高中數(shù)學(xué)各章易錯點精析7-立體幾何與空間向量

PAGEPAGE8第7章立體幾何【易錯點1：空間點線面關(guān)系】例1、已知m、n是不同的直線，α、β、γ是不同的平面．給出下列命題：(1)若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，則n⊥α，或n⊥β；(2)若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，則m∥n；(3)若m不垂直于α，則m不可能垂直于α內(nèi)的無數(shù)條直線；(4)若α∩β＝m，n∥m，且n?α，n?β，則n∥α，且n∥β；(5)若m、n為異面直線，則存在平面α過m且使n⊥α.其中正確的命題序號是________．正解(1)是錯誤的．(2)正確．實質(zhì)上是兩平面平行的性質(zhì)定理．(3)是錯誤的．(4)正確．利用線面平行的判定定理即可．(5)錯誤．從結(jié)論考慮，若n⊥α且m?α，則必有m⊥n，事實上，條件并不能保證m⊥n.故錯誤．例2、已知直線平面，直線在平面內(nèi)，給出下列四個命題：①；②；③；④，其中真命題的序號是.【①④分析：熟悉點線面的的一些常用定理，直線垂直平面，則垂直于平面內(nèi)任意一條直線。若兩平面平行，則該直線也垂直于此平面?！坷?、a、b是異面直線，P是a、b外任意一點，下列結(jié)論正確的有（）A.過P可以作一個平面與a、b都平行B.過P可以作一個平面與a、b都垂直C.過P可以作一直線與a、b都平行D.過P可以作一直線與a、b成等角【答案：D】當(dāng)P點與a確定的平面和b平行時，A錯誤?！疽族e點2：立體圖形的截面問題】必修2平行關(guān)系習(xí)題1-5（第34頁）B組第2題，就是一個截面問題。例4、正方體--，E、F分別是、的中點，p是上的動點（包括端點），過E、D、P作正方體的截面，若截面為四邊形，則P的軌跡是（）線段B、線段C、線段和一點D、線段和一點C。【易錯點分析】學(xué)生的空間想象能力不足，不能依據(jù)平面的基本定理和線面平行定理作兩平面的交線。解析：如圖當(dāng)點P在線段上移動時，易由線面平行的性質(zhì)定理知：直線DE平行于平面，則過DE的截面DEP與平面的交線必平行，因此兩平面的交線為過點P與DE平行的直線，由于點P在線段CF上故此時過P與DE平行的直線與直線的交點在線段上，故此時截面為四邊形（實質(zhì)上是平行四邊形），特別的當(dāng)P點恰為點F時，此時截面為也為平行四邊形，當(dāng)點P在線段上時如圖分別延長DE、DP交、于點H、G則據(jù)平面基本定理知點H、G既在平截面DEP內(nèi)也在平面內(nèi)，故GH為兩平面的交線，連結(jié)GH分別交、于點K、N（注也有可能交在兩直線的延長線上），再分別連結(jié)EK、KN、PN即得截面為DEKNP此時為五邊形。故選C【知識點歸類點拔】高考對用一平面去截一立體圖形所得平面圖形的考查實質(zhì)上對學(xué)生空間想象能力及對平面基本定理及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理的考查。考生往往對這一類型的題感到吃力，實質(zhì)上高中階段對作截面的方法無非有如下兩種：一種是利有平面的基本定理：①一條直線上有兩點在一平面內(nèi)則這條直線上所在的點都在這平面內(nèi)，②兩平面相交有且僅有一條通過該公共點的直線（即交線）（注意該定理地應(yīng)用如①證明諸線共點的方法：先證明其中兩線相交，再證明此交點在第三條直線上即轉(zhuǎn)化為此點為兩平面的公共點而第三條直線是兩平的交線則依據(jù)定理知交點在第三條直線；②諸點共線：即證明此諸點都是某兩平面的共公點即這些點在兩平面的交線上）。據(jù)這兩種定理要做兩平面的交線可在兩平面內(nèi)通過空間想象分別取兩組直線分別相交，則其交點必為兩平面的公共點，并且兩交點的連線即為兩平的交線。另一種方法就是依據(jù)線面平行及面面平行的性質(zhì)定理，去尋找線面平行及面面平行關(guān)系，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線。一般情況下這兩種方法要結(jié)合應(yīng)用。例5、在正三棱柱-中，P、Q、R分別是、、的中點，作出過三點P、Q、R截正三棱柱的截面并說出該截面的形狀。【答案：五邊形?！俊疽族e點3：忽視角的范圍】說明：直線與平面所成角的范圍是；兩異面直線所成角的范圍是；二面角的范圍。特別要注意的是兩異面直線所成角的范圍，當(dāng)求出的余弦值為時，其所成角的大小應(yīng)為.求異面直線所成角的基本方法：①平移使相交，然后解三角形；②空間向量法。例6、如果異面直線a、b所成的角為,P為空間一定點，則過點P與a、b所成的角都是的直線有幾條？A、一條B二條C三條D四條【易錯點分析】對過點P與兩異面直線成相同的角的直線的位置關(guān)系空間想象不足，不明確與兩直線所成的角與兩異面直線所成的角的內(nèi)在約束關(guān)系。解析：如圖，過點P分別作a、b的平行線、，則、所成的角也為，即過點P與、成相等的角的直線必與異面直線a、b成相等的角，由于過點P的直線L與、成相等的角故這樣的直線L在、確定的平面的射影在其角平分線上，則此時必有當(dāng)時，有，此時這樣的直線存在且有兩條；當(dāng)時，有這樣的直線不存在。故選B。【知識點分類點拔】解決異面直線所成角的問題關(guān)鍵是定義，基本思想是平移，同時對本題來說是解決與兩異面直線所成的等角的直線條數(shù)，將兩異面直線平移到空間一點時，一方面考慮在平面內(nèi)和兩相交直線成等角的直線即角平分線是否滿足題意，另一方面要思考在空間中與一平面內(nèi)兩相交直線成等角的直線的條數(shù)，此時關(guān)鍵是搞清平面外的直線與平面內(nèi)的直線所成的角與平面內(nèi)的直線與平面外的直線在平面內(nèi)的射影所成的角的關(guān)系，由公式（其中是直線與平面所成的角）易知，（最小角定理）。故一般地，若異面直線a、b所成的角為，L與a、b所成的角均為，據(jù)上式有如下結(jié)論：當(dāng)時，這樣的直線不存在；當(dāng)時，這樣的直線只有一條；當(dāng)時，這樣的直線有兩條；當(dāng)時這樣的直線有3條；當(dāng)時，這樣的直線有四條。例7、已知平行六面體--中，底面是邊長為1的的正方形，側(cè)棱的長為2，且側(cè)棱和與的夾角都等于，（1）求對角線的長（2）求直線與的夾角值?！敬鸢福?1)，∴。A為C1在底面上的投影。AC1=.(2)（采用向量方法，求得,故兩異面直線所成的角的余弦值為）】例8、在平行四邊形ABCD中，AB=1，AC=，AD=2；線段PA⊥平行四邊形ABCD所在的平面，且PA=2，則異面直線PC與BD所成的角等于（用反三角函數(shù)表示）.【分析：或】例9、如圖，平面，四邊形是正方形，，點、、分別為線段、和的中點.求異面直線與所成角的大小；xxyz【分析：異面直線與所成角大小為.】例10、在正三棱柱中，若，則所成角的大小為（）A、B、C、D、【易錯點分析】忽視垂直的特殊求法導(dǎo)致方法使用不當(dāng)而浪費很多時間。解析：如圖分別為中點，連結(jié)，設(shè)則為在平面上的射影。又而垂直?！局R點歸類點撥】求異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角時，對特殊的角，如時，可以采用證明垂直的方法來求之。例11、（2002年·全國·理18）如圖，正方形、的邊長都是1，而且平面、互相垂直。點在上移動，點在上移動，若。（Ⅰ）求的長；（Ⅱ）當(dāng)為何值時，的長最?。唬á螅┊?dāng)長最小時，求面與面所成的二面角的大小。解：（Ⅰ）作∥交于點，∥交于點，連結(jié)，依題意可得∥，且，即是平行四邊形∴由已知，∴又，，即∴（Ⅱ）由（Ⅰ），所以，當(dāng)時，即、分別移動到、的中點時，的長最小，最小值為。（Ⅲ）取的中點，連結(jié)、，∵，，為的中點∴⊥，⊥，∠即為二面角的平面角又，所以，由余弦定理有故所求二面角【本題也可用空間向量解（見《基礎(chǔ)》P158，容易誤解為】【易錯點4：面積體積計算】例12、已知球的半徑為，一平面截球所得的截面面積為，球心到該截面的距離為，則球的體積等于.【分析：平面截球所得的截面即為一平面圓，所以該圓半徑即為2，又由于球心到該截面距離為，而球體半徑，截面半徑與球心到截面距離正好構(gòu)成一個直角三角形，由勾股定理可得球體半徑為3，根據(jù)球的體積公式?！坷?3、棱長為a的正方體中，連結(jié)相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為（）A、B、C、D、【易錯點分析】正確的分析圖形，采用割補法。解析：如圖此八面體可以分割為兩個正四棱錐，而，故選C?！局R點歸類點撥】計算簡單幾何體的體積，要選擇某個面作為底面，選擇的前提條件是這個面上的高易求。例14、一個棱長為6cm的密封正方體盒子中放一個半徑為1cm的小球，無論怎么樣搖動盒子，求小球在盒子不能到達的空間的體積。解：在8個頂點處不能到達的空間為：，除此之外，在以正方體的棱為一條棱的12個的正四棱柱空間內(nèi)，小球不能到達的空間為。故小球不能到達的空間體積為：【易錯點5：經(jīng)度緯度與球面距離】對于經(jīng)度和緯度兩個概念，經(jīng)度是二面角，緯度為線面角，二者容易混淆。例15、如圖，在北緯的緯線圈上有A,B兩點，它們分別在東經(jīng)與東經(jīng)的經(jīng)度上，設(shè)地球的半徑為R，求A,B兩點的球面距離?！疽族e點分析】求A、B兩點的距離，主要是求A、B兩點的球心角的大小，正確描述緯線角和經(jīng)度角是關(guān)鍵。解析：設(shè)北緯圈的圓心為，地球中心為O，則連結(jié)，則?！局R點歸類點撥】數(shù)學(xué)上，某點的經(jīng)度是：經(jīng)過這點的經(jīng)線與地軸確定的平面與本初子午線（經(jīng)線）和地軸確定的半平面所成的二面角的度數(shù)。某點的緯度是：經(jīng)過這點的球半徑與赤道面所成的角的度數(shù)。如下圖：圖（1）：經(jīng)度——P點的經(jīng)度，也是的度數(shù)。圖（2）：緯度——P點的緯度，也是的度數(shù)。例16、在體積為的球的表面上有三點,兩點的球面距離為.則球心到平面的距離為_____.【答案：】【易錯點6：用空間向量解立體幾何】例17：已知正方體AC1的棱長為2，求DD1與平面A1BD所成的角。解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則DBCDBCAxD1C1A1B1zy【很容易錯誤地認為DD1與平面A1BD所成的角為】

第7章立體幾何易錯點精練1.已知α、β、γ是三個互不重合的平面，l是一條直線，給出下列四個命題：①若α⊥β，l⊥β，則l∥α；②若l⊥α，l∥β，則α⊥β；③若l上有兩個點到α的距離相等，則l∥α；④若α⊥β，α∥γ，則γ⊥β.其中正確命題的序號是________．解析①有直線l?α的可能；②正確；③中包含兩個點在平面兩側(cè)的情況；④正確．故填②④.2.給定空間中的直線及平面，條件“直線與平面垂直”是“直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線垂直”的（）充要條件充分非必要條件必要非充分條件既非充分又非必要條件【答案：B】3.“直線與平面沒有公共點”是“直線與平面平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案：C．分析：直線與平面平行的定義即為直線與平面沒有公共點】4.正方體ABCD—A1B1C1D1中，p、q、r、分別是AB、AD、B1C（A）三角形（B）四邊形（C）五邊形（D）六邊形【答案：D】5.如果異面直線a、b所在的角為80°,P為空間一定點，則過點P與a、b所成的角都是的直線有幾條？A、一條B二條C三條D四條【答案：C】6.設(shè)一個正方體的各個頂點都在一個表面積為的球面上，則該正方體的體積為．【分析：由于正方體的各個頂點都在球面上，可知，該正方體的中心和球的球心為同一點，則正方體體對角線等于該球的直徑，又由于球的表面積為，所以根據(jù)球的表面積計算公式可得半徑為，所以正方體的邊長為2，體積即得，等于8】7.如圖四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，AB=8，AD=，側(cè)面PAD為等邊三角形，并且與底面成二面角為。四棱錐P—ABCD的體積。解析：如圖，取AD的中點E，連結(jié)PE，則。作平面ABCD，垂足為O，連結(jié)OE。根據(jù)三垂線定理的逆定理得，所以為側(cè)面PAD與底面所成二面角的平面角。由已知條件可，所以，四棱錐P—ABCD的體積。8.如圖，已知是底面為正方形的長方體，，，點是的中點，求異面直線與所成的角（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）．BCDA1PBCDA1PB1C1D1.9.在正三棱錐A－BCD中，E、F是AB、BC的中點，EF⊥DE，若BC=a，則正三棱錐A－BCD的體積為____________?！綞Q\F(EQ\R(2),24)a3(隱含條件)】10.在直二面角－AB－的棱AB上取一點P，過P分別在、兩個平面內(nèi)作與棱成45°的斜線PC、PD，那么∠CPD的大小為（）(A)45 (B)60 (C)120 (D)60或120【D(漏解)】11.設(shè)M，N是直角梯形ABCD兩腰的中點，于E（如圖），現(xiàn)將沿DE折起，使二面角為，此時點A在平面BCDE內(nèi)的射影恰為點B，則M，N的連線與AE所成的角的大小等于。解析：易知取AE中點Q，連MQ，BQ，N為BC的中點，即M，N連線與AE成角。12.如圖，在棱長為1的正方體中，M，N，P分別為的中點。求異面直線所成的角。DCBADCBAA1D1B1C1NMP解