七級數(shù)學思維探究（5）整式的加減（含答案）

5．整式的加減解讀課標代數(shù)式是用加、減、乘、除等運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子，是后續(xù)學習中進行運算、解決問題的基礎．在代數(shù)式中，我們把那些含相同的字母，并且相同字母的次數(shù)也分別相同的單項式看作一類——稱為同類項，一個多項式中的同類項可以合聚在一起——稱為合并同類項，整式的加減就是合并同類項．代數(shù)式的化簡求值是代數(shù)式研究的一個重要課題，解這類問題的基本方法有：將字母的值代入或字母間的關系整體代人，而關鍵是對代數(shù)式進行恰當變形，其中去括號、添括號能改變代數(shù)式的結構，是變形求解的常用工具．問題解決例1甲、乙、丙三家超市為了促銷一種定價為元的商品，甲超市連續(xù)兩次降價；乙超市一次性降價；丙超市第一次降價，第二次降價，此時顧客要購買這種商品，最劃算的超市是____．試一試用的式子分別表示三家超市降價后的價格．例2下列四個數(shù)中可以寫成個連續(xù)自然數(shù)之和的是（）A．B．C．D．試一試用字母表示數(shù)，從揭示個連續(xù)自然數(shù)之和的規(guī)律人手．例3已知關于的二次多項式，當時的值為，求當時該多項式的值．試一試設法求出、的值，解題的突破口是根據多項式降冪排列、多項式次數(shù)等概念隱含的關于、的等式．例4有這樣的兩位數(shù)，交換該數(shù)數(shù)碼所得到的兩位數(shù)與原數(shù)的和是一個完全平方數(shù)．例如，就是這樣的兩位數(shù)，因為，請你找出所有這樣的兩位數(shù)．試一試設原數(shù)為，發(fā)現(xiàn)的特點是解本例的出發(fā)點．例5如圖，是用棋子擺成盼圖案，擺第個圖案需要枚棋子，擺第個圖案需要枚棋子，擺第個圖案需要枚棋子，按照這樣的方式擺下去，則擺第個圖案需要______枚棋子，擺第個圖案需要____枚棋子．解法一列表填數(shù)，觀察數(shù)值，體會從特殊到一般的數(shù)學思想．圖形序號棋子總數(shù)；；猜想，再將代入該代數(shù)式得．解法二數(shù)形結合，分解圖形，感悟從部分研究整體的思想．問題中“按照這樣的方式擺下去”，何種方式并沒有明確的界定，我們可以有不同的理解，如從平行四邊形角度看，把圖形分成三個平行四邊形．如圖，圖的序列號：，，，，，…圖中的點的數(shù)目：，，，，，；；；；；猜想整體思考整體思考是將問題看成一個完整的整體，從大處著眼，由整體入手，突出對問題的整體結構的分析與改造，從整體上把握問題的特征和解題方向，例6（1）已知當時，的值為，則當時，的值為___（2）把四張形狀大小完全相同的小長方形卡片(如圖1)不重疊地放在一個底面為長方形（長為，寬為）的盒子底部（如圖2），盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示，則圖②中兩塊陰影部分的周長和是（）A．B．C．D．（3）記，令，稱為，，，這列數(shù)的“理想數(shù)”，已知，，，的“理想數(shù)”為，求，，，…，的理想數(shù)試一試整體思考具體體現(xiàn)為：整體觀察、整體變形、整體代入．對子（1），能求出、的值嗎？對于（2），為表示圖②中相關量，還需知道什么？對于（3），從理解“理想數(shù)”的意義人手，導出與，，，的關系，要求的是的值．數(shù)學沖浪知識技能廣場1．（1）若與的和是單項式，則______．（2）有一組單項式：，，，，…請觀察它們的構成規(guī)律，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出個單項式為_______．2．（1）如圖，每個正方形點陣均被一直線分成兩個三角形點陣，根據圖中提供的信息，用含的等式表示第個正方形點陣中的規(guī)律是_______．（2）如圖是由形狀相同的正六邊形和正三角形鑲嵌而成的一組有規(guī)律的圖案，則第個圖案中陰影小三角形的個數(shù)是______（用含的代數(shù)式表示）．3．數(shù)學翻譯牛頓是舉世聞名的偉大數(shù)學家、物理學家，他創(chuàng)立了微積分（另一個創(chuàng)立者是萊布尼茨）、經典力學，在代數(shù)學、光學、天文學等方面也作出了重要貢獻．牛頓用數(shù)學的語言、方法描述和研究自然規(guī)律，他嘔心瀝血寫成的光輝著作《自然哲學的數(shù)學原理》，照亮了人類科學文明的大道．牛頓在他的《普遍的算術》一書中寫道：“要解答一個含有數(shù)量間的抽象關系的問題，只要把題目由日常的語言譯成代數(shù)的語言就行了．”下表是由牛頓給出，的個例子改寫、簡化而成的，請將表的空白補上（不必求出問題的最后答案）．日常語言代數(shù)語言一個商人有一筆錢第一年他花去了鎊補進去余額的第二年他又花去了鎊又補進去余額的結果他的錢數(shù)正好是原來的錢數(shù)4．（1）已知，則的值是______．（2）若、互為倒數(shù)，則的值為________．5．小王第一周每小時工資為元，工作小時．第二周每小時工資增加，工作總時間減少，則第二周工資總額與第一周工資總額相比（）A．增加B．減少C．減少D．不變6．已知有理數(shù)、、在數(shù)軸上的位置如圖所示，且，則代數(shù)式的值為（）A．B．C．D．7．如果，那么代數(shù)式的值為（）A．B．C．D．8．已知多項式的和等于，則這個多項式是（）A．B．C．D．9．已知多項式．（1）若多項式的值與字母的取值無關，求、的值_____；（2）在（l）的條件下，求多項式的值；（3）在（1）的條件下，求10．如圖所示，年數(shù)學家莫倫發(fā)現(xiàn)了世界上第一個完美長方形，它恰能被分割成個大小不同的正方形．如果圖中標注的①、②正方形邊長分別是，，那么你能計算出其他個正方形的邊長嗎？思維方法天地11．已知多項式是二次多項式，則=_______．12．已知，，當時，恒成立，則的值為______．13．（1）若，則的值等于_______．（2）已知，，，則的值為______．14．如圖是在正方形網格中按規(guī)律填成的陰影，根據此規(guī)律，則第個圖中陰影部分小正方形的個數(shù)是________．15．當時，代數(shù)式的值為，那么，代數(shù)式=（）A．B．C．D．16．關于的正整數(shù)的三次冪可“分裂”成若干個連續(xù)奇數(shù)的和，如，，，若分裂后，其中有一個奇數(shù)是，則的值是（）A．B．C．D．17．有甲、乙兩種糖果，原價分別為每千克元和元．根據柜臺組調查，將兩種糖果按甲種糖果千克與乙種糖果千克的比例混合，取得了較好的銷售效果．現(xiàn)在糖果價格有了調整：甲種糖果單價上漲，乙種糖果單價下跌，但按原比例混合的糖果單價恰好不變，那么等于（）A．B．C．D．18．若一個兩位數(shù)恰等于它的各位數(shù)字之和的倍，則這個兩位數(shù)稱為“巧數(shù)”，則不是“巧數(shù)”的兩位數(shù)的個數(shù)是（）A．B．C．D19．有一張紙，第次把它分割成片，第次把其中的片分割成片，以后每一次都把前面所得的其中一片分割成片，如此進行下去，試問：（1）經次分割后，共得到多少張紙片？（2）經次分割后，共得到多少張紙片？（3）能否經若干次分割后共得到張紙片？為什么？20．已知：是最小的正整數(shù)且、、滿足，試回答問題．（1）求，，的值；（2）、、所對應的點分別為、、，點為一動點，其對應的數(shù)為，點在到之間運動時（即時），請化簡式子：；（3）在（1）、（2）的條件下，點、、開始在數(shù)軸上運動，若點以每秒個單位長度的速度向左運動，同時，點和點分別以每秒個單位長度和個單位長度的速度向右運動，假設秒鐘過后，若點與點之間的距離表示為，點與點之間的距離表示為．請問：的值是否隨著時間的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．應用探究樂園21．一條公交線路上從起點到終點有個站，一輛公交車從起點站出發(fā)，前站上車人，前站下車人．問從前站上車而在終點站下車的乘客有多少人？22．在一次游戲中，魔術師請一個人隨意想一個三位數(shù)（、、依次是這個數(shù)的百位、十位、個位數(shù)字），并請這個人算出個數(shù)，、、與的和，把告訴魔術師，于是魔術師就可以說出這個人所想的數(shù)．現(xiàn)在設，請你當魔術師，求出數(shù)來．自然數(shù)的排序把自然數(shù)，，，…，按一定的方式排列順序，可得到形式特異、內涵豐富的排序問題，融知識性與趣味性于一體．解這類問題的關鍵是：通過觀察能發(fā)現(xiàn)排序后的數(shù)陣中的規(guī)律，如行或列中數(shù)的規(guī)律、特殊位置數(shù)的規(guī)律等．例1將正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列下去，若用有序數(shù)對表示第排、第個數(shù)，比如表示的數(shù)是，則表示的數(shù)是______．第排第排第排第排分析與解弄清題意是前提，找準規(guī)律是關鍵，正確表達尤重要，對于本例，最明顯也對解題最有指導價值的規(guī)律是：第排有個數(shù)，要求只需知道它是這個數(shù)中的第個數(shù)即可．前6排共有個數(shù)，即第排最后一個數(shù)是，故表示的數(shù)是．例2正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列，請寫出第二十行第二十一列的數(shù)字：第一列第二列第三列第四列第五列第一行第二行第三行第四行第五行試一試這個自然數(shù)表的特點可從以下方面觀察：第行的第一個數(shù)，第一行第個數(shù)，每行或每列數(shù)的增減性．例3將正偶數(shù)按下表排列列．第一列第二列第三列第四列第五列第一行第二行第三行根據上面排規(guī)律，則應在（）A．第行，第列B．第行，第列C．第行，第列D．第行，第列試一試注意到每一行排個數(shù)，奇數(shù)行空第一列，偶數(shù)行空第五列，只要計算出是第幾個數(shù)即可．例4將自然數(shù)按如圖所示的順序排列，在這樣的排列下，數(shù)字排在第二行第一列，排在第三行第三列．問：排在第幾行第幾列？試一試從斜行方向上看，奇數(shù)斜行中的數(shù)由下向上遞增，偶數(shù)斜行中的數(shù)由上向下遞增．例5將正整數(shù)從開始按如圖所示的規(guī)律排成一個數(shù)陣，其中，在第一個拐彎處，在第二個拐彎處，在第三個拐彎處，在第四個拐彎處……問：在第個拐彎處的數(shù)是多少．試一試用表示第次拐彎時所對應的數(shù)，從尋求與之間的關系入手．練一練1．已知一列數(shù)：，，，，，，，…將這列數(shù)排成下列形式：第1行第2行第3行第4行第5行按照上述規(guī)律排下去，那么第行從左邊數(shù)第個數(shù)等于______．2．將正奇數(shù)按下表排列：第列第列第列第列第列第行第行第行第行根據表中的排列規(guī)律，數(shù)應排在第______行，第_____列3．自然數(shù)，，，，按下表規(guī)律排列：橫排為行，記數(shù)據，，，的那一行為第一行，依次記下面的各行分別是行，第行，．試問位于該表的第_____行，并對應于“啟智杯競賽有趣”中的漢字：_______．啟智杯竟賽有趣4．小王在做數(shù)學題時，發(fā)現(xiàn)下面有趣的結果：由上，我們可知第行的最后一個數(shù)是______．5．奇數(shù)寶塔東方傳統(tǒng)建筑中的塔，千姿百態(tài)，造型各異，數(shù)學中的寶塔更是千變萬化、不計其數(shù)．從開始的奇數(shù)，按照規(guī)律排成下面形式的寶塔：第幾行行中各數(shù)的和觀察行中各數(shù)的規(guī)律：前行的各數(shù)之和；前行的各數(shù)之和；前行的各數(shù)之和；前行的各數(shù)之和；因此，可推知前行的各數(shù)之和________；根據以上規(guī)律，猜想：=________．6．如圖，數(shù)表是由從開始的連續(xù)自然數(shù)組成，觀察規(guī)律并完成各題的解答．（1）表中第行的最后一個數(shù)是____，它是自然數(shù)______的平方，第行共有____個數(shù)．（2）用含的代數(shù)式表示：第行的第一個數(shù)是______，最后一個數(shù)是____，第行共有______個數(shù)．（3）求第行各數(shù)之和．7．自然數(shù)按右表的規(guī)律排列：（1）求上起第十行、左起第十三列的數(shù)；（2）數(shù)應在上起第幾行、左起第幾列？5．整式的加減問題解決例1乙例2A設自然數(shù)從開始，這個連續(xù)自然數(shù)的和為例3原多項式整理得由題意得從而，例4因而是的倍數(shù)，即，且是完全平方數(shù)，由于，，得，，從而．推得這樣的兩位數(shù)有個：，，，，，，，．例6（1）由條件得，原式；（2）設小長方形的長為，寬為∴上面的陰影周長為：，下面的陰影周長為：∴總周長為：又∵∴故選B（3）由定義得即又故，，，……，的“理想數(shù)”為數(shù)學沖浪1．（1）（2）2．（1）（2）3．（1）（2）4．（1）；（2）5．B6．A7．C8．A9．（1），；（2）原式（3）原式10．③的邊長為①、②邊長之和：；⑨的邊長為③、②邊長之和：；⑧的邊長為⑨、②邊長之和：；⑦的邊長為⑧的邊長加上②與①邊長之差：；⑥的邊長為⑦的邊長減去①邊長：；④的邊長為⑥的邊長減去①與③邊長這客：；⑤的邊長為④、⑥邊長之和：；⑩的邊長為⑤、④邊長之和：11．由條件可得且12．代入化簡得13．（1）（2）14．15．C16．C分裂后的第一個數(shù)是，共有個奇數(shù)，由，得17．D18．C（個）19．（1）共得到張紙片；（2）經次分割，共得到張紙片．（3）若能分得張紙片，則，，無整數(shù)解，所以不可能經若干次分割后得到張紙片．20．（1），，（2）原式（3），，，不隨時間的改變而改變21．設前站上車的乘客數(shù)量依次為，，，，，，人，從第站到第站下車的乘客數(shù)量依次為，，，，，，人，則又，，即，22．將也加到和上，由于、、在每一位上都恰好出現(xiàn)兩次，所以①從而，于是因為，，，．其中只有滿足要求，即能使①成立，故．自然數(shù)的排序例2第行第一列數(shù)字為，第列數(shù)字為，故第二十行第二十一列的數(shù)字為例3C由，得，又例4第斜行中共有個連續(xù)的自然數(shù)，其中最大的數(shù)是，第斜行的最大數(shù)是，第斜行的最大數(shù)是，因此，位于第斜行．又第斜行中的數(shù)是由下向上遞增的，左邊第一個數(shù)是，則是位于第斜行的由下向上數(shù)第個位置的數(shù)，換數(shù)成原圖中行和列是第行、第列．例5，，，，，，，，……，又，，，……即后一拐彎數(shù)=前一拐彎數(shù)+后一拐彎次數(shù)．故故第個拐彎處的數(shù)是．練一練1．提示：前行的數(shù)的個數(shù)和為，故第行數(shù)為，，，，，，……2．，參見例3．；杯被除得商（為奇數(shù)），余數(shù)4．第行的最后一個數(shù)是5．；6．（1）；；（2）；；（3）設第行各數(shù)之和為，則7．提示：經觀察可得這個自然表的排列特點：①第一列的每一個數(shù)都是完全平方數(shù)，并且恰好等于它所在行數(shù)的平方，即第行的第一個數(shù)為；②第一