浙江省湖州市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

2023學(xué)年第一學(xué)期期末調(diào)研測試卷高一數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本科目考試分試題卷和答題卷，考生須在答題紙上作答．2．本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共4頁，全卷滿分150分，考試時間120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再解對數(shù)不等式求出集合，最后根據(jù)并集的定義計(jì)算可得.【詳解】由，即，解得，即，由，解得，即，所以.故選：A2.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，則.故選：D3.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)不等式的解法，分別求得不等式構(gòu)成的解集，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由不等式，可得，構(gòu)成集合，又由，解得，構(gòu)成集合，則集合是集合的真子集，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.圖中實(shí)線是某景點(diǎn)收支差額關(guān)于游客量的圖像，由于目前虧損，景點(diǎn)決定降低成本，同時提高門票價格，決策后的圖像用虛線表示，以下能說明該事實(shí)的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線的縱截距表示成本，傾斜角與門票價格的關(guān)系判斷.【詳解】對于A，當(dāng)時，虛線值減小，說明成本提高了，不滿足題意，A錯誤；對于B，兩函數(shù)圖象平行，說明票價不變，不合題意，B錯誤；對于C，當(dāng)時，值不變，說明成本不變，不滿足題意，C錯誤；對于D，當(dāng)時，虛線值變大，說明成本見減小，又因?yàn)樘摼€的傾斜角變大，說明提高了門票的價格，符合題意，D正確，故選:D.5.已知函數(shù)，則使成立的實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式，再求解不等式.【詳解】函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，，得，解得：所以不等式的解集為.故選：C6.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，分別求得的取值范圍，即可求解.【詳解】由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得，可得，且，又由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以.故選：A.7.我們知道，每一個音都是由純音合成的，純音的數(shù)學(xué)模型是．已知某音是由3個不同的純音合成，其函數(shù)為，則（）A. B.的最大值為C.的最小正周期為 D.在上是增函數(shù)【答案】D【解析】【分析】首先代入，即可判斷A；再分別根據(jù)函數(shù)，，性質(zhì)，判斷BCD選項(xiàng).【詳解】A.，故A錯誤；B.，當(dāng)，時，函數(shù)取得最大值1，，當(dāng)，時，函數(shù)取得最大值，，當(dāng)，時，函數(shù)取得最大值，由，但三個函數(shù)不能同時取得最大值，所以函數(shù)的最大值小于，故B錯誤；C.的最小正周期為，的最小正周期為，的最小正周期為，所以函數(shù)的最小正周期為，故C錯誤；D.，，，所以函數(shù)，，在都是單調(diào)遞增函數(shù)，則函數(shù)在上是增函數(shù)，故D正確.故選：D8.已知函數(shù)（）的零點(diǎn)為，函數(shù)（）的零點(diǎn)為，則下列結(jié)論錯誤的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式易得，從而得到即，逐一判斷選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在上只有一個零點(diǎn)；而函數(shù)，且函數(shù)的零點(diǎn)為，所以，所以，故B錯誤；對于A，因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)為，所以，所以，所以，故A正確;對于，故C正確；對于，故D正確.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是將的解析式變形化為，從而可得，建立了的關(guān)系，后面再用這個關(guān)系判斷各選項(xiàng).二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.給出下列四個選項(xiàng)中，其中正確的選項(xiàng)有（）A.若角終邊過點(diǎn)且，則B.設(shè)角為銳角（單位為弧度），則C.命題“，使得”的否定是：“，均有”D.若，，則“”是“”的充分不必要條件【答案】ABD【解析】【分析】對于A、B：根據(jù)三角函數(shù)的定義分析運(yùn)算；對于C：根據(jù)特稱命題的否定分析判斷；對于D：根據(jù)與的推出關(guān)系判斷.【詳解】對于選項(xiàng)A：由題意可得：，解得，故A正確；對于選項(xiàng)B：設(shè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，單位圓與x軸正方向的交線為A，作軸，角為銳角，可知：等于的長，，則，故B正確；對于選項(xiàng)C：“，使得”的否定是：“，均有”，故C錯誤；對于選項(xiàng)D：由可得，故充分性成立，若成立，則不一定成立，如，所以“”是“”的充分不必要條件，故D正確；故選：ABD.10.若，，，則下列命題正確的是（）A.若且，則 B.若且，則C.若，則 D.【答案】BD【解析】【分析】利用特殊值判斷A，利用作差法判斷B、C、D.【詳解】對于A：當(dāng)，時，滿足且，但，故A錯誤；對于B：因?yàn)榍?，所以，故，故B正確；對于C：因?yàn)?，所以，即，故C錯誤；對于D：因?yàn)?，所以，故D正確．故選：BD．11.筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用，現(xiàn)有一個筒車按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動．每分鐘轉(zhuǎn)動5圈，如圖，將該筒車抽象為圓，筒車上的盛水桶抽象為圓上的點(diǎn)，已知圓的半徑為，圓心距離水面，且當(dāng)圓上點(diǎn)從水中浮現(xiàn)時（圖中點(diǎn)）開始計(jì)算時間，點(diǎn)的高度隨時間（單位秒）變化時滿足函數(shù)模型，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的初相為 B.1秒時，函數(shù)的相位為0C.4秒后，點(diǎn)第一次到達(dá)最高點(diǎn) D.7秒和15秒時，點(diǎn)高度相同【答案】BC【解析】【分析】由函數(shù)模型，求出、和、、，再判斷選項(xiàng)中的命題是否正確．【詳解】由題意知，函數(shù)模型中，，，，所以，又，得，顯然，所以，即函數(shù)的初相為，故A錯誤；因?yàn)椋?秒時，，所以函數(shù)的相位為，故B正確；4秒時，，點(diǎn)第一次到達(dá)最高點(diǎn)，故C正確；，，所以7秒和15秒時，點(diǎn)高度不相同，故D錯誤．故選：BC．12.已知函數(shù)對任意實(shí)數(shù)，都滿足，且，則下列說法正確的是（）A.是偶函數(shù) B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)，利用賦值法逐項(xiàng)判斷.【詳解】因?yàn)?，令，得，因?yàn)?，所以，故B錯誤；令，則，即，所以，故A正確；令，則，所以，令，則，所以，則，所以函數(shù)周期為，則，所以，故D正確.故選：ACD.第Ⅱ卷（非選擇題部分，共90分）注意事項(xiàng)：用鋼筆或簽字筆將試題卷中的題目做在答題紙上，做在試題卷上無效．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.對數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)同底的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)求得的反函數(shù).【詳解】由于同底的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，所以的反函數(shù)為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查反函數(shù)有關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題.14.已知扇形的圓心角是，半徑是3，則該扇形的面積是______.【答案】【解析】【分析】求出扇形的弧長，即可求出該扇形的面積.【詳解】解：由題意在扇形中，弧長扇形面積故答案：.15.設(shè)函數(shù)，，則函數(shù)的值域是______．【答案】【解析】【分析】首先化解函數(shù)的解析式，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求函數(shù)的值域.【詳解】，，令，設(shè)，設(shè)，，因?yàn)?，則，，，即，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又也為增函數(shù)，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，，所以函數(shù)的值域?yàn)?16.已知，其中，且，若函數(shù)在區(qū)間上有且只有三個零點(diǎn)，則的范圍為______．【答案】【解析】【分析】首先由條件確定函數(shù)的一條對稱軸，并求，并根據(jù)，求的取值范圍，并結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，再由可知，函數(shù)的一條對稱軸是，所以，，得，，又，所以，所以，當(dāng)，，由函數(shù)在區(qū)間上有且只有三個零點(diǎn)，所以，解得：.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知集合，．（1）求和；（2）若集合，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)不等式的解法和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得集合，結(jié)合集合的運(yùn)算，即可求解；（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，列出不等式組，即可求解.小問1詳解】解：由不等式，解得，所以，又由，解得，可得，所以，，則.【小問2詳解】解：由集合，且，可得，則滿足，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍．18.在平面直角坐標(biāo)系中，角的始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊過點(diǎn)．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）5（2）【解析】【分析】（1）首先由三角函數(shù)的定義求，再將齊次分式用正切表示，即可求解；另解：根據(jù)三角函數(shù)的定義，求，再代入求解.（2）利用兩角和差公式，以及二倍角公式，即可求解.【小問1詳解】由題意得，，則；另解：由角終邊過點(diǎn)，得，，則；【小問2詳解】由題意得，，，，，19.隨著電動汽車研發(fā)技術(shù)的日益成熟，電動汽車的普及率越來越高．某型號電動汽車在封閉路段進(jìn)行測試，限速（不含）．經(jīng)多次測試得到，該汽車每小時耗電量（單位：）與速度（單位：）的數(shù)據(jù)如下表所示．01030700132533759275為了描述國道上該汽車每小時耗電量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：，，．（1）當(dāng)時，請選出你認(rèn)為最符合表格所列數(shù)據(jù)實(shí)際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）在本次測試報(bào)告中，該電動汽車的最長續(xù)航里程為．若測試過程為勻速運(yùn)動，請計(jì)算本次測試時的車速為何值時，該電動汽車電池所需的容量（單位：）最??？并計(jì)算出該最小值．【答案】（1）選，（2）車速為，該電動汽車的電池所需的最小容量為【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到，結(jié)合提供的數(shù)據(jù)，列出方程組，取得，即可求解；（2）設(shè)車速為，得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【小問1詳解】解：對于，當(dāng)時，它無意義，所以不符合題意；對于，它顯然是個減函數(shù)，所以不符合題意，故選．根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，則有，解得，當(dāng)時，．【小問2詳解】解：設(shè)車速為，所用時間為，所耗電量，要使得續(xù)航里程最長，則耗電量達(dá)到最小，即．所以當(dāng)測試員控制的車速為，該電動汽車的電池所需的最小容量為．20.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明；（2）解關(guān)于的不等式．【答案】（1）在上是遞減函數(shù)，證明見解析（2）【解析】【分析】（1）是定義在上的奇函數(shù)求得，再用單調(diào)性的定義證明為減函數(shù)；（2）根據(jù)的單調(diào)性與奇偶性得，求得的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，則，即，解得，所以，故在上是遞減函數(shù)．證明：任取，，且，，，，，即，故是定義在上的遞減函數(shù)；【小問2詳解】，，是上的減函數(shù)，，，.21.2023年12月1日，“民族魂·中國夢——陽光下成長”2023年浙江省中小學(xué)生藝術(shù)節(jié)閉幕式暨頒獎晚會在湖州大劇院舉行．為迎接藝術(shù)節(jié)閉幕式的到來，承辦方計(jì)劃將場地內(nèi)一處扇形荒地進(jìn)行改造．已知該扇形荒地的半徑為20米，圓心角，承辦方初步計(jì)劃將其中的（如下左圖，點(diǎn)位于弧上，，分別位于半徑，）區(qū)域改造為花卉區(qū)，扇形荒地內(nèi)其余區(qū)域改造為草坪區(qū)．（1）承辦方進(jìn)一步計(jì)劃將，設(shè)計(jì)為觀光步道，其寬度忽略不計(jì)．若觀光步道造價為元/米，請你設(shè)計(jì)觀光步道的造價預(yù)算，確保觀光步道最長時仍有資金保障；（2）因某種原因，承辦方修改了最初的改造計(jì)劃，將花卉區(qū)設(shè)計(jì)為矩形（如下右圖，其中，位于半徑上，位于半徑上）．為美觀起見，承辦方最后決定將四邊形設(shè)計(jì)為正方形．求此時花卉區(qū)的面積．【答案】（1）元（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，過點(diǎn)做的垂線，求得，，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）由，求得，得到，結(jié)合，即可求解.【小問1詳解】解：設(shè)，，過點(diǎn)做的垂線交于，則，，所以，則所以預(yù)算應(yīng)該設(shè)定為元．【小問2詳解】解：由題意得，，因?yàn)?，可得，則，所以，所以.22.已知函數(shù)滿足，函數(shù)．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若關(guān)于的方程有四個不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由條件構(gòu)造關(guān)于和的方程組，即可求解；（2）首先不等式轉(zhuǎn)化為在上恒成立