2024年初三上冊(cè)數(shù)學(xué)專項(xiàng)一元二次方程的應(yīng)用-鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）

2024年初三上冊(cè)數(shù)學(xué)專項(xiàng)一元二次方程的應(yīng)用—鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）【鞏固練習(xí)】一、選擇題1．在一幅長(zhǎng)80cm、寬50cm的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示．如果要使整個(gè)掛圖的面積是5400cm2，設(shè)金色紙邊的寬為xcm，那么x滿足的方程是()．A．x2+130x-1400＝0B．x2-65x-350＝0C．x2-130x-1400＝0D．x2+65x-350＝02．（2016?大連）某文具店三月份銷售鉛筆100支，四、五兩個(gè)月銷售量連續(xù)增長(zhǎng)．若月平均增長(zhǎng)率為x，則該文具店五月份銷售鉛筆的支數(shù)是（）A．100（1+x） B．100（1+x）2 C．100（1+x2） D．100（1+2x）3．某農(nóng)機(jī)廠四月份生產(chǎn)零件50萬(wàn)個(gè)，第二季度共生產(chǎn)零件182萬(wàn)個(gè)，設(shè)該廠五、六月份平均每月的增長(zhǎng)率為x，那么x滿足的方程是()．A．50(1+x)2＝182B．50+50(1+x)+50(1+x)2＝182C．50(1+2x)＝182D．50+50(1+x)+50(1+2x)＝1824．一個(gè)矩形的長(zhǎng)是寬的3倍，若寬增加3cm，它就變成正方形.則矩形面積是()．A．B．C．D．5．為執(zhí)行“兩免一補(bǔ)”政策，某地區(qū)2010年投入教育經(jīng)費(fèi)2500萬(wàn)元，預(yù)計(jì)2012年投入3600萬(wàn)元．設(shè)這兩年投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為x，則下列方程正確的是()．A．2500(1+x)2＝3600B．2500x2＝3600C．2500(1+x%)＝3600D．2500(1+x)+2500(1+x)2＝36006．（2014?咸寧）用一條長(zhǎng)為40cm的繩子圍成一個(gè)面積為acm2的長(zhǎng)方形，a的值不可能為（） A．20 B． 40 C． 100 D． 120二、填空題7．（2016?新疆）某加工廠九月份加工了10噸干果，十一月份加工了13噸干果．設(shè)該廠加工干果重量的月平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意可列方程為．8．若兩數(shù)的和是2，兩數(shù)的平方和是74，則這兩數(shù)為________．9．大連某小區(qū)準(zhǔn)備在每?jī)纱睒欠恐g開辟面積為300m2的一塊長(zhǎng)方形綠地，并且長(zhǎng)比寬多10m，設(shè)長(zhǎng)方形綠地的寬為xm，則可列方程為________．10．菱形ABCD的一條對(duì)角線長(zhǎng)6，AB的長(zhǎng)是方程x2-7x+12＝0的一個(gè)根，則菱形ABCD的周長(zhǎng)為________．11．（2015春?啟東市月考）有一人發(fā)了某內(nèi)容的短信，經(jīng)過兩輪發(fā)送后共有196人的手機(jī)上有了該短信，則每輪發(fā)送中平均一個(gè)人發(fā)送了人．12.小明家為響應(yīng)節(jié)能減排號(hào)召，計(jì)劃用兩年時(shí)間，將家庭每年人均碳排放量由目前的3125kg降至2000kg(全球人均目標(biāo)碳排放量)，則小明家未來兩年人均碳排放量平均每年需降低的百分率是________．三、解答題13．用長(zhǎng)12m的一根鐵絲圍成長(zhǎng)方形．(1)如果長(zhǎng)方形的面積為5m2，那么此時(shí)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是多少?寬是多少?如果面積是8m2呢?(2)能否圍成面積是10m2的長(zhǎng)方形?為什么?(3)能圍成的長(zhǎng)方形的最大面積是多少?14.從一塊長(zhǎng)80cm，寬60cm的長(zhǎng)方形鐵片中間截去一個(gè)小長(zhǎng)方形，使剩下的長(zhǎng)方形四周寬度一樣，并且小長(zhǎng)方形的面積是原來鐵片面積的一半，求這個(gè)寬度．15．（2015?珠海）白溪鎮(zhèn)2012年有綠地面積57.5公頃，該鎮(zhèn)近幾年不斷增加綠地面積，2014年達(dá)到82.8公頃．（1）求該鎮(zhèn)2012至2014年綠地面積的年平均增長(zhǎng)率；（2）若年增長(zhǎng)率保持不變，2015年該鎮(zhèn)綠地面積能否達(dá)到100公頃？【答案與解析】一、選擇題

1.【答案】D；【解析】可列方程(80+2x)(50+2x)＝5400，化簡(jiǎn)即可．2.【答案】B．3.【答案】B；【解析】四、五、六月份產(chǎn)量之和為182．4.【答案】C；【解析】設(shè)矩形的寬為xcm，則矩形的長(zhǎng)為3xcm，依題意得x+3＝3x．5.【答案】A；【解析】由平均增長(zhǎng)率公式為(a為原來數(shù)，x為平均增長(zhǎng)率，n為增長(zhǎng)次數(shù)，b為增長(zhǎng)后的量)可列方程.6.【答案】D；【解析】解：設(shè)圍成面積為acm2的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為xcm，則寬為（40÷2﹣x）cm，依題意，得x（40÷2﹣x）=a，整理，得x2﹣20x+a=0，∵△=400﹣4a≥0，解得a≤100，故選：D．二、填空題7.【答案】10（1+x）2=13．【解析】解：設(shè)該廠加工干果重量的月平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，可列方程為：10（1+x）2=13.8．【答案】-5和7；【解析】設(shè)兩數(shù)中一個(gè)數(shù)為x，則另一個(gè)數(shù)為2-x．根據(jù)題意得x2+(2-x)2＝74，解得x1＝-5，x2＝7．當(dāng)x＝-5時(shí)，另一個(gè)數(shù)為7；當(dāng)x＝7時(shí)，另一個(gè)數(shù)為-5，所以這兩個(gè)數(shù)為-5和7．9．【答案】x(x+10)＝300；【解析】因?yàn)閷挒閤m，則長(zhǎng)為(x+10)m，可列方程x(x+10)＝300．10.【答案】16；【解析】x2-7x+12＝0的兩根為x1＝3，x2＝4，AB不可能等于3，因?yàn)橛幸粭l對(duì)角線長(zhǎng)為6，所以AB＝4，菱形周長(zhǎng)為16．11．【答案】13；【解析】設(shè)每輪發(fā)送中平均一個(gè)人發(fā)送了x人，由題意得：1+x+x（1+x）=196，解得：x1=13，x2=﹣15（不合題意舍去）．即每輪發(fā)送中平均一個(gè)人發(fā)送了13人．12．【答案】20%；【解析】設(shè)降低的百分率為x，則3125(1-x)2＝2000，(舍去)，．三、解答題13.【答案與解析】(1)設(shè)長(zhǎng)方形的寬為xm，則長(zhǎng)為，根據(jù)題意，得x(6-x)＝5，即x2-6x+5＝0，x1＝1，x2＝5(舍去)．∴當(dāng)長(zhǎng)方形的寬為1m，長(zhǎng)為6m-1m＝5m時(shí)，面積為5m2．同樣，當(dāng)面積為8m2時(shí)，有x(6-x)＝8，即x2-6x+8＝0，x1＝2，x2＝4(舍去)．∴當(dāng)長(zhǎng)方形的寬為2m，長(zhǎng)為6-2＝4m時(shí)，面積為8m2．(2)當(dāng)面積為l0m2時(shí)，x(6-x)＝10，即x2-6x+10＝0，此時(shí)b2-4ac＝36-40＝-4＜0，故此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，所以這樣的長(zhǎng)方形不存在．(3)設(shè)圍成的長(zhǎng)方形的面積為k，則有x(6-x)＝k，即x2-6x+k＝0，要使該方程有解，必須有(-6)2-4k≥0，即k≤9．∴最大的k只能是9，即最大的面積為9m2，此時(shí)x＝3m，6-x＝3(m)．這時(shí)所圍成的圖形是正方形．14.【答案與解析】設(shè)這個(gè)寬度為xcm，根據(jù)題意有：(80-2x)(60-2x)＝80×60÷2．解這個(gè)方程得x1＝10，x2＝60．因?yàn)榻厝サ男￠L(zhǎng)方形的寬60-2x必須大于0，即60-2x＞0，亦即x＜30，所以x＝10．答：寬度為10cm時(shí)，截去的小長(zhǎng)方形面積是原來鐵片面積的一半．15.【答案與解析】解：（1）設(shè)綠地面積的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)意，得57.5（1+x）2=82.8解得：x1=0.2，x2=﹣2.2（不合題意，舍去）答：增長(zhǎng)率為20%；（2）由題意，得82.8（1+0.2）=99.36萬(wàn)元答：2015年該鎮(zhèn)綠地面積不能達(dá)到100公頃．一元二次方程的應(yīng)用--知識(shí)講解（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過分析具體問題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程模型并解決實(shí)際問題，總結(jié)運(yùn)用方程解決實(shí)際問題的一般步驟；

2.通過列方程解應(yīng)用題，進(jìn)一步提高邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟1.利用方程解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.

2.解決應(yīng)用題的一般步驟：

審(審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；

設(shè)(設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；

列(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰)；驗(yàn)（檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問題有意義）

答(寫出答案，切忌答非所問).

要點(diǎn)詮釋：列方程解實(shí)際問題的三個(gè)重要環(huán)節(jié)：

一是整體地、系統(tǒng)地審題；

二是把握問題中的等量關(guān)系；

三是正確求解方程并檢驗(yàn)解的合理性.

要點(diǎn)二、一元二次方程應(yīng)用題的主要類型1.數(shù)字問題(1)任何一個(gè)多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個(gè)位、十位、百位、

千位……，它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……，數(shù)位上的數(shù)字只能是0、1、2、……、9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為0.因此，任何一個(gè)多位數(shù)，都可用其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單位的積的和來表示，這也就是用多項(xiàng)式的形式表示了一個(gè)多位數(shù).如：一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位上數(shù)為a，十位上數(shù)為b，百位上數(shù)為c，則這個(gè)三位數(shù)可表示為：

100c+10b+a.

(2)幾個(gè)連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個(gè)整數(shù)相差1.

如：三個(gè)連續(xù)整數(shù)，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x-1，x+1.

幾個(gè)連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))中，相鄰兩個(gè)偶數(shù)(或奇數(shù))相差2.

如：三個(gè)連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x-2，x+2.

2.平均變化率問題

列一元二次方程解決增長(zhǎng)(降低)率問題時(shí)，要理清原來數(shù)、后來數(shù)、增長(zhǎng)率或降低率，以及增長(zhǎng)或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應(yīng)在原數(shù)的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)或降低兩次.

(1)增長(zhǎng)率問題：

平均增長(zhǎng)率公式為(a為原來數(shù)，x為平均增長(zhǎng)率，n為增長(zhǎng)次數(shù)，b為增長(zhǎng)后的量.)

(2)降低率問題：

平均降低率公式為(a為原來數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)

3.利息問題

(1)概念：

本金：顧客存入銀行的錢叫本金.

利息：銀行付給顧客的酬金叫利息.

本息和：本金和利息的和叫本息和.

期數(shù)：存入銀行的時(shí)間叫期數(shù).

利率：每個(gè)期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫利率.

(2)公式:

利息=本金×利率×期數(shù)

利息稅=利息×稅率

本金×(1+利率×期數(shù))=本息和

本金×[1+利率×期數(shù)×(1-稅率)]=本息和(收利息稅時(shí))

4.利潤(rùn)(銷售)問題

利潤(rùn)(銷售)問題中常用的等量關(guān)系：

利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)(成本)

總利潤(rùn)=每件的利潤(rùn)×總件數(shù)

5.形積問題

此類問題屬于幾何圖形的應(yīng)用問題，解決問題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，根據(jù)圖形的面積或體積公式，找出未知量與已知量的內(nèi)在關(guān)系并列出方程.

要點(diǎn)詮釋：列一元二次方程解應(yīng)用題是把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（列方程），然后由數(shù)學(xué)問題的解決而獲得對(duì)實(shí)際問題的解決.這是在解決實(shí)際問題時(shí)常用到的數(shù)學(xué)思想—方程思想.【典型例題】類型一、數(shù)字問題1．已知兩個(gè)數(shù)的和等于12，積等于32，求這兩個(gè)數(shù)是多少．【答案與解析】設(shè)其中一個(gè)數(shù)為x，那么另一個(gè)數(shù)可表示為(12-x)，依題意得x(12-x)＝32，整理得x2-12x+32＝0解得x1＝4，x2＝8，當(dāng)x＝4時(shí)12-x＝8；當(dāng)x＝8時(shí)12-x＝4．所以這兩個(gè)數(shù)是4和8．【總結(jié)升華】數(shù)的和、差、倍、分等關(guān)系，如果設(shè)一個(gè)數(shù)為x，那么另一個(gè)數(shù)便可以用x表示出來，然后根據(jù)題目條件建立方程求解．舉一反三：【高清ID號(hào)：388525關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：數(shù)字問題例1】【變式】有一個(gè)兩位數(shù)等于其數(shù)字之積的3倍，其十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字少2，求這個(gè)兩位數(shù).【答案】設(shè)個(gè)位數(shù)字為，則十位數(shù)字為.由題意，得：整理，得：解方程，得：∴經(jīng)檢驗(yàn)，不合題意,舍去（注意根的實(shí)際意義的檢驗(yàn)）∴當(dāng)時(shí),=2∴答：這個(gè)兩位數(shù)為24.類型二、平均變化率問題2．（2016?巴中）隨著國(guó)家“惠民政策”的陸續(xù)出臺(tái)，為了切實(shí)讓老百姓得到實(shí)惠，國(guó)家衛(wèi)計(jì)委通過嚴(yán)打藥品銷售環(huán)節(jié)中的不正當(dāng)行為，某種藥品原價(jià)200元/瓶，經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)后，現(xiàn)在僅賣98元/瓶，現(xiàn)假定兩次降價(jià)的百分率相同，求該種藥品平均每場(chǎng)降價(jià)的百分率．【思路點(diǎn)撥】設(shè)該種藥品平均每場(chǎng)降價(jià)的百分率是x，則兩個(gè)次降價(jià)以后的價(jià)格是200（1﹣x）2，據(jù)此列出方程求解即可．【答案與解析】解：設(shè)該種藥品平均每場(chǎng)降價(jià)的百分率是x，由題意得：200（1﹣x）2=98解得：x1=1.7（不合題意舍去），x2=0.3=30%．答：該種藥品平均每場(chǎng)降價(jià)的百分率是30%．【總結(jié)升華】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解．舉一反三：【高清ID號(hào)：388525關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：增長(zhǎng)率問題例3】【變式】某產(chǎn)品原來每件是600元，由于連續(xù)兩次降價(jià)，現(xiàn)價(jià)為384元，如果兩次降價(jià)的百分?jǐn)?shù)相同，求平均每次降價(jià)率.【答案】設(shè)平均每次降價(jià)率為，則第一次降價(jià)為，降價(jià)后價(jià)格為：，第二次降價(jià)為：，降價(jià)后價(jià)格為：.根據(jù)題意列方程，得：∴，不合題意，舍去（注意根的實(shí)際意義的檢驗(yàn)）∴答：平均每次下降率為.類型三、利潤(rùn)（銷售）問題3．（2015?烏魯木齊）某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件．市場(chǎng)調(diào)查反映：每降價(jià)1元，每星期可多賣出20件．已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，在顧客得實(shí)惠的前提下，商家還想獲得6080元的利潤(rùn)，應(yīng)將銷售單價(jià)定位多少元？【答案與解析】解：降價(jià)x元，則售價(jià)為（60﹣x）元，銷售量為（300+20x）件，根據(jù)題意得，（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，解得x1=1，x2=4，又顧客得實(shí)惠，故取x=4，級(jí)定價(jià)為56元，答：應(yīng)將銷售單價(jià)定位56元．【總結(jié)升華】列一元二次方程解應(yīng)用題往往求出兩解，有的解不合實(shí)際意義或不合題意．應(yīng)舍去，必須進(jìn)行檢驗(yàn)．類型四、形積問題4．（2015?湖北）如圖，一農(nóng)戶要建一個(gè)矩形豬舍，豬舍的一邊利用長(zhǎng)為12m的住房墻，另外三邊用25m長(zhǎng)的建筑材料圍成，為方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊留一個(gè)1m寬的門，所圍矩形豬舍的長(zhǎng)、寬分別為多少時(shí)，豬舍面積為80m2？【答案與解析】解：設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻一邊長(zhǎng)為xm可以得出平行于墻的一邊的長(zhǎng)為（25﹣2x+1）m，由題意得x（25﹣2x+1）=80，化簡(jiǎn)，得x2﹣13x+40=0，解得：x1=5，x2，8，當(dāng)x=5時(shí)，26﹣2x=16＞12（舍去），當(dāng)x=8時(shí)，26﹣2x=10＜12，答：所圍矩形豬舍的長(zhǎng)為10m、寬為8m．【總結(jié)升華】1．結(jié)合圖形分析數(shù)量關(guān)系是解決面積等幾何問題的關(guān)鍵；2．注意檢驗(yàn)一元二次方程的兩個(gè)解是否符合題意．一元二次方程的應(yīng)用—知識(shí)講解（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過分析具體問題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程模型并解決實(shí)際問題，總結(jié)運(yùn)用方程解決實(shí)際問題的一般步驟；2.通過列方程解應(yīng)用題，進(jìn)一步提高邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟1.利用方程解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.

2.解決應(yīng)用題的一般步驟：

審(審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；

設(shè)(設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；

列(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰)；驗(yàn)（檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問題有意義）

答(寫出答案，切忌答非所問).

要點(diǎn)詮釋：列方程解實(shí)際問題的三個(gè)重要環(huán)節(jié)：

一是整體地、系統(tǒng)地審題；

二是把握問題中的等量關(guān)系；

三是正確求解方程并檢驗(yàn)解的合理性.

要點(diǎn)二、一元二次方程應(yīng)用題的主要類型1.數(shù)字問題(1)任何一個(gè)多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個(gè)位、十位、百位、

千位……，它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……，數(shù)位上的數(shù)字只能是0、1、2、……、9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為0.因此，任何一個(gè)多位數(shù)，都可用其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單位的積的和來表示，這也就是用多項(xiàng)式的形式表示了一個(gè)多位數(shù).如：一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位上數(shù)為a，十位上數(shù)為b，百位上數(shù)為c，則這個(gè)三位數(shù)可表示為：

100c+10b+a.

(2)幾個(gè)連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個(gè)整數(shù)相差1.

如：三個(gè)連續(xù)整數(shù)，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x-1，x+1.

幾個(gè)連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))中，相鄰兩個(gè)偶數(shù)(或奇數(shù))相差2.

如：三個(gè)連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x-2，x+2.

2.平均變化率問題

列一元二次方程解決增長(zhǎng)(降低)率問題時(shí)，要理清原來數(shù)、后來數(shù)、增長(zhǎng)率或降低率，以及增長(zhǎng)或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應(yīng)在原數(shù)的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)或降低兩次.

(1)增長(zhǎng)率問題：

平均增長(zhǎng)率公式為(a為原來數(shù)，x為平均增長(zhǎng)率，n為增長(zhǎng)次數(shù)，b為增長(zhǎng)后的量.)

(2)降低率問題：

平均降低率公式為(a為原來數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)

3.利息問題

(1)概念：

本金：顧客存入銀行的錢叫本金.

利息：銀行付給顧客的酬金叫利息.

本息和：本金和利息的和叫本息和.

期數(shù)：存入銀行的時(shí)間叫期數(shù).

利率：每個(gè)期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫利率.

(2)公式:

利息=本金×利率×期數(shù)

利息稅=利息×稅率

本金×(1+利率×期數(shù))=本息和

本金×[1+利率×期數(shù)×(1-稅率)]=本息和(收利息稅時(shí))

4.利潤(rùn)(銷售)問題

利潤(rùn)(銷售)問題中常用的等量關(guān)系：

利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)(成本)

總利潤(rùn)=每件的利潤(rùn)×總件數(shù)

5.形積問題

此類問題屬于幾何圖形的應(yīng)用問題，解決問題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，根據(jù)圖形的面積或體積公式，找出未知量與已知量的內(nèi)在關(guān)系并列出方程.

要點(diǎn)詮釋：列一元二次方程解應(yīng)用題是把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（列方程），然后由數(shù)學(xué)問題的解決而獲得對(duì)實(shí)際問題的解決.這是在解決實(shí)際問題時(shí)常用到的數(shù)學(xué)思想—方程思想.【典型例題】類型一、數(shù)字問題1.（2015春?興化市校級(jí)期末）兩個(gè)連續(xù)負(fù)奇數(shù)的積是143，求這兩個(gè)數(shù)．【答案與解析】解：設(shè)這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為x，x+2，根據(jù)題意x（x+2）=143，解得x1=11（不合題意舍去），x2=﹣13，則當(dāng)x=﹣13時(shí)，x+2=﹣11．答：這兩個(gè)數(shù)是﹣13，﹣11．故答案為：﹣13，﹣11．【總結(jié)升華】得到兩個(gè)奇數(shù)的代數(shù)式是解決本題的突破點(diǎn)；根據(jù)兩個(gè)數(shù)的積得到等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．類型二、平均變化率問題2.（2016?衡陽(yáng)）隨著居民經(jīng)濟(jì)收入的不斷提高以及汽車業(yè)的快速發(fā)展，家用汽車已越來越多地進(jìn)入普通家庭，抽樣調(diào)查顯示，截止2015年底某市汽車擁有量為16.9萬(wàn)輛．己知2013年底該市汽車擁有量為10萬(wàn)輛，設(shè)2013年底至2015年底該市汽車擁有量的平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意列方程得（）A．10（1+x）2=16.9 B．10（1+2x）=16.9 C．10（1﹣x）2=16.9 D．10（1﹣2x）=16.9【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意可得：2013年底該市汽車擁有量×（1+增長(zhǎng)率）2=2015年底某市汽車擁有量，根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可．【答案】A．【解析】解：設(shè)2013年底至2015年底該市汽車擁有量的平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，可列方程：10（1+x）2=16.9，故選：A．【總結(jié)升華】此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，關(guān)鍵是掌握平均變化率的方法，若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1±x）2=b．舉一反三：【變式】有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，按照這樣的速度，第三輪傳染后，患流感的人數(shù)是()A．1331B．1210C．1100D．1000【答案】設(shè)每人每輪傳染x人，則(1+x)2＝121，x1＝10，x2＝-12舍去，第三輪傳染后患流感人數(shù)為121(1+10)＝1331人．類型三、利潤(rùn)（銷售）問題3.有一種螃蟹，從海上捕獲后不放養(yǎng)最多只能存活兩天，如果放養(yǎng)在塘內(nèi)，可以延長(zhǎng)存活時(shí)間，但每天也會(huì)有一定數(shù)量的螃蟹死去，假設(shè)放養(yǎng)期間內(nèi)螃蟹的個(gè)體重量基本保持不變．現(xiàn)有一經(jīng)銷商，按市場(chǎng)價(jià)收購(gòu)了這種活螃蟹1000kg放養(yǎng)在塘內(nèi)，此時(shí)市場(chǎng)價(jià)為30元/kg．據(jù)測(cè)算此后每千克的活蟹的市場(chǎng)價(jià)每天可上升1元，但是，放養(yǎng)一天各種費(fèi)用支出400元，且平均每天還有10kg的蟹死去，假定死蟹均于當(dāng)天全部售出，售價(jià)都是20元/kg，如果經(jīng)銷商將這批蟹出售后能獲利6250元，那么他應(yīng)放養(yǎng)多少天后再一次性售出?【答案與解析】解：設(shè)經(jīng)銷商放養(yǎng)的活蟹時(shí)間定為x天較為合適．根據(jù)題意，得20×10x+(30+x)(1000-10x)-(400x+30×1000)＝6250，整理，得x2-50x+625＝0，∴x1＝x2＝25．答：經(jīng)銷商放養(yǎng)25天后，再一次性售出可獲利6250元．【總結(jié)升華】此題牽涉到的量比較多，找等量關(guān)系列方程有一定難度．我們可以把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成若干個(gè)簡(jiǎn)單問題分別解決，最后用一根主線連在一起．這里放養(yǎng)的天數(shù)x與死蟹銷售資金、x天后活蟹的價(jià)格、x天后活蟹的剩余量及x天的開支情況等問題都有關(guān)系，通過這個(gè)“x”把上述幾個(gè)量聯(lián)系在一起，列出了方程，使問題得以突破．舉一反三：【高清ID號(hào)：388525關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：銷售問題---例6】【變式】（2015?東西湖區(qū)校級(jí)模擬）商場(chǎng)某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元．為了盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件．據(jù)此規(guī)律計(jì)算：每件商品降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)日盈利可達(dá)到2100元．【答案】解：∵降價(jià)1元，可多售出2件，降價(jià)x元，可多售出2x件，盈利的錢數(shù)=50﹣x，由題意得：（50﹣x）（30+2x）=2100，化簡(jiǎn)得：x2﹣35x+300=0，解得：x1=15，x2=20，∵該商場(chǎng)為了盡快減少庫(kù)存，∴降的越多，越吸引顧客，∴選x=20，答:每件商品降價(jià)20元時(shí)，商場(chǎng)日盈利可達(dá)到2100元.類型四、行程問題【高清ID號(hào)：388525關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：行程問題---例8】4.一輛汽車以20m/s的速度行駛，司機(jī)發(fā)現(xiàn)前方路面有情況，緊急剎車后又滑行25m后停車．（1）從剎車到停車用了多少時(shí)間？（2）從剎車到停車平均每秒車速減少多少？（3）剎車后汽車滑行到15m時(shí)約用了多少時(shí)間（精確到0.1s）？【答案與解析】解：（1）已知?jiǎng)x車后滑行路程為25m，如果知道滑行的平均速度，則根據(jù)路程、速度、時(shí)間三者的關(guān)系，可求出滑行時(shí)間．為使問題簡(jiǎn)化，不妨設(shè)車速?gòu)?0m/s到0m/s是隨時(shí)間均勻變化的．這段時(shí)間內(nèi)的平均車速等于最大速度與最小速度的平均值，即，于是剎車到停車的時(shí)間為“行駛路程平均車速”，即．（2）從剎車到停車平均每秒車速減少值為“（初速度末速度）車速變化時(shí)間”，即．（3）設(shè)剎車后汽車行駛到15m用了s，由（2）可知，這時(shí)車速為．這段路程內(nèi)的平均車速為，即．由速度×?xí)r間=路程，得．解方程，得．根據(jù)問題可知，，即x＜5，又x＜2.5；所以．剎車后汽車行駛到15m時(shí)約用了0.9s．【總結(jié)升華】弄清路程、速度、時(shí)間三者的關(guān)系，即可解答此題.一元二次方程的應(yīng)用—鞏固練習(xí)（提高）【鞏固練習(xí)】一、選擇題

1.（2016?臺(tái)州）有x支球隊(duì)參加籃球比賽，共比賽了45場(chǎng)，每?jī)申?duì)之間都比賽一場(chǎng)，則下列方程中符合題意的是（）A．x（x﹣1）=45 B．x（x+1）=45 C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=452．上海世博會(huì)的某紀(jì)念品原價(jià)168元，連續(xù)兩次降價(jià)a%后售價(jià)為128元，下列所列方程中正確的是()A．168(1+a%)2＝128B．168(1-a%)2＝128C．168(1-2a%)2＝128D．168(1-a2%)＝1283．從一塊長(zhǎng)30cm，寬12cm的長(zhǎng)方形薄鐵片的四個(gè)角上，截去四個(gè)相同的小正方形，余下部分的面積為296cm2，則截去小正方形的邊長(zhǎng)為()A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm4．甲、乙兩人分別騎車從A、B兩地相向而行，甲先行1小時(shí)后，乙才出發(fā)，又經(jīng)過4小時(shí)兩人在途中的C地相遇，相遇后兩人按原來的方向繼續(xù)前進(jìn).乙在由C地到達(dá)A地的途中因故停了20分鐘，結(jié)果乙由C地到達(dá)A地時(shí)比甲由C地到達(dá)B地還提前了40分鐘，已知乙比甲每小時(shí)多行駛4千米，則甲、乙兩人騎車的速度分別為（）千米/時(shí).A．2,6B．12,16C．16,20D．20,245．某農(nóng)戶種植花生，原來種植的花生畝產(chǎn)量為200千克，出油率為50％(即每100千克花生可加工成花生油50千克)．現(xiàn)在種植新品種花生后，每畝收獲的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增長(zhǎng)率是畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率的．則新品種花生畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率為()

A．20％B．30%C．50%D．120%6．從盛滿20升純酒精的容器里倒出若干升，然后用水注滿，再倒出同樣升數(shù)的混合液后，這時(shí)容器里剩下純酒精5升．則每次倒出溶液的升數(shù)為（）A．5B．6C．8D．10二、填空題7．某公司在2009年的盈利額為200萬(wàn)元，預(yù)計(jì)2011年盈利額將達(dá)到242萬(wàn)元，若每年比上一年盈利額增長(zhǎng)的百分率相同，那么該公司在2010年的盈利額為________萬(wàn)元．8．有一間長(zhǎng)20m，寬15m的會(huì)議室，在它的中間鋪一塊地毯，地毯的面積是會(huì)議室面積的一半，四周未鋪地毯的留空寬度相同，則留空的寬度為________．9．一塊矩形耕地大小尺寸如圖1所示，要在這塊地上沿東西、南北方向分別挖3條和4條水渠．如果水渠的寬相等，而且要保證余下的可耕地面積為8700m2，那么水渠應(yīng)挖的寬度是米.10．有一個(gè)兩位數(shù)，它的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和是8，如果把十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字調(diào)換后，所得的兩位數(shù)乘原來的兩位數(shù)就得1855，則原來的兩位數(shù)是．11．某省十分重視治理水土流失問題，2011年治理水土流失的面積為400km2，為了逐年加大治理力度，計(jì)劃今、明兩年治理水土流失的面積都比前一年增長(zhǎng)一個(gè)相同的百分?jǐn)?shù)，到2013年年底，使這三年治理水土流失的面積達(dá)1324km2，則該省今、明兩年治理水土流失的面積平均每年增長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)是．12．（2014?貴陽(yáng)）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD為BC邊上的高．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→D方向以cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．設(shè)△ABP的面積為S1，矩形PDFE的面積為S2，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜8），則t=秒時(shí)，S1=2S2．三、解答題13．（2016?百色）在直角墻角AOB（OA⊥OB，且OA、OB長(zhǎng)度不限）中，要砌20m長(zhǎng)的墻，與直角墻角AOB圍成地面為矩形的儲(chǔ)倉(cāng)，且地面矩形AOBC的面積為96m2．（1）求這地面矩形的長(zhǎng)；（2）有規(guī)格為0.80×0.80和1.00×1.00（單位：m）的地板磚單價(jià)分別為55元/塊和80元/塊，若只選其中一種地板磚都恰好能鋪滿儲(chǔ)倉(cāng)的矩形地面（不計(jì)縫隙），用哪一種規(guī)格的地板磚費(fèi)用較少？14.（2015?廣元）李明準(zhǔn)備進(jìn)行如下操作實(shí)驗(yàn)，把一根長(zhǎng)40cm的鐵絲剪成兩段，并把每段首尾相連各圍成一個(gè)正方形．（1）要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于58cm2，李明應(yīng)該怎么剪這根鐵絲？（2）李明認(rèn)為這兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于48cm2，你認(rèn)為他的說法正確嗎？請(qǐng)說明理由．15．如圖所示，AO＝OB＝50cm，OC是一條射線，OC⊥AB，一只螞蟻由A點(diǎn)以2cm/s的速度向B爬行，同時(shí)另一只螞蟻由O點(diǎn)以3cm/s的速度沿OC方向爬行，是否存在這樣的時(shí)刻，使兩只螞蟻與O點(diǎn)組成的三角形的面積為450cm2?【答案與解析】一、選擇題1.【答案】A【解析】∵有x支球隊(duì)參加籃球比賽，每?jī)申?duì)之間都比賽一場(chǎng)，∴共比賽場(chǎng)數(shù)為x（x﹣1），∴共比賽了45場(chǎng)，∴x（x﹣1）=45，故選A．2．【答案】B；【解析】168元降價(jià)a%后的價(jià)格為168(1-a%)元，再降價(jià)a%后為168(1-a%)(1-a%)元．根據(jù)題意可列方程168(1-a%)2＝128．3．【答案】D；【解析】設(shè)截去小正方形的邊長(zhǎng)為x，則30×12-4x2＝296，∴x2＝16，x1＝-4(舍去)，x2＝4．4.【答案】C；【解析】設(shè)甲的速度為x千米/時(shí)，則乙的速度為（x+4）千米/時(shí).根據(jù)題意，得解之,得x1=16，x2=－2.經(jīng)檢驗(yàn)：x1=16，x2=－2都是原方程的根，但x2=－2不合題意，舍去.∴當(dāng)x=16時(shí)，x+4=20.5．【答案】A；【解析】設(shè)新品種花生畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率為x．.6．【答案】D；【解析】第一次倒出的是純酒精，而第二次倒出的就不是純酒精了．若設(shè)每次倒出x升，則第一次倒出純酒精x升，第二次倒出純酒精（·x）升．根據(jù)20升純酒精減去兩次倒出的純酒精，就等于容器內(nèi)剩下的純酒精的升數(shù)．20－x－·x＝5．二、填空題7．【答案】220.【解析】方法一，設(shè)增長(zhǎng)的百分率為x，則2010年盈利額為200(1+x)萬(wàn)元，2011年的盈利額為200(1+x)2萬(wàn)元，依題意得200(1+x)2＝242．解得x1＝10%，x2＝-2.1(舍去)，∴200(1+x)＝200(1+10%)＝220．方法二，設(shè)2010年的盈利額為x萬(wàn)元，則2010年增長(zhǎng)的百分率為，2011年增長(zhǎng)的百分率為，由增長(zhǎng)率相同可列方程，解得x1＝220，x2＝-220(舍去)8．【答案】2.5m.【解析】設(shè)留空的寬度為xm，則，解得x1＝15(舍去)，．9．【答案】1.【解析】如圖2所示設(shè)水渠的寬度為xm，即可耕土地的長(zhǎng)為(120-4x)