湖南省常德市城北中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

湖南省常德市城北中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)變量x，y滿足約束條件，則z=3x﹣2y的最大值為（）A．﹣2 B．2 C．3 D．4參考答案：【分析】作出約束條件對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，即可得到結(jié)論．【解答】解：作出約束條件，對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由z=3x﹣2y得y=x﹣，平移直線y=x，經(jīng)過點A時，直線y=x﹣的截距最小，此時z最大．由，解得A（1，0），此時zmax=3×1﹣0=3，故選：C【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．2.設(shè)A，B，C是半徑為1的圓上三點，若，則的最大值為（）A. B. C.3 D.參考答案：B【詳解】此題考查正弦定理、余弦定理、向量的數(shù)量積、兩角和與差正余弦公式的靈活應(yīng)用、三角函數(shù)求最值問題的綜合知識；設(shè)圓的圓心是，在等腰中，，由余弦定理可求出，根據(jù)正弦定理得：所以，當(dāng)時，的最大值為，選B3.已知定義在上的函數(shù)滿足，且，，若有窮數(shù)列（）的前項和等于，則等于(

)A．4

B．5

C．6

D．7參考答案：B，因為，所以，即函數(shù)單調(diào)遞減，所以.又，即，即，解得（舍去）或.所以，即數(shù)列為首項為，公比的等比數(shù)列，所以，由得，解得，選B.4.四面體ABCD中，已知AB=CD=，AC=BD=，AD=BC=，則四面體ABCD的外接球的表面積為（）A．25p B．45p

C．50p D．100p參考答案：5.已知函數(shù)f（x）=，若f（a）=f（1），則實數(shù)a的值等于（）A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1參考答案：C【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用；函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系；函數(shù)與方程的綜合運用．【分析】利用分段函數(shù)列出方程求解即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=，若f（a）=f（1），當(dāng)a＞0時，2a﹣1=1，可得a=1．當(dāng)a≤0時，a+1=2﹣1，解得a=0，則實數(shù)a的值等于0或1．故選：C．6.設(shè)x，y滿足約束條件，則的最小值是(

)（A）10 （B）8 （C）6

（D）4參考答案：D7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S是（）A．10 B．15 C．20 D．35參考答案：D【考點】程序框圖．【分析】執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的p，s，i的值，當(dāng)i=6時，不滿足條件i≤5，退出循環(huán)，輸出s的值為35．【解答】解：執(zhí)行程序框圖，有i=1，p=0，s=0滿足條件i≤5，p=1，s=1，i=2滿足條件i≤5，p=3，s=4，i=3滿足條件i≤5，p=6，s=10，i=4滿足條件i≤5，p=10，s=20，i=5滿足條件i≤5，p=15，s=35，i=6不滿足條件i≤5，退出循環(huán)，輸出s的值為35．故選：D．8.設(shè)、都是非零向量，下列四個條件中，一定能使成立的是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】平行向量與共線向量．【分析】根據(jù)向量共線定理，可得若成立，則向量、共線且方向相反，對照各個選項并結(jié)合數(shù)乘向量的含義，可得本題答案．【解答】解：由得，即，則向量共線且方向相反，因此當(dāng)向量共線且方向相反時，能使成立．對照各個選項，可得B項中向量、的方向相同或相反；C項中向量、的方向相同；D項中向量、的方向互相垂直．只有A項能確定向量、共線且方向相反．故選：A【點評】本題給出非零向量、，求使成立的條件．著重考查了數(shù)乘向量的含義與向量共線定理等知識，屬于中檔題．9.

—個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個正三角形，則該幾何體的體積為(A)

(B)1(C)

(D)參考答案：A略10.下列結(jié)論正確的是A．當(dāng)x>0且x≠1時，lgx＋≥2B．當(dāng)x≥2時，x＋的最小值為2C．當(dāng)x>0時，＋≥2

D．當(dāng)0<x≤2時，x－無最大值參考答案：C選項A中不能保證lgx>0；選項B中最小值為2時x＝1；選項D中的函數(shù)在(0,2]上單調(diào)遞增，有最大值；只有選項C中的結(jié)論正確二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)函數(shù)，則是函數(shù)為奇函數(shù)的

條件.（選填“充分不必要、必要不充分、既不充分又不必要、充要”之一）參考答案：充分不必要12.若隨機變量～，且＝0.1587，則__________.參考答案：0.8413略13.已知H是△ABC的垂心（三角形三條高所在直線的交點），，則cosDBAC的值為

．參考答案：∵H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC，BH⊥AC，∵，∴則，，即，，化簡得：，則，得，從而．14.設(shè)非零向量、、滿足||=||=||，+=，則=_________．參考答案：略15.如果（m+4）﹣＜（3﹣2m）﹣，則m的取值范圍是

．參考答案：【考點】冪函數(shù)的性質(zhì)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由（m+4）﹣＜（3﹣2m）﹣，可得m+4＞3﹣2m＞0，解出即可得出．【解答】解：∵（m+4）﹣＜（3﹣2m）﹣，∴m+4＞3﹣2m＞0，解得．故m的取值范圍為：．故答案為：．【點評】本題考查了冪函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．16.折紙已經(jīng)成為開發(fā)少年兒童智力的一大重要工具和手段．已知在折疊“愛心”的過程中會產(chǎn)生如圖所示的幾何圖形，其中四邊形ABCD為正方形，G為線段BC的中點，四邊形AEFG與四邊形DGHI也為正方形，連接EB，CI，則向多邊形AEFGHID中投擲一點，該點落在陰影部分內(nèi)的概率為．參考答案：【考點】CF：幾何概型．【分析】以面積為測度，分別求面積，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)正方形的邊長為2，則由題意，多邊形AEFGHID的面積為4+4+=10，陰影部分的面積為2×=2，∴向多邊形AEFGHID中投擲一點，該點落在陰影部分內(nèi)的概率為=，故答案為．【點評】本題考查幾何概型，考查概率的計算，正確求面積是關(guān)鍵．17.如圖，∠OFB=，△ABF的面積為，則以O(shè)A為長半軸，OB為短半軸，F(xiàn)為一個焦點的橢圓方程為

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖1，在直角梯形ABCD中，，，，，為線段的中點，將沿折起，使平面平面，得到幾何體，如圖2所示.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.

參考答案：解:（Ⅰ）在圖1中,可得,從而,故.取中點連結(jié),則,又面面,面面,面,從而平面.…4分∴，又,.∴平面.

（或由BC垂直AC結(jié)合面面垂直的性質(zhì)得出BC垂直于面ACD也可以得滿分）

…………6分（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則,,,,.

………………8分設(shè)為面的法向量,則即,解得.令,可得.又為面的一個法向量，∴.∴二面角的余弦值為.----------------------------------12分19.已知左、右焦點分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）的橢圓過點，且橢圓C關(guān)于直線x=c對稱的圖形過坐標(biāo)原點．（I）求橢圓C的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程．（II）圓與橢圓C交于A，B兩點，R為線段AB上任一點，直線F1R交橢圓C于P，Q兩點，若AB為圓P1的直徑，且直線F1R的斜率大于1，求|PF1||QF1|的取值范圍．參考答案：【考點】KP：圓錐曲線的范圍問題；K4：橢圓的簡單性質(zhì)；KJ：圓與圓錐曲線的綜合；KL：直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）利用橢圓C過點，∵橢圓C關(guān)于直線x=c對稱的圖形過坐標(biāo)原點，推出a=2c，然后求解橢圓C的離心率，標(biāo)準(zhǔn)方程．（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），利用中點坐標(biāo)公式以及平方差法求出AB的斜率，得到直線AB的方程，代入橢圓C的方程求出點的坐標(biāo)，設(shè)F1R：y=k（x+1），聯(lián)立，設(shè)P（x3，y3），Q（x4，y4），利用韋達(dá)定理，結(jié)合，，化簡|PF1||QF1|，通過，求解|PF1||QF1|的取值范圍．【解答】（本小題滿分13分）（Ⅰ）解：∵橢圓C過點，∴，①∵橢圓C關(guān)于直線x=c對稱的圖形過坐標(biāo)原點，∴a=2c，∵a2=b2+c2，∴，②由①②得a2=4，b2=3，a=2，c=1，∴橢圓C的離心率，標(biāo)準(zhǔn)方程為．…（Ⅱ）因為AB為圓P1的直徑，所以點P1為線段AB的中點，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，，又，所以，則（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）=0，故，則直線AB的方程為，即．…（8分）代入橢圓C的方程并整理得，則，故直線F1R的斜率．設(shè)F1R：y=k（x+1），由，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，設(shè)P（x3，y3），Q（x4，y4），則有，．又，，所以|PF1||QF1|=（1+k2）|x3x4+（x3+x4）+1|=，因為，所以，即|PF1||QF1|的取值范圍是．…（13分）【點評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，橢圓方程的求法直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及平方差法的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．20.已知函數(shù).(1)

若曲線過點，求曲線在點P處的切線方程：(2)

求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.

參考答案：（1）(2)解析：解：(1)因為點在曲線上，所以，解得.因為，所以切線的斜率為.所以切線方程為(2)因為①當(dāng)時，，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則②當(dāng)，即時，，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則③當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，又，，當(dāng)時，，當(dāng)時，④當(dāng)，即，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，綜上，

略21.設(shè)函數(shù)f（x）=sinx+sin（）．

（1）求f（x）的最小值，并求使f（x）取得最小值的x的集合；

（2）在△ABC中，設(shè)角A，B的對邊分別為a，b，若B=2A，且b=2af（A），求角C的大?。畢⒖即鸢福郝?2.（13分）某市地鐵全線共有四個車站，甲、乙兩