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廣東省湛江一中下學(xué)期2024屆高考數(shù)學(xué)考前最后一卷預(yù)測(cè)卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)是A.1+i B.1?i C.?1+i D.?1?i2.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.3.已知等差數(shù)列滿(mǎn)足,公差,且成等比數(shù)列,則A.1 B.2 C.3 D.44.《九章算術(shù)》中記載,塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱,陽(yáng)馬指底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.如圖,在塹堵中,,,當(dāng)陽(yáng)馬體積的最大值為時(shí),塹堵的外接球的體積為()A. B. C. D.5.函數(shù)的部分圖象如圖中實(shí)線所示,圖中圓與的圖象交于兩點(diǎn),且在軸上,則下列說(shuō)法中正確的是A.函數(shù)的最小正周期是B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)C.函數(shù)在單調(diào)遞增D.函數(shù)的圖象向右平移后關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)6.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是,則()A.0 B.55 C.66 D.787.設(shè)則以線段為直徑的圓的方程是()A. B.C. D.8.已知函數(shù),關(guān)于x的方程f(x)=a存在四個(gè)不同實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(0,1)∪(1,e) B.C. D.(0,1)9.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足,其中為虛數(shù)單位,是的共軛復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)()A. B. C.4 D.510.等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),且,則()A.12 B.10 C.8 D.11.已知各項(xiàng)都為正的等差數(shù)列中,,若,,成等比數(shù)列,則()A. B. C. D.12.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,,如圖是過(guò)且垂直于長(zhǎng)軸的弦,則的內(nèi)切圓方程是________.14.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)___.15.已知半徑為4的球面上有兩點(diǎn)A,B,AB=42,球心為O,若球面上的動(dòng)點(diǎn)C滿(mǎn)足二面角C-AB-O的大小為60°16.在正方體中,為棱的中點(diǎn),是棱上的點(diǎn),且,則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知正數(shù)x,y,z滿(mǎn)足xyzt(t為常數(shù)),且的最小值為,求實(shí)數(shù)t的值.18.(12分)如圖,在四棱錐中,底面是平行四邊形,平面,是棱上的一點(diǎn),滿(mǎn)足平面.(Ⅰ)證明:;(Ⅱ)設(shè),,若為棱上一點(diǎn),使得直線與平面所成角的大小為30°,求的值.19.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)如圖,四棱錐中,平面平面,底面為梯形.,且與均為正三角形.為的中點(diǎn)為重心,與相交于點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求三棱錐的體積.21.(12分)山東省2020年高考將實(shí)施新的高考改革方案.考生的高考總成績(jī)將由3門(mén)統(tǒng)一高考科目成績(jī)和自主選擇的3門(mén)普通高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)考試科目成績(jī)組成,總分為750分.其中,統(tǒng)一高考科目為語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ),自主選擇的3門(mén)普通高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)考試科目是從物理、化學(xué)、生物、歷史、政治、地理6科中選擇3門(mén)作為選考科目,語(yǔ)、數(shù)、外三科各占150分,選考科目成績(jī)采用“賦分制”,即原始分?jǐn)?shù)不直接用,而是按照學(xué)生分?jǐn)?shù)在本科目考試的排名來(lái)劃分等級(jí)并以此打分得到最后得分.根據(jù)高考綜合改革方案,將每門(mén)等級(jí)考試科目中考生的原始成績(jī)從高到低分為A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8個(gè)等級(jí)。參照正態(tài)分布原則,確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等級(jí)考試科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí),將A至E等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī),依照等比例轉(zhuǎn)換法則,分別轉(zhuǎn)換到91-100、81-90、71-80,61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間,得到考生的等級(jí)成績(jī).舉例說(shuō)明.某同學(xué)化學(xué)學(xué)科原始分為65分,該學(xué)科C+等級(jí)的原始分分布區(qū)間為58~69,則該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的原始成績(jī)屬C+等級(jí).而C+等級(jí)的轉(zhuǎn)換分區(qū)間為61~70,那么該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的轉(zhuǎn)換分為:設(shè)該同學(xué)化學(xué)科的轉(zhuǎn)換等級(jí)分為x,69-6565-58=70-x四舍五入后該同學(xué)化學(xué)學(xué)科賦分成績(jī)?yōu)?7.(1)某校高一年級(jí)共2000人,為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù),對(duì)六個(gè)選考科目進(jìn)行測(cè)試,其中物理考試原始成績(jī)基本服從正態(tài)分布ξ~N(60,12(i)若小明同學(xué)在這次考試中物理原始分為84分,等級(jí)為B+,其所在原始分分布區(qū)間為82~93,求小明轉(zhuǎn)換后的物理成績(jī);(ii)求物理原始分在區(qū)間(72,84)的人數(shù);(2)按高考改革方案,若從全省考生中隨機(jī)抽取4人,記X表示這4人中等級(jí)成績(jī)?cè)趨^(qū)間[61,80]的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.(附:若隨機(jī)變量ξ~N(μ,σ2),則Pμ-σ<ξ<μ+σ=0.68222.(10分)已知函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間(2)記函數(shù)的圖象為曲線,設(shè)點(diǎn)是曲線上不同兩點(diǎn),如果在曲線上存在點(diǎn),使得①;②曲線在點(diǎn)M處的切線平行于直線AB,則稱(chēng)函數(shù)存在“中值和諧切線”,當(dāng)時(shí),函數(shù)是否存在“中值和諧切線”請(qǐng)說(shuō)明理由
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】分析:化簡(jiǎn)已知復(fù)數(shù)z,由共軛復(fù)數(shù)的定義可得.詳解:化簡(jiǎn)可得z=∴z的共軛復(fù)數(shù)為1﹣i.故選B.點(diǎn)睛:本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算,涉及共軛復(fù)數(shù),屬基礎(chǔ)題.2、C【解析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性得,再比較的大小,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得選項(xiàng).【詳解】依題意得,,當(dāng)時(shí),,因?yàn)?,所以在上單調(diào)遞增,又在上單調(diào)遞增,所以在上單調(diào)遞增,,即,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用、冪、指、對(duì)的大小比較,以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬于中檔題.3、D【解析】
先用公差表示出,結(jié)合等比數(shù)列求出.【詳解】,因?yàn)槌傻缺葦?shù)列,所以,解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.屬于簡(jiǎn)單題,化歸基本量,尋求等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.4、B【解析】
利用均值不等式可得,即可求得,進(jìn)而求得外接球的半徑,即可求解.【詳解】由題意易得平面,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,又陽(yáng)馬體積的最大值為,所以,所以塹堵的外接球的半徑,所以外接球的體積,故選:B【點(diǎn)睛】本題以中國(guó)傳統(tǒng)文化為背景,考查四棱錐的體積、直三棱柱的外接球的體積、基本不等式的應(yīng)用,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng).5、B【解析】
根據(jù)函數(shù)的圖象,求得函數(shù),再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì),即可求解,得到答案.【詳解】根據(jù)給定函數(shù)的圖象,可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,所以,解得,所以的最小正周期,不妨令,,由周期,所以,又,所以,所以,令,解得,當(dāng)時(shí),,即函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為,即函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng).故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式,以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),其中解答中根據(jù)函數(shù)的圖象求得三角函數(shù)的解析式,再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】
先分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況計(jì)算出的值,可進(jìn)一步得到數(shù)列的通項(xiàng)公式,然后代入轉(zhuǎn)化計(jì)算,再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計(jì)算出結(jié)果.【詳解】解:由題意得,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí),;當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,所以故選:D【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題,以及數(shù)列求和,考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用,等差數(shù)列的求和公式,屬于中檔題.7、A【解析】
計(jì)算的中點(diǎn)坐標(biāo)為,圓半徑為,得到圓方程.【詳解】的中點(diǎn)坐標(biāo)為:,圓半徑為,圓方程為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.8、D【解析】
原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有四個(gè)不同的實(shí)根,換元處理令t,對(duì)g(t)進(jìn)行零點(diǎn)個(gè)數(shù)討論.【詳解】由題意,a>2,令t,則f(x)=a????.記g(t).當(dāng)t<2時(shí),g(t)=2ln(﹣t)(t)單調(diào)遞減,且g(﹣2)=2,又g(2)=2,∴只需g(t)=2在(2,+∞)上有兩個(gè)不等于2的不等根.則?,記h(t)(t>2且t≠2),則h′(t).令φ(t),則φ′(t)2.∵φ(2)=2,∴φ(t)在(2,2)大于2,在(2,+∞)上小于2.∴h′(t)在(2,2)上大于2,在(2,+∞)上小于2,則h(t)在(2,2)上單調(diào)遞增,在(2,+∞)上單調(diào)遞減.由,可得,即a<2.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,2).故選:D.【點(diǎn)睛】此題考查方程的根與函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題,關(guān)鍵在于等價(jià)轉(zhuǎn)化,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為通過(guò)導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性解決問(wèn)題.9、D【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則先求出復(fù)數(shù)z,再計(jì)算它的模長(zhǎng).【詳解】解:復(fù)數(shù)z=a+bi,a、b∈R;∵2z,∴2(a+bi)﹣(a﹣bi)=,即,解得a=3,b=4,∴z=3+4i,∴|z|.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算問(wèn)題,要求熟練掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)長(zhǎng)度的計(jì)算公式,是基礎(chǔ)題.10、B【解析】
由等比數(shù)列的性質(zhì)求得,再由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可得結(jié)論.【詳解】∵數(shù)列是等比數(shù)列,∴,,∴.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則,掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.11、A【解析】試題分析:設(shè)公差為或(舍),故選A.考點(diǎn):等差數(shù)列及其性質(zhì).12、C【解析】
結(jié)合基本初等函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性,結(jié)合各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】A:為非奇非偶函數(shù),不符合題意;B:在上不單調(diào),不符合題意;C:為偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增,符合題意;D:為非奇非偶函數(shù),不符合題意.故選:C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
利用公式計(jì)算出,其中為的周長(zhǎng),為內(nèi)切圓半徑,再利用圓心到直線AB的距離等于半徑可得到圓心坐標(biāo).【詳解】由已知,,,,設(shè)內(nèi)切圓的圓心為,半徑為,則,故有,解得,由,或(舍),所以的內(nèi)切圓方程為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓中三角形內(nèi)切圓的方程問(wèn)題,涉及到橢圓焦點(diǎn)三角形、橢圓的定義等知識(shí),考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道中檔題.14、28【解析】
將已知式轉(zhuǎn)化為,則的展開(kāi)式中的系數(shù)中的系數(shù),根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式可求得其值.【詳解】,所以的展開(kāi)式中的系數(shù)就是中的系數(shù),而中的系數(shù)為,展開(kāi)式中的系數(shù)為故答案為:28.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式展開(kāi)式中的某特定項(xiàng)的系數(shù),關(guān)鍵在于將原表達(dá)式化簡(jiǎn)將三項(xiàng)的冪的形式轉(zhuǎn)化為可求的二項(xiàng)式的形式,屬于基礎(chǔ)題.15、4【解析】
設(shè)△ABC所在截面圓的圓心為O1,AB中點(diǎn)為D,連接OD,易知∠ODO1即為二面角C-AB-O的平面角,可求出OD,?O1D及OO1,然后可判斷出四面體OABC外接球的球心E在直線OO1上,在【詳解】設(shè)△ABC所在截面圓的圓心為O1,AB中點(diǎn)為D,連接OD,OA=OB,所以,OD⊥AB,同理O1D⊥AB,所以,∠ODO1即為二面角∠ODO因?yàn)镺A=OB=4,?AB=42,所以△OAB在Rt△ODO1中,由cos60o=O1D因?yàn)镺1到A、B、C三的距離相等,所以,四面體OABC外接球的球心E在直線OO設(shè)四面體OABC外接球半徑為R,在Rt△O1由勾股定理可得:O1B2+O【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問(wèn)題,考查了學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力及計(jì)算求解能力,屬于中檔題.16、【解析】
根據(jù)題意畫(huà)出幾何題,建立空間直角坐標(biāo)系,寫(xiě)個(gè)各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),并求得.由空間向量的夾角求法即可求得異面直線與所成角的余弦值.【詳解】根據(jù)題意畫(huà)出幾何圖形,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系:設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則所以所以,所以異面直線與所成角的余弦值為,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線夾角的求法,利用空間向量求異面直線夾角,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、t=1【解析】
把變形為結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)榧矗?dāng)且僅當(dāng),,時(shí),上述等號(hào)成立,所以,即,又x,y,z>0,所以xyzt=1.【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用,利用基本不等式求解最值時(shí)要注意轉(zhuǎn)化為適用形式,同時(shí)要關(guān)注不等號(hào)是否成立,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).18、(Ⅰ)證明見(jiàn)解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)由平面,可得,又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),即得證;(Ⅱ)如圖建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),計(jì)算平面的法向量,由直線與平面所成角的大小為30°,列出等式,即得解.【詳解】(Ⅰ)如圖,連接交于點(diǎn),連接,則是平面與平面的交線,因?yàn)槠矫?,故,又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以是的中點(diǎn),故.(Ⅱ)由條件可知,,所以,故以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸,為軸,為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,設(shè),則,設(shè)平面的法向量為,則,即,故取因?yàn)橹本€與平面所成角的大小為30°所以,即,解得,故此時(shí).【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何和空間向量綜合,考查了學(xué)生邏輯推理,空間想象,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.19、(1);(2)或.【解析】
(1)分段討論得出函數(shù)的解析式,再分范圍解不等式,可得解集;(2)先求出函數(shù)的最小值,再建立關(guān)于的不等式,可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),無(wú)解;當(dāng)時(shí),;綜上,不等式的解集為;(2),又,或.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù),絕對(duì)值不等式的解法,以及關(guān)于函數(shù)的存在和任意的問(wèn)題,屬于中檔題.20、(1)見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)第(1)問(wèn),連交于,連接.證明//,即證平面.(2)第(2)問(wèn),主要是利用體積變換,,求得三棱錐的體積.【詳解】(1)方法一:連交于,連接.由梯形,且,知又為的中點(diǎn),為的重心,∴在中,,故//.又平面,平面,∴平面.方法二:過(guò)作交PD于N,過(guò)F作FM||AD交CD于M,連接MN,G為△PAD的重心,又ABCD為梯形,AB||CD,又由所作GN||AD,FM||AD,得//,所以GNMF為平行四邊形.因?yàn)镚F||MN,(2)方法一:由平面平面,與均為正三角形,為的中點(diǎn)∴,,得平面,且由(1)知//平面,∴又由梯形ABCD,AB||CD,且,知又為正三角形,得,∴,得∴三棱錐的體積為.方法二:由平面平面,與均為正三角形,為的中點(diǎn)∴,,得平面,且由,∴而又為正三角形,得,得.∴,∴三棱錐的體積為.21、(1)(i)83.;(ii)272.(2)見(jiàn)解析.【解析】
(1)根據(jù)原始分?jǐn)?shù)分布區(qū)間及轉(zhuǎn)換分區(qū)間,結(jié)合所給示例,即可求得小明轉(zhuǎn)換后的物理成績(jī);根據(jù)正態(tài)分布滿(mǎn)足N60,122(2)根據(jù)各等級(jí)人
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