隨機(jī)事件及概率 - 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

隨機(jī)事件及概率一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題概率與統(tǒng)計(jì)高考

數(shù)學(xué)考點(diǎn)清單題型清單目錄考點(diǎn)1隨機(jī)事件的概率考點(diǎn)2古典概型考點(diǎn)3事件的相互獨(dú)立性考點(diǎn)4條件概率與全概率公式題型1相互獨(dú)立事件概率的求法題型2條件概率公式的應(yīng)用題型3全概率公式的應(yīng)用考情清單考點(diǎn)1隨機(jī)事件的概率1.隨機(jī)事件的頻率與概率(1)頻數(shù)與頻率:在相同的條件S下進(jìn)行n次試驗(yàn),觀察某一事件A是否出現(xiàn),稱(chēng)n次試驗(yàn)中

事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù),稱(chēng)事件A出現(xiàn)的比例fn(A)=

為事件A出現(xiàn)的頻率.(2)概率:對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱(chēng)為事件的概率,事件A的概率用P(A)表示.2.互斥事件與對(duì)立事件名稱(chēng)定義符號(hào)表示互斥事件若A∩B為不可能事件,那么稱(chēng)事

件A與事件B互斥A∩B=?對(duì)立事件若A∩B為不可能事件,A∪B為

必然事件,那么稱(chēng)事件A與事件B

互為對(duì)立事件A∩B=?且A∪B=Ω(Ω為全集)易錯(cuò)易混互斥事件與對(duì)立事件對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況,要區(qū)分它們主要是看這兩個(gè)互斥事件的發(fā)生是否

“非此即彼”,若是,則為對(duì)立事件,若不是,則不是對(duì)立事件.3.概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1:對(duì)任意的事件A,都有P(A)≥0.性質(zhì)2:必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(Ω)=1,P(?)=0.性質(zhì)3:如果事件A與事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).性質(zhì)4:如果事件A與事件B互為對(duì)立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).性質(zhì)5:如果A?B,那么P(A)≤P(B).性質(zhì)6:設(shè)A,B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件,則P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).考點(diǎn)2古典概型1.古典概型的兩個(gè)特點(diǎn)(1)有限性:樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè);(2)等可能性:每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.2.古典概型的概率公式(1)對(duì)于古典概型,在包含n個(gè)樣本點(diǎn)的樣本空間Ω中,每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的概率都是相等

的,即每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的概率都是

.(2)設(shè)試驗(yàn)E是古典概型,樣本空間Ω包含n個(gè)樣本點(diǎn),事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn),則定

義事件A的概率P(A)=

=

.其中,n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).考點(diǎn)3事件的相互獨(dú)立性1.定義:對(duì)任意的兩個(gè)事件A與B,如果P(AB)=P(A)·P(B)成立,則稱(chēng)事件A與事件B相互獨(dú)

立.2.性質(zhì):若事件A與事件B相互獨(dú)立,則A與

,

與B,

與

也都相互獨(dú)立,P(B|A)=P(B).考點(diǎn)4條件概率與全概率公式1.條件概率及性質(zhì)(1)一般地,設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件,且P(A)>0,稱(chēng)P(B|A)=

為在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的條件概率,簡(jiǎn)稱(chēng)條件概率.(2)條件概率的性質(zhì)設(shè)P(A)>0,則①P(Ω|A)=1.②如果B和C是兩個(gè)互斥事件,則P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).③設(shè)

和B互為對(duì)立事件,則P(

|A)=1-P(B|A).(3)概率的乘法公式對(duì)任意兩個(gè)事件A與B,若P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A).2.全概率公式一般地,設(shè)A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,

則對(duì)任意的事件B?Ω,有P(B)=

P(Ai)·P(B|Ai).即練即清1.判斷正誤(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“?”)(1)擲一枚骰子,事件“雙數(shù)朝上”的概率為

,則擲100次,剛好有50次雙數(shù)朝上.

(

)(2)若事件A,B,C兩兩互斥,則P(A)+P(B)+P(C)=1.

(

)(3)P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率,P(AB)表示事件A,B同時(shí)發(fā)生

的概率.

(

)(4)若事件A,B相互獨(dú)立,則P(B|A)=P(B).

(

)2.已知盒中裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球、5個(gè)黑球,它們的大小和形狀完全相同.甲每次從

中任取一個(gè)球不放回,則在他第一次拿到白球的條件下,第二次拿到紅球的概率為

.××√√題型1相互獨(dú)立事件概率的求法計(jì)算相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率,一般分為以下幾步:(1)先用字母表示出事件,

再分析題中涉及的事件,把題中涉及的事件分為若干個(gè)彼此互斥的事件的和;(2)根據(jù)

相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式計(jì)算出這些彼此互斥的事件的概率;(3)最后根據(jù)互斥事

件的概率計(jì)算公式求出結(jié)果.例1

(2020課標(biāo)Ⅰ理,19,12分)甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽,約定賽制如下:累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰;比賽前抽簽決定首先比賽的兩人,另一人輪空;每場(chǎng)比賽的勝者

與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽,負(fù)者下一場(chǎng)輪空,直至有一人被淘汰;當(dāng)一人被淘汰后,剩余

的兩人繼續(xù)比賽,直至其中一人被淘汰,另一人最終獲勝,比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽,甲、乙首先比賽,丙輪空.設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為

.(1)求甲連勝四場(chǎng)的概率;(2)求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率;(3)求丙最終獲勝的概率.

解析

(1)甲連勝四場(chǎng)只能是前4場(chǎng),所求概率為

=

.(提醒:如果甲第1場(chǎng)負(fù),那么第2場(chǎng)甲不出場(chǎng),在剩余的3場(chǎng)比賽中,甲不可能連勝4場(chǎng))(2)根據(jù)賽制,至少需要進(jìn)行四場(chǎng)比賽,至多需要進(jìn)行五場(chǎng)比賽.比賽四場(chǎng)結(jié)束,共有三種情況:甲連勝四場(chǎng)的概率為

;乙連勝四場(chǎng)的概率為

;丙上場(chǎng)后連勝三場(chǎng)的概率為

.所以需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率為1-

-

-

=

.(提醒:正面求解情況比較復(fù)雜,故考慮先求其對(duì)立事件“比賽只進(jìn)行4場(chǎng)”的概率,再利用公式P(A)=1-P(

)求解)(3)丙最終獲勝有兩種情況:比賽四場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝的概率為

;比賽五場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝,則從第二場(chǎng)開(kāi)始的四場(chǎng)比賽按照丙的勝、負(fù)、輪空結(jié)果有三種情況:勝勝負(fù)勝,勝負(fù)空勝,負(fù)空勝勝,概

率分別為

,

,

.因此丙最終獲勝的概率為

+

+

+

=

.即練即清1.(2023福建泉州三模)某運(yùn)動(dòng)員每次射擊擊中目標(biāo)的概率均相等,若三次射擊中,至少

有一次擊中目標(biāo)的概率為

,則射擊一次,擊中目標(biāo)的概率為

(

)A.

B.

C.

D.

B題型2條件概率公式的應(yīng)用求條件概率的兩種方法(1)利用定義,分別求P(A)和P(AB),得P(B|A)=

,這是求條件概率的通法.(2)借助古典概型概率公式,先求事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)n(A),再求事件A與事件B的交事

件中包含的樣本點(diǎn)數(shù)n(AB),得P(B|A)=

.例2從1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù),事件A=“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”,事件B=

“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”,則P(B|A)=

(

)A.

B.

C.

D.

解析

解法一根據(jù)條件概率公式求解.P(A)=

=

=

,P(AB)=

=

.由條件概率計(jì)算公式,得P(B|A)=

=

=

.解法二縮小樣本空間,利用古典概型概率公式求解.事件A包含的樣本點(diǎn)為(1,3),(1,5),(3,5),(2,4),共4個(gè).事件AB包含的樣本點(diǎn)只有(2,4)1個(gè),即n(AB)=1.故由古典概型概率公式知P(B|A)=

=

.

答案

B即練即清2.將三顆骰子各擲一次,設(shè)事件A為“三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同”,B為“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”,

則P(A|B)=

,P(B|A)=

.答案

;

題型3全概率公式的應(yīng)用全概率公式的直觀意義:通常把B1,B2,…,Bn看成導(dǎo)致A發(fā)生的一組原因.如若A是

“次品”,必是n個(gè)車(chē)間生產(chǎn)了次品;若A是“某種疾病”,必是幾種病因?qū)е翧發(fā)生;若A

表示“被擊中”,必有幾種方式或幾個(gè)人打中.(1)何時(shí)用全概率公式:多種原因?qū)е率录陌l(fā)生.(2)數(shù)學(xué)本質(zhì)是先利用一組兩兩互斥的事件(和為必然事件)分割事件B,再由概率的加

法公式和乘法公式求事件B的概率.例3有一批同一型號(hào)的產(chǎn)品,已知其中由一廠生產(chǎn)的占30%,二廠生產(chǎn)的占50%,三廠

生產(chǎn)的占20%.已知這三個(gè)廠的產(chǎn)品次品率分別為2%,1%,1%,問(wèn)從這批產(chǎn)品中任取一

件是次品的概率是多少?

解析

設(shè)事件A為“任取一件為次品”,事件Bi為“任取一件為i廠的產(chǎn)品”,i=1,2,3,且B1,B2,B3兩兩互斥,根據(jù)題意得P(B1)=0.3,P(B2)=0.5,P(B3)=0.2,P(A|B1)=0.02,P(A|B2)=0.01,P(A|B3)=0.01,故P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A