邊形為平行四邊形，所以，則即為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，連接，則，即，故異面直線與所成的角為，B正確；對(duì)于C，設(shè)交于點(diǎn)O，則O為AC的中點(diǎn)，連接PO，

則PO為的中位線，故，平面，平面，故平面，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為定值時(shí)，到平面的距離為定值，則Q到平面的距離為定值，而的面積為定值，故為定值，又三棱錐的體積，故三棱錐的體積為定值，C正確；對(duì)于D，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則；設(shè)平面的法向量為，則，令，則；則，即不垂直，故平面和平面不垂直，D錯(cuò)誤，故選：ABC.11．已知函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，設(shè)其由小到大分別為，則（

）A．實(shí)數(shù)的取值范圍是B．C．函數(shù)可能有四個(gè)零點(diǎn)D．【答案】BCD【解析】對(duì)于B，，設(shè)，則它的定義域?yàn)?，它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以是奇函數(shù)，由題意有三個(gè)根，則，故B正確；對(duì)于C，由，所以，所以，即已經(jīng)有3個(gè)實(shí)根，當(dāng)時(shí)，令，則，只需保證可使得方程有4個(gè)實(shí)根，故C正確；由B可知，，而，又，所以，故D正確；對(duì)于A，，設(shè)，則，所以，從而，故A錯(cuò)誤.

故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知正數(shù)x，y滿足，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以，等?hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.13．已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，以為球心、為半徑的球面與底面的交線長(zhǎng)為，則三棱柱的表面在球內(nèi)部分的總面積為．【答案】【解析】記以為球心，為半徑的球面與底面的交線半徑為，正三棱柱的高為，則，且，解得，，可知：底面在球內(nèi)部分是以半徑為，圓心角為的扇形，面積為，底面在球內(nèi)部是以半徑為，圓心角為的扇形，面積為，側(cè)面在球內(nèi)部分如圖（陰影部分）所示，因?yàn)椋芍悦娣e為，同理側(cè)面在球內(nèi)部分面積為，顯然側(cè)面與球不相交，所以三棱柱的表面在球內(nèi)部分的總面積為.故答案為：.14．已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是，接下來(lái)的兩項(xiàng)是，再接下來(lái)的三項(xiàng)是，依此類推，若該數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則稱為“好數(shù)對(duì)”，如，，則都是“好數(shù)對(duì)”，當(dāng)時(shí)，第一次出現(xiàn)的“好數(shù)對(duì)”是．【答案】【解析】若，則為2的整數(shù)冪，將數(shù)列排成如下形式：……第k行為，第k行的和為，該數(shù)列前項(xiàng)的和為，令，則，此時(shí)可用以2為底的整數(shù)冪表示，當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)共有項(xiàng)，不滿足總項(xiàng)數(shù)；當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)共有項(xiàng)，不滿足總項(xiàng)數(shù)；當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)共有項(xiàng)，滿足總項(xiàng)數(shù)；所以n的最小值為，此時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，第一次出現(xiàn)的“好數(shù)對(duì)”是，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）設(shè)，有三個(gè)條件：①是2與的等差中項(xiàng)；②，；③．在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問題的橫線上，再作答．（如果選擇多個(gè)條件分別作答，那么按第一個(gè)解答計(jì)分）若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且______．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若是以2為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【解析】（1）選條件①時(shí)，由于是2與的等差中項(xiàng)；所以，①當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，②，①②得：，整理得，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；所以（首項(xiàng)符合通項(xiàng)），所以；選條件②時(shí)，由于，；所以：，①，當(dāng)時(shí)，，②，①②得：，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；故（首項(xiàng)符合通項(xiàng)），所以；選條件③時(shí)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)闀r(shí)也滿足，所以（2）若是以2為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，所以，所以，故①，②，①②得：；整理得．16．（15分）在某數(shù)字通信中，信號(hào)的傳輸包含發(fā)送與接收兩個(gè)環(huán)節(jié)．每次信號(hào)只發(fā)送0和1中的某個(gè)數(shù)字，由于隨機(jī)因素干擾，接收到的信號(hào)數(shù)字有可能出現(xiàn)錯(cuò)誤，已知發(fā)送信號(hào)0時(shí)，接收為0和1的概率分別為，；發(fā)送信號(hào)1時(shí)，接收為1和0的概率分別為．假設(shè)每次信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．(1)當(dāng)連續(xù)三次發(fā)送信號(hào)均為0時(shí)，設(shè)其相應(yīng)三次接收到的信號(hào)數(shù)字均相同的概率為，求的最小值；(2)當(dāng)連續(xù)四次發(fā)送信號(hào)均為1時(shí)，設(shè)其相應(yīng)四次接收到的信號(hào)數(shù)字依次為，記其中連續(xù)出現(xiàn)相同數(shù)字的次數(shù)的最大值為隨機(jī)變量（中任意相鄰的數(shù)字均不相同時(shí)，令），若，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解析】（1）由題可知，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，的最小值為．（2）由題設(shè)知，的可能取值為1，2，3，4．①當(dāng)時(shí)，相應(yīng)四次接收到的信號(hào)數(shù)字依次為0101或1010．因此，，②當(dāng)時(shí)，相應(yīng)四次接收到的信號(hào)數(shù)字依次為0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或0011．因此，，③當(dāng)時(shí)，相應(yīng)四次接收到的信號(hào)數(shù)字依次為1110，或0111，或0001，或1000．因此，，④當(dāng)時(shí)，相應(yīng)四次接收到的信號(hào)數(shù)字依次為0000，或1111．因此，．所以的分布列為1234因此，的數(shù)學(xué)期望．17．（15分）已知點(diǎn)、、是拋物線上的點(diǎn)，且．(1)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則動(dòng)直線是否過定點(diǎn)？如果過定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)，反之，請(qǐng)說明理由．(2)若，求面積的最小值．【解析】（1）解：設(shè)直線軸，則直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意.設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，則且，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，，同理，，所以，，可得，故直線的方程為，因此，直線過定點(diǎn).（2）解：由（1）可知，直線的斜率存在，且直線的方程為，記線段的中點(diǎn)為點(diǎn).①當(dāng)時(shí)，則、關(guān)于軸對(duì)稱，此時(shí)線段的垂線為軸，因?yàn)椋瑒t點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，又因?yàn)?，則為等腰直角三角形，則的兩腰所在直線的方程為，聯(lián)立，解得或，此時(shí)，，；②當(dāng)時(shí)，，，即點(diǎn)，因?yàn)?，則，設(shè)點(diǎn)，其中且，，，由已知可得，所以，，則，直線的斜率為，可得，所以，，當(dāng)時(shí)，等式不成立，所以，且，所以，，則，所以，，故.綜上所述，.因此，面積的最小值為.18．（17分）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；(2)討論函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)當(dāng)函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)時(shí)，求證：．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，令，則，因?yàn)椋裕畡t在上單調(diào)遞減，又因?yàn)椋允沟迷谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．因此，在上的最小值是與兩者中的最小者．因?yàn)?，所以函?shù)在上的最小值為．（2），由，解得，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且值域?yàn)?，令，由，解得，設(shè)，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．根據(jù)時(shí)，，得的大致圖像如圖所示．因此有：（?。┊?dāng)時(shí)，方程無(wú)解，即無(wú)零點(diǎn)，沒有極值點(diǎn)；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，令，則在上時(shí)單調(diào)遞增函數(shù)，即，得，此時(shí)沒有極值點(diǎn)；（ⅲ）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)解，即有兩個(gè)零點(diǎn)，有兩個(gè)極值點(diǎn)；（ⅳ）當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)解，即有一個(gè)零點(diǎn)，有一個(gè)極值點(diǎn)．綜上，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，沒有極值點(diǎn)．（3）先證明當(dāng)時(shí)，．設(shè)，則，記，則