第1節(jié)-反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)

第二十六章反比例函數(shù)第一節(jié)反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)一、課標導航課標內(nèi)容課標要求目標層次反比例函數(shù)的圖像及性質(zhì)了解反比例函數(shù)的意義，能畫出反比例函數(shù)的圖像，理解反比例函數(shù)的性質(zhì)★能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的解析式，能用反比例函數(shù)的知識解決有關(guān)問題★★二、核心綱領(lǐng)1.反比例函數(shù)⑴定義：一般地，形如（k為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，其中x是自變量，y是函數(shù).注：①自變量x在分母上，指數(shù)為1.②比例系數(shù)k≠0.③自變量x的取值為一切非零實數(shù)，函數(shù)值的取值范圍是y≠0.④反比例函數(shù)的其他形式：xy=k（k≠0）或y=kx-1（k≠0）.⑵圖像：反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，也稱雙曲線（k≠0）⑶性質(zhì)（如下表所示）反比例函數(shù)（k≠0）k的符號k＞0k＜0圖像xxyOxxyO性質(zhì)圖像分布的象限第一、三象限第二、四象限y隨x變化的趨勢在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。▂隨x的減小而增大）在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大（y隨x的減小而減?。┳ⅲ孩舮隨x變化的情況必須指出“在每個象限內(nèi)”或“在每一分支上”這一條件.⑵（k為常數(shù)，k≠0）中自變量x≠0，函數(shù)值y≠0，所以雙曲線不經(jīng)過原點，兩個分支逐漸靠近坐標軸，但是永遠不與坐標軸相交.2.待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式只需圖像上一個點的坐標即可求出k.3.反比例函數(shù)的圖像的對稱性⑴中心對稱：對稱中心是原點.⑵軸對稱：對稱軸是直線y=x和直線y=—x.4.k的幾何意義（如下表所示）定義結(jié)論反比例函數(shù)（k為常數(shù)，k≠0）圖像上的任意一點的橫縱坐標之積等于比例系數(shù)k.xxyOP1P2P3B1B2B3A1A2A3AA1A1A3xyOP1P2P3xxyOABMN∵S△AOM=S△BON，S△AOB=S四邊形AONB—S△BON=S四邊形AONB—S△AOM∴S△AOB=S矩形ABNMBBCAxyOD點A與C，點B與D分別關(guān)于原點對稱，所以四邊形ABCD為平行四邊形，從而S四邊形ABCD=4S△AOBBBxyOAMNPS1S2①S1=S2；②S四邊形MONP的值為定值；③當M為AP的中點，則N必為PB的中點；④當M為AP的n等分點時，則N必為PB的n等分點.5.數(shù)學思想⑴數(shù)形結(jié)合；⑵分類討論.本節(jié)重點講解：一個定義，一個性質(zhì)，一個對稱性，一個幾何意義.三、全能突破基礎(chǔ)演練1.如果y是m的反比例函數(shù)，m是x的正比例函數(shù)，那么y是x的（）A.反比例函數(shù)B.正比例函數(shù)C.一次函數(shù)D.反比例或正比例函數(shù)2.若反比例函數(shù)的圖像在第二、四象限，則m的值是（）A.-1或1B.小于的任意實數(shù)C.-1D.不能確定3.如圖26-1-1所示，矩形ABCD的對角線BD經(jīng)過坐標原點，矩形的邊分別平行于坐標軸，點C在反比例函數(shù)的圖像上.若點A的坐標為（-2，2）則k的值為（）A.1B.-3C.4D.1或-3CCBADOxy圖26-1-14.若函數(shù)為反比例函數(shù)，則m=______.5.三個反比例函數(shù)y1，y2，y3的圖像的一部分如圖26-1-2所示，則k1，k2，k3的大小關(guān)系為______.xxOy圖26-1-26.反比例函數(shù)的圖像一個分支經(jīng)過第一象限，對于給出的下列說法：①常數(shù)k的取值范圍是k＞2；②另一個分支在第三象限；③在函數(shù)圖像上取點A（a1，b1）和點B（a2，b2），當a1＞a2時，則b1＜b2；④在函數(shù)圖像的某一分支上取點A（a1，b1）和點B（a2，b2），當a1＞a2時，則b1＜b2；⑤函數(shù)的圖像是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形.⑥一元二次方程x2—（2k—1）x+k2—1=0無實數(shù)根.其中正確的是______（在橫線上填出正確的序號）7.已知y=y1+y2，而y1與x+1成反比例，y2與x2成正比例，并且x=1時，y=2；x=0時，y=2.求y與x的函數(shù)關(guān)系式.8.如圖26-1-3所示，定義：若雙曲線（k＞0）與它的其中一條對稱軸y=x相交于A、B兩點，則線段AB的長度為雙曲線（k＞0）的對徑.⑴求雙曲線的對徑；⑵若雙曲線（k＞0）的對徑為，求k的值；⑶仿照上述定義，定義雙曲線（k＜0）的對徑.OOxyAB圖26-1-3能力提升9.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖26-1-4所示，那么一次函數(shù)y=bx+c和反比例函數(shù)在同一平面直角坐標系中的圖像大致是（）BBOxyAOxyyxOCxOyD圖26-1-4Oxy10.下列選項中，陰影部分面積最小的是（）MMxOyNMNxOyM(1,2)xOyn(2,1)xOyM(1,2)N(-1,-2)ABCD11.根據(jù)圖26-1-5（a）所示的程序，得到了y與x的函數(shù)圖像如圖26-1-5（b），過點M作PQ∥x軸交圖像于點P、Q，連接OP、OQ.則以下結(jié)論：①x＜0時，；②△OPQ的面積為定值；③x＞0時，y隨x的增大而增大；④MQ=2PM；⑤∠POQ可以等于90°.其中正確的結(jié)論是（）A.①②④B.②④⑤C.③④⑤D.②③⑤xx＞0x＜0輸入非實數(shù)x取倒數(shù)×2取相反數(shù)×4取倒數(shù)輸出y（a）（b）OyxQPM圖26-1-512.⑴正比例函數(shù)y=k1x(k1≠0)和反比例函數(shù)(k2≠0)的一個交點為（1，-2），則另一個交點為______.（2）直線y=ax（a）0）與雙曲線y=交于A、B兩點，則=.13.如圖26-1-6所示，在直角坐標系中，正方形的中心在原點O，且正方形的一組對邊與x軸平行，點P（3a，a）是反比例函數(shù)的圖像上與正方形的一個交點，若圖中陰影部分的面積等于9，則這個反比例函數(shù)的解析式為.14.如圖26-1-7所示，點A、B是函數(shù)y=x與y=的圖像的兩個交點，作AC⊥x軸于C，作BD⊥x軸于D，則四邊形ABCD的面積為.15.如圖26-1-8所示，已知雙曲線經(jīng)過直角三角形OAB斜邊OB的中點D，與直角邊AB相交于點C，若△OBC的面積為6，則k=.16.如圖26-1-9所示，正方形OABC的面積是4，點B在反比例函數(shù)的圖像上.若點R是該反比例函數(shù)圖像上異于點B的任意一點，過點R分別作x軸、y軸的垂線，垂足為M、N，從矩形OMRN的面積中減去其與正方形OABC重合部分的面積，記剩余部分的面積為S，則當S=m（m為常數(shù)，且0<m<4）時，反比例函數(shù)解析式為，點R的坐標是（用含m的代數(shù)式表示）.17.如圖26-1-10所示，在平行四邊形AOBC中，對角線交與點E，雙曲線經(jīng)過A、E兩點，若平行四邊形AOBC的面積為18，則k=.18.如圖26-1-11所示，△AOB為等邊三角形，點B的坐標為（-2，0），過點C（-2，0）作直線l交AO于D，交AB于E，點E在某反比例函數(shù)圖像上，當△ADE和△DCO的面積相等時，那么該反比例函數(shù)解析式為.19.（1）兩個反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像如圖26-1-12所示，點、…、在反比例函數(shù)的圖像上，它們的橫坐標分別是、…、，縱坐標分別是1、3、5、…共2013個連續(xù)奇數(shù)，過點分別作y軸的平行線與的圖像交點依次是、、、…、，則=.（2）如圖26-1-13所示，在函數(shù)的圖像上有點、…、、，點的橫坐標為2，且后面每個點的橫坐標與它前面相鄰點的橫坐標的差都是2，過點、…、、分別作x軸、y軸的垂線段，如圖所示，將圖中陰影部分的面積從左至右依次記為、…、，則，.（用含n的代數(shù)式表示）20.（1）①如圖26-1-14（a）所示，一個正方形的一個頂點在函數(shù)的圖像上，則點的坐標是（，）.②如圖26-1-14（b）所示，若有兩個正方形的頂點、都在函數(shù)的圖像上，則點的坐標是（，）.（2）如圖26-1-14（c）所示，若將兩個正方形改為兩個等腰直角三角形，直角頂點在函數(shù)的圖像上，斜邊、都在x軸上，①求點的坐標；②求點的坐標.（3）如圖26-1-14（d）所示，若有兩個等邊三角形的頂點都在函數(shù)的圖像上，點、在x軸上，直接寫出點的坐標.21.（1）探究：如圖26-1-15（a）所示，已知△ABC和△ABD的面積相等，試判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由.（2）應(yīng)用：①如圖26-1-15（b）所示，點M、N在反比例函數(shù)圖像上，過點M作ME⊥y軸，過點N作NF⊥x軸，垂足分別為E、F，試證明：MN∥EF.②若①中其它條件不變，只改變點M、N的位置，如圖26-1-15（c）所示，請判斷MN與EF是否平行，直接寫出結(jié)論。（3）拓展：如圖26-1-15（d）所示，點M、N在反比例函數(shù)的圖像上，過點M作ME⊥y軸，過點N作NF⊥x軸，垂足分別是E、F，交反比例函數(shù)的圖像于點G、H，MN與GH是否平行？并說明理由.22.(1)(2012荊門)已知：多項式x2﹣kx+1是一個完全平方式，則反比例函數(shù)y=的解析式為（）A．y=B．y=﹣C．y=或y=﹣D．y=或y=﹣(2).（2012?佳木斯）在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)y=圖象的兩個分支分別在（）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限D(zhuǎn)．第三、四象限23.(2013?江西南昌)如圖26-1-16所示，，直線y=x+a﹣2與雙曲線y=交于A、B兩點，則當線段AB的長度取最小值時，a的值為（）A．0B．1C．2D．524.(2013?北京)如圖26-1-17所示，，在平面直角坐標系xoy中，已知直線：，雙曲線。在上取點A1，過點A1作軸的垂線交雙曲線于點B1，過點B1作軸的垂線交于點A2，請繼續(xù)操作并探究：過點A2作軸的垂線交雙曲線于點B2，過點B2作軸的垂線交于點A3，…，這樣依次得到上的點A1，A2，A3，…，An，…。記點An的橫坐標為，若，則=__________，=__________；若要將上述操作無限次地進行下去，則不能取的值是__________25.如圖26-1-18所示，點P是反比例函數(shù)圖像上的