2023年四川省成都市三校高中聯(lián)考自主招生數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

2023年四川省成都市三校高中聯(lián)考自主招生數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.某幾何體從三個方向看到的平面圖形都相同，這個幾何體可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合幾何體的三視圖的規(guī)則，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，由圓錐的主視圖和左視圖都是等腰三角形，俯視圖是帶圓心的圓，所以A不合題意；對于B中，由三棱柱的主視圖和左視圖都是矩形，俯視圖是三角形，所以B不合題意；對于C中，由正方體的三視圖都是正方形，所以C符合題意；對于D中，由圓柱的主視圖和左視圖都是矩形，俯視圖是圓，所以D不合題意.故選：C.2.把拋物線先向右平移1個單位，再向上平移個單位后，得到拋物線，則的值是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)的平移變化可得，即可得出答案.【詳解】解：把拋物線先向右平移個單位，再向上平移個單位后，得到：即：由題意可知：，，故選：B.3.已知點都在反比例函數(shù)的圖象上，那么的大小關(guān)系正確的是（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的的變化情況，即可比較大小.【詳解】，，是正數(shù)，反比例函數(shù)的圖象位于第一三象限，且在每一個象限內(nèi)隨的增大而減小，都在反比例函數(shù)圖象上，，.故選：C.4.在直角中，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直角三角形內(nèi)的正弦值的表示，即可求解.【詳解】如圖.在Rt中，，..故選：A5.如圖，半徑為的的弦，且于，連結(jié)，若，則的值為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】連接OA，OD，由弦，可得，繼而可得，然后由圓周角定理，證得，即可判定，由，，可求得，繼而可得是直角三角形，則可求得，由此可解決問題．【詳解】解：弦，，，，如圖，連接，，，，，，，，故選：B.6.已知點為拋物線上兩點，且，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】C【解析】【分析】分和，結(jié)合圖象對選項一一判斷即可得出答案.【詳解】解：，拋物線對稱軸為直線，當點恰好關(guān)于對稱時，有，，即，，拋物線的開口方向沒有確定，則需要對進行討論，故排除A，B；當時，拋物線開口向下，此時距離直線越遠，值越?。?，，點距離直線較遠，當時，拋物線的開口向上，此時距離直線越遠，值越大；，，點距離直線較遠，故C符合題意，D不符合題意.故選：C.7.如圖，點在正方形網(wǎng)格的格點上，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出，和，由勾股定理可證明是直角三角形，再由，代入即可得出答案.【詳解】解：連接，點在格點上，如圖所示：設(shè)每個小正方形的邊長為，則，，，，是直角三角形，，故選：D.8.如圖，四邊形為的內(nèi)接四邊形，，則的度數(shù)是（）A. B.120 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用圓周角和圓心角關(guān)系求解.【詳解】四邊形為的內(nèi)接四邊形，，，由圓周角定理得，，故選：C.9.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形是矩形，四邊形是正方形，點在軸的正半軸上，點在軸的正半軸上，點在上，點在反比例函數(shù)的圖象上，若正方形的面積為4，且，則的值為（）A.12 B.8 C.6 D.3【答案】B【解析】【分析】先由正方形的面積得出邊長，據(jù)此可設(shè)B，則E，根據(jù)點在反比例函數(shù)的圖象上，得，求解即可.【詳解】解：正方形的面積為4，正方形的邊長為2，.設(shè)點坐標為，則點坐標，點在反比例函數(shù)的圖象上，，解得.故選：B.10.如圖，在等邊三角形中，，點是邊上一點，且，點是邊上一動點（兩點均不與端點重合），作交邊于點.若，當滿足條件的點有且只有一個時，則的值為（）A.2 B.2.5 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】依題意得，即，根據(jù)一元二次方程有一個解求解即可.【詳解】解：是等邊三角形，，，，，，，；，，，滿足條件的點有且只有一個，方程有兩個相等的實數(shù)根，，.故選：D.二?填空題：本題共9小題，每小題4分，共36分.11.點和點是同一個反比例函數(shù)圖象上的點，則的值為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩點在同一反比例函數(shù)圖象上，可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】點和點是同一個反比例函數(shù)圖象上的點，，解得：.故答案為：.12.已知二次函數(shù)，當時，隨的增大而減小，則的最小整數(shù)值為__________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象、單調(diào)性即可求解.【詳解】二次函數(shù)的對稱軸為，開口向上,所以當時，隨的增大而減小，又當時，隨的增大而減小，所以，即的最小整數(shù)值為1.故答案為：1.13.如圖，線段于點于點，點為線段上一動點，且以為頂點的三角形與以為頂點的三角形相似，則的長為__________.【答案】1或3或8.【解析】【分析】由三角形相似，對應(yīng)邊成比例，列方程求的長.【詳解】設(shè)，以為頂點的三角形與以為頂點的三角形相似，①當時，，解得.②當時，，解得或，所以當以為頂點的三角形與以為頂點的三角形相似時，的長為1或3或8，故答案為：1或3或8.14.已知二次函數(shù)，當自變量的取值在的范圍內(nèi)時，函數(shù)的圖象與軸有且只有一個公共點，則的取值范圍是__________.【答案】或【解析】【分析】先確定拋物線的對稱軸為直線，利用函數(shù)圖象，可得且，解不等式組即可．【詳解】解：拋物線的對稱軸為直線，且開口向上，若拋物線與軸有且僅有一個交點，則有；當時，在的范圍內(nèi)，拋物線與軸有且只有一個公共點，根據(jù)對稱性，公共點不可能在范圍內(nèi)，而在范圍內(nèi)，則且，解得；所以，的取值范圍是或.故答案為：或.15.若關(guān)于的方程的所有根都是比1小的正實數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】對m分類討論，求出方程的根，根據(jù)方程的根滿足條件求m的范圍.【詳解】解：當時，.當時，可得，符合題意；當時，可得，不符合題意；當時，，即，.關(guān)于的方程的所有根都是比1小的正實數(shù)，，解得，即.綜上可得，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16.對定義一種新運算，規(guī)定：（其中均為非零常數(shù)），這里等式右邊是通常的四則運算，例如：，已知，若關(guān)于的不等式組恰好有3個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知得出關(guān)于的方程組，求出，再代入不等式組求出解集，再根據(jù)已知條件得到取值范圍.【詳解】因為，所以，解得，所以，，因為不等式組恰有3個整數(shù)解，所以，故答案為：.17.如圖，四邊形為矩形，點在第二象限，點關(guān)于的對稱點為點，點都在函數(shù)的圖像上，軸于點.若的延長線交軸于點，當矩形的面積為時，的值為___________；點的坐標為___________.【答案】①.##0.5；②.【解析】【分析】連接，作軸，設(shè)點，根據(jù)矩形的面積得出三角形的面積，將三角形的面積轉(zhuǎn)化為梯形的面積，從而得出的等式，將其分解因式，從而得出的關(guān)系，進而在直角三角形中，根據(jù)勾股定理列出方程，進而求得的坐標，進一步可求得結(jié)果.【詳解】如圖，作軸于，連接，設(shè)和交于I,設(shè)點，由對稱性可得:，，（舍去），即在中，由勾股定理得因為直線的解析式為：所以直線的解析式為：當時，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了矩形性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)，反比例函數(shù)的“k”的幾何含義，勾股定理，一次函數(shù)及其圖像性質(zhì)，分解因式等知識，解決問題的關(guān)鍵是等式變形，進行分解因式.18.如圖，面積為4的平行四邊形中，，過點作邊的垂線，垂足為點，點正好是的中點，點?點分別是.上的動點，的延長線交線段于點，若點是唯一使得線段的點，則線段長的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)點是唯一使得線段的點，可看成弦所對的圓周角，設(shè)外接圓的圓心為，由與之間的距離為1，，又，即可得出答案.【詳解】解：平行四邊形的面積為，，點是唯一使得線段的點，則可看成弦所對的圓周角，設(shè)外接圓的圓心為，則，，與之間的距離為1，，，又，.故答案為：.19.如圖，平行四邊形，點為對角線上的動點，，連接，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】在直線的上方作，且使得.過點作交的延長線于，將的最小值問題轉(zhuǎn)化為的最小值問題，利用平面幾何知識求解即可.【詳解】如圖，在直線的上方作，且使得.過點作交的延長線于.四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，，，的最小值為.故答案為：.三?計算題：本大題共1小題，共12分.20.（1）計算：.（2）解不等式組：【答案】(1)2；（2）【解析】【分析】（1）分別進行算術(shù)平方根、零次冪、三角、絕對值運算，再由加減運算法則計算求值；（2）分別求解兩個一次不等式的解集，再利用數(shù)軸求它們的公共部分即可.【詳解】（1）原式；（2）由①得：，由②得：，則不等式組的解集為.四?解答題：本題共8小題，共72分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.21.先化簡，再求值：，其中.【答案】，【解析】【分析】對式子變形結(jié)合因式分解及完全平方和化簡式子，代入即可計算.【詳解】原式，當時，原式.22.河南某中學(xué)準備在感恩節(jié)向全校學(xué)生征集書畫作品，美術(shù)田老師從全校隨機抽取了四個班級記作、、、，對征集到的作品的數(shù)量進行了分析統(tǒng)計，制作了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖2.（1）田老師抽查的四個班級共征集到作品多少件？（2）請把圖2的條形統(tǒng)計圖補充完整.（3）若全校參展作品中有五名同學(xué)獲獎，其中有二名男生、三名女生.現(xiàn)在要在其中抽三名同學(xué)去參加學(xué)校書畫座談會，請用畫樹狀圖或列表的方法求恰好抽中一名男生、兩名女生的概率.【答案】（1）15件；（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)B班有5件作品，且對應(yīng)的圓心角為求解；（2）結(jié)合（1）根據(jù)總件數(shù)和A，B，D班的件數(shù)求解；（3）利用古典概型的概率求解.【小問1詳解】解：（件），即田老師抽查的四個班級共征集到作品15件；【小問2詳解】C班級的作品數(shù)為：（件），把圖2的條形統(tǒng)計圖補充完整如下：【小問3詳解】恰好抽中一名男生、兩名女生的概率，即為不參加學(xué)校書畫座談會的獲獎選手為一名男生、一名女生的概率.不參加學(xué)校書畫座談會的獲獎選手情況畫樹狀圖如下：共有20種等可能的結(jié)果，恰好一名男生、一名女生不參加學(xué)校書畫座談會的結(jié)果有12種，∴恰好抽中一名男生、兩名女生的概率為.23.東西走向海岸線上有一個碼頭（圖中線段），已知長為132米，小明在處測得海上一艘貨船在的東北方向，小明沿海岸線向東走60米后到達點，在測得在處的北偏東方向（參考數(shù)據(jù)：（1）求的長；（結(jié)果精確到1米）（2）如圖，貨船從出發(fā)，沿著南偏東方向行駛，問該貨船是否能行駛到碼頭所在的線段上？請說明理由.【答案】（1）116米（2）該貨船能行駛到碼頭所在的線段上，理由見解析【解析】【分析】（1）過點作，垂足為，，，米，利用三角函數(shù)求出，得的長；（2）設(shè)貨船行駛路線交線段所在的直線于點，構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)求的長度，與比較即可.【小問1詳解】過點作，垂足為，由題意得：，，在中，米，（米），（米），在中，（米），（米），的長約為116米；【小問2詳解】該貨船能行駛到碼頭所在的線段上，理由：過點作，垂足為，設(shè)貨船從出發(fā)，沿著南偏東方向行駛，交線段所在直線于點，由題意得：，在中，米，，米，米，在中，米，米，米，米>米，該貨船能行駛到碼頭所在的線段上.24.如圖，在平面直角坐標系中，直線經(jīng)過點，與軸正半軸交于點，與反比例函數(shù)交于點，且軸交反比例函數(shù)于點.（1）求的值；（2）如圖1，若點為線段上一點，設(shè)的橫坐標為，過點作，交反比例函數(shù)于點.若，求的值.（3）如圖2，在（2）的條件下，連接并延長，交軸于點，連接，在直線上方是否存在點，使得與相似（不含全等）？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】（1），（2）1（3）存在，或或或，理由如下【解析】【分析】（1）作軸于，證明，再根據(jù)直線經(jīng)過點，即可求得，進而可求得點的坐標，即可求出點的坐標，進而可求得；（2）根據(jù)軸可求出點的坐標，再根據(jù)可求得點的坐標，再根據(jù)即可得解；（3）過點作軸于點，先求出，再分，和三種情況討論即可得解.【小問1詳解】作軸于，如圖1：，，直線經(jīng)過點，，解得，直線解析式為：，，，，點坐標為，將C點坐標代入，得；【小問2詳解】軸，點的縱坐標為3，代入，得，點坐標為，將點橫坐標代入，得，，點縱坐標為，代入，得，點坐標為，，，解方程得或（舍），；【小問3詳解】存在，理由如下：如圖2，過點作軸于點，由（2）知，直線的解析式為：，，，，，當時，如圖2所示，設(shè)與交于點，由（2）知，軸，，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理可得，，解得，，，直線的解析式為：；①若，則，不符合題意，舍去；②若，，即，解得，設(shè)，，解得，負值舍去，；當時，①若，如圖4，，，即點在上，，，，，直線的解析式為：；②若，，即，解得，設(shè)，，解得，負值舍去，；當時，，直線的解析式為：；①若，則，不符合題意，舍去；②若，如圖5，，即，解得，設(shè)，，解得，正值舍去，；綜上，符合題意的點的坐標為：或或或.【點睛】關(guān)鍵點點睛：熟練掌握三角形相似的判定和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.25.在中，順次連接.（1）如圖1，若點是的中點，且交延長線于點，求證：為的切線；（2）如圖2，在（1）的條件下，連接，過點作于點，若，則有何數(shù)量關(guān)系？（3）如圖3，當時，是延長線上一點，是線段上一點，且，若的周長為9，請求出的值？【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）利用切線定義，證明即可；（2）連接交于，通過勾股定理和對應(yīng)邊成比例，得的數(shù)量關(guān)系；（3）構(gòu)造平行四邊形，求利用三角形全等和平行線的性質(zhì)求相應(yīng)的邊長，由計算面積.【小問1詳解】如圖1，連接，是的中點，，，，為的半徑，為的切線；【小問2詳解】如圖2，連接交于，連結(jié)，是的中點，，，，，，，，是的中點，，，，，，，，，，，，，；【小問3詳解】過點作，過點作，與交于點，連接，當時，為等邊三角形，則，是等邊三角形，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，過點作于點，交于點，連接，則，，，是等邊三角形，，，即與在同一直線上，四邊形是平行四邊形，，，設(shè)，則，，，即，，，在中，，，，延長交于點，則，，，，，，，，，解得：（舍去），，，作于點，則，.26.甲?乙兩汽車出租公司均有50輛汽車對外出租，下面是兩公司經(jīng)理的一段對話：甲公司經(jīng)理：如果我公司每輛汽車月租費3000元，那么50輛汽車可以全部租出.如果每輛汽車的月租費每增加50元，那么將少租出1輛汽車.另外，公司為每輛租出的汽車支付月維護費200元.乙公司經(jīng)理：我公司每輛汽車月租費3500元，無論是否租出汽車，公司均需一次性支付月維護費共計1850元.說明：①汽車數(shù)量為整數(shù)；②月利潤月租車費-月維護費；③兩公司月利潤差月利潤較高公司的利潤-月利潤較低公司的利潤.在兩公司租出的汽車數(shù)量相等的條件下，根據(jù)上述信息，解決下列問題：（1）當每個公司租出的汽車為10輛時，甲公司的月利潤是__________元；當每個公司租出的汽車為__________輛時，兩公司的月利潤相等；（2）求兩公司月利潤差的最大值；（3）甲公司熱心公益事業(yè)，每租出1輛汽車捐出元給慈善機構(gòu)，如果捐款后甲公司剩余的月利潤仍高于乙公司月利潤，且當兩公司租出的汽車均為17輛時，甲公司剩余的月利潤與乙公司月利潤之差最大，求的取值范圍.【答案】（1）48000；37（2）33150（3）【解析】【分析】（1）直接根據(jù)條件列式計算即可；（2）分甲公司的利潤大于乙公司和乙公司的利潤大于甲公司兩種情況分別計算，算出最大利潤差；（3）根據(jù)利潤差最大，利用二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式求解.【小問1詳解】元，當每個公司租出的汽車為10輛時，甲公司的月利潤是48000元；設(shè)每個公司租出的汽車為輛，由題意可得：，解得：或（舍），當每個公司租出的汽車為37輛時，兩公司的月利潤相等；【小問2詳解】設(shè)兩公司的月利潤分別為甲，乙，月利潤差為，則甲，當甲公司的利潤大于乙公司時，，當時，利潤差最大，且為18050元；當乙公司的利潤大于甲公司時，，對稱軸為直線，當時，利潤差最大，且為33150元；綜上：兩公司月利潤差的最大值為33150元；【小問3詳解】捐款后甲公司剩余的月利潤仍高于乙公司月利潤，則利潤差為，對稱軸為直線，只能取整數(shù)，且當兩公司租出的汽車均為17輛時，月利潤之差最大，，解得：.27.在中，.若點為上一點，連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，交于點.（1）如圖1，若，求的長；（2）如圖2，點為的中點，連接交于點.若，猜想線段與線段的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；（3）如圖3，若為的中點，將繞點旋轉(zhuǎn)得，連接，當最小時，求.【答案】（1）（2），證明見解析（3）【解析】【分析】（1）過作，垂足是，構(gòu)造直角三角形，借助解直角三角形求得線段的長度；（2）延長，過作垂直于的延長線，垂足是，連接，過作于，構(gòu)造全等三角形，設(shè)，利用中位線定理，解直角三角形，用的代數(shù)式表示和，即可得和的數(shù)量關(guān)系；（3）取的中點，連接，連接，構(gòu)造相似三角形，利用兩點之間線段最短，確定的位置，繼而求得相關(guān)三角形的面積．小問1詳解】過作，垂足是，如圖1：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，在直角中有，，在直角中，，，【小問2詳解】線段與線段的數(shù)量關(guān)系為：，證明：延長，過作垂直于的延長線，垂足是，連接，過作于，如圖：，由旋轉(zhuǎn)可知，，四點共圓，，，，在和中，，，，，在等腰中，由三線合一可知是的中線，，，是的中點，是的中點，是的中點，是