2015年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)?。ê馕霭妫?/h1>

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2015年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)I）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.（5分）已知集合A={x|x=3n+2,nGN},B={6,8,10,12,14},則集合A

AB中元素的個數(shù)為（）

A.5B.4C.3D.2

2.（5分）已知點A（0,1）,B（3,2）,向量正=（-4,-3）,則向量前=（）

A.（-7,-4）B.（7,4）C.（-1,4）D.（1,4）

3.（5分）已知復(fù)數(shù)z滿足（z-1）i=l+i,則z=（）

A.-2-iB.-2+iC.2-iD.2+i

4.（5分）如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數(shù)

為一組勾股數(shù).從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)構(gòu)成一

組勾股數(shù)的概率為（）

A.aB.LC.J-D.J-

1051020

5.（5分）已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點，離心率為L,E的右焦點與拋物線C：

2

y2=8x的焦點重合，A,B是C的準(zhǔn)線與E的兩個交點，則|AB|=（）

A.3B.6C.9D.12

6.（5分）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題："

今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？"其意思為："

在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長

為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？"已知1斛米

的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3,估算出堆放的米約有（)

A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛

7.（5分）已知｛an｝是公差為1的等差數(shù)列,Sn為｛aj的前n項和,S8=4S4,

則310=（）

A.ILB.1^.C.10D.12

22

8.（5分）函數(shù)f（x）=cos（3x+0）的部分圖象如圖所示，則f（x）的單調(diào)遞減

區(qū)間為（）

A.(kn--,kn+—),k?zB.(2kn-—,2kn+-),k@z

4444

C.(k--,k+—),k?zD.(2k1*，2k+—),k?z

4444

9.（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的t=0.01,則輸出的的（)

A.5B.6C.7D.8

?xT一2

10.（5分）已知函數(shù)f（x）=；、，且f（a）=-3,貝Uf（6-a）

）

-log2（x+l,x>l

=（）

A.一工B.一"C.一芻D.一上

4444

11.（5分）圓柱被一個平面截去一部分后與半球（半徑為r）組成一個幾何體，

該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示,若該幾何體的表面積為

A.1B.2C.4D.8

12.(5分)設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象與y=2x+a的圖象關(guān)于y=-x對稱，且f(-2)

+f(-4)=1,則()

A.-1B.1C.2D.4

二、本大題共4小題，每小題5分.

（分）在數(shù)列數(shù)中,為｛的前項和,若則

13.5Jai=2,an+i=2an>SnajnSn=126,

n=.

14.（5分）已知函數(shù)f（x）=ax3+x+l的圖象在點（1,f（1））處的切線過點（2,

7）,貝?。輆=.

x+y-2<0

15.（5分）若x,y滿足約束條件,:x-2y+l<0,則z=3x+y的最大值為.

2x-y+2》0

2

16.（5分）已知F是雙曲線C：x2-匚=1的右焦點，P是C的左支上一點，A（0,

8

6加）.當(dāng)4APF周長最小時，該三角形的面積為.

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.（12分）已知a,b,c分別是^ABC內(nèi)角A,B,C的對邊,sin2B=2sinAsinC.

（工）若a=b,求cosB；

（H）設(shè)B=90°,且2=&，求^ABC的面積.

18.（12分）如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點，BE,平面ABCD.

（I）證明：平面AEC,平面BED；

（口）若NABC=120。，AE±EC,三棱錐E-ACD的體積為返，求該三棱錐的側(cè)

3

面積.

19.（12分）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x

（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，

對近8年的年宣傳費Xi和年銷售量y（i=l,2,…，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得

到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.

f年稍售里/t

620

600

580

560

540

520

500

480

343638404244464850525456年宣傳費/千元

￡Cxi-x)(wi-w)(xi-x)(yi-y)￡(Wi-w)(yi-y)

289.8108.8

表中Wi=Vxi>w=—w

8i=l

（I）根據(jù)散點圖判斷，y=a+bx與y=c+d4哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣

傳費x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（H）根據(jù)（I）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；

（HI）已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x、y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)（H）的結(jié)果

回答下列問題：

（i）年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？

（ii）年宣傳費x為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？

附：對于一組數(shù)據(jù)（U1V1）,（u2V2）.....（unVn）,其回歸線V=a+0U的斜率和截距

￡(Uj-U)(v「v)

的最小二乘估計分別為：下=旦三--------------，五二;-

￡L(uj-u)2

i=l

20.(12分)已知過點A(0,1)且斜率為k的直線I與圓C：(x-2)2+(y-3)

2=1交于點M、N兩點.

(1)求k的取值范圍；

(2)若加?而=12,其中O為坐標(biāo)原點，求1MN|.

21.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx.

(工)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)F(x)零點的個數(shù);

(II)證明：當(dāng)a>0時，f(x)三2a+aln4.

四、請考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題

記分.【選修4-1：幾何證明選講】

22.(10分)如圖，AB是。。的直徑，AC是。。的切線，BC交。。于點E.

(工)若D為AC的中點，證明：DE是。。的切線；

(II)若OA=ECE,求NACB的大小.

五、【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】

23.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線J：x=-2,圓C2：(x-1)2+(y-2)2=1,以

坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(工)求G，C2的極坐標(biāo)方程；

(H)若直線C3的極坐標(biāo)方程為6=工(p?R),設(shè)C2與C3的交點為M,N,求

4

△C2MN的面積.

六、【選修4-5：不等式選講】

24.已知函數(shù)f(x)=|x+l|-2|x-a|,a>0.

(工)當(dāng)a=l時，求不等式f(x)>1的解集；

(H)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍.

2015年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(文科)(新課標(biāo)I)

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.(5分)已知集合A={x|x=3n+2,n@N},B={6,8,10,12,14},則集合A

AB中元素的個數(shù)為()

A.5B.4C.3D.2

【考點】IE：交集及其運算.

【專題】5J：集合.

【分析】根據(jù)集合的基本運算進(jìn)行求解.

【解答］解：A={x|x=3n+2,n￡N}={2,5,8,11,14,17,,

則AAB={8,14},

故集合AHB中元素的個數(shù)為2個，

故選：D.

【點評】本題主要考查集合的基本運算，比較基礎(chǔ).

2.(5分)已知點A(0,1),B(3,2),向量正=(-4,-3),則向量前=()

A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)

【考點】9J：平面向量的坐標(biāo)運算.

【專題】5A：平面向量及應(yīng)用.

【分析】順序求出有向線段屈，然后由前=正-■而求之.

【解答】解：由已知點A(0,1),B(3,2),得到標(biāo)=(3,1),向量正=(-4,

-3),

貝U向量前=血-標(biāo)=(-7,-4)；

故選：A.

【點評】本題考查了有向線段的坐標(biāo)表示以及向量的三角形法則的運用；注意有

向線段的坐標(biāo)與兩個端點的關(guān)系，順序不可顛倒.

3.(5分)已知復(fù)數(shù)z滿足(z-1)i=l+i,則z=()

A.-2-iB.-2+iC.2-iD.2+i

【考點】A5：復(fù)數(shù)的運算.

【專題】5N：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù).

【分析】由已知等式變形，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡求得z-1,

進(jìn)一步求得z.

【解答】解：由(z-1)i=l+i,得一二四J9%一1,

i-i2

：.z=2-i.

故選：C.

【點評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，是基礎(chǔ)的計算題.

4.(5分)如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數(shù)

為一組勾股數(shù).從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)構(gòu)成一

組勾股數(shù)的概率為()

【考點】CC：列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.

【專題】51：概率與統(tǒng)計.

【分析】一一列舉出所有的基本事件，再找到勾股數(shù)，根據(jù)概率公式計算即可.

【解答】解：從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)，有(1,2,3),(1,2,4),

(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)(2,3,4),(2,3,5),

(2,4,5),(3,4,5)共10種，

其中只有(3,4,5)為勾股數(shù),

故這3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為

10

故選：C.

【點評】本題考查了古典概型概率的問題，關(guān)鍵是不重不漏的列舉出所有的基本

事件，屬于基礎(chǔ)題.

5.（5分）已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點，離心率為L,E的右焦點與拋物線C：

2

y2=8x的焦點重合，A,B是C的準(zhǔn)線與E的兩個交點，則|AB|=（）

A.3B.6C.9D.12

【考點】KH：直線與圓錐曲線的綜合；KI：圓錐曲線的綜合.

【專題】5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】利用橢圓的離心率以及拋物線的焦點坐標(biāo)，求出橢圓的半長軸，然后求

解拋物線的準(zhǔn)線方程，求出A,B坐標(biāo)，即可求解所求結(jié)果.

【解答】解：橢圓E的中心在坐標(biāo)原點，離心率為L,E的右焦點（C,0）與拋

2

物線C：y2=8x的焦點（2,0）重合，

22

可得c=2,a=4,b2=12,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：上—+乙-=1，

1612

拋物線的準(zhǔn)線方程為：x=-2,

x=-2

由I了,解得y=±3,所以A（-2,3）,B（-2,-3）.

11612

|AB|=6.

故選：B.

【點評】本題考查拋物線以及橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力.

6.（5分）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題："

今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？"其意思為："

在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長

為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？"已知1斛米

的體積約為L62立方尺，圓周率約為3,估算出堆放的米約有（)

A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛

【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積.

【專題】5F：空間位置關(guān)系與距離.

【分析】根據(jù)圓錐的體積公式計算出對應(yīng)的體積即可.

【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r,則2Lr=8,

2

解得r=邁，

兀

故米堆的體積為LxLxTlX（邁）2X5?邃匕

43兀9

?.F斛米的體積約為1.62立方，

[62=22,

9

故選：B.

【點評】本題主要考查椎體的體積的計算，比較基礎(chǔ).

7.（5分）已知｛an｝是公差為1的等差數(shù)列,Sn為｛an｝的前n項和,S8=4S4,

則aio=()

A.ILB.12C.10D.12

22

【考點】83：等差數(shù)列的性質(zhì).

【專題】11：計算題；40：定義法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)歹!].

【分析】利用等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出.

【解答】解：｛an｝是公差為1的等差數(shù)列，S8=4S4,

.\8ai+-^ilxi=4X(4ai+A^),

22

解得ai=l.

2

則aio=—+9X1=A^".

22

故選：B.

【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與

計算能力，屬于中檔題.

8.(5分)函數(shù)f(x)=cos(3X+6)的部分圖象如圖所示，則f(x)的單調(diào)遞減

區(qū)間為(

A.(kn--,kn+—),k?zB.(2kn--,2kn+-),k@z

4444

C.(k-X,k+—),k?zD.(2k,，2k+—),kGz

4444

【考點】HA：余弦函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】57：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).

【分析】由周期求出3,由五點法作圖求出。，可得f(x)的解析式，再根據(jù)余

弦函數(shù)的單調(diào)性，求得f(x)的減區(qū)間.

【解答】解：由函數(shù)f(x)=cos(3x+(p)的部分圖象，可得函數(shù)的周期為空=2

CO

(---)=2,f(x)=cos(nx+<p).

44

再根據(jù)函數(shù)的圖象以及五點法作圖，可得2L+(p-L,kcz,即f(x)=cos

424

(nx+-^-).

4

由2kn;Wn;x+2_W2kTi+n:,求得2k-LWxW2k+3,故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為

444

（2k」，2k+—）,kGz,

44

故選：D.

【點評】本題主要考查由函數(shù)y=Asin（3X+6）的部分圖象求解析式，由周期求

出3,由五點法作圖求出力的值；還考查了余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

9.（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的t=0.01,則輸出的廿（）

/俞工/

S=lj7=0jn=y

A.5B.6C.7D.8

【考點】EF：程序框圖.

【專題】5K：算法和程序框圖.

【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變

量n的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答

案.

【解答】解：第一次執(zhí)行循環(huán)體后，S=l,n=l,不滿足退出循環(huán)的條件;

24

再次執(zhí)行循環(huán)體后，S=L,m=l,n=2,不滿足退出循環(huán)的條件;

48

再次執(zhí)行循環(huán)體后,S=m=J-,n=3,不滿足退出循環(huán)的條件;

T16

再次執(zhí)行循環(huán)體后，S=[-,m=-L,n=4,不滿足退出循環(huán)的條件；

1632

再次執(zhí)行循環(huán)體后，S=[-,n=5,不滿足退出循環(huán)的條件；

3264

再次執(zhí)行循環(huán)體后，S=L,m=J-n=6,不滿足退出循環(huán)的條件;

64128

再次執(zhí)行循環(huán)體后，S=」」m=」一，n=7,滿足退出循環(huán)的條件;

128256

故輸出的n值為1,

故選：C.

【點評】本題考查的知識點是程序框圖，當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時，常采

用模擬循環(huán)的方法解答.

/一1一2

10.(5分)已知函數(shù)f(x)=；、，且f(a)=-3,貝l」f(6-a)

-log2(x+l),X>1

=()

A.-工B.-AC.-3D.-L

4444

【考點】3T：函數(shù)的值.

【專題】11：計算題；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】利用分段函數(shù)，求出a,再求f(6-a).

【解答】解：由題意，aWl時，2ar-2=-3,無解；

a>l時,-Iog2(a+1)=-3,a=7,

.*.f(6-a)=f(-1)=211-2=-

4

故選：A.

【點評】本題考查分段函數(shù)，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ).

11.(5分)圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體，

該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為

16+20n,則r=()

C.4D.8

【考點】L!：由二視圖求面積、體積.

【專題】5Q：立體幾何.

【分析】通過三視圖可知該幾何體是一個半球拼接半個圓柱，計算即可.

【解答】解：由幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖可知，

截圓柱的平面過圓柱的軸線，

該幾何體是一個半球拼接半個圓柱，

其表面積為：X4nr2+A-Xnr2x2rX2nr+2rX2r+4-Xnr2=5nr2+4r2,

又：該幾何體的表面積為16+20”

.,.5nr2+4r2=16+20n,解得r=2,

故選：B.

【點評】本題考查由三視圖求表面積問題，考查空間想象能力，注意解題方法的

積累，屬于中檔題.

12.(5分)設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象與y=2x、的圖象關(guān)于y=-x對稱，且f(-2)

+f(-4)=1,貝［Ja=()

A.-1B.1C.2D.4

【考點】3A：函數(shù)的圖象與圖象的變換.

【專題】26：開放型；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】先求出與y=2x+a的反函數(shù)的解析式，再由題意f(x)的圖象與y=2x、的

反函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，繼而求出函數(shù)f(x)的解析式，問題得以解決.

【解答】解：*..與y=2x+a的圖象關(guān)于y=x對稱的圖象是y=2X、的反函數(shù)，

y=logzx-a(x>0),

即g(x)=log2X-a,(x>0).

:函數(shù)y=f(x)的圖象與y=2x+a的圖象關(guān)于y=-x對稱,

?*.f(x)=-g(-x)=-Iog2(-x)+a,x<0,

Vf(-2)+f(-4)=1,

-Iog22+a-Iog24+a=l,

解得，a=2,

故選：C.

【點評】本題考查反函數(shù)的概念、互為反函數(shù)的函數(shù)圖象的關(guān)系、求反函數(shù)的方

法等相關(guān)知識和方法，屬于基礎(chǔ)題

二、本大題共4小題，每小題5分.

13.(5分)在數(shù)列數(shù)J中,ai=2,an+i=2an,Sn為｛aj的前n項和,若Sn=126,則

n=6

【考點】89：等比數(shù)列的前n項和.

【專題】11：計算題；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列.

【分析】由am=2an，結(jié)合等比數(shù)列的定義可知數(shù)列｛aj是ai=2為首項,以2為

公比的等比數(shù)列，代入等比數(shù)列的求和公式即可求解.

【解答】解：???an,i=2an,

?an+l門

??=/，

an

Vai=2,

???數(shù)列｛an｝是ai=2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，

...Sn=2立立2m=”】-2=126,

1-q1-2

...2-1=128,

n+l=7,

n=6.

故答案為：6

【點評】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式及求和公式的簡單應(yīng)用，解題的關(guān)

鍵是熟練掌握基本公式.

14.(5分)已知函數(shù)f(x)=ax3+x+l的圖象在點(1,f(1))處的切線過點(2,

7),則a=1.

【考點】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程.

【專題】53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線的方程經(jīng)過的點求解即可.

【解答】解：函數(shù)f(x)=ax3+x+1的導(dǎo)數(shù)為：「(x)=3ax2+l,f(1)=3a+l,而

f(1)=a+2,

切線方程為：y-a-2=(3a+l)(x-1),因為切線方程經(jīng)過(2,7),

所以7-a-2=(3a+l)(2-1),

解得a=l.

故答案為：1.

【點評】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程的求法，考查計算能力.

'x+y-240

15.(5分)若x,y滿足約束條件《x-2y+l<0,則z=3x+v的最大值為4

.2xf+2〉0

【考點】7C：簡單線性規(guī)劃.

【專題】59：不等式的解法及應(yīng)用.

【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得

到最優(yōu)解，代入最優(yōu)解的坐標(biāo)得答案.

'x+y-2<0

【解答】解：由約束條件x-2y+l<0作出可行域如圖,

2xf+2>0

化目標(biāo)函數(shù)z=3x+y為y=-3x+z,

由圖可知，當(dāng)直線y=-3x+z過B(1,1)時，直線在y軸上的截距最大,

此時z有最大值為3X1+1=4.

故答案為：4.

【點評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.

2

16.(5分)已知F是雙曲線C：X2-^—=1的右焦點，P是C的左支上一點，A(0,

8

676).當(dāng)^APF周長最小時，該三角形的面積為12誣.

【考點】KC：雙曲線的性質(zhì).

【專題】11：計算題；26：開放型；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】利用雙曲線的定義，確定4APF周長最小時，P的坐標(biāo)，即可求出4APF

周長最小時，該三角形的面積.

【解答】解：由題意，設(shè)F是左焦點，則△APF周長

=|AF+1AP+|PF|=|AF+1AP+|PFz|+2

2|AF|+|AF1+2(A,P,A三點共線時,取等號)，

2

直線AF的方程為工。==1與X2-2_=1聯(lián)立可得y2+6V6y-96=0,

-36V68

/.P的縱坐標(biāo)為2娓,

/.△APF周長最小時，該三角形的面積為多X6X6近■yX6X2證=12返.

故答案為：12n.

【點評】本題考查雙曲線的定義，考查三角形面積的計算，確定P的坐標(biāo)是關(guān)鍵.

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.(12分)已知a,b,c分別是△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊,sin2B=2sinAsinC.

(工)若a=b,求cosB；

(H)設(shè)B=90°,且2=&，求^ABC的面積.

【考點】HP：正弦定理；HR：余弦定理.

【專題】58：解三角形.

【分析】(I)siMB=2sinAsinC,由正弦定理可得:b2=2ac,再利用余弦定理即可得

出.

(II)利用(I)及勾股定理可得c,再利用三角形面積計算公式即可得出.

【解答】解：(I)Vsin2B=2sinAsinC?

由正弦定理可得：T—

sinAsinBsinCk

代入可得(bk)2=2ak*ck,

/.b2=2ac,

a=b,「?a=2c,

2,122

222aa-a

由余弦定理可得：cosB=且三土=-J——=1.

2ac2ax|a4

(II)由(I)可得:b2=2ac,

VB=90°,且a=&,

.*.a2+c2=b2=2ac,解得a=c=&.

,,SAABC=——ac=l.

2

【點評】本題考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面積計算公式，考查

了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

18.（12分）如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點，BE，平面ABCD.

（I）證明：平面AEC，平面BED；

（口）若NABC=120。，AE±EC,三棱錐E-ACD的體積為逅，求該三棱錐的側(cè)

3

面積.

【考點】LE：棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積；LY：平面與平面垂直.

【專題】5F：空間位置關(guān)系與距離.

【分析】（工）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明：平面AEC,平面BED；

（H）根據(jù)三棱錐的條件公式，進(jìn)行計算即可.

【解答】證明：（［）???四邊形ABCD為菱形，

AACXBD,

平面ABCD,

.\AC±BE,

則AC,平面BED,

VACc平面AEC,

平面AEC,平面BED；

解：（II）AB=x,在菱形ABCD中，由NABC=120°,得AG=GC=^x,GB=GD=W,

22

平面ABCD,

/.BE±BG,則4EBG為直角三角形，

EG」AC=AG=^X,

22

貝1JBE=JEG2-B產(chǎn)乎x，

三棱錐E-ACD的體積丫言火豪金口儂二春乂乂塢,

解得x=2,即AB=2,

VZABC=120",

.\AC2=AB2+BC2-2AB?BCcosABC=4+4-2*2X2X（總）=12,

即AC=V12=2V3-

在三個直角三角形EBA,EBD,EBC中，斜邊AE=EC=ED,

VAEXEC,??.△EAC為等腰三角形,

則AE2+EC2=AC2=12,

即2AE2=12,

.\AE2=6,

則AE=/

從而得AE=EC=ED=V6-

二.△EAC的面積S=A-xEA-EC=yX76乂后3,

在等腰三角形EAD中，過E作EFLAD于F,

則AE=V6?AF總捫=彌2=1，

則EF=7（V6）2-I2=^

/.△EAD的面積和AECD的面積均為SqX2X“=旄,

故該三棱錐的側(cè)面積為3+2,石.

【點評】本題主要考查面面垂直的判定，以及三棱錐體積的計算，要求熟練掌握

相應(yīng)的判定定理以及體積公式.

19.（12分）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x

（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，

對近8年的年宣傳費Xi和年銷售量y（i=l,2,…，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得

到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.

I年消售里/t

620-

600-.?

580-.?.

560-?

540-?

520-

500-?

480?——?——?——?——?——?——?——?——?——?——?——?------?

343638404244464850525456年宣傳費/千元

Xy閃8_88_8_

￡(xi-x)￡(Wi-￡(xi-x)￡(wj-閃)

i=li=li=li=l

22

閃)(yi-y)(yi-y)

46.65636.8289.81.61469108.8

表中Wi=Vxi-w

8i=l1

(I)根據(jù)散點圖判斷，y=a+bx與y=c+dF哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣

傳費x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)

(H)根據(jù)(工)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；

(HI)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x、y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)(H)的結(jié)果

回答下列問題：

(i)年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？

(ii)年宣傳費x為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？

附：對于一組數(shù)據(jù)(U1Vi),(u2V2)..…(UnVn),其回歸線V=a+0U的斜率和截距

n__

￡(ui-u)(v-v)

的最小二乘估計分別為：下'=三'-----2-----，

￡(Uj-u)2

i=l

【考點】BK：線性回歸方程.

【專題】51：概率與統(tǒng)計.

【分析】(工)根據(jù)散點圖，即可判斷出，

(H)先建立中間量w=4,建立y關(guān)于w的線性回歸方程，根據(jù)公式求出w,

問題得以解決；

(HI)(i)年宣傳費x=49時，代入到回歸方程，計算即可，

(ii)求出預(yù)報值得方程，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求出.

【解答】解：(工)由散點圖可以判斷，y=c+d?適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳

費x的回歸方程類型；

(H)令w={,先建立y關(guān)于w的線性回歸方程，由于圣竺2&=68,

1.6

c=y-2W=563-68X6.8=100.6,

所以y關(guān)于w的線性回歸方程為?=100.6+68w,

因此y關(guān)于x的回歸方程為?=100.6+68?,

(田)(i)由(H)知，當(dāng)x=49時，年銷售量y的預(yù)報值?=100.6+6認(rèn)序=576.6,

年利潤z的預(yù)報值W=576.6X0.2-49=66.32,

(ii)根據(jù)(H)的結(jié)果可知，年利潤z的預(yù)報值W=0.2(100.6+68^)-x=-

X+13.6VX+20.12,

當(dāng)4=12A=6.8時，即當(dāng)x=46.24時，年利潤的預(yù)報值最大.

2

【點評】本題主要考查了線性回歸方程和散點圖的問題，準(zhǔn)確的計算是本題的關(guān)

鍵，屬于中檔題.

20.(12分)已知過點A(0,1)且斜率為k的直線I與圓C：(x-2)2+(y-3)

2=1交于點M、N兩點.

(1)求k的取值范圍；

(2)若而?而=12,其中O為坐標(biāo)原點，求1MN|.

【考點】90：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算；J9：直線與圓的位置關(guān)系.

【專題】26：開放型；5B：直線與圓.

【分析】(1)由題意可得，直線I的斜率存在，用點斜式求得直線I的方程，根

據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求得k的值，可得滿足條件的k的范圍.

(2)由題意可得，經(jīng)過點M、N、A的直線方程為y=kx+l,根據(jù)直線和圓相交

的弦長公式進(jìn)行求解.

【解答】(1)由題意可得，直線I的斜率存在，

設(shè)過點A(0,1)的直線方程：y=kx+l,即：kx-y+l=0.

由已知可得圓C的圓心C的坐標(biāo)(2,3),半徑R=l.

故由呼-3+l|J,

標(biāo)

故當(dāng)支生近，過點A(0,1)的直線與圓C:(X-2)2+(y-3)2=1

33

相交于M,N兩點.

(2)設(shè)M(xi,yi)；N(X2,丫2),

由題意可得，經(jīng)過點M、N、A的直線方程為y=kx+l,代入圓C的方程(x-2)

2+(y-3)2=1,

可得(1+k2)x2-4(k+1)x+7=0,

.?.X：i+X2=4(l+k),X1?X2=---，

1+k21+k2

yiey2=(kxi+1)(kxz+l)=k2xiX2+k(xi+xz)+1

-7叱2叱.4(l+k)y」2k2+4k+l,

1+k21+k21+k2

2

由而?而=xi?X2+yi?y2」2k=12,解得k=l,

1+k2

故直線I的方程為y=x+l,即x-y+l=0.

圓心C在直線I上，MN長即為圓的直徑.

所以|MN|=2.

【點評】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及直線和圓相交的弦長公

式的計算，考查學(xué)生的計算能力.

21.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx.

(I)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)r(x)零點的個數(shù)；

(II)證明：當(dāng)a>0時，f(x)22a+aln三.

【考點】53：函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系；63：導(dǎo)數(shù)的運算；6E：利用導(dǎo)數(shù)研究

函數(shù)的最值.

【專題】26：開放型；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

【分析】(工)先求導(dǎo)，在分類討論，當(dāng)aWO時，當(dāng)a>0時，根據(jù)零點存在定

理，即可求出；

(口)設(shè)導(dǎo)函數(shù)f(x)在(0,+8)上的唯一零點為xo，根據(jù)函數(shù)f(x)的單

調(diào)性得到函數(shù)的最小值f(xo),只要最小值大于2a+alnZ,問題得以證明.

a

【解答】解：([)f(x)=e2x-alnx的定義域為(0,+°°),

.?.f'(x)=2e2x-A.

x

當(dāng)aWO時，「(x)>0恒成立，故「(x)沒有零點，

當(dāng)a>0時，?.?y=e2x為單調(diào)遞增，丫=-旦單調(diào)遞增，

x

：.V(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，

又「(a)>0,

假設(shè)存在b滿足0<b<ln且時，且b<L,F(b)<0,

24

故當(dāng)a>0時，導(dǎo)函數(shù)f，(x)存在唯一的零點，

(口)由(工)知，可設(shè)導(dǎo)函數(shù)「(x)在(0,+8)上的唯一零點為xo，

當(dāng)x?(0,xo)時，V(x)<0,

當(dāng)xe(xo+8)時，f(X)>0,

故f(x)在(0,Xo)單調(diào)遞減，在(Xo+8)單調(diào)遞增，

所欲當(dāng)x=x0時，f(x)取得最小值，最小值為f(xo),

由于2e"°一2-二°，

x0

所以f(xo)=—5―+2axo+aln—^2a+aln-.

2XQaa

故當(dāng)a>0時，f(x)^2a+aln—.

a

【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系和最值的關(guān)系，以及函數(shù)的零點存

在定理，屬于中檔題.

四、請考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題

記分.【選修4-1：幾何證明選講】

22.（10分）如圖，AB是。。的直徑，AC是。。的切線，BC交。。于點E.

（工）若D為AC的中點，證明：DE是。。的切線；

（II）若OA=ECE,求NACB的大小.

【考點】N9：圓的切線的判定定理的證明.

【專題】5B：直線與圓.

【分析】（］）連接AE和OE,由三角形和圓的知識易得NOED=90。，可得DE是

?O的切線；

（H）設(shè)CE=1,AE=x,由射影定理可得關(guān)于x的方程x2=J^7,解方程可得x

值，可得所求角度.

【解答】解：（］）連接AE,由已知得AELBC,AC±AB,

在RT^ABC中，由已知可得DE=DC,AZDEC=ZDCE,

連接OE,貝l］NOBE=NOEB,

又NACB+NABC=90°,AZDEC+ZOEB=90°,

AZOED=90°,...DE是。。的切線；

（口）設(shè)CE=1,AE=x,

由已知得AB=2;r3，BE=V12-X2,

由射影定理可得AE2=CE?BE,

AX2=V12-X2,即X4+X2-12=0,

解方程可得x=V3

ZACB=60°

【點