力學(xué)競(jìng)賽知識(shí)點(diǎn)理論力學(xué)省公開課一等獎(jiǎng)全國(guó)示范課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

理論力學(xué)力學(xué)競(jìng)賽知識(shí)點(diǎn)介紹11/170主要內(nèi)容

靜力學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)動(dòng)力學(xué)專題22/170靜力學(xué)部分

力、力矩、力系力偶、力偶矩、力偶系主矢、主矩、力系簡(jiǎn)化約束與約束力力系平衡考慮摩擦平衡問(wèn)題33/170考慮摩擦平衡問(wèn)題44/170(a)(b)定義：兩個(gè)相接觸物體，當(dāng)其接觸處產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)或相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，其接觸處產(chǎn)生妨礙物體相對(duì)滑動(dòng)力叫滑動(dòng)摩擦力。

滑動(dòng)摩擦1.靜滑動(dòng)摩擦力及最大靜滑動(dòng)摩擦力如圖(a)所表示，在粗糙水平面上放置一重為P物體，當(dāng)水平方向無(wú)拉力時(shí)，顯然有P=FN?，F(xiàn)在該物體上作用一大小可改變水平拉力F，如圖(b)所表示，當(dāng)拉力F由零逐步增加但又不很大時(shí)，物體仍能維持平衡。55/170(a)(b)由此可見，支承面對(duì)物體約束力除了法向約束力FN外還有一個(gè)妨礙物體沿水平面向右滑動(dòng)切向約束力Fs，此力即靜滑動(dòng)摩擦力，簡(jiǎn)稱靜摩擦力。顯然有Fs=F，所以靜摩擦力也是約束力，伴隨F增大而增大。然而，它并不能隨F增大而無(wú)限地增大。而有一個(gè)最大值Fmax，稱為最大靜摩擦力，此時(shí)物體處于平衡臨界狀態(tài)。當(dāng)主動(dòng)力F大于Fmax時(shí)，物體將失去平衡而滑動(dòng)。即66/170試驗(yàn)表明上式稱為庫(kù)侖摩擦定律，是計(jì)算最大靜摩擦力近似公式。式中fs稱為靜摩擦因數(shù)，它是一個(gè)無(wú)量綱量。普通由試驗(yàn)來(lái)確定。2.動(dòng)滑動(dòng)摩擦力當(dāng)接觸處出現(xiàn)相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，接觸物體之間仍有妨礙相對(duì)滑動(dòng)阻力，這種阻力稱為動(dòng)滑動(dòng)摩擦力，簡(jiǎn)稱動(dòng)摩擦力，以Fd表示，大小可用下式計(jì)算。式中fd是動(dòng)摩擦因數(shù)，通常情況下，77/170摩擦角和自鎖現(xiàn)象1.摩擦角當(dāng)有摩擦?xí)r，支承面對(duì)物體約束力有法向約束力FN和切向約束力Fs，這兩個(gè)力協(xié)力稱為全約束力FR。它作用線與接觸處公法線成一偏角j,如圖所表示，當(dāng)靜摩擦力達(dá)最大時(shí)，j

也到達(dá)最大值jf,稱jf為摩擦角。88/1702.自鎖現(xiàn)象因?yàn)槿s束力作用線與接觸處公法線夾角j不能大于摩擦角，即改變范圍為0

j

jf，所以可得：假如作用于物體全部主動(dòng)力協(xié)力作用線與公法線夾角q<jf，則不論這個(gè)力多么大，物體必保持靜止，這種現(xiàn)象稱為自鎖現(xiàn)象。利用摩擦角概念，可用簡(jiǎn)單試驗(yàn)方法測(cè)定摩擦因數(shù)。反之假如q>jf，則不論這個(gè)力多么小，物體必不能保持平衡。99/170摩擦角就是物塊處于臨界狀態(tài)時(shí)斜面傾角q,即下面螺旋千斤頂就利用了自鎖概念。1010/170考慮摩擦?xí)r物體平衡問(wèn)題考慮有摩擦平衡問(wèn)題時(shí)，其解法與普通靜力學(xué)問(wèn)題基本一樣。但需指出是，在受力分析和列平衡方程時(shí)要將摩擦力考慮在內(nèi)，因而除平衡方程外，還需增加補(bǔ)充方程0

Fs

fsFN，所以有摩擦平衡問(wèn)題解通常是一個(gè)范圍。為了防止解不等式，往往先考慮臨界狀態(tài)（Fs

=fsFN），求得結(jié)果后再討論解平衡范圍。應(yīng)該強(qiáng)調(diào)是摩擦力方向在臨界狀態(tài)下不能假設(shè)，要依據(jù)物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)來(lái)判斷，只有摩擦力是待求未知數(shù)時(shí)，能夠假設(shè)其方向。求解時(shí)，依據(jù)詳細(xì)問(wèn)題采取解析法或幾何法求解，下面舉例說(shuō)明1111/170取物塊A為研究對(duì)象，受力分析如圖。列平衡方程。解:例題5-1qAF聯(lián)立求解得最大靜摩擦力所以作用在物體上摩擦力為因?yàn)樾∥矬wA重P=10N，放在粗糙水平固定面上，它與固定面之間靜摩擦因數(shù)fs=0.3。今在小物體A上施加F=4N力，q

=30°，試求作用在物體上摩擦力。yAxqPFFNFs1212/170(a)構(gòu)件A及B用楔塊C聯(lián)結(jié)，如圖(a)所表示，楔塊自重不計(jì)，。已知楔塊與構(gòu)件間摩擦系數(shù)fs=0.1,求能自鎖傾斜角q。解：(1)解析法研究楔塊C，受力如圖(b)，考慮臨界平衡例題5-2再考慮補(bǔ)充方程聯(lián)立解之得(b)1313/170(c)(2)幾何法仍考慮臨界平衡狀態(tài),在此情況下,楔塊C兩端所受全約束力必大小相等,方向相反且作用線在一條直線上;與作用點(diǎn)處法線夾角均等于摩擦角jf如圖(c)所表示。由幾何關(guān)系不難得以上是考慮臨界狀態(tài)所得結(jié)果，稍作分析即可得例題5-21414/170例題5-3FAFNBFBFNAABCFxxyhOFBhdBAFx平衡方程為取支架為研究對(duì)象,受力分析如圖。（1）解析法解:一活動(dòng)支架套在固定圓柱外表面，且h=20cm。假設(shè)支架和圓柱之間靜摩擦因數(shù)fs=0.25。問(wèn)作用于支架主動(dòng)力F作用線距圓柱中心線最少多遠(yuǎn)才能使支架不致下滑（支架自重不計(jì)）。1515/170聯(lián)立求解得補(bǔ)充方程例題5-3解得（2）幾何法由以上二個(gè)例子能夠看出，當(dāng)有摩擦處約束力以全約束力形式給出，如能利用二力平衡條件和三力平衡匯交定理且?guī)缀侮P(guān)系又較簡(jiǎn)單，用幾何法往往較方便。支架受力分析如圖所表示。由幾何關(guān)系得1616/170hCabFP寬a，高b矩形柜放置在水平面上，柜重P，重心C在其幾何中心，柜與地面間靜摩擦因數(shù)是fs，在柜側(cè)面施加水平向右力F，求柜發(fā)生運(yùn)動(dòng)時(shí)所需推力F最小值。例題5-41717/170yABCxFPFBFAFNBFNA1.假設(shè)不翻倒但即將滑動(dòng)，考慮臨界平衡。解:取矩形柜為研究對(duì)象,受力分析如圖。聯(lián)立求解得柜子開始滑動(dòng)所需最小推力補(bǔ)充方程列平衡方程例題5-41818/1702.假設(shè)矩形柜不滑動(dòng)但將繞B翻倒。柜繞B翻倒條件：

FNA=0使柜翻倒最小推力為列平衡方程ABCxFPFBFAFNBFNA解得例題5-4總而言之使柜發(fā)生運(yùn)動(dòng)所需最小推力為1919/170長(zhǎng)為l梯子AB一端靠在墻壁上，另一端擱在地板上，如圖所表示。假設(shè)梯子與墻壁接觸是完全光滑，梯子與地板之間有摩擦，其靜摩擦因數(shù)為fs。梯子重量略去不計(jì)。今有一重為P人沿梯子向上爬，假如確保人爬到頂端而梯子不致下滑，求梯子與墻壁夾角q。qlaABP例題5-52020/170以梯子AB為研究對(duì)象，人位置用距離a表示，梯子受力如圖。解：使梯子保持靜止，必須滿足以下平衡方程：yqlaABxFsFNAPFNB同時(shí)滿足物理?xiàng)l件例題5-5聯(lián)立解之得因

0≤a≤l，

當(dāng)a=l時(shí)，上式左邊到達(dá)最大值。所以或即為所求2121/170重為P=100N勻質(zhì)滾輪夾在無(wú)重桿AB和水平面之間，在桿端B作用一垂直于AB力FB，其大小為FB=50N。A為光滑鉸鏈，輪與桿間摩擦因數(shù)為fs1=0.4。輪半徑為r，桿長(zhǎng)為l，當(dāng)q=60°時(shí)，AC=CB=0.5l，如圖所表示。如要維持系統(tǒng)平衡，（1）若D處?kù)o摩擦因數(shù)fs2=0.3，求此時(shí)作用于輪心O處水平推力F最小值;（2）若fs2=0.15,此時(shí)F最小值又為多少？ABCDOrqPFFB例題5-62222/170解：

此題在C，D兩處都有摩擦，兩個(gè)摩擦力之中只要有一個(gè)到達(dá)最大值，系統(tǒng)即處于臨界狀態(tài)。假設(shè)C處摩擦先到達(dá)最大值，輪有水平向右滾動(dòng)趨勢(shì)。例題5-6ABCFAxFAyFCFNCFBq1.以桿AB為研究對(duì)象，受力分析如圖。解得列平衡方程補(bǔ)充方程2323/170例題5-62.以輪為研究對(duì)象，列平衡方程。DOCFNDFDPFq當(dāng)fs2=0.3時(shí)，D處最大摩擦力為

因?yàn)楣蔇處無(wú)滑動(dòng)所以維持系統(tǒng)平衡最小水平推力為F=26.6N。代入上面各式解得F=26.6N，F(xiàn)ND=184.6N將2424/170解方程得最小水平推力為受力圖不變，補(bǔ)充方程應(yīng)改為此時(shí)C處最大摩擦力為所以當(dāng)fs2=0.15時(shí)，維持系統(tǒng)平衡最小水平推力改為所以C處無(wú)滑動(dòng)。因?yàn)檎f(shuō)明前面假定不成立，D處應(yīng)先到達(dá)臨界狀態(tài)。3.當(dāng)

fs2=0.15時(shí),例題5-62525/170由實(shí)踐可知，使?jié)L子滾動(dòng)比使它滑動(dòng)省力，假如仍用下列圖力學(xué)模型來(lái)分析就存在問(wèn)題。即不論水平力F多么小，此物體均不能平衡，因?qū)c(diǎn)A矩平衡方程不滿足，即§5-4滾動(dòng)摩阻概念出現(xiàn)這種現(xiàn)象原因是，實(shí)際接觸面并不是剛體，它們?cè)诹ψ饔孟露紩?huì)發(fā)生一些變形，有一個(gè)接觸面，如圖所表示。這是與實(shí)際情況不符，說(shuō)明此力學(xué)模型有缺點(diǎn)，需要修正。2626/170此力系向A點(diǎn)簡(jiǎn)化與靜滑動(dòng)摩擦力相同，滾動(dòng)摩阻力偶矩Mf隨主動(dòng)力F增大而增大；但有一個(gè)最大值Mmax,即或且最大滑動(dòng)摩阻力偶矩上式即是滾動(dòng)摩阻定律，d稱為滾動(dòng)摩阻系數(shù)，含有長(zhǎng)度量綱

，單位普通用mm。與滾子和支承面材料硬度和濕度等相關(guān)。與滾子半徑無(wú)關(guān)。2727/170滾阻系數(shù)物理意義以下由力平移定理與比較得普通情況下，相對(duì)滑動(dòng)摩擦而言，因?yàn)闈L阻阻力偶矩很小，所以在工程中大多數(shù)情況下滾阻力偶矩忽略不計(jì)。2828/170取輪子為研究對(duì)象,受力分析如圖。由平衡方程解:例題5-7勻質(zhì)輪子重量P=3kN，半徑r=0.3m；今在輪中心施加平行于斜面拉力FH，使輪子沿與水平面成q=30°斜面勻速向上作純滾動(dòng)。已知輪子與斜面滾阻系數(shù)δ=0.05cm，試求力FH大小。聯(lián)立求解補(bǔ)充方程qFHArOqFHAOqMmaxPFsFNyx2929/170如圖所表示，總重為P拖車在牽引力F作用下要爬上傾角為θ

斜坡。設(shè)車輪半徑為r，輪胎與路面滾動(dòng)摩阻系數(shù)為δ，其它尺寸如圖所表示。求拖車所需牽引力。例題5-8aCxybθh2h1FθPAO3030/170

拖車兩對(duì)輪子都是從動(dòng)輪，所以滑動(dòng)摩擦力方向都朝后。設(shè)拖車處于開始向上滾動(dòng)臨界狀態(tài)，因以前后輪滾動(dòng)摩阻力偶力偶矩M1,max

和M2max都到達(dá)最大值。解：由平衡方程首先取整個(gè)拖車為研究對(duì)象，受力分析如圖。例題5-8aCxybθh2h1FθPAF2F1FN2FN1M1maxOM2,max3131/170再取前輪為研究對(duì)象，受力分析如圖。一樣由后輪得輪子滾動(dòng)臨界時(shí)補(bǔ)充方程解方程可得列平衡方程FN1FxFyF1M1maxOyx例題5-83232/170運(yùn)動(dòng)學(xué)部分

矢量法、直角坐標(biāo)法、自然坐標(biāo)法（軌跡、速度、加速度）平動(dòng)、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（各點(diǎn)速度與加速度）點(diǎn)復(fù)合運(yùn)動(dòng)（速度與加速度）剛體平面運(yùn)動(dòng)（瞬心、各點(diǎn)速度與加速度）3333/170動(dòng)力學(xué)部分

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、慣量積、慣性主軸動(dòng)量、動(dòng)量矩、動(dòng)能、沖量、功、勢(shì)能動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用平面運(yùn)動(dòng)剛體動(dòng)力學(xué)方程及其應(yīng)用慣性力及慣性力系簡(jiǎn)化、動(dòng)靜法、靜平衡與動(dòng)平衡概念3434/170專題部分機(jī)械振動(dòng)（單自由度振動(dòng)周期、頻率、振幅、臨界轉(zhuǎn)速和隔振概念）第二類拉格朗日方程（廣義力概念與計(jì)算，第二類拉格朗日方程應(yīng)用）3535/170專題部分

質(zhì)點(diǎn)系虛位移原理應(yīng)用（虛位移、虛功、自由度、廣義坐標(biāo)）碰撞問(wèn)題（碰撞問(wèn)題特征及其簡(jiǎn)化條件，恢復(fù)因數(shù)、對(duì)心碰撞及定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體和平面運(yùn)動(dòng)剛體碰撞問(wèn)題）3636/170機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)3737/170

振動(dòng)是日常生活和工程實(shí)際中常見現(xiàn)象。比如：鐘擺往復(fù)擺動(dòng),汽車行駛時(shí)顛簸，電動(dòng)機(jī)、機(jī)床等工作時(shí)振動(dòng)，以及地震時(shí)引發(fā)建筑物振動(dòng)等。

利：振動(dòng)給料機(jī)弊：磨損，降低壽命，影響強(qiáng)度振動(dòng)篩引發(fā)噪聲，影響勞動(dòng)條件振動(dòng)沉拔樁機(jī)等消耗能量，降低精度等。3.研究振動(dòng)目標(biāo)：消除或減小有害振動(dòng)，充分利用振動(dòng)為人類服務(wù)。2.振動(dòng)利弊：1.所謂振動(dòng)就是系統(tǒng)在平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。3838/170

4.振動(dòng)分類：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)振動(dòng)

按振動(dòng)系統(tǒng)自由度分類

多自由度系統(tǒng)振動(dòng)彈性體振動(dòng)

按振動(dòng)產(chǎn)生原因分類：自由振動(dòng)：無(wú)阻尼自由振動(dòng)有阻尼自由振動(dòng)，衰減振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)：無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)自激振動(dòng)本章重點(diǎn)討論單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)。3939/170

§單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)

一、自由振動(dòng)概念：4040/170

4141/170

運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，總指向物體平衡位置力稱為恢復(fù)力。物體受到初干擾后，僅在系統(tǒng)恢復(fù)力作用下在其平衡位置附近振動(dòng)稱為無(wú)阻尼自由振動(dòng)。質(zhì)量—彈簧系統(tǒng)：?jiǎn)螖[：復(fù)擺：4242/170二、單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)微分方程及其解

對(duì)于任何一個(gè)單自由度系統(tǒng)，以q為廣義坐標(biāo)（從平衡位置開始量?。?，則自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程必將是：

ke,me是與系統(tǒng)物理參數(shù)相關(guān)常數(shù)。令則自由振動(dòng)微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式：

解為：4343/170

設(shè)t=0時(shí)，則可求得：或：C1，C2由初始條件決定為4444/170

三、自由振動(dòng)特點(diǎn)：

A——物塊離開平衡位置最大位移，稱為振幅。

nt+q——相位，決定振體在某瞬時(shí)t位置

q——初相位，決定振體運(yùn)動(dòng)起始位置。

T——周期，每振動(dòng)一次所經(jīng)歷時(shí)間。

f——頻率，每秒鐘振動(dòng)次數(shù)，f=1/T?！逃蓄l率，振體在2秒內(nèi)振動(dòng)次數(shù)。反應(yīng)振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特征，只與系統(tǒng)本身固有參數(shù)相關(guān)。4545/170

無(wú)阻尼自由振動(dòng)特點(diǎn)是：

(2)振幅A和初相位q取決于運(yùn)動(dòng)初始條件(初位移和初速度)；(1)振動(dòng)規(guī)律為簡(jiǎn)諧振動(dòng)；四、其它

1.假如系統(tǒng)在振動(dòng)方向上受到某個(gè)常力作用，該常力只影響靜平衡點(diǎn)O位置，而不影響系統(tǒng)振動(dòng)規(guī)律，如振動(dòng)頻率、振幅和相位等。4646/170

2.彈簧并聯(lián)絡(luò)統(tǒng)和彈簧串聯(lián)絡(luò)統(tǒng)等效剛度并聯(lián)串聯(lián)并聯(lián)串聯(lián)4747/1701.

由系統(tǒng)振動(dòng)微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式2.能量法：

§19-2求系統(tǒng)固有頻率方法由Tmax=Vmax,求出4848/170

無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，機(jī)械能守恒。當(dāng)振體運(yùn)動(dòng)到距靜平衡位置最遠(yuǎn)時(shí)，速度為零，即系統(tǒng)動(dòng)能等于零，勢(shì)能到達(dá)最大值（取系統(tǒng)靜平衡位置為零勢(shì)能點(diǎn)）。當(dāng)振體運(yùn)動(dòng)到靜平衡位置時(shí)，系統(tǒng)勢(shì)能為零，動(dòng)能到達(dá)最大值。如：4949/170

能量法是從機(jī)械能守恒定律出發(fā)，對(duì)于計(jì)算較復(fù)雜振動(dòng)系統(tǒng)固有頻率來(lái)得更為簡(jiǎn)便一個(gè)方法。

例2圖示系統(tǒng)。設(shè)輪子無(wú)側(cè)向擺動(dòng)，且輪子與繩子間無(wú)滑動(dòng)，不計(jì)繩子和彈簧質(zhì)量，輪子是均質(zhì)，半徑為R，質(zhì)量為m1，重物質(zhì)量m2，試列出系統(tǒng)微幅振動(dòng)微分方程，求出其固有頻率。5050/170解1：以x為廣義坐標(biāo)（靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)）則任意位置x時(shí)：靜平衡時(shí)：5151/170

應(yīng)用動(dòng)量矩定理：由，有振動(dòng)微分方程：固有頻率：A5252/170

解2：用機(jī)械能守恒定律以x為廣義坐標(biāo)（取靜平衡位置為原點(diǎn)）以平衡位置為計(jì)算勢(shì)能零位置，并注意輪心位移x時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)2x因平衡時(shí)5353/170

由T+V=有：對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，再消去公因子，得5454/170如圖所表示兩個(gè)相同塔輪，相嚙合齒輪半徑皆為R，半徑為r鼓輪上繞有細(xì)繩，輪Ⅰ連一鉛直彈簧，輪Ⅱ掛一重物。塔輪對(duì)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量皆為J，彈簧剛度為k。重物質(zhì)量為m，求此系統(tǒng)固有頻率。例3

ⅠxRxⅡxr5555/1705656/170解：系統(tǒng)平衡處彈簧雖有拉長(zhǎng)，但如前所述，從平衡位置起計(jì)算彈性變形，能夠不再計(jì)入重力。由幾何關(guān)系，當(dāng)重物位于x處，彈簧由平衡位置計(jì)算變形量也是x，則系統(tǒng)勢(shì)能為

以系統(tǒng)平衡時(shí)重物位置為原點(diǎn)，取x軸如圖。重物于任意坐標(biāo)x處，速度為x導(dǎo)數(shù)，兩塔輪角速度皆為。系統(tǒng)動(dòng)能為ⅠxRxⅡxr5757/170不計(jì)摩擦，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有兩端對(duì)時(shí)間取一階導(dǎo)數(shù)，得上式為自由振動(dòng)微分方程，系統(tǒng)固有頻率為ⅠxRxⅡxr5858/170如圖所表示表示以質(zhì)量為m，半徑是r圓柱體，在二分之一徑是R圓弧槽上作無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)。求圓柱體在平衡位置附近做微小振動(dòng)固有頻率。RrvO1θFmgFNOO1AC例4

5959/170解：用能量法求解這個(gè)問(wèn)題。設(shè)在振動(dòng)過(guò)程中，圓柱體中心與圓槽中心連線OO1與鉛直線OA夾角為

。圓柱體中心O1線速度為由運(yùn)動(dòng)學(xué)知，當(dāng)圓柱體做純滾動(dòng)時(shí)，其角速度為所以系統(tǒng)動(dòng)能為RrvO1θFmgFNOO1AC6060/170整理后得系統(tǒng)勢(shì)能即重力勢(shì)能，圓柱在最低處平衡，取該處圓心位置C為零勢(shì)能點(diǎn)，則系統(tǒng)勢(shì)能為當(dāng)圓柱體作微振動(dòng)時(shí)，可認(rèn)為RrvO1θFmgFNOO1AC所以勢(shì)能可改寫成6161/170設(shè)系統(tǒng)做自由振動(dòng)時(shí)

改變規(guī)律為則系統(tǒng)最大動(dòng)能由機(jī)械能守恒定律，有Tmax=Vmax，解得系統(tǒng)固有頻率為系統(tǒng)最大勢(shì)能RrvO1θFmgFNOO1AC6262/170

例5鼓輪：質(zhì)量m1，對(duì)輪心回轉(zhuǎn)半徑

，在水平面上只滾不滑，大輪半徑R，小輪半徑r，彈簧剛度，重物質(zhì)量為m2,不計(jì)輪D和彈簧質(zhì)量，且繩索不可伸長(zhǎng)。求系統(tǒng)微振動(dòng)固有頻率。

解：取靜平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，取C偏離平衡位置x為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)最大動(dòng)能為：6363/170

系統(tǒng)最大勢(shì)能為：系統(tǒng)最大動(dòng)能為：6464/170

設(shè)則有依據(jù)Tmax=Vmax,解得6565/170

§19-3單自由度系統(tǒng)有阻尼自由振動(dòng)一、阻尼概念：

阻尼：振動(dòng)過(guò)程中，系統(tǒng)所受阻力。

粘性阻尼：在很多情況下，振體速度不大時(shí)，因?yàn)榻橘|(zhì)粘性引發(fā)阻尼認(rèn)為阻力與速度一次方成正比，這種阻尼稱為粘性阻尼。投影式：c——粘性阻尼系數(shù)，簡(jiǎn)稱阻尼系數(shù)。6666/170

二、有阻尼自由振動(dòng)微分方程及其解：質(zhì)量—彈簧系統(tǒng)存在粘性阻尼：有阻尼自由振動(dòng)微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式。6767/170

其通解分三種情況討論：

1、小阻尼情形—有阻尼自由振動(dòng)圓頻率6868/170

衰減振動(dòng)特點(diǎn)：(1)振動(dòng)周期變大，頻率減小?！枘岜扔凶枘嶙杂烧駝?dòng)：當(dāng)時(shí)，能夠認(rèn)為6969/170

(2)振幅按幾何級(jí)數(shù)衰減

對(duì)數(shù)減縮率2、臨界阻尼情形臨界阻尼系數(shù)相鄰兩次振幅之比7070/170

可見，物體運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間增加而無(wú)限地趨向平衡位置，不再具備振動(dòng)特征。代入初始條件3、過(guò)阻尼（大阻尼）情形所表示規(guī)律已不是周期性了，隨時(shí)間增加，x0，不具備振動(dòng)特征。7171/170

§19-6臨界轉(zhuǎn)速

減振與隔振概念

一、轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速引發(fā)轉(zhuǎn)子猛烈振動(dòng)特定轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速。這種現(xiàn)象是由共振引發(fā)，在軸設(shè)計(jì)中對(duì)高速軸應(yīng)進(jìn)行該項(xiàng)驗(yàn)算。單圓盤轉(zhuǎn)子：圓盤：質(zhì)量m,質(zhì)心C點(diǎn)；轉(zhuǎn)軸過(guò)盤幾何中心A點(diǎn)，AC=e，盤和軸共同以勻角速度

轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)

<

n（

n為圓盤轉(zhuǎn)軸所組成系統(tǒng)橫向振動(dòng)固有頻率）時(shí)，OC=x+e(x為軸中點(diǎn)A彎曲變形）。7272/170

（k為轉(zhuǎn)軸相當(dāng)剛度系數(shù)）臨界角速度：臨界轉(zhuǎn)速：7373/170

質(zhì)心C位于O、A之間OC=x-e當(dāng)轉(zhuǎn)速

非常高時(shí)，圓盤質(zhì)心C與兩支點(diǎn)連線相靠近，圓盤靠近于繞質(zhì)心C旋轉(zhuǎn)，于是轉(zhuǎn)動(dòng)平穩(wěn)。為確保安全，軸工作轉(zhuǎn)速一定要避開它臨界轉(zhuǎn)速。7474/170

二、減振與隔振概念猛烈振動(dòng)不但影響機(jī)器本身正常工作，還會(huì)影響周圍儀器設(shè)備正常工作。減小振動(dòng)危害根本辦法是合理設(shè)計(jì)，盡可能減小振動(dòng)，防止在共振區(qū)內(nèi)工作。許多引發(fā)振動(dòng)原因防不勝防，或難以防止，這時(shí)，能夠采取減振或隔振辦法。

減振：在振體上安裝各種減振器，使振體振動(dòng)減弱。比如，利用各種阻尼減振器消耗能量到達(dá)減振目標(biāo)。7575/170

隔振：將需要隔離儀器、設(shè)備安裝在適當(dāng)隔振器（彈性裝置）上，使大部分振動(dòng)被隔振器所吸收。隔振主動(dòng)隔振：將振源與基礎(chǔ)隔離開。被動(dòng)隔振：將需防振動(dòng)儀器、設(shè)備單獨(dú)與振源隔離開。7676/170碰撞問(wèn)題7777/170

在前面討論問(wèn)題中，物體在力作用下，運(yùn)動(dòng)速度都是連續(xù)地、逐步地改變。本章研究另一個(gè)力學(xué)現(xiàn)象——碰撞，兩個(gè)或兩個(gè)以上相對(duì)運(yùn)動(dòng)物體在瞬間接觸、速度發(fā)生突然改變力學(xué)現(xiàn)象稱為碰撞。物體發(fā)生碰撞時(shí)，會(huì)在非常短促時(shí)間內(nèi)，運(yùn)動(dòng)速度突然發(fā)生有限改變。碰撞是工程中常見而非常復(fù)雜動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，本章在一定簡(jiǎn)化條件下，討論兩個(gè)物體間碰撞過(guò)程中一些基本規(guī)律。7878/170

§17-1碰撞分類

碰撞問(wèn)題簡(jiǎn)化碰撞：運(yùn)動(dòng)或靜止物體在突然受到?jīng)_擊（包含突然受到約束或解除約束）時(shí)，其運(yùn)動(dòng)速度發(fā)生急劇改變，這種現(xiàn)象稱為碰撞。1.碰撞分類兩物體碰撞時(shí)，按其相處位置劃分，可分為對(duì)心碰撞、偏心碰撞與正碰撞、斜碰撞。碰撞時(shí)兩物體間相互作用力，稱為碰撞力（或稱瞬間力）。若碰撞力作用線經(jīng)過(guò)兩物體質(zhì)心，稱為對(duì)心碰撞，不然稱為偏心碰撞。7979/1708080/170兩物體碰撞時(shí)，按其接觸處有沒(méi)有摩擦，可分為光滑碰撞與非光滑碰撞。兩物體相碰撞時(shí)，按物體碰撞后恢復(fù)程度（或能量有沒(méi)有損失），可分為完全彈性碰撞、彈性碰撞與塑性碰撞。若碰撞時(shí)各自質(zhì)心速度均沿著公法線，稱為正碰撞，不然稱為斜碰撞。按此分類還有對(duì)心正碰撞，偏心正碰撞。上圖中左圖所表示即為對(duì)心正碰撞。8181/170碰撞現(xiàn)象特點(diǎn)是時(shí)間極短，普通為10-3~10-4s，速度改變?yōu)橛邢拗?，加速度改變巨大，碰撞力極大。

2.對(duì)碰撞問(wèn)題兩點(diǎn)簡(jiǎn)化設(shè)榔頭重10N，以v1=6m/s速度撞擊鐵塊，碰撞時(shí)間?t=1/1000s,碰撞后榔頭以v2=1.5m/s速度回跳。求榔頭打擊鐵塊力平均值。以榔頭為研究對(duì)象，依據(jù)動(dòng)量定理投影形式為碰撞力改變?nèi)鐖D，平均打擊力為是榔頭重765倍。8282/170

可見，即使是很小物體，當(dāng)運(yùn)動(dòng)速度很高時(shí)，瞬時(shí)力能夠到達(dá)驚人程度。相關(guān)資料介紹，一只重17.8N飛鳥與飛機(jī)相撞，假如飛機(jī)速度是800km/h，（對(duì)當(dāng)代飛機(jī)來(lái)說(shuō)，這只是中等速度），碰撞力可高達(dá)3.56

105N，即為鳥重2萬(wàn)倍！這是航空上所謂“鳥禍”原因之一。害一面：“鳥禍”、機(jī)械、儀器及其它物品因?yàn)榕鲎矒p壞等。利一面：利用碰撞進(jìn)行工作，如鍛打金屬，用錘打樁等。研究碰撞現(xiàn)象，就是為了掌握其規(guī)律，以利用其有利一面，而防止其危害。8383/1702）因?yàn)榕鲎策^(guò)程非常短促，碰撞過(guò)程中，速度改變?yōu)橛邢拗?，物體在碰撞開始和碰撞結(jié)束位置改變很小，所以在碰撞過(guò)程中，物體位移忽略不計(jì)。依據(jù)碰撞上述特點(diǎn)，在研究普通碰撞問(wèn)題時(shí)，通常做下面兩點(diǎn)簡(jiǎn)化：1）在碰撞過(guò)程中，因?yàn)榕鲎擦Ψ浅４?，重力、彈性力等普通力遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能夠與之相比，所以這些普通力沖量忽略不計(jì)；8484/170

§17-2用于碰撞過(guò)程基本定理因?yàn)榕鲎擦Ω淖儚?fù)雜，不宜直接用力或者運(yùn)動(dòng)微分方程來(lái)描述碰撞過(guò)程；又因?yàn)橛昧﹄y以計(jì)算碰撞過(guò)程機(jī)械能損失，所以也不宜用動(dòng)能定理來(lái)描述碰撞過(guò)程中能量改變。而對(duì)因?yàn)榕鲎矝_量作用使物體運(yùn)動(dòng)速度發(fā)生改變能夠用動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理積分形式來(lái)研究。8585/1701、用于碰撞過(guò)程動(dòng)量定理——沖量定理。設(shè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m，碰撞開始時(shí)速度v，結(jié)束瞬時(shí)速度v’,

則質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理為其中I為碰撞沖量，普通力沖量忽略不計(jì)。設(shè)Ii(e)為外碰撞沖量、Ii(i)為內(nèi)碰撞沖量。對(duì)質(zhì)點(diǎn)系中第i個(gè)

受碰撞質(zhì)點(diǎn)，有相加后，并考慮

Ii(i)=0，得8686/170上式即為用于碰撞過(guò)程質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理，它不計(jì)普通力沖量，也稱沖量定理：質(zhì)點(diǎn)系在碰撞開始和結(jié)束時(shí)動(dòng)量改變，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系外碰撞沖量主矢。質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量也可用總質(zhì)量與質(zhì)心速度乘積計(jì)算。則2、用于碰撞過(guò)程動(dòng)量矩定理——沖量矩定理。由用于碰撞過(guò)程動(dòng)量定理對(duì)上式兩邊矢積矢徑ri得上式也稱為碰撞時(shí)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理8787/170將n個(gè)方程求和即上式中ri

Ii(e)為沖量矩，其中不計(jì)普通力沖量矩。該式是用于碰撞過(guò)程動(dòng)量矩定理，又稱沖量矩定理：質(zhì)點(diǎn)系在碰撞開始和結(jié)束時(shí)對(duì)點(diǎn)O動(dòng)量矩改變，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系外碰撞沖量對(duì)同一點(diǎn)主矩。8888/170

3、碰撞時(shí)剛體平面運(yùn)動(dòng)方程質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心動(dòng)量矩定理與對(duì)于固定點(diǎn)動(dòng)量矩定理含有相同形式，如此推證相同，能夠得到用于碰撞過(guò)程質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心動(dòng)量矩定理對(duì)平行于其對(duì)稱面平面運(yùn)動(dòng)剛體，有上式成為再結(jié)合以上稱為剛體平面運(yùn)動(dòng)碰撞方程。8989/170

§17-3質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定面碰撞

恢復(fù)系數(shù)設(shè)一小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）沿鉛直方向落到水平固定平面上，如圖所表示。9090/170

第一階段：開始接觸至變形到達(dá)最大。該階段中，小球動(dòng)能減小,變形增大。設(shè)碰撞沖量為I1，則應(yīng)用沖量定理在y軸投影式第二階段：由彈性變形開始恢復(fù)到脫離接觸。該階段中，小球動(dòng)能增大，變形（彈性）逐步恢復(fù)。設(shè)碰撞沖量為I2，則：該碰撞過(guò)程分為兩個(gè)階段：9191/170因?yàn)榕鲎策^(guò)程有能量損失（發(fā)光、發(fā)燒、發(fā)聲等），普通v’小于v，但牛頓發(fā)覺(jué)，其比值對(duì)于材料確定物體幾乎不變。即常數(shù)k稱為恢復(fù)因數(shù)，且恒取正值。9292/170

恢復(fù)因數(shù)k普通需試驗(yàn)確定，用待測(cè)定恢復(fù)因數(shù)材料做成小球和質(zhì)量很大平板，如圖所表示，測(cè)定小球下落高度h1和小球彈起高度h2，則則恢復(fù)因數(shù)為恢復(fù)因數(shù)表示物體在碰撞后速度恢復(fù)程度，也表示物體變形恢復(fù)程度，而且反應(yīng)出碰撞過(guò)程中機(jī)械能損失程度。9393/170k=0為極限情況，物體在碰撞結(jié)束后變形絲毫沒(méi)有恢復(fù)，稱為非彈性碰撞或塑性碰撞。普通0<k<1。物體在彈性碰撞結(jié)束時(shí)，變形不能夠完全恢復(fù)，動(dòng)能有損失。k=1為理想情況，物體在碰撞結(jié)束后變形完全恢復(fù)，動(dòng)能沒(méi)有損失，稱為完全彈性碰撞；如圖斜碰撞，若不計(jì)摩擦，兩物體只在法線方向發(fā)生碰撞，定義恢復(fù)原因?yàn)?494/170

又或?qū)?shí)際材料有k<1，由上式知，當(dāng)碰撞物體表面光滑，有b>q，在不考慮摩擦普通情況下，如碰撞前后兩個(gè)物體都在運(yùn)動(dòng)，此時(shí)恢復(fù)原因定義為式中和分別為碰撞前后兩物體接觸點(diǎn)沿接觸面法線方向相對(duì)速度。9595/170

§17-4碰撞問(wèn)題舉例1、正碰撞結(jié)束時(shí)兩質(zhì)心速度比如：兩物體質(zhì)量分別為m1和m2，恢復(fù)原因?yàn)閗，產(chǎn)生對(duì)心正碰撞，已知碰撞前分析碰撞結(jié)束時(shí)兩質(zhì)心速度和動(dòng)能損失。分析：以兩物體組成系統(tǒng)研究對(duì)象。由動(dòng)量定理，得：碰撞前v1>v2碰撞后v'2>v'19696/170

列出補(bǔ)充方程：聯(lián)立解得對(duì)于完全彈性碰撞（k=1）：(碰撞后兩物體交換速度)9797/170

對(duì)于塑性碰撞（k=0）：對(duì)于普通情況（0<k<1）：2、正碰撞過(guò)程中動(dòng)能損失則動(dòng)能損失為9898/170

由正碰撞結(jié)束時(shí)兩質(zhì)心速度公式知代入上式中，得9999/170

系統(tǒng)動(dòng)能沒(méi)有損失,能夠利用機(jī)械能守恒定律求碰撞后速度。(1)對(duì)于完全彈性碰撞（k=1）：(2)對(duì)于塑性碰撞（k=0）：若v2=0，則100100/170

[例1]打樁機(jī)。錘：m1，下落高度h，樁：m2，下沉

。二者塑性碰撞。求碰撞后樁速度和泥土對(duì)樁平均阻力。

解：碰撞開始時(shí)，

錘速，樁速塑性碰撞后，

依據(jù)動(dòng)能定理,計(jì)算下沉

過(guò)程中,泥土對(duì)樁平均阻力F。101101/170因?yàn)橛叶饲皟身?xiàng)遠(yuǎn)比第三項(xiàng)小,往往能夠略去,于是上式可寫為：102102/170如圖所表示物塊A自高度h=4.9m處自由落下，與安裝在彈簧上物塊B相碰。已知A質(zhì)量m1=1kg，B質(zhì)量m1=0.5kg，彈簧剛度k=10N·mm－1。設(shè)碰撞結(jié)束后，兩物塊一起運(yùn)動(dòng)。求碰撞結(jié)束時(shí)速度v'和彈簧最大壓縮力。AhsmaxsstB[例2]103103/170104104/170物塊A自高處落下與B塊接觸時(shí)刻，碰撞開始。今后A速度降低，B速度增大。當(dāng)二者速度相等時(shí)，碰撞結(jié)束。然后A，B一起壓縮彈簧作減速運(yùn)動(dòng)，直到速度等于零時(shí)，彈簧壓縮量達(dá)最大值。今后物塊將向上運(yùn)動(dòng)，并將連續(xù)地往復(fù)運(yùn)動(dòng)。碰撞過(guò)程中，忽略重力，沿y方向系統(tǒng)動(dòng)量守恒。碰撞后，二者一起運(yùn)動(dòng)速度解：

碰撞開始時(shí)AhsmaxsstB105105/170上式可整理成對(duì)smax標(biāo)準(zhǔn)二次方程

注意到，解得最大壓縮量另一解為-78.55mm，彈簧為拉伸狀態(tài)，不合題意。碰撞結(jié)束后，設(shè)最大壓縮量為smax，由動(dòng)能定理得AhsmaxsstB106106/170

[例3]汽錘鍛壓金屬。汽錘m1=1000kg，錘件與砧塊總質(zhì)量m2=15000kg，恢復(fù)系數(shù)k=0.6，求汽錘效率。若將鍛件加熱，可使k減小。當(dāng)?shù)竭_(dá)一定溫度時(shí)，可使錘不回跳，此時(shí)可近似認(rèn)為k=0，于是汽錘效率解：汽錘效率定義為107107/170一勻質(zhì)正方形貨物邊長(zhǎng)是

b，質(zhì)量是

m，由傳輸帶沿傾斜角

q=15o

軌道送下，速度是

v0

(圖

a)。當(dāng)?shù)诌_(dá)底端時(shí)棱

D

碰上檔架。假定碰撞是完全塑性，而且

D

處總碰撞沖量在垂直于棱并經(jīng)過(guò)貨物質(zhì)心平面內(nèi)。求使貨物能繞棱

D

翻轉(zhuǎn)到水平傳輸帶上所需最小速度

v01

。(a)v0qω1D[例4]108108/170109109/170解:碰撞使貨物內(nèi)各點(diǎn)速度進(jìn)行突然重新分布：由碰撞前平動(dòng)變成碰撞后定軸轉(zhuǎn)動(dòng)(因?yàn)槔釪被突然固定)。貨物只在棱D處受到外碰撞，因而便于對(duì)棱D沖量矩方程來(lái)求解。在碰撞開始時(shí)，貨物對(duì)棱D動(dòng)量矩等于mv0b/2(以逆鐘向?yàn)檎?。在碰撞結(jié)束時(shí)，貨物繞棱D轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于故這時(shí)貨物對(duì)棱D動(dòng)量矩等于ω1DIDmv0v0qmv0110110/170外碰撞沖量ID對(duì)棱D無(wú)矩，故貨物在碰撞過(guò)程中動(dòng)量矩守恒，即故求得碰撞結(jié)束時(shí)貨物繞棱D角速度(b)貨物對(duì)棱D動(dòng)量矩等于ω1DIDmv0111111/170要使貨物翻轉(zhuǎn)到水平傳輸帶上條件是：當(dāng)重心G上升到最高位置時(shí)(圖c

)，貨物還有一點(diǎn)剩下動(dòng)能，即T2>0或

2>0。在ω2→0臨界情形時(shí),v0趨近于最小速度v01,代入(3)得由此求得所需最小速度依據(jù)積分形式動(dòng)能定理T2－T1＝∑W,有Dω2G(c)112112/170A，B兩球大小相同，質(zhì)量相等。球A以速度v1=2m·s－1撞擊靜止球B。碰撞前球A球心速度與球B相切，如圖所表示。設(shè)碰撞是光滑?；謴?fù)系數(shù)k=0.6，求碰撞后兩球速度。BAO1OTv1(a)ttnnoαβo1ABABTm1m1m2m2v1v2=0u1u2(b)[例5]113113/170114114/170考查球A，因碰撞力沿法線n-n方向，其沿切線t-t動(dòng)量不變，即由直角三角形OO1T可求得，碰撞前球B速度為零，。碰撞后球B速度u2沿n-n線，球A碰撞后速度u1與公切線t-t成β角。依據(jù)動(dòng)量守恒定理，沿n-n方向動(dòng)量守恒，(a)(b)

解：BAO1OTv1(a)ttnnoqβo1ABABTm1m1m2m2v1v2=0u1u2(b)115115/170由（a），（b）和（c）三式，代入。又因m1=m2，得又知恢復(fù)系數(shù)(c)求得BAO1OTv1(a)ttnnoqβo1ABABTm1m1m2m2v1v2=0u1u2(b)116116/170滾珠軸承中鋼球檢驗(yàn)裝置簡(jiǎn)圖如圖所表示。鋼球從H=1m高度靜止落下，撞在一斜置重鋼板光滑平面上（傾角θ=10o）。如要求恢復(fù)系數(shù)小于0.7鋼球，碰撞后回跳時(shí)不能超出固定障礙A，求擋板上端A點(diǎn)位置xA，yA應(yīng)為多少？xtyAntHnxAθγβjyAv1u1[例6]117117/170118118/170恢復(fù)系數(shù)為，此處，Oy軸與切線t-t之間夾角j為設(shè)鋼球質(zhì)量為m，重鋼板質(zhì)量為M，。碰撞前后鋼板不動(dòng)，即v2=u2=0。解:因碰撞力沿法線n-n方向，故切線t-t方向動(dòng)量不變，得解聯(lián)立方程，求得：xtyAntHnxAθγβjyAv1u1119119/170由此可知鋼球碰撞后速度u1大小和方向決定于k。令k=0.7，代入數(shù)據(jù)，求得依據(jù)物理學(xué)拋射體軌跡公式得知xA等于射程之半，yA等于最高點(diǎn)高度，且已知，仰角，則可求得：xtyAntHnxAθγβjyAv1u1120120/170兩個(gè)質(zhì)量相等球1和2，碰撞前速度分別為v1=2m·s－1和v2=3m·s－1，方向如圖所表示。設(shè)恢復(fù)系數(shù)為k=0.60，求碰撞后每球速度和碰撞時(shí)所損失動(dòng)能占原有動(dòng)能百分比。βmm21ttnnv2v1u2u1[例7]121121/170122122/170設(shè)兩球質(zhì)量均為m，假設(shè)兩球碰撞后速度為u1和u2。因每個(gè)球碰撞前后在切線方向動(dòng)量不變，故u1必沿法線方向。設(shè)u2與法線夾角為β，則（a）因整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒，故沿法線n-n方向動(dòng)量守恒投影式為（b）解:1.求碰撞后每球速度。βmm21ttnnv2v1u2u1123123/170式（d）+（e）得由式（a），（b）和（c），可求得三個(gè)未知量u1，u2和β。由式（c）得由式（b）得（e）（d）另外由恢復(fù)系數(shù)定義，得（c）βmm21ttnnv2v1u2u1124124/170代入數(shù)據(jù)求得代入式（a）由式（a）和（e），消去u2，得βmm21ttnnv2v1u2u1125125/170動(dòng)能損失2.碰撞時(shí)所損失動(dòng)能占原有動(dòng)能百分比。碰撞前動(dòng)能損失動(dòng)能占原有動(dòng)能百分比為βmm21ttnnv2v1u2u1126126/170勻質(zhì)薄球殼質(zhì)量是

m

，半徑是

r，以質(zhì)心速度vC

斜向撞在水平面上，

vC

對(duì)鉛直線成偏角q。同時(shí)球殼含有繞水平質(zhì)心軸(垂直于

vC

)角速度w0

。假定碰撞接觸點(diǎn)速度能按反向全部恢復(fù)(k

=

k′=

1)，求碰撞后球殼運(yùn)動(dòng)。w0CyvCIFINxAuCqβ[例8]127127/170128128/170解：球殼作平面運(yùn)動(dòng)，作用于它外碰撞沖量有瞬時(shí)法向反力沖量IN

和瞬時(shí)摩擦力沖量IF

。設(shè)碰撞結(jié)束時(shí)質(zhì)心速度是uC，繞質(zhì)心軸角速度是ω

(要求以逆鐘向?yàn)檎?。寫出質(zhì)心沖量方程和對(duì)質(zhì)心沖量矩方程，并注意球殼對(duì)質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JC

=2Mr2／3，有w0CyvCIFINxAuCqβ129129/170由恢復(fù)系數(shù)定義可知，在完全彈性碰撞結(jié)束后，接觸點(diǎn)切向和法向相對(duì)速度都按相反方向全部恢復(fù)。以vA和uA分別表示碰撞始末接觸點(diǎn)A速度，則有由運(yùn)動(dòng)學(xué)知從而可得w0CyvCIFINxAuCqβ130130/170于是，上面兩個(gè)等式(

)就可寫成聯(lián)立求解上列方程(1)

(5)，就可得到需求全部答案。w0CyvCIFINxAuCqβ131131/170(a)由式(a)能夠求出球殼回跳時(shí)角度β，有這個(gè)結(jié)果表明β

有可能取任意數(shù)值，只要vC，q和w配適當(dāng)當(dāng)。w0CyvCIFINxAuCqβ132132/170均質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)l，質(zhì)量為m，以速度v平行于桿本身而斜撞于光滑地面，桿與地面成角θ，如圖所表示。若為完全彈性碰撞，試求撞后桿角速度。xyvACθ[例9]133133/170134134/170地面光滑，桿只受有y方向碰撞沖量I，桿沿x方向動(dòng)量守恒。設(shè)桿撞后質(zhì)心C速度為v'C，角速度為w，如圖所表示。則x方向有沿y軸投影為由平面運(yùn)動(dòng)基點(diǎn)法得知點(diǎn)A速度為(a)解：xywvv'Cyv'Cv'Cxv'Ayv'Av'AxACIθ135135/170撞擊點(diǎn)A在碰撞前法向速度為，由恢復(fù)系數(shù)對(duì)質(zhì)心C沖量矩定理為沖量定理沿y軸投影式為代入式（a），得(b)(c)(d)xywvv'Cyv'Cv'Cxv'Ayv'Av'AxACIθ136136/170由(c)、（d）二式消去I，得解出代入式（b），得即xywvv'Cyv'Cv'Cxv'Ayv'Av'AxACIθ137137/170均質(zhì)桿AB長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m，如圖所表示。設(shè)桿在鉛直面內(nèi)保持水平下降，桿與固定支點(diǎn)E碰撞，前其質(zhì)心速度為v0，恢復(fù)系數(shù)為k。求碰撞后桿質(zhì)心速度uy和桿角速度Ω。已知E點(diǎn)到桿左端距離為。Ωyxl1lECuyv0E'I[例10]138138/170不考慮碰撞時(shí)桿彈性振動(dòng)，可看成是剛體碰撞突加約束問(wèn)題。E為固定障礙，碰撞前桿作平動(dòng)，碰撞后桿作平面運(yùn)動(dòng)。作Exy坐標(biāo)軸，Ey向下為正。圖上所表示方向均假設(shè)為正。應(yīng)用投影式，得（a）（b）解：上面三個(gè)未知量uy，Ω，S，故還需建立一個(gè)方程才能求解。Ωyxl1lECuyv0E'I139139/170注意，碰撞前E'速度為v0（方向向下），碰撞后E'點(diǎn)速度是質(zhì)心速度uy（方向向下）與桿繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)速度（方向向上）代數(shù)和，故得（c）上面三個(gè)未知量uy，Ω，S，故還需建立一個(gè)方程才能求解。Ωyxl1lECuyv0E'I140140/170由式（a），（b）和（c），消去I，求得代入得Ωyxl1lECuyv0E'I141141/170若為彈性碰撞，k=1，此時(shí)求得若為塑性碰撞，k=0，則負(fù)號(hào)表示碰撞后質(zhì)心C速度向上，與碰撞前速度v0方向相反。Ωyxl1lECuyv0E'I142142/170k=1k=0143143/170一均質(zhì)圓柱體，質(zhì)量為m，半徑為r，其質(zhì)心以勻速vC沿水平面作無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，突然與一高度為h（h<r)平臺(tái)障礙碰撞，如圖所表示。設(shè)碰撞是塑性。求圓柱體碰撞后質(zhì)心速度、圓柱體角速度和碰撞沖量。tnOhrCO'FNFmgvCω(a)tnCOO'ItInuCΩΩ(b)[例11]144144/170145145/170設(shè)圓柱體與平臺(tái)凸緣碰撞沖量為I，因碰撞接觸面并非光滑，故I有公法線和公切線分量In和It，如圖所表示。這是一個(gè)突加約束問(wèn)題。碰撞后瞬時(shí)，柱體上O′軸線（垂直于圖面）與平臺(tái)凸緣上O軸線不分離，柱體突然變成繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)其角速度為Ω（順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)）。這時(shí)，質(zhì)心速度為uC，方向如圖所表示。解：tnOhrCO'FNFmgvCω(a)tnCOO'ItInuCΩΩ(b)146146/170碰撞沖量I經(jīng)過(guò)O軸，所以沖量矩為零，故碰撞前后柱體對(duì)O軸動(dòng)量矩守恒。碰撞前柱體對(duì)O軸動(dòng)量矩為（a）碰撞后柱體對(duì)O軸動(dòng)量矩為JO是柱體對(duì)O軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，由動(dòng)量矩守恒，得tnOhrCO'FNFmgvCω(a)tnCOO'ItInuCΩΩ(b)147147/170因，代入后求得因，故（b）質(zhì)心速度（c）tnOhrCO'FNFmgvCω(a)tnCOO'ItInuCΩΩ(b)148148/170為了求碰撞沖量，寫出碰撞過(guò)程中動(dòng)量方程投影式：（d）（e）這里下標(biāo)n和t分別表示速度和碰撞沖量在公法線n-n和公切線t-t上投影，其正方向如圖所表示。顯然tnOhrCO'FNFmgvCω(a)tnCOO'ItInuCΩΩ(b)149149/170假如在碰撞過(guò)程中用相對(duì)質(zhì)心動(dòng)量矩定理是否能夠求解這個(gè)問(wèn)題？代入式（d）和（e）得：tnOhrCO'FNFmgvCω(a)tnCOO'ItInuCΩΩ(b)150150/170

兩個(gè)質(zhì)量和直徑都相同鋼球A和B，由不計(jì)質(zhì)量剛性桿相連。自高