專題16 解直角三角形中的擁抱模型和12345模型(解析版)

專題16解直角三角形中的擁抱模型和12345模型【模型展示】特點(diǎn)分別解兩個(gè)直角三角形，其中公共邊BC是解題的關(guān)鍵.在Rt△ABC和Rt△DCB中，BC=BC.結(jié)論“擁抱?！毙完P(guān)鍵是找到兩個(gè)直角三角形的公共邊【題型演練】一、單選題1．如圖，某學(xué)校大樓頂部有一個(gè)LED屏AB，小明同學(xué)在學(xué)校門(mén)口C處測(cè)得LED屏底部A的仰角為53°，沿大門(mén)樓梯CD向上走到D處測(cè)得LED屏頂部B的仰角為30°，D、E、F在同一水平高度上，已知大門(mén)樓梯CD的坡比，米，米，大樓AF和大門(mén)樓梯CD的剖面在同一平面內(nèi)，則LED屏AB的高度為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，，）A．24.6米 B．30.6米 C．34.6米 D．44.6米【答案】C【分析】如圖，過(guò)作水平線于，延長(zhǎng)交水平線于則過(guò)作于則利用坡度的含義求解再求解從而可得答案.【詳解】解：如圖，過(guò)作水平線于，延長(zhǎng)交水平線于則過(guò)作于則由題意得：而故選C【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，坡度的含義，熟練的構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵.2．如圖，某建筑物AB在一個(gè)坡度為i＝1：0.75的山坡BC上，建筑物底部點(diǎn)B到山腳點(diǎn)C的距離BC＝20米，在距山腳點(diǎn)C右側(cè)同一水平面上的點(diǎn)D處測(cè)得建筑物頂部點(diǎn)A的仰角是42°，在另一坡度為i＝1：2.4的山坡DE上的點(diǎn)E處測(cè)得建筑物頂部點(diǎn)A的仰角是24°，點(diǎn)E到山腳點(diǎn)D的距離DE＝26米，若建筑物AB和山坡BC、DE的剖面在同一平面內(nèi)，則建筑物AB的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45，sin42°≈0.67．cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）A．36.7米 B．26.3米 C．15.4米 D．25.6米【答案】D【分析】如圖所示，過(guò)E點(diǎn)做CD平行線交AB線段為點(diǎn)H，標(biāo)AB線段和CD線段相交點(diǎn)為G和H由坡度為i＝1：0.75，BC＝20可得BG=16,GC=12,由坡度為i＝1：2.4，DE＝26可得DF=24,EF=10，分別在在中滿足，在中滿足化簡(jiǎn)聯(lián)立得AB=25.6．【詳解】如圖所示，過(guò)E點(diǎn)做CD平行線交AB線段為點(diǎn)H，標(biāo)AB線段和CD線段相交點(diǎn)為G和H∵在中BC＝20，坡度為i＝1：0.75，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．在中DE＝26，坡度為i＝1：2.4，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴在中滿足，在中滿足,即,其中BG=16、BG=12、BH=BG-EF=6、DF=24，代入化簡(jiǎn)得，令2-有∴，∴AB=25.6．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，利用三角形的坡度和斜邊長(zhǎng)通過(guò)勾股定理可以求得三角形各邊長(zhǎng)度，再根據(jù)角度列含兩個(gè)未知數(shù)的二元一次方程組，正確的列方程求解是解題的關(guān)鍵．3．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課中小明同學(xué)測(cè)量某建筑物CD的高度，如圖，已知斜坡AE的坡度為i＝1：2.4，小明在坡底點(diǎn)E處測(cè)得建筑物頂端C處的仰角為45°，他沿著斜坡行走13米到達(dá)點(diǎn)F處，在F測(cè)得建筑物頂端C處的仰角為35°，小明的身高忽略不計(jì)．則建筑物的CD高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）A．28.0米 B．28.7米 C．39.7米 D．44.7米【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BD于G，F(xiàn)H⊥CD于H，設(shè)FG=x米，則EG=2.4x米，在Rt△FGE中，由勾股定理解得FG=5，EG=12，證明△CDE是等腰直角三角形，則CD=DE，設(shè)CD=y米，在Rt△CHF中，由三角函數(shù)定義求解即可．【詳解】過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BD于G，F(xiàn)H⊥CD于H則∠CFH＝35°，四邊形DGFH是矩形，∴HF＝DG，DH＝FG，∵斜坡AE的坡度為i＝1：2.4，∴設(shè)FG＝x米，則EG＝2.4x米，在Rt△FGE中，由勾股定理得：EF2＝FG2+EG2，即：132＝x2+（2.4x）2，解得：x＝5，∴FG＝5，EG＝12，∵∠CED＝45°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝DE，設(shè)CD＝y(tǒng)米，則CH＝（y﹣5）米，Rt△CHF中，tan∠CFH＝，即tan35°＝，則y﹣2＝tan35°×（y+12），解得：y≈44.7，即建筑物的CD高度約為44.7米；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題以及坡度坡角問(wèn)題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵4．我校興趣小組同學(xué)為測(cè)量校外“御墅臨楓”的一棟電梯高層AB的樓高，從校前廣場(chǎng)的C處測(cè)得該座建筑物頂點(diǎn)A的仰角為45°，沿著C向上走到30米處的D點(diǎn)．再測(cè)得頂點(diǎn)A的仰角為22°，已知CD的坡度：i=1：2，A、B、C、D在同一平面內(nèi)，則高樓AB的高度為（）（參考數(shù)據(jù)；sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）A．60 B．70 C．80 D．90【答案】D【分析】作AH⊥ED交ED的延長(zhǎng)線于H，根據(jù)坡度的概念分別求出CE、DE，根據(jù)正切的定義求出AB．【詳解】解：作AH⊥ED交ED的延長(zhǎng)線于H，設(shè)DE＝x米，∵CD的坡度：i＝1：2，∴CE＝8x米，由勾股定理得，DE2+CE2＝CD8，即x2+（2x）2＝（30）2，解得，x＝30，則DE＝30米，CE＝60米，設(shè)AB＝y(tǒng)米，則HE＝y(tǒng)米，∴DH＝y(tǒng)﹣30，∵∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝y(tǒng)，∴AH＝BE＝y(tǒng)+60，在Rt△AHD中，tan∠DAH＝則≈0.4，解得，y＝90，∴高樓AB的高度為90米，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題、坡度坡角問(wèn)題，掌握仰角俯角的概念、坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．5．如圖，某大樓DE樓頂掛著“眾志成城，抗擊疫情”的大型宣傳牌，為了測(cè)量宣傳牌的高度CD，小江從樓底點(diǎn)E向前行走30米到達(dá)點(diǎn)A，在A處測(cè)得宣傳牌下端D的仰角為60°．小江再沿斜坡AB行走26米到達(dá)點(diǎn)B，在點(diǎn)B測(cè)得宣傳牌的上端C的仰角為43°，已知斜坡AB的坡度i＝1：2.4，點(diǎn)A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，CD⊥AE，宣傳牌CD的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，≈1.73）A．8.3米 B．8.5米 C．8.7米 D．8.9米【答案】A【分析】過(guò)B分別作AE、DE的垂線，設(shè)垂足為F、G．分別在Rt△ABF和Rt△ADE中，通過(guò)解直角三角形求出BF、AF、DE的長(zhǎng)，再求出EF即BG的長(zhǎng)；在Rt△CBG中求出CG的長(zhǎng)，根據(jù)CD=CG+GE-DE即可求出宣傳牌的高度．【詳解】解：過(guò)B作BF⊥AE，交EA的延長(zhǎng)線于F，作BG⊥DE于G．Rt△ABF中，i=tan∠BAF=＝，AB=26米，∴BF=10（米），AF=24（米），∴BG=AF+AE=54（米），Rt△BGC中，∠CBG=43°，∴CG=BG?tan43°≈54×0.93=50.22（米），Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=30米，∴DE=AE=30（米），∴CD=CG+GE-DE=50.22+10-30≈8.3（米）．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了仰角、坡度的定義，能夠正確地構(gòu)建出直角三角形，將實(shí)際問(wèn)題化歸為解直角三角形的問(wèn)題是解答此類題的關(guān)鍵．6．如圖，小明在距離地面米的處測(cè)得處的俯角為，處的心角為，若斜面坡度為，則斜面的長(zhǎng)是（

）米．A． B． C． D．【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，根據(jù)已知條件得到，求得，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】如圖所示：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，斜面坡度為，，在處進(jìn)行觀測(cè)，測(cè)得山坡上處的俯角為，山腳處的俯角為，，，，，，解得：，故AB，故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問(wèn)題，解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問(wèn)題，正確得出是解題關(guān)鍵．7．如圖，某人在山坡坡腳C處測(cè)得一座建筑物頂點(diǎn)A的仰角為，沿山坡向上走到P處再測(cè)得該建筑物頂點(diǎn)A的仰角為．已知BC=90米，且B、C、D在同一條直線上，山坡坡度i=5：12，求此人從所在位置點(diǎn)P走到建筑物底部B點(diǎn)的路程（）米.（結(jié)果精確到0.1米）（測(cè)傾器的高度忽略不計(jì)，參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于E，PH⊥BD于H，由題意可知i=PH：CH=5：12，然后設(shè)PH=5x米，CH=12x米，在Rt△ABC中，，BC=90米，則可得，利用正切函數(shù)的知識(shí)可求AB，在Rt△AEP中，，利用正切函數(shù)可得關(guān)于x的方程，從而得出PH，在Rt△PHC中，利用勾股定理可求CP的長(zhǎng)度，進(jìn)一步可求此人從所在位置點(diǎn)P走到建筑物底部B點(diǎn)的路程．【詳解】解：如圖：過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于E，PH⊥BD于H，設(shè)PH=BE=5x米，CH=12x米，在Rt△ABC中，，BC=90米，則，即，∴AB=180(米)，在Rt△AEP中，，AE=AB-BE=180-5x，BH=EP=BC+CH=90+12x，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，且符合題意，∴(米)，在Rt△PHC中，(米)，故此人從所在位置點(diǎn)P走到建筑物底部B點(diǎn)的路程是：(米)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了仰角的定義，以及解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是要能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．二、填空題8．一名高山滑雪運(yùn)動(dòng)員沿著斜坡滑行，他在點(diǎn)D處相對(duì)大樹(shù)頂端A的仰角為，從D點(diǎn)再滑行米到達(dá)坡底的C點(diǎn)，在點(diǎn)C處相對(duì)樹(shù)頂端A的仰角為，若斜坡的坡比為（點(diǎn)E，C，B在同一水平線上），則大樹(shù)的高度___________米（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】6+4【分析】作DH⊥CE于H，解Rt△CDH，即可求出DH，CH，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，設(shè)BC＝a米，用a表示出AG、DG，根據(jù)tan∠ADG＝列式計(jì)算得到答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作DH⊥CE于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，設(shè)BC＝a米，由題意知CD＝米，∵斜坡CF的坡比為i＝1：3，∴，設(shè)DH＝x米，則CH＝3x米，∵DH2＋CH2＝DC2，∴，∴x＝2，∴DH＝2米，CH＝6米，∵∠DHB＝∠DGB＝∠ABC＝90°，∴四邊形DHBG為矩形，∴DH＝BG＝2米，DG＝BH＝（a＋6）米，∵∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝a（米），∴AG＝（a?2）米，∵∠ADG＝30°，∴，∴，∴a＝，∴AB＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問(wèn)題，掌握銳角三角函數(shù)的定義、仰角俯角的概念是解題的關(guān)鍵．9．如圖，小明在P處測(cè)得A處的俯角為15°，B處的俯角為60°，PB＝30m．若斜面AB坡度為，則斜坡AB的長(zhǎng)是______m．【答案】30【分析】根據(jù)斜面AB坡度為，求出，再利用角之間的關(guān)系求出，，進(jìn)一步得到．【詳解】解：∵斜面AB坡度為，∴，即，∵在P處測(cè)得A處的俯角為15°，B處的俯角為60°，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：30【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確得出PB=AB是解題關(guān)鍵．三、解答題10．大樓AB是某地標(biāo)志性建筑，如圖所示，某校九年級(jí)數(shù)學(xué)社團(tuán)為測(cè)量大樓AB的高度，一小組先在附近一樓房CD的底端C點(diǎn)，用高為1.5米的測(cè)桿CE在E處觀測(cè)AB大樓頂端B處的仰角是72°，另一小組到該樓房頂端D點(diǎn)處觀測(cè)AB大樓底部A處的俯角是30°，已知樓房CD高約是45米，根據(jù)以上觀測(cè)數(shù)據(jù)求AB大樓的高（精確到0.1米）．（已知：≈1.73，sin72°≈0.951，cos72°≈0.034，tan72°≈3.08）【答案】241.3米【分析】過(guò)E作EF⊥AB于F，則四邊形ACEF是矩形，得到EF=AC，AF=CE，利用三角函數(shù)在Rt△ACD中求出AC，在Rt△BEF中求出BF，即可得到AB大樓的高．【詳解】解：過(guò)E作EF⊥AB于F，則四邊形ACEF是矩形，∴EF=AC，AF=CE，在Rt△ACD中，∠DAC=30°，CD=45，∴AC=，在Rt△BEF中，∠BEF=72°，EF=AC=，∴BF=EF?tan72°=×3.08=239.78，∴AB=AF+BF=239.78+1.5≈241.3(米)，答：AB大樓的高為241.3米．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．11．如圖，坡的坡度為：，坡面長(zhǎng)米，，現(xiàn)計(jì)劃在斜坡中點(diǎn)處挖去部分坡體用陰影表示修建一個(gè)平行于水平線的平臺(tái)和一條新的斜坡請(qǐng)將下面兩小題的結(jié)果都精確到米，參考數(shù)據(jù)：．(1)若修建的斜坡的坡角即恰為，則此時(shí)平臺(tái)的長(zhǎng)為_(kāi)_____米；(2)坡前有一建筑物，小明在點(diǎn)測(cè)得建筑物頂部的仰角為，在坡底點(diǎn)測(cè)得建筑物頂部的仰角為，點(diǎn)、、、、在同一平面內(nèi)，點(diǎn)、、在同一條水平直線上，問(wèn)建筑物高為多少米？【答案】(1)7.0(2)建筑物高約為米【分析】（1）先利用勾股定理解直角求出，，再證，推出，代入數(shù)值即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，利用矩形的性質(zhì)求出，，，解可得，進(jìn)而得出，再解，列等式求出，則．【詳解】（1）解：由題意知，，，，∴設(shè)，則，由勾股定理得：，即，解得，∴，．∵，，∴，∴．由題意，，∴，又∵，∴，∴，∴，，，∴米；則平臺(tái)的長(zhǎng)為，（2）解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為．在矩形中，，，∴．在矩形中，，，在中，，∴，，，解得：，（米），即建筑物高約為米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，涉及勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用特殊角的三角函數(shù)值求解．12．在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組對(duì)一建筑物進(jìn)行測(cè)量．如圖，在山坡坡腳C處測(cè)得該建筑物頂端B的仰角為60°，沿山坡向上走20m到達(dá)D處，測(cè)得建筑物頂端B的仰角為30°．已知山坡坡度，即，請(qǐng)你幫助該小組計(jì)算建筑物的高度．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：）【答案】該建筑物的高度約為31.9m【分析】如圖，作交于點(diǎn)E，作交于點(diǎn)F，作交于點(diǎn)H，根據(jù)題意分別求出BF和AF的長(zhǎng)，再根據(jù)即可求解．【詳解】作交于點(diǎn)E，作交于點(diǎn)F，作交于點(diǎn)H則，，∵∴設(shè)，則在中，∴∴∴（負(fù)值舍去）∴，∴，設(shè)，則在中，∵∴在中，∵∴即∵∴∴∴答：該建筑物的高度約為31.9m．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握坡角坡度，仰角的定義，添加合適的輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．13．如圖，在建筑物DF的左邊有一個(gè)小山坡，坡底B、C同建筑底端F在同一水平線上，斜坡AB的坡比為，小李從斜坡底端B沿斜坡走了26米到達(dá)坡頂A處，在坡頂A處看建筑物的頂端D的仰角α為，然后小李沿斜坡AC走了米到達(dá)底部C點(diǎn)，已知建筑物上有一點(diǎn)E，在C處看點(diǎn)E的仰角為，（點(diǎn)A、B、C、D、E、F在同一平面內(nèi)）建筑物頂端D到E的距離DE長(zhǎng)度為28.8米，求建筑物DF的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】40.8米【分析】如圖于G，于H，連接，根據(jù)比例設(shè)，，結(jié)合勾股定理求出，得到，再次由勾股定理求出，設(shè)，然后利用解直角三角形，求出，即可得到答案．【詳解】解：如圖于G，于H，連接、，∵的坡比，設(shè)，，∴在中，，∴，∴，在中，，設(shè)，在中，，∴，∵四邊形是矩形，∴，又∵，在中，，，，∴，答：建筑物的高度為40.8米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——仰角俯角問(wèn)題，也考查了勾股定理，根據(jù)題意作出正確的輔助線是解答此題的關(guān)鍵．14．某工程隊(duì)計(jì)劃測(cè)量一信號(hào)塔的高度，由于特殊原因無(wú)法直達(dá)到信號(hào)塔底部，因此計(jì)劃借助坡面高度來(lái)測(cè)量信號(hào)塔C的高度．如圖，在信號(hào)塔旁山坡腳A處測(cè)得信號(hào)塔頂端C的仰角為，當(dāng)從A處沿坡面行走13米到達(dá)P處時(shí)，測(cè)得信號(hào)塔頂端C的仰角為．已知山坡的坡度，且O，A，B在同一條直線上．請(qǐng)根據(jù)以上信息求信號(hào)塔的高度．（側(cè)傾器高度忽略不計(jì)，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】信號(hào)塔OC的高度約為米【分析】過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E，PF⊥OC于點(diǎn)F，設(shè)PE=5x，則AE=12x，在Rt△AEP中根據(jù)勾股定理可得(5x)2＋(12x)2=132，解方程求出x，設(shè)CF=PF=m米，則OC=(m＋5)米，OA=(m－12)米，在Rt△AOC中，由求得m的值，繼而可得答案．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E，PF⊥OC于點(diǎn)F，則四邊形OFPE是矩形，∴OF=PE，OE=PF，∵i＝1：2.4，，∴，∴設(shè)PE=5x，則AE=12x，在Rt△AEP中，由勾股定理得：(5x)2＋(12x)2=132，解得：或（舍去），∴PE=5，則AE=12，∵∠CPF=45°，PF⊥CF，∴∠CPF=∠PCF=45°，∴，設(shè)CF=PF=m米，則OC=(m＋5)米，OA=(m－12)米，在Rt△AOC中，，解得：，∴（米）∴信號(hào)塔OC的高度約為米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，仰角、坡度的定義，矩形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是要求學(xué)生借助仰角關(guān)系構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．15．感恩回饋，傳播文化．2022年3月份，河南省絕大部分景點(diǎn)實(shí)施免門(mén)票政策，其中去嵩山少林寺的人數(shù)量巨大．如圖，王林進(jìn)入景區(qū)之后沿直線行至山坡坡腳C處，測(cè)得檢票大廳頂點(diǎn)A的仰角為，沿山坡向上走到山門(mén)E處再測(cè)得檢票大廳頂點(diǎn)A的仰角為，已知山坡的坡比，米．求王林所在山門(mén)E處的鉛直高度．（結(jié)果精確到0.1．參考數(shù)據(jù)：）【答案】22.1米【分析】根據(jù)解直角三角形求得（米），如圖，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F，于點(diǎn)G，則四邊形是矩形，設(shè)米，求得米，列方程，求解即可．【詳解】解：在中，米，，∴（米）．如圖，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F，于點(diǎn)G，則四邊形是矩形，∴，設(shè)米．在中，，∴（米），∴米．在中，，∴米．又∵米，∴，解得，即（米）．答：王林所在山門(mén)E處的鉛直高度約為22.1米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用問(wèn)題，坡度坡角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．16．如圖，某測(cè)繪小組在山坡坡腳處測(cè)得信號(hào)發(fā)射塔尖的仰角為56．31°，沿著山坡向上走到處再測(cè)得點(diǎn)的仰角為36．85°，已知米，山坡的坡度（坡度指坡面的鉛直高度與水平寬度的比），且、、三點(diǎn)在同一條直線上，求塔尖到地面的高度的長(zhǎng)．（測(cè)角儀的高度忽略不計(jì)，參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】約為130米【分析】過(guò)點(diǎn)作垂足為，則四邊形是矩形，得，，根據(jù)，且，求出，的長(zhǎng)度；在中，，設(shè)，由三角函數(shù)值求出，在中，，，根據(jù)列方程求出x，即可得到CD長(zhǎng)度．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作垂足為，則四邊形是矩形，，，且，，，在中，，設(shè)，，，在中，，，，，，即，，，答：塔尖到地面的高度約為130米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，仰角俯角問(wèn)題，以及坡角問(wèn)題，本題要求學(xué)生借助仰角關(guān)系，構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．17．在一次數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，某小組要測(cè)量一幢大樓的高度，如圖，在山坡的坡腳A處測(cè)得大樓頂部M的仰角是，沿著山坡向上走75米到達(dá)B處．在B處測(cè)得大樓頂部M的仰角是，已知斜坡的坡度（坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比）求大樓的高度．（圖中的點(diǎn)A，B，M，N，C均在同一平面內(nèi)，N，A，C在同一水平線上，參考數(shù)據(jù)：）【答案】大樓的高度為92米【分析】過(guò)點(diǎn)B分別作BE⊥AC，BF⊥MN，垂足分別為E、F，通過(guò)解直角三角形表示出BF、AN、AE的長(zhǎng)度，利用BF=NE進(jìn)行求解即可．【詳解】過(guò)點(diǎn)B分別作BE⊥AC，BF⊥MN，垂足分別為E、F，四邊形BENF為矩形，設(shè)，在中，斜坡的坡度，即，在中，在中，解得，所以，大樓的高度為92米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問(wèn)題，準(zhǔn)確理解題意，能添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．18．如圖，公園內(nèi)有一個(gè)垂直于地面的立柱AB，其旁邊有一個(gè)坡面，坡角．在陽(yáng)光下，小明觀察到在地面上的影長(zhǎng)為，在坡面上的影長(zhǎng)為．同一時(shí)刻，小明測(cè)得直立于地面長(zhǎng)60cm的木桿的影長(zhǎng)為90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．【答案】(170+60)cm【分析】延長(zhǎng)AD交BN于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BN于點(diǎn)F，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DF，根據(jù)余弦的定義求出CF，根據(jù)題意求出EF，再根據(jù)題意列出比例式，計(jì)算即可．【詳解】解：延長(zhǎng)AD交BN于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BN于點(diǎn)F，在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=30°，則DF=CD=90（cm），CF=CD?cos∠DCF=180×=90（cm），由題意得：=，即=，解得：EF=135，∴BE=BC+CF+EF=120+90+135=(255+90)cm，則=，解得：AB=170+60，答：立柱AB的高度為(170+60)cm．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題、平行投影的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，正確作出輔助線，利用銳角三角函數(shù)和成比例線段計(jì)算．19．如圖，小文在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量居民樓的高度，在居民樓前方有一斜坡，坡長(zhǎng)，斜坡的傾斜角為，．小文在點(diǎn)處測(cè)得樓頂端的仰角為，在點(diǎn)處測(cè)得樓頂端的仰角為（點(diǎn)，，，在同一平面內(nèi)）．(1)求，兩點(diǎn)的高度差；(2)求居民樓的高度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)9m(2)24m【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，在中，可得，再利用勾股定理可求出，即可得出答案．（2）過(guò)點(diǎn)作于，設(shè)，在中，，解得，在中，，，，求出的值，即可得出答案．（1）解：過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，在中，，，．．答：，兩點(diǎn)的高度差為．（2）過(guò)點(diǎn)作于，由題意可得，，設(shè)，在中，，解得，在中，，，，解得，．答：居民樓的高度約為．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問(wèn)題、坡度坡角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．20．在一次課外活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量一棵樹(shù)的高度．如圖所示，測(cè)得斜坡的坡度，坡底AE的長(zhǎng)為8米，在B處測(cè)得樹(shù)頂部D的仰角為30°，在E處測(cè)得樹(shù)頂