高三數(shù)學(xué)上學(xué)期1月月考試卷-理(含解析)-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題

wordwordword2014-2015學(xué)年某某省某某市建德市嚴(yán)州中學(xué)高三（上）1月月考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若P={x|x≤1}，Q={y|y≥﹣1}，則（） A．P?Q B．?RP?Q C．P∩Q=? D．P∪（?RQ）=R2．下列選項(xiàng)一定正確的是（） A．若a＞b，則ac＞bc B．若，則a＞b C．若a2＞b2，則a＞b D．若，則a＞b3．設(shè)b、c表示兩條直線，α、β表示兩個(gè)平面，下列命題中正確的是（） A．若c∥α，α⊥β，則c∥β．B．若b?α，b∥c，則c∥α． C．若b∥α，c⊥β，b∥c，則α⊥β D．若b∥α，c⊥β，b⊥c，則α⊥β4．已知函數(shù)f（x）=sinx﹣cosx，x∈R，若f（x）≥1，則x的取值X圍為（） A．{x|kπ+≤x≤kπ+π，k∈Z} B．{x|2kπ+≤x≤2kπ+π，k∈Z} C．{x|kπ+≤x≤kπ+，k∈Z} D．{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}5．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a9+a12＞0，a10?a11＜0，且數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn有最大值，那么當(dāng)Sn取得最小正值時(shí)，n等于（） A．17 B．19 C．20 D．216．若0＜x＜，則xtanx＞1是xsinx＞1的（） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知點(diǎn)P（x，y）是直線kx+y+4=0（k＞0）上一動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓C：x2+y2﹣2y=0的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，若四邊形PACB的最小面積是2，則k的值為（） A．3 B． C． D．28．已知橢圓C：+=1．設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線x=﹣3上任意一點(diǎn)，過(guò)F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P，Q．則最小值為（） A． B． C． D．二、填空題：本大題共7小題，每空3分，共36分．9．函數(shù)y=（x＞﹣4）的值域是．10．設(shè)θ為第二象限角，若，則sinθ+cosθ=．11．已知某個(gè)多面體的三視圖（單位cm）如圖所示，則此多面體的體積是cm3．1）設(shè)正實(shí)數(shù)x，y滿足條件，則2lgx+lgy的最大值為（2）設(shè)P，Q分別為圓x2+（y﹣6）2=2和橢圓+y2=1上的點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)間的最大距離是．13．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．已知，a1=0，an+1=Sn+3n，n∈N*．（1）Sn=（2）若﹣2≥k2﹣3|k|，對(duì)n∈N*恒成立，則k的取值X圍是．14．在△ABC中，（1）若點(diǎn)P在△ABC所在平面上，且滿足=+，則=．（2）若點(diǎn)G為△ABC重心，且（56sinA）+（40sinB）+（35sinC）=0，則∠B=．（3）若點(diǎn)O為△ABC的外心，AB=2m，AC=（m＞0），∠BAC=120°，且=x+y（x，y為實(shí)數(shù)），則x+y的最小值是．15．如圖，直線l⊥平面α，垂足為O，正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為4，C在平面α內(nèi)，B是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，（1）線段BC、AD兩中點(diǎn)連線的長(zhǎng)度是（2）當(dāng)O到AD的距離為最大時(shí)，正四面體在平面α上的射影面積為．三、解答題：本大題共5小題，共74分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．16．已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，bcosA+bsinA﹣c﹣a=0．（1）求B（2）求sinAcosC的取值X圍．17．如圖，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AB的中點(diǎn)，MA⊥平面ABCD，且在矩形ADNM中，AD=2，．（1）求證：AC⊥BN；（2）求證：AN∥平面MEC；（3）求二面角M﹣EC﹣D的大小．18．已知數(shù)列{an}，對(duì)任何正整數(shù)n都有：a1?1+a2?2+a3?22+…+an?2n﹣1=（n﹣1）?2n+1．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）①若λ≥（n∈N+）恒成立，某某數(shù)λ的X圍；②若數(shù)列{bn}滿足bn=|（﹣1）n?2an+7﹣2an|，求數(shù)列{bn}的前項(xiàng)和Sn．19．已知點(diǎn)A（0，1）、B（0，﹣1），P是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線PA、PB的斜率之積為．（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；（Ⅱ）設(shè)Q（2，0），過(guò)點(diǎn)（﹣1，0）的直線l交C于M、N兩點(diǎn)，△QMN的面積記為S，若對(duì)滿足條件的任意直線l，不等式S≤λtanMQN恒成立，求λ的最小值．20．已知函數(shù)f（x）=ax2﹣2x+b（1）若b=1，函數(shù)h（x）=ln（x＞0）在[2，+∞）上遞增，某某數(shù)a的X圍；（2）若a=﹣1，b=0，定義域?yàn)镽的函數(shù)g（x）=，當(dāng)g（x）＜1時(shí)，討論關(guān)于C的方程2g2（x）+2mg（x）+1=0的根的個(gè)數(shù)．2014-2015學(xué)年某某省某某市建德市嚴(yán)州中學(xué)高三（上）1月月考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若P={x|x≤1}，Q={y|y≥﹣1}，則（） A．P?Q B．?RP?Q C．P∩Q=? D．P∪（?RQ）=R考點(diǎn)： 集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用；補(bǔ)集及其運(yùn)算．專題： 集合．分析： 根據(jù)已知中P={x|x≤1}，Q={y|y≥﹣1}，結(jié)合集合包含的定義及集合的交并補(bǔ)運(yùn)算，逐一判斷四個(gè)答案的正誤，可得結(jié)論．解答： 解：∵P={x|x≤1}=（﹣∞，1]，Q={y|y≥﹣1}=[﹣1，+∞），∴A中，P?Q錯(cuò)誤；B中，?RP=（1，+∞）?Q正確，C中，P∩Q=[﹣1，1]≠?，錯(cuò)誤；P∪（?RQ）=（﹣∞，1]∪（﹣∞，﹣1）=P≠R，錯(cuò)誤；故選：B點(diǎn)評(píng)： 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用，集合的交并補(bǔ)運(yùn)算，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．2．下列選項(xiàng)一定正確的是（） A．若a＞b，則ac＞bc B．若，則a＞b C．若a2＞b2，則a＞b D．若，則a＞b考點(diǎn)： 命題的真假判斷與應(yīng)用．專題： 綜合題；簡(jiǎn)易邏輯．分析： 通過(guò)舉反例說(shuō)明選項(xiàng)A，C，D錯(cuò)誤，由不等式的可乘積性說(shuō)明B正確．解答： 解：對(duì)于A，a＞b，若c=0，則ac=bc，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，即a＞b，選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，（﹣3）2＞22，﹣3＜2，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，﹣2＜2，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：B．點(diǎn)評(píng)： 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了不等式的性質(zhì)，舉反例說(shuō)明一個(gè)命題是假命題是常用的方法，是中檔題．3．設(shè)b、c表示兩條直線，α、β表示兩個(gè)平面，下列命題中正確的是（） A．若c∥α，α⊥β，則c∥β．B．若b?α，b∥c，則c∥α． C．若b∥α，c⊥β，b∥c，則α⊥β D．若b∥α，c⊥β，b⊥c，則α⊥β考點(diǎn)： 空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．專題： 空間位置關(guān)系與距離．分析： 利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系求解．解答： 解：若c∥α，α⊥β，則c與β相交、平行或c?β，故A錯(cuò)誤；若b?α，b∥c，則c∥α或c?α，故B錯(cuò)誤；若b∥α，c⊥β，b∥c，則由平面與平面垂直的判定定理得α⊥β，故C正確；若b∥α，c⊥β，b⊥c，則α與β相交或平行，故D錯(cuò)誤．故選：C．點(diǎn)評(píng)： 本題考查命題真假的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．4．已知函數(shù)f（x）=sinx﹣cosx，x∈R，若f（x）≥1，則x的取值X圍為（） A．{x|kπ+≤x≤kπ+π，k∈Z} B．{x|2kπ+≤x≤2kπ+π，k∈Z} C．{x|kπ+≤x≤kπ+，k∈Z} D．{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}考點(diǎn)： 三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．專題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析： 利用兩角差的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）=sinx﹣cosx為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，根據(jù)f（x）≥1，求出x的X圍即可．解答： 解：函數(shù)f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），因?yàn)閒（x）≥1，所以2sin（x﹣）≥1，所以，所以f（x）≥1，則x的取值X圍為：{x|2kπ+≤x≤2kπ+π，k∈Z}故選：B點(diǎn)評(píng)： 本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，三角函數(shù)不等式的解法，考查計(jì)算能力，?？碱}型．5．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a9+a12＞0，a10?a11＜0，且數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn有最大值，那么當(dāng)Sn取得最小正值時(shí)，n等于（） A．17 B．19 C．20 D．21考點(diǎn)： 等差數(shù)列的性質(zhì)．專題： 計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析： 由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可得a10＞0，a11＜0，又可得S19=19a10＞0，而S20=10（a10+a11）＜0，進(jìn)而可得Sn取得最小正值時(shí)n等于19．解答： 解：∵a9+3a11＜0，∴由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a9+3a11=a9+a11+2a11=a9+a11+a10+a12=2（a11+a10）＜0，又a10?a11＜0，∴a10和a11異號(hào)，又∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn有最大值，∴數(shù)列{an}是遞減的等差數(shù)列，∴a10＞0，a11＜0，∴S19=19a10＞0∴S20=10（a1+a20）=10（a9+a12）＞0∴Sn取得最小正值時(shí)n等于20故選：C點(diǎn)評(píng)： 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，屬基礎(chǔ)題．6．若0＜x＜，則xtanx＞1是xsinx＞1的（） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件考點(diǎn)： 必要條件、充分條件與充要條件的判斷．專題： 簡(jiǎn)易邏輯．分析： 0＜x＜，可得tanx＞sinx＞0，于是xsinx＞1?xtanx＞1，反之不成立，取x=即可判斷出．解答： 解：∵0＜x＜，∴tanx＞sinx＞0，∴xsinx＞1?xtanx＞1，反之不成立，取x=即可判斷出．因此xtanx＞1是xsinx＞1的必要不充分條件．故選：B．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性、簡(jiǎn)易邏輯的判定，屬于基礎(chǔ)題．7．已知點(diǎn)P（x，y）是直線kx+y+4=0（k＞0）上一動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓C：x2+y2﹣2y=0的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，若四邊形PACB的最小面積是2，則k的值為（） A．3 B． C． D．2考點(diǎn)： 直線和圓的方程的應(yīng)用．專題： 計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想．分析： 先求圓的半徑，四邊形PACB的最小面積是2，轉(zhuǎn)化為三角形PBC的面積是1，求出切線長(zhǎng)，再求PC的距離也就是圓心到直線的距離，可解k的值．解答： 解：圓C：x2+y2﹣2y=0的圓心（0，1），半徑是r=1，由圓的性質(zhì)知：S四邊形PACB=2S△PBC，四邊形PACB的最小面積是2，∴S△PBC的最小值=1=rd（d是切線長(zhǎng)）∴d最小值=2圓心到直線的距離就是PC的最小值，∵k＞0，∴k=2故選D．點(diǎn)評(píng)： 本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式等知識(shí)，是中檔題．8．已知橢圓C：+=1．設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線x=﹣3上任意一點(diǎn)，過(guò)F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P，Q．則最小值為（） A． B． C． D．考點(diǎn)： 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析： 通過(guò)設(shè)T（﹣3，t），易知|FT|=，對(duì)t的值進(jìn)行討論：當(dāng)t=0時(shí)易知=；當(dāng)t≠0時(shí)可知直線PQ的方程y=（x+2），與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、兩點(diǎn)間距離公式、完全平方公式可知|PQ|=?，化簡(jiǎn)可知=?（+），利用基本不等式計(jì)算即得結(jié)論．解答： 解：如圖，A（﹣3，0）、F（﹣2，0），設(shè)T（﹣3，t），則|AF|=|﹣2+3|=1，|AT|=t，∴|FT|==，設(shè)P（x1，y1）、Q（x2，y2），下面對(duì)t的值進(jìn)行討論：①當(dāng)t=0時(shí)，|FT|=1，此時(shí)PQ與x軸垂直，易知P（﹣2，﹣）、Q（﹣2，），∴==；②當(dāng)t≠0時(shí)，此時(shí)直線TF的斜率為﹣t，∴直線PQ的斜率為，∴直線PQ的方程為：y=（x+2），聯(lián)立，消去y、整理得：（t2+3）x2+12x+12﹣6t2=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴|PQ|======?，∴==?=?=?（+）≥?2（當(dāng)且僅當(dāng)=即t=±1時(shí)取等號(hào)）=；綜上所述，最小值為，故選：C．點(diǎn)評(píng)： 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．二、填空題：本大題共7小題，每空3分，共36分．9．函數(shù)y=（x＞﹣4）的值域是（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．考點(diǎn)： 函數(shù)的值域．專題： 計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 觀察法求函數(shù)的值域，注意討論當(dāng)﹣4＜x＜0時(shí)，當(dāng)x＞0時(shí)．解答： 解：∵x＞﹣4，∴當(dāng)﹣4＜x＜0時(shí)，＜﹣；當(dāng)x＞0時(shí)，＞0．∴函數(shù)y=（x＞﹣4）的值域?yàn)椋海ī仭蓿仯龋?，+∞）．故答案為：（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了函數(shù)值域的求法．高中函數(shù)值域求法有：1、觀察法，2、配方法，3、反函數(shù)法，4、判別式法；5、換元法，6、數(shù)形結(jié)合法，7、不等式法，8、分離常數(shù)法，9、單調(diào)性法，10、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域，11、最值法，12、構(gòu)造法，13、比例法．要根據(jù)題意選擇．10．設(shè)θ為第二象限角，若，則sinθ+cosθ=﹣．考點(diǎn)： 兩角和與差的正切函數(shù)；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系．專題： 壓軸題；三角函數(shù)的求值．分析： 已知等式利用兩角和與差的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，求出tanθ的值，再根據(jù)θ為第二象限角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinθ與cosθ的值，即可求出sinθ+cosθ的值．解答： 解：∵tan（θ+）==，∴tanθ=﹣，∵θ為第二象限角，∴cosθ=﹣=﹣，sinθ==，則sinθ+cosθ=﹣=﹣．故答案為：﹣點(diǎn)評(píng)： 此題考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．11．已知某個(gè)多面體的三視圖（單位cm）如圖所示，則此多面體的體積是cm3．考點(diǎn)： 由三視圖求面積、體積．專題： 計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．分析： 由三視圖可知該幾何體以俯視圖為底面，有一側(cè)面垂直于底面的三棱錐，高為2，利用錐體體積公式計(jì)算即可．解答： 解：由三視圖可知該幾何體是以俯視圖為底面，有一側(cè)面垂直于底面的三棱錐，高為2，所以V=××2×2×2=．故答案為：．點(diǎn)評(píng)： 本題考查三視圖求幾何體的體積，考查計(jì)算能力，空間想象能力，三視圖復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵．1）設(shè)正實(shí)數(shù)x，y滿足條件，則2lgx+lgy的最大值為2（2）設(shè)P，Q分別為圓x2+（y﹣6）2=2和橢圓+y2=1上的點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)間的最大距離是6．考點(diǎn)： 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃；對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題： 不等式的解法及應(yīng)用．分析： （1）設(shè)a=lgx，b=lgy，將不等式組進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用線性規(guī)劃的知識(shí)進(jìn)行求解．（2）求出橢圓上的點(diǎn)與圓心的最大距離，加上半徑，即可得出P，Q兩點(diǎn)間的最大距離．解答： 解：（1）設(shè)a=lgx，b=lgy，則不等式等價(jià)為，目標(biāo)函數(shù)z=2a+b，即b=﹣2a+z，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：平移直線b=﹣2a+z，當(dāng)直線b=﹣2a+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）時(shí)，直線的截距最大，此時(shí)z最大，為z=2+0=2，即2lgx+lgy的最大值為2．（2）設(shè)橢圓上的點(diǎn)為（x，y），則x2=10﹣10y2，∵圓x2+（y﹣6）2=2的圓心為（0，6），半徑為，∴橢圓上的點(diǎn)與圓心的距離為==≤5，∴P，Q兩點(diǎn)間的最大距離是5+=6．故答案為：（1）2；（2）6；點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問(wèn)題的基本方法．13．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．已知，a1=0，an+1=Sn+3n，n∈N*．（1）Sn=3n﹣3?2n﹣1（2）若﹣2≥k2﹣3|k|，對(duì)n∈N*恒成立，則k的取值X圍是[1，2]∪[﹣2，﹣1]．考點(diǎn)： 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析： （1）依題意，，由此得，再由S1﹣3=﹣3，能求出．（2）由已知得≥k2﹣3|k|+2，對(duì)n∈N*恒成立，從而得到k2﹣3|k|+2≤0，由此能求出k的取值X圍．解答： 解：（1）∵a1=0，an+1=Sn+3n，n∈N*，∴依題意，，即，由此得，∵S1﹣3=﹣3，∴=﹣3?2n﹣1，n∈N*，∴．故答案為：3n﹣3?2n﹣1．（2）∵﹣2≥k2﹣3|k|，對(duì)n∈N*恒成立，∴≥k2﹣3|k|+2，對(duì)n∈N*恒成立，∵＞0，∴k2﹣3|k|+2≤0，當(dāng)k＞0時(shí)，k2﹣3k+2≤0，解得1≤k≤2；當(dāng)k＜0時(shí)，k2+3k+2≤0，解得﹣2≤k≤﹣1．∴k的取值X圍是：[1，2]∪[﹣2，﹣1]．故答案為：[1，2]∪[﹣2，﹣1]．點(diǎn)評(píng)： 本題主要前n項(xiàng)和公式的求法，考查實(shí)數(shù)的取值X圍的求法，考查抽象概括能力，推理論證能力，運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想．14．在△ABC中，（1）若點(diǎn)P在△ABC所在平面上，且滿足=+，則=2．（2）若點(diǎn)G為△ABC重心，且（56sinA）+（40sinB）+（35sinC）=0，則∠B=60°．（3）若點(diǎn)O為△ABC的外心，AB=2m，AC=（m＞0），∠BAC=120°，且=x+y（x，y為實(shí)數(shù)），則x+y的最小值是2．考點(diǎn)： 平面向量的基本定理及其意義．專題： 平面向量及應(yīng)用．分析： （1）利用向量的加法與減法運(yùn)算把=+中的向量轉(zhuǎn)化為含有的向量，則可求；（2）利用正弦定理把（56sinA）+（40sinB）+（35sinC）=中的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為邊，再由點(diǎn)G為三角形的重心，根據(jù)中線的性質(zhì)及向量加法法則轉(zhuǎn)化為（112a﹣40b﹣35c）+（﹣56a﹣40b+70c）=，由系數(shù)等于0且令c=56求得a、b的值，代入余弦定理求得∠B=60°；（3）以A為原點(diǎn)，以AB所在的直線為x軸，建立直角系，則A（0，0），B（2a，0），C（﹣），解得△ABC的外心O，由條件=x+y求得x，y的值，再由基本不等式求得x+y的最小值是2．解答： 解：（1）點(diǎn)P在△ABC所在平面上，且滿足=+，則，即，即，∴，∴，則=2；（2）∵（56sinA）+（40sinB）+（35sinC）=，設(shè)三角形的邊長(zhǎng)順次為a，b，c，根據(jù)正弦定理得：56a+40b+35=，由點(diǎn)G為三角形的重心，根據(jù)中線的性質(zhì)及向量加法法則得：3=+，3=+，3=，代入上式得：56a（）+40b（）+35（）=，又，上式可化為：56a（2+）+40b（）+35c（﹣）=，即（112a﹣40b﹣35c）+（﹣56a﹣40b+70c）=，則有，令c=56，解得：，∴cosB==，∵B∈（0，180°），∴∠B=60°；（3）如圖：以A為原點(diǎn)，以AB所在的直線為x軸，建立直角系．則A（0，0），B（2a，0），C（﹣），∵O為△ABC的外心，∴O在AB的中垂線m：x=a上，又在AC的中垂線n上，AC的中點(diǎn)，AC的斜率為tan120°=，∴中垂線n的方程為．把直線m和n的方程聯(lián)立方程組，解得△ABC的外心O，由條件=x+y，得=x（2a，0）+y（﹣，）=（2ax﹣，），∴．解得x=，y=，∴x+y=+=≥=2．當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)取等號(hào)．∴x+y的最小值是2．故答案為：（1）2；（2）60°；（3）2．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了平面向量基本定理及其意義，考查了正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，是中檔題．15．如圖，直線l⊥平面α，垂足為O，正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為4，C在平面α內(nèi)，B是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，（1）線段BC、AD兩中點(diǎn)連線的長(zhǎng)度是（2）當(dāng)O到AD的距離為最大時(shí)，正四面體在平面α上的射影面積為4+．考點(diǎn)： 平行投影及平行投影作圖法．專題： 計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．分析： （1）利用勾股定理，即可求出線段BC、AD兩中點(diǎn)連線的長(zhǎng)度；（2）確定直線BC與動(dòng)點(diǎn)O的空間關(guān)系，得到最大距離為AD到球心的距離+半徑，再考慮取得最大距離時(shí)四面體的投影情況，即可求得結(jié)論．解答： 解：（1）∵正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為4，∴線段BC、AD兩中點(diǎn)連線的長(zhǎng)度是=；（2）由題意，直線BC與動(dòng)點(diǎn)O的空間關(guān)系：點(diǎn)O是以BC為直徑的球面上的點(diǎn)，所以O(shè)到AD的距離為四面體上以BC為直徑的球面上的點(diǎn)到AD的距離，最大距離為AD到球心的距離（即BC與AD的公垂線）+半徑=+2．再考慮取得最大距離時(shí)四面體的投影情況，此時(shí)我們注意到AD垂直平面OBC，且平行平面α，故其投影是以AD為底，O到AD的距離投影，即（+2）cos45°=2+為高的等腰三角形，其面積=×4×（2+）=4+．故答案為：，4+．點(diǎn)評(píng)： 本題考查點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共74分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．16．已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，bcosA+bsinA﹣c﹣a=0．（1）求B（2）求sinAcosC的取值X圍．考點(diǎn)： 三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦定理．專題： 解三角形．分析： （1）利用正弦定理把已知的等式化邊為角，把C用π﹣（A+B）表示后整理求得B的值；（2）利用三角函數(shù)的積化和差變形，代入角B的值，然后根據(jù)A﹣C的X圍得答案．解答： 解：（1）由bcosA+bsinA﹣c﹣a=0，得，即．整理得，．∵sinA≠0，∴．即．∵0°＜B＜180°，∴﹣30°＜B﹣30°＜150°，∴B﹣30°=30°，B=60°；（2）∵B=60°，∴sinAcosC===．由0°＜A＜120°，0°＜C＜120°，得﹣120°＜A﹣C＜120°．∴﹣1≤sin（A﹣C）≤1．．∴sinAcosC的取值X圍是．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了解三角形，訓(xùn)練了正弦定理的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的積化和差公式，是中檔題．17．如圖，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AB的中點(diǎn)，MA⊥平面ABCD，且在矩形ADNM中，AD=2，．（1）求證：AC⊥BN；（2）求證：AN∥平面MEC；（3）求二面角M﹣EC﹣D的大小．考點(diǎn)： 二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的性質(zhì)．專題： 計(jì)算題；證明題；空間位置關(guān)系與距離；空間角．分析： （1）通過(guò)連接BD，證明AC⊥平面NDB，利用BN?平面NDB，從而證明AC⊥BN；（2）利用CM與BN交于F，連接EF．證明AN∥EF，通過(guò)直線與平面平行的判定定理證明AN∥平面MEC；（3）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)平面MEC的法向量為=（x，y，z）．利用求出向量，求出平面ADE的法向量，利用，求出二面角M﹣EC﹣D的大小．解答： （共14分）解：（1）證明：連接BD，則AC⊥BD．由已知DN⊥平面ABCD，因?yàn)镈N∩DB=D，所以AC⊥平面NDB．…（2分）又因?yàn)锽N?平面NDB，所以AC⊥BN．…（4分）（2）CM與BN交于F，連接EF．由已知可得四邊形BM是平行四邊形，所以F是BN的中點(diǎn)．因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，所以AN∥EF．…（7分）又EF?平面MEC，AN?平面MEC，所以AN∥平面MEC．…（9分）（3）由于四邊形ABCD是菱形，E是AB的中點(diǎn)，可得DE⊥AB．如圖建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，則D（0，0，0），，C（0，2，0），.，．…（10分），設(shè)平面MEC的法向量為=（x，y，z）．則所以令x=2．所以．…（12分），又平面ADE的法向量=（0，0，1），所以．．所以二面角M﹣EC﹣D的大小是60°．…（14分）點(diǎn)評(píng)： 本題考查直線與平面垂直的性質(zhì)，直線與平面平行的判斷，二面角的求法，考查空間想象能力與計(jì)算能力．18．已知數(shù)列{an}，對(duì)任何正整數(shù)n都有：a1?1+a2?2+a3?22+…+an?2n﹣1=（n﹣1）?2n+1．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）①若λ≥（n∈N+）恒成立，某某數(shù)λ的X圍；②若數(shù)列{bn}滿足bn=|（﹣1）n?2an+7﹣2an|，求數(shù)列{bn}的前項(xiàng)和Sn．考點(diǎn)： 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析： （1）設(shè)，由，得，從而能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．（2）①記f（n）=，n∈N*，則，推導(dǎo)出f（n）先增后減，在n=2時(shí)取到最大值，由此求出λ≥f（2）=3．②由bn=|（﹣1）n?2n+7﹣2n|=|（﹣1）n（7﹣2n）+2n|，得到Sn=（5﹣2）+（3+22）+（﹣1+23）+（﹣1+24）+（3+25）+（﹣5+26）+…+[（﹣1）n（7﹣2n）+2n]，由此能求出數(shù)列{bn}的前項(xiàng)和Sn．解答： 解：（1）依題意，設(shè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為，由，可得（n≥2），兩式相減可得，即an=n．當(dāng)n=1時(shí)，a1=1，從而對(duì)一切n∈N*，都有an=n．∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=n．（2）①記f（n）=，n∈N*，則，當(dāng)n=1時(shí)，，f（2）＞f（1），當(dāng)n≥2時(shí)，，∴f（n）先增后減，在n=2時(shí)取到最大值，∴λ≥f（2）=3．②bn=|（﹣1）n?2an+7﹣2an|=|（﹣1）n?2n+7﹣2n|=|（﹣1）n（7﹣2n）+2n|，Sn=（5﹣2）+（3+22）+（﹣1+23）+（﹣1+24）+（3+25）+（﹣5+26）+…+[（﹣1）n（7﹣2n）+2n]=5﹣2+3﹣1+（22+23+24+…+2n）+[﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（7﹣2n）]=3+（2+22+23+24+…+2n）+[﹣1+3﹣5+7﹣9+…+（﹣1）n（7﹣2n）]==．點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法、前n項(xiàng)和公式的求法，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查抽象概括能力，推理論證能力，運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，解題時(shí)要注意分組求和法的合理運(yùn)用．19．已知點(diǎn)A（0，1）、B（0，﹣1），P是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線PA、PB的斜率之積為．（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；（Ⅱ）設(shè)Q（2，0），過(guò)點(diǎn)（﹣1，0）的直線l交C于M、N兩點(diǎn)，△QMN的面積記為S，若對(duì)滿足條件的任意直線l，不等式S≤λtanMQN恒成立，求λ的最小值．考點(diǎn)： 直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；軌跡方程．專題： 計(jì)算題．分析： （Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），可表示出直線PA，PB的斜率，根據(jù)題意直線PA、PB的斜率之積為建立等式求得x和y的關(guān)系式，即點(diǎn)P的軌跡方程．（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，分別表示出和，進(jìn)而可求得；再看直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線l的方程，把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示出x1+x2和x1x2，進(jìn)而表示出判斷出其X圍，綜合求得的最大值，根據(jù)S≤λtanMQN恒成立判斷出恒成立．求得λ的最小值