2020-2021學(xué)年延邊州高一年級上冊期末數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2020-2021學(xué)年延邊州高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共12小題，共48.0分)

1.已知集合A={Xi——2x—3S0},B={0,1,2,3,4},則4nB=()

A.[1,2,3}B.{O,l,2,3}C.{-1,0,1,2,3}D.[0,1,2)

2.命題“△ABC中，若乙4>NB,則a>b”的結(jié)論的否定應(yīng)該是()

A.a<hB.a<bC.a>bD.a>b

3.8.F列命題為真命題的是

A.己知G,b&R,則“J^-4一2”是“夕>0且6〈0”的充分不必要條件

ab

B.已知數(shù)列2*}為等比數(shù)列，則“必<％”是“外〈心”的既不充分也不必要條件

C.已知兩個(gè)平面以，若兩條異面直線冽，落滿足桁=a,wuf且耀//p,即〃以，則

a//P

D.e(-x,0),使sx*<44成立

4.下列函數(shù)中不能用二分法求零點(diǎn)的是()

A.,筑賺=竽度開迎B.式:礴=?/C.演百礴=￡D.,/>；?=te：

5.已知函數(shù)/。)=1一高(x>e,e=2.71828...是自然對數(shù)的底數(shù))若f(m)=2)夜—f(n),則

/(mn)的取值范圍為()

A.[;,1)B.[1,1)C.舄,1)D.[|,1]

6.函數(shù)/(X)=/+b一用，若/?)和/(一》都不是f(x)的最小值，則a的取值范圍是()

A.(一吟]B.C.D.g+8]

7.基本再生數(shù)Ro與世代間隔7是新冠肺炎流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均

人數(shù)，世代間隔指兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：

/(t)=描述累計(jì)感染病例數(shù)/(t)隨時(shí)間t(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與&,7近似滿

足品=1+「「有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出/?0=3.28,7=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，

累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(m2?0.69)()

A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天

8.函數(shù)f（%）=sin（wx+0）cos（3%+w）（to>0）的相鄰的兩個(gè)對稱中心的距離為1,且能在％=2時(shí)

取得最大值，則R的一個(gè)值是（）

A.B.--C.1D,7

4442

9.下列函數(shù)既是偶函數(shù)又是尋函數(shù)的是（）

A.y-xB.y-=.xiC.y=xzD.y—|x|

已知尸例）是偶函數(shù)’且在（0,秘）上是增函數(shù)’則”/（一多斥/（一回則

10.

有

A-a<cB-h<c<ac-h<a<cD-c<a<h

11.已知汝n8=-5則+4ttm(9+g)=()

A.1B.-2C.-1D.0

12.已知函數(shù)/（x）={M黑91,則函數(shù)〃x）的零點(diǎn)為（）

A.：和1B.—4和0C.7D.1

44

二、單空題（本大題共4小題，共16.0分）

13.若扇形的中心角為半，半徑為小，則此扇形的面積為.

14.已知。為銳角，且cos（。+彳）=：,則cos。=.

15.已知函數(shù)岡，若岡，則岡.

16.定義函數(shù)/㈤=亍藍(lán)）給出下列四個(gè)命題：

7vicosx,sinx<cosx

（1）該函數(shù)的值域?yàn)?/p>

（2）當(dāng)且僅當(dāng)x=2k?r+m（k6Z）時(shí)，該函數(shù)取得最大值；

（3）該函數(shù)是以兀為最小正周期的周期函數(shù)；

（4）當(dāng)且僅當(dāng)2卜兀+兀<x<2卜兀+手（kCZ）時(shí)，/（x）<0.

上述命題中正確的序號是.

三、解答題（本大題共6小題，共72.0分）

17.設(shè)集合力={x\x2—2mx+m2—1<0],B={x\x2—4x—5<0}.

（1）若m=5,求力CiB；

(2)若4UB=B,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

18.已知在△ABC中，sin(4+B)=2sin(4-B).

(1)若B=￡,求4；

(2)若tanA=2,求tanB的值.

19.已知幕函數(shù)y=/n-9(meN")的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0,+8)上函數(shù)值隨％的增大而減小，

求滿足(a+1)-T<(3-2a)號的a的范圍?

20.已知函數(shù)/'(x)=V3cos(2x--2sinxcosx.

(1)求/(均的最小正周期、最大值、最小值；

(n)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

21.學(xué)生群體的人均通勤時(shí)間，是指單日內(nèi)學(xué)生從居住地到學(xué)校的平均用時(shí)，某地學(xué)生群體S中的成

員僅以私家車或公共交通通勤，分析顯示：當(dāng)S中％%(0<x<100)的學(xué)生乘坐私家車上學(xué)時(shí)私

(30,0<x<30

家車群體的人均通勤時(shí)間為/。)=理_(單位：分鐘)；而公共交通群

(乙人IJXZ1OVZ人J.UU

IX

體的人均通勤時(shí)間不受x影響，恒為40分鐘.根據(jù)上述分析結(jié)果：

(1)當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí)，公共交通群體的人均通勤時(shí)間少于私家車群體的人均通勤時(shí)間？

(2)求該地學(xué)生群體S的人均通勤時(shí)間g(x)的表達(dá)式，并求得x取值多少時(shí)g(x)最小，以及最小值為多

少？

22.已知函數(shù)/'(x)=x+：.

(I)指出f(x)的定義域，并判斷/Q)的奇偶性；

(口)判斷并證明/(x)在區(qū)間［3,+8)上的單調(diào)性，并求在［3,+8)上的最小值.

參考答案及解析

1.答案：B

解析：解：???集合4={x\x2-2x-3<0}={x|-1<%<3},

B={0,123,4},

■.AC\B={0,1,2,3).

故選:B.

利用交集的性質(zhì)求解.

本題考查交集的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意不等式性質(zhì)的合理運(yùn)用.

2.答案：B

解析：解：由題意可知：命題“A4BC中，若乙4>",則a>b”的結(jié)論的否定應(yīng)該是：aSb.

故選：B.

直接利用命題的否定，寫出經(jīng)過即可.

本題考查命題的否定，基本知識的考查.

3.答案：C

解析：

選項(xiàng)X中，4-2=a'+"+2=0W0=ab<0是a>0且b<0的必要不

ababab

充分條件，所以?錯(cuò)；

選項(xiàng)B中，由q<生<生得fl￥或彳:,，可以推出。4<生；但若。4<%，則該

q>10<g<1

數(shù)列有可能是擺動(dòng)的等比數(shù)列，如：1,T,1,-1,1,-1……，此時(shí)推不出為<%<生，

所以3錯(cuò)；選項(xiàng)。中，當(dāng)x0<0時(shí)，">g)°=l=3">4"，所以。錯(cuò).

故答案為C.

4.答案：C

解析：試題分析：逐一分析各個(gè)選項(xiàng)，觀察它們是否有零點(diǎn)，函數(shù)在零點(diǎn)兩側(cè)的符號是否相反.

，就域。=蓋;,皆迎是單調(diào)函數(shù)，有唯一零點(diǎn)，且函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)異號，可用二分法求零點(diǎn)；

巽：磁=/也是單調(diào)函數(shù)，有唯一零點(diǎn)，且函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)異號，可用二分法求零點(diǎn)；

雷飛礴=/不是單調(diào)函數(shù)，雖然也有唯一的零點(diǎn)，但函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)都是正號，故不能用二分法求

零點(diǎn)；

，耀城1=加里也是單調(diào)函數(shù)，有唯一零點(diǎn)，且函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)異號，可用二分法求零點(diǎn).

故選C.

考點(diǎn)：本題函數(shù)能用二分法求零點(diǎn)必須具備2個(gè)條件，一是函數(shù)有零點(diǎn)，而是函數(shù)在零點(diǎn)的兩側(cè)符號

相反.

5.答案：B

_772

解析：解：由=21rl&-/(n)得f⑺+f(n)=1=壽幣+同=1，-舊)=1"麗而=

]--l-n-n-+-l-n-m-+1,1

又vInn4-Inm+2=[(Inn+1)+(Znm+1)1(--——I)=4+2〈竺叱》+>44-4=8,

LV''yjklnn+lZnm+l7lnn+1lnm+1

252

???Inn+Inm>6,/(mn)=1-嬴而京>且m、n>e,：.lnn+Inm>O,/(mn)=1-."+(-+1<

1,???|<f(mn)<1,

故選：B.

272

由/(m)=2ln&-f(n)得f(m)+=+—/(mn)=1-=1一

lnn+lnm+1,又由"兀+lnm+2=l(lnn+D+("死+D](而壬+而|京)得到m71+)加的范圍，再求

/(nrn)的取值范圍.

本題考查了基本不等式中，求最值的一種常見方法，對學(xué)生的思維強(qiáng)度要求高，屬于難題.

6.答案：C

解析：解：由題意f(%)=x2+|x—a|+

當(dāng)x2a時(shí)，函數(shù)的對稱軸是％=-右又/(—今不是函數(shù)/。)的最小值，故—：<a

當(dāng)X<a時(shí)，函數(shù)的對稱軸是x=%又/(》不是函數(shù)/(%)的最小值，故3>a

11

?--2-<2a<-

：?a的取值范圍是(一：*)

故選C

將函數(shù)/(x)=X2+|X-a|變?yōu)榉侄魏瘮?shù)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對若/?)和都不是函數(shù)/(X)

的最小值這種情況進(jìn)行研究，得出參數(shù)a的取值范圍

本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，求解本題的關(guān)鍵是把函數(shù)變?yōu)橐粋€(gè)分段函數(shù)的形式，再根據(jù)二

次函數(shù)的性質(zhì)得出a的取值范圍，本題分兩類求參數(shù)，最后求它們的交集，此是本題的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn),

也是一個(gè)疑點(diǎn)，一般分類討論都是求并集，本題因?yàn)樵诙x域的不同部分上求參數(shù)，故對定義域都

有意義的參數(shù)必須是兩類中參數(shù)的交集.此處的邏輯關(guān)系要好好體會.

7.答案：B

解析：

本題結(jié)合實(shí)際問題考查指數(shù)對數(shù)化簡求值，屬于中檔題.

根據(jù)題意，先將Ro=3.28,T=6代入Ro=1+rT,求得r,再由題意即可求解.

解：將J?。=3.28,T=6代入A。=1+rT,

得r=掌=胃二=0.38,

由/(t)=e°38t得”見13,

0.38

當(dāng)增加1倍時(shí)，X=處⑵⑴),

0.38

所需時(shí)間為-電色@=叱，叱。1.8.

0.380.380.380.38

故選8.

8.答案：4

解析：

本題主要考查二倍角公式、正弦函數(shù)的對稱性和最值，屬于中檔題.

先求得函數(shù)f。)=1sin(2a)x+2程)，根據(jù)它的相鄰的兩個(gè)對稱中心的距離為1求得3,再根據(jù)x=2時(shí)

取得最大值，求得W的值.

解：,；函數(shù)/(x)=sin?x+w)cos?x+w)=^sin2(a)x+W)=1sin(2ajx+2(p)(3>0)的相鄰的兩

個(gè)對稱中心的距離為1,

解得3=捺

再根據(jù)x=2時(shí)取得最大值，可得2《-2+2。=2卜兀+akez,

解得8=/OT-拳kEz,

故選A.

9.答案：B

解析：解：對于4函數(shù)的奇函數(shù)，不合題意；

對于8,函數(shù)的偶函數(shù)且是幕函數(shù)，符合題意；

對于C,函數(shù)不是偶函數(shù)，不合題意；

對于D,函數(shù)不是幕函數(shù)，不合題意

故選：B.

函數(shù)奇偶性的定義：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，若f(-x)=-f(x)則為奇函數(shù)；若門-乃=/(乃則為偶

函數(shù)，塞函數(shù)是指形如丫=”的函數(shù).由以上兩知識點(diǎn)即可作出判斷.

本題考查函數(shù)奇偶性的定義，要注意其定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對稱；同時(shí)考查尋函數(shù)定義，要注意非的

系數(shù)必須為1.

10.答案：B

解析：?."(")是偶函數(shù)，

???武-戊)=/必/(-今=嗚)，

QTT

又???/(X)在(0,+8)上是增函數(shù)且&

''-h<c<a°

故選8。

11.答案：D

解析：解：tan9=—1,

Ti

7r2tan0tanO+tan五

tan26+4tan(6+-)=------z-+4x-----------%

'4，1-tan201—tanOtan-^

2X(告,“4+14,4

——^-+4x-^==0n.

1-1+lx：33

42

故選：D.

由已知直接利用倍角公式及兩角和的正切求解.

本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查倍角公式及兩角和的正切，是基礎(chǔ)題.

12.答案：D

解析：解：當(dāng)XW1時(shí)，令/(%)=2*-2=0,

2X=2,x=1,

???x=1是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)x>1時(shí)，令/(%)=2+log2=0,

解得x=；

4

???》=;不是%>1范圍內(nèi)的一個(gè)數(shù)，故舍去；

4

1是函數(shù)的零點(diǎn)；

故選：D.

首先，當(dāng)x<1時(shí)，令/(%)=2*-2=0,解得相應(yīng)的零點(diǎn)，然后，當(dāng)x>1時(shí)，令/(x)=2+log,=0,

解得相應(yīng)的零點(diǎn)，最后，得到該函數(shù)的零點(diǎn).

本題重點(diǎn)考查函數(shù)的零點(diǎn)的求解方法，屬于基礎(chǔ)題，注意分段函數(shù)的零點(diǎn)，需要用到分類討論.

13.答案：n

解析：解：???扇形的圓心角a為半，半徑丁是8，

:?扇形的面積S=|r2a=x(遮/Xy=7T.

故答案為：TC.

利用扇形的面積公式可求扇形的面積.

本題考查扇形的面積公式的應(yīng)用，正確運(yùn)用公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

14.答案：至氈

10

解析：解：???。為銳角，且cos(e+3=E，?為銳角，

故sin(6+：)=Jl-cos2(04-=等，

貝!kos。=cos[(0+-)--]=cos(0+-)cos-+sin(0+-)sin-=—+—?—=--+-?,

"4‘4''"4'4，4525210

故答案為：紀(jì)巴史.

10

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sin(e+》的值，再利用兩角和差的余弦公式求得COS9=cos[(6+

勺的值.

本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和差的余弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

15.答案:2

解析：試題分析：已知條件為S,待求式為SS

S.

考點(diǎn)：對數(shù)的運(yùn)算法則.

16.答案：(4)

解析：解：函數(shù)/'(X)=

csinx,sinx>cosx

,函數(shù)的圖

tcosx,sinx<cosx

象如圖,

可知(1)該函數(shù)的值域?yàn)?/p>

所以(1)不正確;

(2)當(dāng)且僅當(dāng)X=2k〃+3kez)時(shí)，該函數(shù)取得最大值，不正確，

因?yàn)閤=2依，kez時(shí)，函數(shù)也取得最大值，所以(2)不正確；

(3)該函數(shù)是以27r為最小正周期的周期函數(shù)，所以(3)不正確；

(4)當(dāng)且僅當(dāng)2卜兀+兀<x<2而+半(kCZ)時(shí)，/(%)<0,所以(4)正確.

故答案為：(4).

畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的圖象，判斷選項(xiàng)的正誤即可.

本題考查命題的真假的判斷，三角函數(shù)的圖象的應(yīng)用，是中檔題.

17.答案：解：(l)?n=5,集合A={%|%2-一1工0}

={x\x2—10x4-24<0}={x|4<%<6},

B={x|x2—4%—5<0}={x|-1<%<5].

AC\B={x|4<%<5}.

(2)設(shè)集合A={x\x2—2mx+m2—1<0}

={%l[%—(m+l)][x-(m-1)<0]={x\m-1<%<m+1},

B=(x]x2—4%—5<0}={x|-1<%<5}.

AUB=B,?,.A￡B,

當(dāng)4=0時(shí)，m-1>m+1,無解；

m—1<m4-1

當(dāng)4H0時(shí)，？n—1N—1,

m+1<5

解得0<m<4,

??.實(shí)數(shù)m的取值范圍是[0,4].

解析：(l)?n=5時(shí)，求出集合4B,由此能求出4nB.

m—1<m4-1

(2)由AU8=8,得4G8,當(dāng)4=0時(shí)，m-1>m+1,當(dāng)AH。時(shí)，zn-1N,由此能求

,m4-1<5

出實(shí)數(shù)6的取值范圍.

本題考查交集的求法，考查交集、并集的定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基

礎(chǔ)題.

18.答案：解：(1)由條件sin(4+B)=2s譏(4一8),B=*

得sin(i4+三)=2sin(A--).

66

???-sinA4--cosA=2(^-sinA--cosA).

22'227

化簡，得sinA=yf3cosA-

tanA=V3.

Mw(0,7r),??.]=1

(2)vsin(i4+8)=2sin{A—8).

???sinAcosB+cosAsinB=2^sinAcosB-cosAsinB).

化簡，得3cosAsinB=sinAcosB.

又cosAcosBW0,

2

AtanA=3tm艮又=2,AtanB=

解析：(1)利用已知條件通過兩角和與差的三角函數(shù)，結(jié)合8=也通過三角形內(nèi)角即可求4

(2)利用已知條件化簡求出=3tanB,通過=2,即可求的值.

本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，三角形的解法，考查計(jì)算能

力.

19.答案：解?.?函數(shù)在(0,+8)上遞減，

?1?3m—9<0,解得m<3,又m6N*,lm=1,2.

又函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，

.?.3??1-9為偶數(shù)，故m=l,

11

:.(a+1)-3<(3-2a)~3

又?.?y=%甘在(-8,0),(0,+8)上均遞減，

Q+1>3—2d>0或0>Q+1>3—2Q

或Q+1<0V3—2a,

解得IV口<|或@V—L

故a的取值范圍是|<a<|或a<-1.

解析：利用基函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)判斷出指數(shù)小于0,由圖象關(guān)于y軸對稱得到指數(shù)是偶數(shù)，求

出m的值；利用基函數(shù)的單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式，求出解集.

本題考查塞函數(shù)的性質(zhì)：塞函數(shù)奇、偶性與事指數(shù)有關(guān)、嘉函數(shù)的單調(diào)性與嘉指數(shù)有關(guān).

20.答案：解：(I)/(x)=/cos2x+|sin2x—sin2x=gsin2x+當(dāng)cos2x=sin(2x+》

所以/'(x)的最小正周期7=:=兀，最大值為1,最小值為-1.

(II)由2x+gW2/OT+MkeZ可解得：kn--<x<kn+keZ.

故函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是阿一居做+與，kez.

由2/CTT+/W2x+EW2kn+kGZ可解得：kyi+合WxWkn+工，k&Z.

故函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是阿+行,而+勺，k&Z.

解析：本題主要考查了兩角差的余弦公式，輔助角公式，二倍角公式以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查了

函數(shù)思想，屬于基礎(chǔ)題.

(I)首先根據(jù)兩角差的余弦公式化簡，再根據(jù)輔助角公式化簡為/(x)=sin(2x+》，最后根據(jù)公式

7=史求周期，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解其最值.

0)

(n)利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

21.答案：解：(1)當(dāng)0<xW30時(shí)，/(x)=30<40,不滿足題意；

當(dāng)30<x<100時(shí)，f(x)=2x+等-90,由/0)=2刀+等一90>40,

解得XV-20(舍)，或%>45.

?,?當(dāng)45<%<100時(shí)，公共交通群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間；

f30x+40(100-%)

--------I5