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2023-2024學(xué)年河南濮陽市油田三高高考數(shù)學(xué)三模試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn),若,則直線的斜率為()A. B.C.或 D.或2.定義運(yùn)算,則函數(shù)的圖象是().A. B.C. D.3.設(shè),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在(0,+∞)單調(diào)遞減,則()A. B.C. D.5.設(shè),,是非零向量.若,則()A. B. C. D.6.設(shè)函數(shù)(,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),定義在上的函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí),.若存在,且為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.7.已知集合A,則集合()A. B. C. D.8.已知曲線,動(dòng)點(diǎn)在直線上,過點(diǎn)作曲線的兩條切線,切點(diǎn)分別為,則直線截圓所得弦長為()A. B.2 C.4 D.9.甲乙丙丁四人中,甲說:我年紀(jì)最大,乙說:我年紀(jì)最大,丙說:乙年紀(jì)最大,丁說:我不是年紀(jì)最大的,若這四人中只有一個(gè)人說的是真話,則年紀(jì)最大的是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁10.關(guān)于的不等式的解集是,則關(guān)于的不等式的解集是()A. B.C. D.11.點(diǎn)為不等式組所表示的平面區(qū)域上的動(dòng)點(diǎn),則的取值范圍是()A. B. C. D.12.的展開式中有理項(xiàng)有()A.項(xiàng) B.項(xiàng) C.項(xiàng) D.項(xiàng)二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.“六藝”源于中國周朝的貴族教育體系,具體包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”.某校在周末學(xué)生業(yè)余興趣活動(dòng)中開展了“六藝”知識(shí)講座,每藝安排一節(jié),連排六節(jié),則滿足“禮”與“樂”必須排在前兩節(jié),“射”和“御”兩講座必須相鄰的不同安排種數(shù)為________.14.從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名代表,甲被選中的概率為__________.15.已知正項(xiàng)等比數(shù)列中,,則__________.16.雙曲線的焦距為__________,漸近線方程為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若的解集包含,求的取值范圍.18.(12分)已知矩形紙片中,,將矩形紙片的右下角沿線段折疊,使矩形的頂點(diǎn)B落在矩形的邊上,記該點(diǎn)為E,且折痕的兩端點(diǎn)M,N分別在邊上.設(shè),的面積為S.(1)將l表示成θ的函數(shù),并確定θ的取值范圍;(2)求l的最小值及此時(shí)的值;(3)問當(dāng)θ為何值時(shí),的面積S取得最小值?并求出這個(gè)最小值.19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為:(其中為參數(shù)),直線的參數(shù)方程為(其中為參數(shù))(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求曲線的極坐標(biāo)方程;(2)若曲線與直線交于兩點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,求的值.20.(12分)已知橢圓:的離心率為,直線:與以原點(diǎn)為圓心,以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.為左頂點(diǎn),過點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),直線,分別交直線于,兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)以線段為直徑的圓是否過定點(diǎn)?若是,寫出所有定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說明理由.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn),若直線與曲線相交于、兩點(diǎn),求的值22.(10分)在直角坐標(biāo)平面中,已知的頂點(diǎn),,為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;(2)設(shè)過點(diǎn)且不垂直于軸的直線與交于,兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,證明:直線過軸上的定點(diǎn).
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
利用切割線定理求得,利用勾股定理求得圓心到弦的距離,從而求得,結(jié)合,求得直線的傾斜角為,進(jìn)而求得的斜率.【詳解】曲線為圓的上半部分,圓心為,半徑為.設(shè)與曲線相切于點(diǎn),則所以到弦的距離為,,所以,由于,所以直線的傾斜角為,斜率為.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.2、A【解析】
由已知新運(yùn)算的意義就是取得中的最小值,因此函數(shù),只有選項(xiàng)中的圖象符合要求,故選A.3、B【解析】
先解不等式化簡(jiǎn)兩個(gè)條件,利用集合法判斷充分必要條件即可【詳解】解不等式可得,解絕對(duì)值不等式可得,由于為的子集,據(jù)此可知“”是“”的必要不充分條件.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了必要不充分條件的判定,考查了學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算,邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
利用是偶函數(shù)化簡(jiǎn),結(jié)合在區(qū)間上的單調(diào)性,比較出三者的大小關(guān)系.【詳解】是偶函數(shù),,而,因?yàn)樵谏线f減,,即.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】試題分析:由題意得:若,則;若,則由可知,,故也成立,故選D.考點(diǎn):平面向量數(shù)量積.【思路點(diǎn)睛】幾何圖形中向量的數(shù)量積問題是近幾年高考的又一熱點(diǎn),作為一類既能考查向量的線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及平面幾何知識(shí),又能考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力及轉(zhuǎn)化與化歸能力的問題,實(shí)有其合理之處.解決此類問題的常用方法是:①利用已知條件,結(jié)合平面幾何知識(shí)及向量數(shù)量積的基本概念直接求解(較易);②將條件通過向量的線性運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化,再利用①求解(較難);③建系,借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算,此法對(duì)解含垂直關(guān)系的問題往往有很好效果.6、D【解析】
先構(gòu)造函數(shù),由題意判斷出函數(shù)的奇偶性,再對(duì)函數(shù)求導(dǎo),判斷其單調(diào)性,進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù),因?yàn)?,所以,所以為奇函?shù),當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,所以在R上單調(diào)遞減.因?yàn)榇嬖?,所以,所以,化?jiǎn)得,所以,即令,因?yàn)闉楹瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn),所以在時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)因?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減,由選項(xiàng)知,,又因?yàn)?,所以要使在時(shí)有一個(gè)零點(diǎn),只需使,解得,所以a的取值范圍為,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程的綜合問題,難度較大.7、A【解析】
化簡(jiǎn)集合,,按交集定義,即可求解.【詳解】集合,,則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查集合間的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
設(shè),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求出切線斜率,進(jìn)而得到切線方程,將點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程,抽象出直線方程,且過定點(diǎn)為已知圓的圓心,即可求解.【詳解】圓可化為.設(shè),則的斜率分別為,所以的方程為,即,,即,由于都過點(diǎn),所以,即都在直線上,所以直線的方程為,恒過定點(diǎn),即直線過圓心,則直線截圓所得弦長為4.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓位置關(guān)系、直線與拋物線位置關(guān)系,拋物線兩切點(diǎn)所在直線求解是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.9、C【解析】
分別假設(shè)甲乙丙丁說的是真話,結(jié)合其他人的說法,看是否只有一個(gè)說的是真話,即可求得年紀(jì)最大者,即可求得答案.【詳解】①假設(shè)甲說的是真話,則年紀(jì)最大的是甲,那么乙說謊,丙也說謊,而丁說的是真話,而已知只有一個(gè)人說的是真話,故甲說的不是真話,年紀(jì)最大的不是甲;②假設(shè)乙說的是真話,則年紀(jì)最大的是乙,那么甲說謊,丙說真話,丁也說真話,而已知只有一個(gè)人說的是真話,故乙說謊,年紀(jì)最大的也不是乙;③假設(shè)丙說的是真話,則年紀(jì)最大的是乙,所以乙說真話,甲說謊,丁說的是真話,而已知只有一個(gè)人說的是真話,故丙在說謊,年紀(jì)最大的也不是乙;④假設(shè)丁說的是真話,則年紀(jì)最大的不是丁,而已知只有一個(gè)人說的是真話,那么甲也說謊,說明甲也不是年紀(jì)最大的,同時(shí)乙也說謊,說明乙也不是年紀(jì)最大的,年紀(jì)最大的只有一人,所以只有丙才是年紀(jì)最大的,故假設(shè)成立,年紀(jì)最大的是丙.綜上所述,年紀(jì)最大的是丙故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查合情推理,解題時(shí)可從一種情形出發(fā),推理出矛盾的結(jié)論,說明這種情形不會(huì)發(fā)生,考查了分析能力和推理能力,屬于中檔題.10、A【解析】
由的解集,可知及,進(jìn)而可求出方程的解,從而可求出的解集.【詳解】由的解集為,可知且,令,解得,,因?yàn)?,所以的解集為,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力與推理能力,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,利用線性規(guī)劃的知識(shí),利用的幾何意義即可得到結(jié)論.【詳解】不等式組作出可行域如圖:,,,的幾何意義是動(dòng)點(diǎn)到的斜率,由圖象可知的斜率為1,的斜率為:,則的取值范圍是:,,.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義結(jié)合斜率公式是解決本題的關(guān)鍵.12、B【解析】
由二項(xiàng)展開式定理求出通項(xiàng),求出的指數(shù)為整數(shù)時(shí)的個(gè)數(shù),即可求解.【詳解】,,當(dāng),,,時(shí),為有理項(xiàng),共項(xiàng).故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式項(xiàng)的特征,熟練掌握二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
分步排課,首先將“禮”與“樂”排在前兩節(jié),然后,“射”和“御”捆綁一一起作為一個(gè)元素與其它兩個(gè)元素合起來全排列,同時(shí)它們內(nèi)部也全排列.【詳解】第一步:先將“禮”與“樂”排在前兩節(jié),有種不同的排法;第二步:將“射”和“御”兩節(jié)講座捆綁再和其他兩藝全排有種不同的排法,所以滿足“禮”與“樂”必須排在前兩節(jié),“射”和“御”兩節(jié)講座必須相鄰的不同安排種數(shù)為.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查排列的應(yīng)用,排列組合問題中,遵循特殊元素特殊位置優(yōu)先考慮的原則,相鄰問題用捆綁法,不相鄰問題用插入法.14、【解析】
甲被選中,只需從乙、丙、丁、戊中,再選一人即有種方法,從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名共有種方法,根據(jù)公式即可求得概率.【詳解】甲被選中,只需從乙、丙、丁、戊中,再選一人即有種方法,從甲、乙、丙、丁、戊五人中任選兩名共有種方法,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率的計(jì)算,考查學(xué)生分析問題的能力,難度容易.15、【解析】
利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式將已知兩式作商,可得,再利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得,再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】由,所以,解得.,所以,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等比中項(xiàng),需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.16、6【解析】由題得所以焦距,故第一個(gè)空填6.由題得漸近線方程為.故第二個(gè)空填.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)對(duì)范圍分類整理得:,分類解不等式即可.(2)利用已知轉(zhuǎn)化為“當(dāng)時(shí),”恒成立,利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得:,問題得解.【詳解】當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),由得,解得;當(dāng)時(shí),無解;當(dāng)時(shí),由得,解得,所以的解集為(2)的解集包含等價(jià)于在上恒成立,當(dāng)時(shí),等價(jià)于恒成立,而,∴,故滿足條件的的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題主要考查了含絕對(duì)值不等式的解法,還考查了轉(zhuǎn)化能力及絕對(duì)值不等式的性質(zhì),考查計(jì)算能力,屬于中檔題.18、(1)(2),的最小值為.(3)時(shí),面積取最小值為【解析】
(1),利用三角函數(shù)定義分別表示,且,即可得到關(guān)于的解析式;,,則,即可得到的范圍;(2)由(1),若求l的最小值即求的最大值,即可求的最大值,設(shè)為,令,則,即可設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,即可求得的最大值,進(jìn)而求解;(3)由題,,則,設(shè),,利用導(dǎo)函數(shù)求得的最大值,即可求得的最小值.【詳解】解:(1),故.因?yàn)?所以,,所以,又,,則,所以,所以(2)記,則,設(shè),,則,記,則,令,則,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,故當(dāng)時(shí)取最小值,此時(shí),的最小值為.(3)的面積,所以,設(shè),則,設(shè),則,令,,所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,故當(dāng),即時(shí),面積取最小值為【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用,考查利用導(dǎo)函數(shù)求最值,考查運(yùn)算能力.19、(1)(2)5【解析】
(1)首先消去參數(shù)得到曲線的普通方程,再根據(jù),,得到曲線的極坐標(biāo)方程;(2)將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程,利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義得解;【詳解】解:(1)曲線:消去參數(shù)得到:,由,,得所以(2)代入,設(shè),,由直線的參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義得:【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、普通方程的互化,以及直線參數(shù)方程的幾何意義的應(yīng)用,屬于中檔題.20、(1);(2)是,定點(diǎn)坐標(biāo)為或【解析】
(1)根據(jù)相切得到,根據(jù)離心率得到,得到橢圓方程.(2)設(shè)直線的方程為,點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為,,聯(lián)立方程得到,,計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,圓的方程可化為,得到答案.【詳解】(1)根據(jù)題意:,因?yàn)?,所以,所以橢圓的方程為.(2)設(shè)直線的方程為,點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為,,把直線的方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)得到,所以,,所以,,因?yàn)橹本€的斜率,所以直線的方程,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,同理,點(diǎn)的坐標(biāo)為,故以為直徑的圓的方程為,又因?yàn)椋?,所以圓的方程可化為,令,
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