孤立子方程與代數(shù)幾何解

PAGE1摘要本文主要介紹幾種著名的孤立子方程和代數(shù)幾何解，共分為三章：第一章中，簡單介紹非線性，特別是孤立子。簡述孤立子理論的產(chǎn)生和發(fā)展過程并說明本文的主要內(nèi)容。第二章中，詳細介紹五種著名的孤立子方程：KdV方程、Camassa-Holm方程、KP方程、sine-Gordon方程、Todalattice方程，以及它們的物理意義。第三章中，簡介幾種經(jīng)典形式的孤立子方程的解，特別是代數(shù)幾何解。介紹代數(shù)幾何解的產(chǎn)生和發(fā)展過程，以及它的特點。關(guān)鍵詞：非線性；孤立子；KdV方程；Camassa-Holm方程；KP方程；sine-Gordon方程；Todalattice方程；代數(shù)幾何解AbstractInthisthesis,afewfamoussolitonequationsandthealgebro-geometricsolutionsareintroduced.Theoutlineofthisthesisisasfollows:Inchapter1,asimpleintroductionofnonlinearityandsolitonaregiven.Theoriginationanddevelopmentofthesolitontheoryarealsopresented.Inchapter2，fivekindsoffamoussolitonequation：KdVequation、Camassa-Holmequation、KPequation、sine-Gordonequation、Todalatticeequation，andtheirphysicalsignificanceareintroduced.Inchapter3,severaltypicalformsofsolutionsforsolitonequations,especiallythealgebro-geometricsolutionsarerecommended.Theemergenceanddevelopmentofalgebro-geometricsolution,anditscharacteristicsaredescribedindetail.KeyWords:Nonlinearity;Soliton;KdVequation;Camassa-Holmequation;KPequation;sine-Gordonequation;Todalatticeequation;Algebro-Geometrysolution第一章引言隨著自然科學(xué)和技術(shù)的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)客觀世界的真實情況不能完全由線性模型反映出來，而非線性現(xiàn)象在客觀世界占據(jù)了統(tǒng)治地位。但是迄今為止，對非線性的概念、非線性的性質(zhì)，依然沒有清晰的、完整的認識。非線性科學(xué)是在各門以非線性為特征的分支學(xué)科的基礎(chǔ)上逐步發(fā)展起來的綜合性學(xué)科，被譽為自然科學(xué)的“第三次革命”。非線性科學(xué)幾乎涉及了自然科學(xué)和社會科學(xué)的各個領(lǐng)域，并正在改變?nèi)藗儗ΜF(xiàn)實世界的傳統(tǒng)看法。因此人們投入了極大的熱情在非線性科學(xué)的發(fā)展上，使得非線性科學(xué)的研究范圍幾乎涉及了社會科學(xué)與自然科學(xué)的所有領(lǐng)域。在非線性科學(xué)中，研究主體形成了3個最基本得分支：混沌、分形、孤立子。其中，混沌是指發(fā)生在確定性系統(tǒng)中的貌似隨機的不規(guī)則運動?；煦绮⒉皇菬o序和紊亂，更像是沒有周期的秩序。在理想模型中，它可能包含著無窮的內(nèi)在層次，層次間存在著“自相似性”。分形是一種來自于思維上的理論存在，由某些不規(guī)整但卻具有某種無窮嵌套自相似性的幾何圖形抽象概括得出。其內(nèi)部存在著無窮層次，具有見微知著、由點及面的自相似結(jié)構(gòu)。而孤立子是非線性動力系統(tǒng)中的非線性與色散兩種作用相互平衡的結(jié)果，代表著非線性科學(xué)中無法預(yù)料的有組織行為。雖然孤立子或孤立波一詞常在廣泛的范圍內(nèi)被引用，但無一般形式的定義，因為它還在發(fā)展中，給它下個嚴格的定義比較困難，且為時尚早。與混沌、分形一樣，孤立子從被發(fā)現(xiàn)到理論的形成、發(fā)展及應(yīng)用也是充滿了許多趣話甚至傳奇色彩，而且似乎更為曲折更為坎坷，更能給我們以深思和啟示。孤立子理論的初期研究主要集中在數(shù)學(xué)問題上，隨著研究的深入，科學(xué)家們開始不滿足從純數(shù)學(xué)的形式來研究孤立子，企圖在流體力學(xué)以外的領(lǐng)域?qū)ふ移渌愋偷墓铝⒆?。結(jié)果令人大為振奮，人們在不同的自然科學(xué)領(lǐng)域都發(fā)現(xiàn)了孤立子的存在。到目前為止，孤立子現(xiàn)在已經(jīng)廣泛的應(yīng)用到許多領(lǐng)域中，例如流體力學(xué)、非線性光學(xué)、等離子體、電磁學(xué)、生命科學(xué)、通訊等等。1.1孤立子與孤立子理論的發(fā)展1834年，英國科學(xué)家、造船工程師J.S.Russell（約翰·羅素）騎馬在愛丁堡附近的一條運河河道中，偶然觀察到了一種奇妙的水波。這種水波在行進過程中速度與形狀在較長時間內(nèi)沒有明顯變化，他把這種水波稱為孤立波。之后Russell為了更加仔細的研究這種現(xiàn)象，進行了許多實驗并且觀察到了這樣的孤立波。但是由于Russell一直都不能建立合理描述孤立波的數(shù)學(xué)模型，當時科學(xué)界的權(quán)威們對這個結(jié)果一開始就表示了懷疑和反對。甚至連當時對波動研究頗有造詣的英國天文學(xué)家GeorgeBiddellAiry與英國流體力學(xué)家GeorgeGabrielStokes也對此提出質(zhì)疑，懷疑在靜止水面上能存在不變形的行波。他們的懷疑的問題主要有：一個完整的波動為什么會全部在水面上，而不是一部分在水面上，一部分在水面下；波在傳播的過程中，為什么波幅不會衰減；波的運動速度也與他們的研究結(jié)果不符。此后許多人都對這種波進行了進一步研究，但是均未能成功的給出令人信服的數(shù)學(xué)證明，爭論一直持續(xù)了幾十年。直到1895年，荷蘭著名數(shù)學(xué)家D.J.Korteweg和他的學(xué)生G.deVries在研究小振幅長波在淺水中的運動時，建立了著名的Korteweg-deVries（KdV）方程，并且求出了與羅素描述一致的孤波解。至此，孤波的存在才得到了公認。但是，孤立波是否穩(wěn)定？兩個孤立波碰撞后是否變形？這些問題仍沒有解決，不少科學(xué)家對此持否定態(tài)度，認為孤立波“不穩(wěn)定”，放棄了進一步的研究。孤立波又一次失去了人們的關(guān)注，第三章代數(shù)幾何解求解非線性偏微分方程一直是非線性科學(xué)的重要內(nèi)容之一，在自然科學(xué)、物理學(xué)、工程應(yīng)用中都具有重要的意義。但是由于非線性方程的復(fù)雜性導(dǎo)致總是找不到有效地求解方法。孤立子的興起，給求解非線性偏微分方程帶來了新的活力。在孤立子理論中，蘊含了一系列行之有效的構(gòu)造孤立子方程顯示解的方法。B?cklund與Darboux變換法形成于十九世紀的B?cklund變換法最早是被用來構(gòu)造與研究偽球面的。1883年瑞典幾何學(xué)家B?cklund在研究Gauss曲率為負常值的曲線時，發(fā)現(xiàn)了sine-Gordon方程一個很有趣的性質(zhì)：若u是sine-Gordon方程的解，則通過如下變換：可以得到sine-Gordon方程的另一個新解，我們稱該變換為B?cklund變換。一般來說，若一個變換可以將偏微分方程的解u變換為另一個偏微分方程的解v，則稱該變換為B?cklund變換。特別地，當時，稱該變換為它B?cklund變換；當時，稱該變換為自B?cklund變換，又稱為Darboux變換，或B?cklund變換的Darboux方法。Darboux變換是構(gòu)造非線性方程顯示解的十分有效的方法之一。1882年，G.Darboux在研究一維Schr?dinger方程的特征值問題時發(fā)現(xiàn)并提出了最原始的Darboux變換。Darboux變換法只需做一次完全可積的線性方程組的求解，然后就可以只用代數(shù)運算得到非線性方程的新解。尋找一種規(guī)范變換使得相應(yīng)的Lax對保持不變是構(gòu)造Darboux變換的關(guān)鍵，在這方面已經(jīng)發(fā)展出了很多技巧并且在各種類型的方程求解中都得到了廣泛應(yīng)用。伴隨著孤立子理論的發(fā)展，Darboux變換也越來越受到人們的重視。反散射法1967年，C.S.Gardner、J.M.Greene、M.D.Kruskal和R.M.Miura(GGKM)在研究KdV方程時，利用Schr?dinger方程的反散射論證將KdV方程的初值問題轉(zhuǎn)化為三個求解線性方程的問題，得到了N孤子解，這種方法被稱為反散射法。1968年，Lax整理提出了反散射方法的一般框架，并指出用反散射方法的前提是找到方程的Lax表示（Lax對）。1972年，Zakharov和Shabat運用Lax的思想，用反散射法求解了非線性Schr?dinger方程，首次證明了反散射法的一般性。雙線性法1971年，Hirota引進了一種直接的代數(shù)方法來構(gòu)造微分方程的多孤子解和B?cklund變換，稱為雙線性法。求解過程為：引入因變量的變換，將原方程改為雙線性形式，采用級數(shù)擾動展開法，求出方程的單孤子解、雙孤子解和三孤子解，最后猜測N孤子解的表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。雙線性法以雙線性微分算子為工具，不涉及到方程的線性問題，僅與求解方程有關(guān)，簡單直接。穿衣方法1974年，Zakharov和Shabat提出了穿衣方法。這種方法構(gòu)造了可積非線性演化方程還求出了相對應(yīng)的Lax對，并且進一步給出求解公式。它從一個積分算子F和兩個Volterra算子出發(fā)，由算子三角因式分解關(guān)系式得到GLM方程，再由穿衣關(guān)系將已知可交換的常系數(shù)微分算子（，）轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪徊煌目山粨Q穿衣算子（，），由穿衣算子的形容性得到可積非線性演化方程。再利用初始算子（，）與算子F的交換性[，F(xiàn)]=0（k=1,2），球的分核F，最后利用GLM方程求得微分算子的核，即求出所得的方程的解。這種方法已經(jīng)廣泛的應(yīng)用于研究物理上有意義的一些重要方程，例如：KdV、KP、Sine-Gordon等方程。齊次平衡法齊次平衡法本質(zhì)上是求解非線性偏微分法成精確解的一種指導(dǎo)原則，可以提前判定非線性偏微分方程是否存在一定形式的精確解，它可以看成Cole-Hopf變換的一般化和擴展。求解過程為：分析非線性數(shù)學(xué)物理方程的非線性特點、色散和耗散因素的階數(shù)，按最高階數(shù)可平衡確定非線性方程解（含待定函數(shù)）具有的一般形式或非線性變換的一般形式，然后帶回原方程，合并待定函數(shù)激起偏導(dǎo)數(shù)的其次部分，使其平衡，從而得到易于求解的待定函數(shù)的齊次偏微分方程組。代數(shù)幾何解KdV方程的有限帶勢解在上世紀70年代中期開始引起人們的研究興趣，這種解也別被為代數(shù)幾何解。代數(shù)幾何解可以被當做是經(jīng)典孤立子解或者有理數(shù)解的自然推廣，也可以被用來近似更加一般的解，所以代數(shù)幾何解的研究引起了人們的極大的興趣。代數(shù)幾何知識的一個基本應(yīng)用就是用于求解可積的非線性發(fā)展方程。關(guān)于孤立子方程代數(shù)幾何解的研究，最早是在1974年至1975年，起源于孤立子方程具有周期初值的Cauchy問題的求解。具有周期勢函數(shù)u(x)的Schr?dinger算子是由一系列區(qū)間[E,E]，k=0,1，…構(gòu)成，具有區(qū)域狀的譜分布。若k是有限數(shù)，那對應(yīng)的勢函數(shù)就是有限帶勢函數(shù)。Marchenko、Novikov以及Lax等人從有限帶勢函數(shù)的角度出發(fā)，對KdV方程做了研究，他們發(fā)現(xiàn)所有的有限帶勢函數(shù)u(x)都是某個高次穩(wěn)態(tài)KdV方程的解。Dubrovin、Matveev和Its等人對有限帶勢函數(shù)的求解問題化為了某個二層緊致Riemann面Γ上的Jacobi反演問題，并對這個Jacobi問題進行了精確求解，從而得到了u(x)的用Riemann-theta函數(shù)表示的精確表達式u(x)=2lnθ(Vx+D)=c,θ(p)=exp<Bk,k>+<p,k>,pC.若取D=D(0)+Wt，則u(x,t)就是KdV方程的解。這樣的解被稱為KdV方程的代數(shù)幾何解。由Dubrovin、Its、Matveev和Lax等人所開創(chuàng)的求解孤立子方程的代數(shù)幾何法很快就被應(yīng)用于sine-Gordon方程、NLS方程、Kaup-Boussinesq方程等孤立子方程的求解。但是這類解依賴于緊致Riemann面Γ這個參數(shù)，這使得人們很難對代數(shù)幾何解的特性進行進一步研究，同時也限制了代數(shù)幾何解在實際中的應(yīng)用。Bobenko等通過數(shù)值計算的方法對代數(shù)幾何解進行了研究。Gesztesy和Ratnaseelan等提出了一種通過代數(shù)的途徑構(gòu)造代數(shù)幾何解的方法。1988年，曹策問教授最先提出了Lax對的非線性化方法。接著周汝光教授、喬志軍教授、耿獻國教授等進一步加強了這種方法，提出了通過Lax對非線性化或者分離變量法來構(gòu)造孤立子方程代數(shù)幾何解的方法。該求解方法的一般過程為：通過Lax對的非線性化或者分離變量的方法把孤立子方程族分解為相容的常微分方程或相容的常微分方程和離散流的演化。通過特征函數(shù)所滿足Lax方程的解矩陣，合適的引入橢圓變量，由此給出孤立子方程與相容的常微分方程之間的直接的關(guān)系。應(yīng)用代數(shù)曲線和Riemann面的理論，給出構(gòu)造Abel-Jacobi坐標和拉直各種流（連續(xù)流和離散流）的方法。最后利用Riemann-Jacobi反演的方法生成由theta函數(shù)給出的顯示解。這種方法借助黎曼曲面知識，討論了孤立子方程的相容分解和在黎曼曲面上的線性約化（拉直）問題，揭示了無窮維線性動力系統(tǒng)在黎曼曲面上的潛在線性行為。該方法可以使大量的新的有限維可積系統(tǒng)可以從已知的1+1維孤子族中獲得并繼承孤立子方程本身的性質(zhì)，還可以用于求解1+1維孤立子方程，借助空間和時間變量分離，將1+1維孤立子方程的解（周期解、擬周期解等）化為兩個相容的有限可積方程的解，因此這種方法也被稱為非線性偏微分方程的變量分離，這種方法也被推廣到線性系統(tǒng)。之后給出來各種類似的拓展，例如：約束高階對稱，約束流方法，高階特征值問題的非線性化等。Lax矩陣的有限階展開法是構(gòu)造過離子方程擬周期解的另一強有力工具。該方法先由已知的（連續(xù)或者離散）譜問題和及其輔譜問題出發(fā)，利用Lenard算子對構(gòu)造遞推序列，進而構(gòu)造出形影的向量場（流）和非線性演化方程族。對于連續(xù)的情況，特征值問題非線性化可以得到有限維可積系統(tǒng)；對于離散的情況，則得到有限維可積系統(tǒng)和一個科技的辛映射。（可積性指2N維Hamilton系統(tǒng)下的Liouville可積，即要找到N個兩兩對合的獨立的守恒積分）。引入橢圓坐標和擬Abel-Jacobi坐標，借助母函數(shù)流的方法證明了可積性。然后引入黎曼面上的Abel-Jacobi坐標，直化離散流和連續(xù)流，最后再借助黎曼定理和Abel-Jacobi反演法，得到孤立子方程在原始坐標下的代數(shù)幾何解。值得一提的是在利用代數(shù)幾何法求解某些孤立子方程的解時，其Abel-Jacobi坐標相應(yīng)的時間流下的拉直必須在一定的限制條件下才能完成，這導(dǎo)致我們不能構(gòu)造出方程的所有解，但是那些不能用theta函數(shù)形式表示的方程的解到底是不是代數(shù)幾何解還有待定論。下面我們以Dirac方程為例，以解釋其具體的求解程序?？紤]Dirac譜問題=U=.為了導(dǎo)出Dirac方程族，引入Lenard遞推序列,其中可以由遞推關(guān)系式唯一確定。通過計算可以得到,…構(gòu)造譜問題的輔助譜問題其中我們可以得到如下Dirac方程族該方程首個非線性Dirac方程利用分離變量，將非線性Dirac方程分解為兩組相容的常微分方程組其中.引入超橢圓Riemann面它有N個虧格。每個對應(yīng)上不同層面的兩個點和。任選一個固定點，引入Abel-Jacobi坐標如下其中則我們可以得到上的一個Abel映射定義為上的Riemann-theta函數(shù)定義如下：其中根據(jù)Riemann定理，一定存在兩個常向量使得在處有N個零點，而在處有N個零點。為了使函數(shù)取單值，積分是一個與無關(guān)的常數(shù)，其中根據(jù)留數(shù)定理得.則當k=1時我們有當k=2時我們就可以得到非線性Dirac方程的代數(shù)幾何解如下：其中是兩個常數(shù)。隨著代數(shù)幾何法在求解孤立子方程精確解方面的廣泛應(yīng)用，其取得的成就是有目共睹的。但是隨著大量成功構(gòu)造孤立子方程的代數(shù)幾何解，代數(shù)幾何法的弊端也慢慢顯露出來，這種方法過于依賴黎曼定理。受到黎曼定理的限制，代數(shù)幾何法只能構(gòu)造出嚴格符合黎曼定理條件的孤立子方程的代數(shù)幾何解，例如：橢圓坐標的個數(shù)與代數(shù)曲線的虧格必須完全一致；并且該方法也只能用于構(gòu)造出與2×2矩陣譜問題相關(guān)聯(lián)的非線性演化方程族的解，而對于3×3或者更高階的矩陣譜問題卻只能束手無策。這對于高階矩陣譜問題這一廣闊的領(lǐng)域而言是一個莫大的遺憾。但是隨著對代數(shù)幾何解的跟深入的研究，一種新的基于現(xiàn)有的代數(shù)幾何法的方法應(yīng)運而生。該方法對于孤立子方程相應(yīng)的譜問題與輔譜問題的處理以及橢圓坐標和Abel-Jacobi坐標的引入與代數(shù)幾何法基本一致，但卻通過在超橢圓曲線上引入的亞純函數(shù)φ和Baker-Akhiezer向量ψ的代數(shù)幾何特征與它們在無窮遠點處的漸近性質(zhì)，突破黎曼定理的限制，構(gòu)造出了孤立子方程黎曼theta函數(shù)形式的代數(shù)幾何解，用于構(gòu)造3×3或者更高階矩陣譜問題所對應(yīng)的孤立子方程族的代數(shù)幾何解的準備工作。致謝此篇論文得以順利完成，我要特別感謝我的指導(dǎo)老師薛老師的熱情關(guān)懷和悉心指導(dǎo).在我撰寫論文的過程中，薛老師傾注了大量的心血和汗水，無論是在論文的選題、構(gòu)思和資料的收集方面，還是在論文的研究方法以及成文定稿方面，我都得到了薛老師悉心細致的教誨和無私的幫助，特別是他廣博的學(xué)識、深厚的學(xué)術(shù)素養(yǎng)、嚴謹?shù)闹螌W(xué)精神和一絲不茍的工作作風(fēng)使我終生受益，他循循善誘的教導(dǎo)和不拘一格的思路給予我無盡的啟迪.在此我向他表示我誠摯的謝意。還要感謝大學(xué)四年來給我極大關(guān)心和支持的各位老師，他們不僅教給了我許多專業(yè)知識，更重要的是教給了我分析、解決問題的方法。同時，也要感謝關(guān)心和幫助過我的室友和同學(xué)們，在寫論文時，他們給了我很多幫助?？傊?，此次論文的寫作過程，我收獲了很多，既為大學(xué)四年劃上了一個完美的句號，也為將來的人生之路做好了一個很好的鋪墊。最后，向評審論文的各位老師致以深深的敬意和衷心的感謝。參考文獻[1]J.S.Russell,Reportofthecommitteeonwaves,Reportofthe7thMeetingofBritishAssociationfortheAdvancementofScience,Liverpool(1838)417.[2]D.J.KortewegandG.deVries,Onthechangeofformoflongwavesadvancinginarectangularcanal,anonanewtypeoflongstationarywave,Philos.Mag.Ser.39(1895)422.[3}N.J.ZabuskyandM.D.Kruskal.Interactionofsolitonsinacollisionlessplasmaandtherecurrenceofinitialstatus,Phys.Rev.Lett.15(1965)240.[4]C.S.Gardner,J.M.Greene,M.D.KruskalandR.M.Miura;MethodforsolvingtheKorteweg-deVriesequation,Phys.Rev.Lett.19(1967)1095.[5]M.J.AblowitzandH.Segur,Solitonsandtheinversescatteringtransform(PA:SIAM,Philadelphia,1981).[6]R.BealsandR.R.Coifman,Inversescatteringandevolutionequations,Commun.PureAppl.Math.38(1985)29.[7]H.Flaschka,OntheTodalatticeII.Inversescatteringsolutions,Progr.Theo.Phys.51(1974)703.[8]B.B.KadomtsevandV.1.Petviashvili,Onthestabilityofsolitarywavesinweaklydispersivemedia,Sov.Phys.Dokl.15(1970)539.[9]V.E.ZakharovandA.B.Shabat,Aschemeforintegratingthenonlinearequationsofmathematicalphysicsbythemethodoftheinversescatteringproblem.Ⅰ,Funct.Anal.Appl.8(1974)226.[10]V.B.MatveevandM.A.Salle,Darbouxtransformationsandsolitons(Springer,Berlin,1991).[11]谷超豪，胡和生，周子翔，孤立子理論中的達布變換及其幾何應(yīng)用(上海科學(xué)技術(shù)出版社，上海，1999).[12]X.G.GengandH.W.Tam,DarbouxtransformationandsolitonsolutionsforgeneralizednonlinearSchrodingerequations,J.Phys.Soc.Jpn.68(1