FY2024蘇科版新九年級數(shù)學(xué)暑假大師課-第11講 正多邊形與圓（3種題型）（教師版）

第11講正多邊形與圓(3種題型)

4學(xué)習(xí)目標(biāo)］

1.了解正多邊形和圓的有關(guān)概念及對稱性；

2.理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關(guān)系，會應(yīng)用正多邊形和圓的有關(guān)知識畫正

多邊形；

3.會進(jìn)行正多邊形的有關(guān)計算.

1?；A(chǔ)知識

----------------------Illlllllllllllllllllillllllllllllllllllll-----------------------

正多邊形和圓

(1)正多邊形與圓的關(guān)系

把一個圓分成n(〃是大于2的自然數(shù))等份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊

形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓.

(2)正多邊形的有關(guān)概念

①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心.

②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.

③中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角.

④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.

C考點剖’

—iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiniiiiiiiiiiiiiiiiii一

題型一：求正多邊形的中心角

一、單選題

1.(2022?江蘇?九年級假期作業(yè))中心角為45°的正n邊形的邊數(shù)n等于()

A.12B.10C.8D.6

【答案】C

【分析】根據(jù)正多邊形的中心角=幽，計算即可.

n

【詳解】由題意得，隨=45°,

n

解得〃=8,

故選：c.

【點睛】本題考查正多邊形中心角，解答這類題往往一些學(xué)生因?qū)φ噙呅蔚幕局R不明確，將正多邊

形的中心角與內(nèi)角混淆而造成錯誤計算.

2.（2023春?江蘇蘇州?九年級專題練習(xí)）如圖，五邊形ABCDE是。的內(nèi)接正五邊形，則正五邊形中心角

NC8的度數(shù)是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)正多邊形的中心角的計算公式：也計算即可.

n

【詳解】解：；五邊形A8CDE是。的內(nèi)接正五邊形，

五邊形ABCDE的中心角ZCOD的度數(shù)為=360-°=72°,

故選D.

360°

【點睛】本題考查圓內(nèi)接正多邊形的中心角.熟練掌握正多邊形的中心角的計算公式：—,是解題的關(guān)

n

鍵.

3.（2023春?江蘇蘇州?九年級專題練習(xí)）若一個圓內(nèi)接正多邊形的中心角是40。，則這個多邊形是（）

A.正九邊形B.正八邊形C.正七邊形D.正六邊形

【答案】A

【分析】根據(jù)正多邊形的中心角的計算公式計算即可.

【詳解】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是〃，

由題意得少"二相。

n

解得，n=9,

故選：A

【點睛】本題考查的是正多邊形和圓的有關(guān)知識，掌握正多邊形的中心角的計算公式是解題的關(guān)鍵.

4.（2022秋?九年級單元測試）如圖，是由邊長為1的正六邊形和六角星鑲嵌而成的圖案，則圖中陰影部

分的面積是（）

D.48后

【答案】C

【分析】計算出1個正六邊形的面積，利用矩形的面積減去圖中未涂色部分的面積即可.

【詳解】解：如圖所示，

.??每個邊長為1的正六邊形由六個全等的等邊三角形組成，

，AO=OB=AB=1,AZ）=J,OD=4AO2-AD1=—,

因此每個正六邊形的面積為：6x-ABOD=6x-x\x^-=^-,

2222

圖中未涂色部分面積等于16個正六邊形的面積：16x地=24g.

2

整個圖形是一個矩形，長為12,寬為46,

矩形的面積為：12x4g=486,

因此圖中陰影部分的面積是：4873-2473=24^,

故選C.

【點睛】本題考查等邊三角形相關(guān)計算，利用等邊三角形計算出每個正六邊形的面積是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

5.（2022秋?九年級課時練習(xí)）五角星繞其中心旋轉(zhuǎn)一定的角度與原圖形重合，則這個旋轉(zhuǎn)角至少為

度.

【答案】72

【分析】把五角星看成正五邊形，求出正五邊形的中心角即可解決問題;

【詳解】解：???把五角星看成正五邊形，正五邊形的中心角3=60千°=72。，

.??繞它的中心旋轉(zhuǎn)72。角度后能夠與自身重合，

故選：72.

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)對稱圖形，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}

型.

6.(2022秋?江蘇?九年級期中)線段AB是圓內(nèi)接正十邊形的一條邊，則AB所對的圓周角的度數(shù)是一度.

【答案】18或162/162或18

【分析】作出圖形，求出一條邊所對的圓心角的度數(shù)，再根據(jù)圓周角和圓心角的關(guān)系解答.

【詳解】解：如下圖，

圓內(nèi)接正十邊形的邊AB所對的圓心角/1=360。+10=36。,

則/2=360。-36。=324。，

根據(jù)圓周角等于同弧所對圓心角的一半，

A8所對的圓周角的度數(shù)是36。、3=18。或324。、；=162。.

故答案為：18或162.

【點睛】本題主要考查了正多邊形的中心角、圓周角定理等知識，解題關(guān)鍵是熟練掌握圓周角和圓心角的

關(guān)系，并要注意分兩種情況討論.

三、解答題

7.(江蘇泰州?九年級統(tǒng)考階段練習(xí))如圖，在00的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=AD,ZC=120°,點E

在弧AD上，連接OA、OD、OE、AE、DE.

(1)求NAED的度數(shù)；

(2)當(dāng)NDOE=90。時，AE恰好為。。的內(nèi)接正n邊形的一邊，求n的值.

E

OD

【答案】(1)ZAED=120°；(2)12.

【分析】(1)如圖，連接BD,由已知條件證△ABD是等邊三角形，得到NABD=60。，從而由圓內(nèi)接四邊

形的性質(zhì)可得ZAED=120°；

(2)如圖，連接OA,由NABD=60。，可得NAOD=120。，結(jié)合NDOE=90。，可得NAOE=30。，從而可得

360s

n=----=12:

30

【詳解】解：(1)如圖，連接BD,

:四邊形ABCD是。O的內(nèi)接四邊形，

.,.ZBAD+ZC=180°,

,/ZC=120°,

.\ZBAD=60°,

VAB=AD,

.?.△ABD是等邊三角形，

ZABD=60°,

???四邊形ABDE是。O的內(nèi)接四邊形，

.\ZAED+ZABD=180°,

AZAED=120°；

(2)連接OA,

?.,ZABD=60°,

???ZAOD=2ZABD=120°,

?/ZDOE=90°,

ZAOE=ZAOD-ZDOE=30°,

題型二：已知正多邊形的中心角求邊數(shù)

一、單選題

1.（2022秋?江蘇?九年級專題練習(xí)）有一個正n邊形的中心角是36。，則門為（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【分析】根據(jù)正多邊形的中心角和為360。計算即可.

【詳解】解：廳3寄60°=10,

故選：D.

【點睛】本題考查的是正多邊形和圓，熟知正多邊形的中心角的和是360。是解題的關(guān)鍵.

2.（2022秋?九年級課時練習(xí)）如圖，邊AB是。O內(nèi)接正六邊形的一邊，點C在AB上，且BC是。。內(nèi)

接正八邊形的一邊，若AC是。O內(nèi)接正n邊形的一邊，則n的值是（）

A.6B.12C.24D.48

【答案】C

【分析】根據(jù)中心角的度數(shù)=360。+邊數(shù)，列式計算分別求出NAOB,NBOC的度數(shù)，可得NAOC=15。，然

后根據(jù)邊數(shù)"=360。+中心角即可求得答案.

【詳解】解：連接OC,

?.?AB是。。內(nèi)接正六邊形的一邊，

，408=360°+6=60°,

,:BC是00內(nèi)接正八邊形的一邊，

/8OC=360°+8=45°,

/.ZAOC=ZAOB-ZBOC=60°-45°=15°

.,.n=360%15°=24.

故選：C.

【點睛】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、正八邊形、正二十四邊形的性質(zhì);根據(jù)題意求出中

心角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?江蘇?九年級專題練習(xí)）一個圓的內(nèi)接正多邊形中，一條邊所對的圓心角為72。則該正多邊形的

邊數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】根據(jù)正多邊形的中心角=3綏60-°計算即可.

n

【詳解】解：設(shè)正多邊形的邊數(shù)為〃.

由題意當(dāng)二=72。，

n

72=5,

故選：C.

【點睛】本題考查正多邊形的有關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是記住正多邊形的中心角36=0"°.

4.（2022秋?江蘇南京?九年級南京外國語學(xué)校仙林分校?？茧A段練習(xí)）如圖，點A、8、C、。為一個正

多邊形的頂點，點。為正多邊形的中心，若408=18。，則這個正多邊形的邊數(shù)為（）

D

A.5B.10C.12D.20

【答案】B

【分析】作正多邊形的外接圓，連接AO,BO,根據(jù)圓周角定理得到NAO3=36。，根據(jù)中心角的定義即可

求解.

【詳解】解：如圖，作正多邊形的外接圓，連接A。，BO,

：.ZAOB=2ZADB=36°,

.?.這個正多動形的邊數(shù)為罌=10.

36?

故選:B.

【點睛】此題主要考查正多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知圓周角定理.

二、填空題

5.（2022秋?江蘇南通?九年級南通田家炳中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一個正多邊形的中心角是30。，則這個多邊形

是正一邊形.

【答案】十二

【分析】根據(jù)正多邊形的邊數(shù)=周角+中心角，計算即可得.

【詳解】解：???一個正多邊形的中心角是30°,

.?.這個多邊形是：360°+30°=12,即正十二邊形，

故答案為：十二.

【點睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握正多邊形的中心角與邊數(shù)的關(guān)系.

6.（2022秋?江蘇?九年級專題練習(xí)）正n邊形的中心角為72。，則”=.

【答案】5

【分析】根據(jù)正多邊形的中心角之和為360。計算即可.

【詳解】根據(jù)題意有一："=嗎=5,

故答案為：5.

【點睛】本題考查的是正多邊形和圓，熟知正多邊形的中心角之和為360。是解答本題的關(guān)鍵.

7.（2022秋?江蘇泰州?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）一個正n邊形繞它的中心至少旋轉(zhuǎn)36。才能與原來的圖形完

全重合，則n的值為.

【答案】10

【分析】直接利用旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)結(jié)合正多邊形中心角相等進(jìn)而得到答案

【詳解】?.?一個正"邊形繞它的中心至少旋轉(zhuǎn)36。才能與原來的圖形完全重合

二鼠的值為：嬰=1。

36

故答案為：10

【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)對稱圖形，正確把握正多邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

8.（2023秋?江蘇揚(yáng)州?九年級?？计谀┮粋€正n邊形的中心角為36。，則n為.

【答案】10

【分析】根據(jù)正多邊形的中心角和為360。計算即可.

【詳解】解：〃=36券0°=10,

故答案為：10.

【點睛】本題考查的是正多邊形和圓，熟知正多邊形的中心角和為360。是解答此題的關(guān)鍵.

9.（2023?江蘇南通?南通田家炳中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，ABC內(nèi)接于：O,ZC=36°,弦AB是圓內(nèi)接

正多邊形的一邊，則該正多邊形的邊數(shù)是.

【答案】5

【分析】如圖所示，連接。4,OB,由圓周角定理得到NAO8=72。，則該多邊形的中心角為72。，由此即可

得到答案.

【詳解】解：如圖所示，連接OAOB,

4=36。,

.??ZAOB=2ZACB=72°f

.360—

72°

???該正多邊形是正五邊形，

故答案為：5.

【點睛】本題考查了正多邊形和圓的知識，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造同弧所對的圓心角，難度不大.

三、解答題

10.(2022秋.九年級課時練習(xí))【閱讀理解】如圖1,NBOC為等邊43c的中心角，將/80C繞點O

逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度。(0°<￡<120。)，/8。。的兩邊與三角形的邊灰；4。分別交于點例,汽.設(shè)等邊ABC

=

的面積為S,通過證明可得OBM=.OCN,則S四邊形OMCN=SOMC+SOCNOMC+SOBM=S0BC=—S.

【類比探究】如圖2,NBOC為正方形ABC￡>的中心角，將NBOC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度

a(0°<a<90°),NBOC的兩邊與正方形的邊8C,CD分別交于點.若正方形A8C。的面積為S,請用

含S的式子表示四邊形。WCN的面積(寫出具體探究過程).

【拓展應(yīng)用】如圖3,NBOC為正六邊形A8C0E廠的中心角，將NBOC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度

a(00<a<60°),/BOC的兩邊與正六邊形的邊分別交于點”,N.若四邊形OMCN面積為指，請

直接寫出正六邊形ABCQEF的面積.

【答案】【類比探究】四邊形OMCN的面積=^S.【拓展應(yīng)用】6指

4

【分析】類比探究：通過證明可得.08河經(jīng)OCW,則

S四邊形OMCN=SOMC+SOCN=OMC+S（）BM=0BC=正方形458?

+

拓展應(yīng)用：通過證明可得小。3M經(jīng)OCN,則S四邊形OMCN=SOMC+S0cN=SOMCSOHM~SOBC=5S六邊形ABCDEF?

【詳解】解：類比探究：如圖2,??./B0C為正方形ABC。的中心角，

：.0B=0C,/OBM=/OCN=45。,

?/NB0C繞點、。逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度。（0。<。<90。）,N80C的兩邊與正方形的邊5CC。分別交于點

M,N

：./BOM=/CON,

MB0M@4coN,

,?S四邊形OMCN=SOMC+SOCN=SOMC+SOBM=S0BC=,正方形從的。?

拓展應(yīng)用：如圖3,???/BOC為正六邊形A3CDE尸的中心角,

???OB=OC,ZOBM=ZOCN=60°,

???/BO。繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度a（O0<a<90。）,ZB0C的兩邊與正方形的邊8CCD分別交于點

M,N

E

：.ZBOM=ZCONf

:,〉B0M2C0N,

,?Spq邊形OMCN=SOMC+SOCN=SOMC+OBM=SOBC=7'Kill形ABCDEF?

o

?.?四邊形OMCN面積為后，

，正六邊形ABCDEF的面積為6指.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)，正多邊形的性質(zhì)，正多邊形的中心角，三角形的全等，圖形的割補(bǔ)，熟練掌握

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題型三：正多邊形和圓

一、單選題

1.（2023?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考二模）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于_O,點F在弧AE上.若NCDF=95。，則NFCD

的大小為（）

A.38°B.42°C.49°D.58°

【答案】C

【分析】連接OE,OD,CE,根據(jù)五邊形ABCDE是正五邊形，可求出/CDE的度數(shù)，由NCDF=95。，可

得/WE的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理進(jìn)一步求解即可.

【詳解】如圖，連接OE,OD,CE,

A

二F

；五邊形ABCDE是正五邊形，

二NC￡>E=（5-2）xl800+5=108°,

■:NCDF=95°,

：.ZFDE=NCDE-ZCDF=108°-95°=13°,

:.ZFCE=\30,

:正五邊形A8CDE內(nèi)接于<O,

ZEOD=360°-J-5=72°,

ZECD=-NEOD=36°,

2

NFCD=NFCE+NECD=36°+13°=49°,

故選：C.

【點睛】本題考查了圓周角定理、正多邊形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.

2.（2023春?江蘇南京?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，尸是正六邊形A8CDEF的邊EF上一點，則/4PC

的度數(shù)不可能是（）

【答案】A

【分析】作正六邊形的外接圓延長”交；。于點G,連接CG,根據(jù)圓周角定理求得NAGC,再由三

角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】解：如圖，作正六邊形的外接圓。，延長4尸交。于點G,連接CG,

A3C0EF是正六邊形，

，ZAOC=120°,ZAGC=-ZAOC=60°,

2

ZAPC=ZAGC+ZPCG,

.\zS4PC>60°,

二.A、B、C、D四個選項中，只有A選項符合題意，

故選：A.

【點睛】本題考查了正多邊形外接圓，圓周角定理，三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理是解題的

關(guān)鍵.

3.（2023?江蘇徐州?模擬預(yù)測）如圖，面積為6的正六邊形戶中，點M,N分別為邊BC,EF上

的動點，則陰影部分面積為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】如圖，連接AO,BE,CF,交點為0,設(shè)EF與AO的距離為〃，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及平行

（EF+AD）h

線間距離相等可得則整始里=-—=|,進(jìn)而可求SmN，同理可求S*OM的值，根據(jù)

）ADN_____乙

S陰影=AL/xHl^ABCDEF~ADM~/\DN計算求解即可.

【詳解】解：如圖，連接AO,BE,CF,交點為0,

BMC

由正六邊形4?C￡>E尸可得，￡F=AO=DC^|]EF=；A。，AD〃EF〃BC，

設(shè)防與A￡>的距離為/?,

（??+，￡>）?6

則S四邊疇￡>EF_____2_2

SADN~四心一2，

2

?"S四邊形AO￡F=2XS正六邊形ABCOEF=3，

?v-7

??。AON-4>

同理可得Ss”=2,

?"S陰影=S正六邊形ABC0￡F-SADM-SADN=2,

故選：A.

【點睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，平行線間的距離相等.解題的關(guān)鍵在于確定陰影部分面積為正六邊

形的面積與空白部分面積的差.

二、填空題

4.（2023春?江蘇南京?九年級南京外國語學(xué)校仙林分校?？茧A段練習(xí)）正方形A88內(nèi)接于。，￡是4。

的中點，連接BE、CE,則NABE='

【答案】22.5

【分析】連接。4、OD、OE,根據(jù)圓內(nèi)接正方形的性質(zhì)得到N4C?=90°,得到&OE=45。，再利用圓周角

定理求出—ME的度數(shù).

【詳解】解：連接。4、OD、OE,如圖所示.

,/四邊形"CD是圓內(nèi)接正方形，

，Z4OD=90°.

是的中點,

:.NAOE=45。,

ZABE=-x45°=22.5°.

2

故答案為:22.5.

【點睛】此題考查了正多邊形和圓，圓周角定理，正確理解圓內(nèi)接正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.（2023秋?江蘇南京?九年級統(tǒng)考期末）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于O,.是：。的直徑，戶是I。

上的一點（不與點B,尸重合），則NBPF的度數(shù)為°.

【答案】54或126/126或54

【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)和圓周角定理，分當(dāng)點P在劣弧所上時和當(dāng)點P在優(yōu)弧BF上時，結(jié)合圖形求

解即可.

【詳解】①如圖所示：當(dāng)點尸在劣弧所上時，

連接。8、BP、PF,

?；ABCQE是正五邊形，A尸是。的直徑，

A

F

ABCDE是正五邊形，

，ZBAE=ZABC=WS0,

???赫是O的直徑，

???ZBAF=54°,

,:OB=OA,

:.ZABO=ZMF=54°,

JZAOB=72°,

???/FOB=108。，

???ZBOF=360°-108°=252°（N3O/為優(yōu)弧斯所對的圓心角）

.??ZBPF=-/BOF=126。；

②如圖所示：當(dāng)點尸在優(yōu)弧防上時，連接。8、BP、PF,

,/A8CDE是正五邊形,

???ZBAE=ZABC=108°,

???”是。的直徑,

???ZBAF=54°9

,:OB=OA,

：.ZABO=ZBAF=54°9

：.ZAOB=72°,

???ZFOB=108°,

，NBPF=-ZBOF=54°；

2

故答案為：54或126.

【點睛】本題主要考查正五邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵.

6.（2023?江蘇泰州?統(tǒng)考二模）如圖，正六邊形4??！辏尽晔c。相切于點C、F,則NCOF='

【答案】120

【分析】根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式可求出NE、ND,根據(jù)切線的性質(zhì)可求出/OC￡＞、ZOFE,從而可求

出NCO尸的度數(shù).

【詳解】解：?六邊形ABCOEF是正六邊形，

360。

.../E=ND=180°--------=120°.

6

EF、CL＞與〈O相切，

:.AOCD=ZOFE=90P,

NCOF=（5-2）x1800-90°-120°-l20°-90°=l20°,

故答案為：120.

【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)、正六邊形的性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角和公式、熟練掌握切線的性質(zhì)是解

決本題的關(guān)鍵.

7.（2022秋?江蘇徐州?九年級?？茧A段練習(xí)）劉徽是中國古代卓越的數(shù)學(xué)家之一，他在《九章算術(shù)》中提

出了“割圓術(shù)”，即用內(nèi)接或外切正多邊形逐步逼近圓來近似計算圓的面積.設(shè)。的半徑為2,若用，。的

內(nèi)接正六邊形的面積來近似估計。的面積，則。的面積約為.

【答案】60

【分析】連接。4、。8,根據(jù)正多邊形和圓的關(guān)系可判斷出為等邊三角形，過點。作。例，Afi于點

再利用勾股定理即可求出長，進(jìn)而可求出sAOB的面積，最后利用。的面積約為6sMi即可計算出結(jié)

果.

【詳解】解：如圖，連接04、0B

E、---?D

由題意可得：NAOB=360+6=60°

OA=OB=2

二.OAB為等邊三角形，

，AB=2

過點。作。M-LAB于點M,則4W=8W=1

在RtZiAOM中，OM=yl*-f=6

SA0B=—x2xy/3=A/3

，。的面積約為6SA°B=6百

故答案為：65/3.

【點睛】本題主要考查正多邊形與圓、勾股定理等，正確應(yīng)用正六邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

8.（2023?江蘇南京?統(tǒng)考一模）如圖，點。是正六邊形尸的中心，以A3為邊在正六邊形ABOEF

的內(nèi)部作正方形A8MN,連接0D,0N,則4DON=°,

【答案】105

【分析】連接。4,OB,0E,根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得，AO8QOE是等邊三角形，再證明四邊形038

是菱形，以及.AON是等腰三角形，分別求出488=120。，ZAO8=60o,ZAQN=75。，從而可得出結(jié)論.

【詳解】解：.??六邊形ABCDE是正六邊形，

AAB=BC=CD=DE=EF=FA,Z.FAB=ZABC=NBCD=120°,

?..四邊形A6MN是正方形，

二AB=BM=MN=NA/NAB=ZABM=90°,

連接。4OB,OE,如圖，

則,OOE是等邊三角形，

NOAB=ZABO=ZAOB=60。,OA=08=AB,OD=ED,

：.OA=AN=OB=CD=BC=CD,NOBC=120°-60°=60°,NOAN=90°-60°=30°,

，四邊形OBCD是菱形，ZAON=；（180。-30。）=75。，

二ZBOD=180°-NOBC=180°-60°=120°,

二ADON=360°-ZBOD-ZAOB-=360°-120°-60°-75°=105°,

故答案為：105.

【點睛】本題主要考查了正六邊形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，正

確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.

三、解答題

9.（2022?江蘇?九年級假期作業(yè)）如圖，已知OO內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊長為6cm,求這個正六邊形

的邊心距「6、面積S6.

【答案】54g

【分析】連接。8,0GLC8于G,證明△COB是等邊三角形，繼而可得正六邊形的外接圓半徑凡然后由

勾股定理求得邊心距，又由S正六邊形=6SaOBC求得答案.

【詳解】解：如下圖所示，連接。以設(shè)OGLCB于G,

,/六邊形ABCDEF是。。的內(nèi)接正六邊形，

：.ZCOB=60°,OC=OB,

???△COB是等邊三角形，

/.OC=OB=6cm,

即O。的半徑R=6cm,

VOC=OB=6,OG1CB,

：.CG=BG=-CB=-x6=3cm,

22

22

在RtZ\COG中，r6=0G^>]0C-CG=3^(cm),

2

S6—6SOBC=6xx6x3>/3=54\/3(cm).

【點睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握正六邊

形的相關(guān)知識.

10.(2022秋.江蘇.九年級期中)如圖，六邊形ABCDEF是。。的內(nèi)接正六邊形.

(1)求證：在六邊形ABCDEF中，過頂點A的三條對角線四等分/BAF.

S.

(2)設(shè)。。的面積為Si,六邊形ABCDEF的面積為S2,求苦的值(結(jié)果保留n).

【答案】(1)證明見解析

9

【分析】(1)如圖，連接AE,AD,AC,根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得到EF=ED=CD=BC,求得EF=ED=CD=BC，

于是得到ZEAD=ZDAC=ZCAB,即可得到結(jié)論；

(2)如圖，過。作OGLOE于G,連接0E,設(shè)。。的半徑為r,推出△OOE是等邊三角形，得到￡>E=

OD=r,/OED=60°,根據(jù)勾股定理得至OG=一EG'=且r,根據(jù)三角形和圓的面積公式即可得到

2

結(jié)論.

【詳解】(1)證明：如圖，連接AE,AD,AC,

,/六邊形ABCDEF是。。的內(nèi)接正六邊形，

：?EF=ED=CD=BC,

：?EF=ED=CD=BC，

：.ZFAE=ZEAD=ZDAC=/CAB,

???過頂點A的三條對角線四等分N8AF；

(2)解：如圖，過。作OGLOE于G,連接OE,

OE=r,

???△ODE是等邊三角形,

:?DE=OD=r,/0ED=6C,

；?NEOG=30。,

：.EG=-r,

2

OG=yjOE2-EG2=—r,

2

，正六邊形ABCDEF的面積=6x[xrx且r=史巴

222

;。。的面積=113,

S、_7tr2_2上兀

:■$―36J9?

【點睛】本題考查了正多邊形與圓，正六邊形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

11.（2022秋?江蘇鹽城?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于。O,P為BC上的一點，連接

DP,CP.

⑴求/CPD的度數(shù);

（2）當(dāng)點P為BC的中點時,CP是。。的內(nèi)接正n邊形的一邊，求n的值.

【答案】（1）NDPC=45°

⑵〃=8

【分析】（1）連接on,0C,根據(jù)正方形ABC。內(nèi)接于。0,結(jié)合圓周角定理可得/CPD；

（2）結(jié)合正多邊形的性質(zhì)以及圓周角定理得出/COP的度數(shù)，進(jìn)而得出答案.

【詳解】（1）解：連接0力，OC,

?.?正方形ABC。內(nèi)接于。0,

ZD(?C=90°,

Z.NDPC=-ZDOC=45°.

2

（2）解：連接PO,OB,如圖所示:

???正方形A8CZ）內(nèi)接于。O,

:./COB=90。，

*??點P為BC的中點，

:，CP=BP'

：.^COP=-ZCOB=45°,

2

二〃=360+45=8.

【點睛】本題主要考查了正多邊形和圓以及圓周角定理、正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握同弧所對

的圓周角等于圓心角的一半.

12.（2023?江蘇?九年級專題練習(xí)）［閱讀與思考］如圖①，在正三角形ABC中，點M,N是A3,BC上

的點，且=，則4V=CN,ANOC=；

如圖②，在正方形ABCD中，點N是AB,BC上的點，且AM=8N,則AN=OM,ZNOD=；

如圖③，在正五邊形ABCDE中，點M,N是AB,BC上的點，且=則AN=EM,ZNOE=；

［理解與運(yùn)用］在正六邊形ABCDEF中，點A/,N是AB,8C上的點，且AM=8N,則4N=FM,

ANOF=；

在正十邊形ABCDEFGHU中，點M,N是AB,BC上的點，且AM=BN,則AN=/W,ZNOJ=；

［歸納與總結(jié)］根據(jù)以上規(guī)律，在正"邊形A444…4中，對相鄰的三邊實施同樣的操作過程，即點用，

N是A&，Azd上的點，且A〃=4N,AN與4M相交于。；也會有類似的結(jié)論，你的結(jié)論是

圖①圖②圖。

【答案】60°；90。；108。；120。；144。；以上所求的角恰好等于正〃邊形的內(nèi)角生包亞

n

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出/B=NC4M,AB=AC,進(jìn)而利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出,

ZOAC+ZBCM=ZNOC=60°；

根據(jù)正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)得出：ADON=ADAN+ZADM=90°；

根據(jù)正五邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)得出：ZEON=ZAEM+ZEAN=108°；

根據(jù)以上所求結(jié)論即可得正六邊形ABCDEF中，ZNOF=120°；

根據(jù)以上所求結(jié)論即可得正十邊形ABCDEFGHIJ中，Z.NOJ=144°；

根據(jù)以上所求得出在正“邊形中，類似的結(jié)論.

【詳解】解：閱讀與思考：

?在正三角形ABC中，點"，N是AB,BC上的點，且AM=BN,

:.ZB=ZCAMAB=AC

?.?在ABN和VC4A7中

AB=AC

"ZB=ZCAM

BN=AM

.ABN四&CAM(SAS)

AN=CM,NBAN=ZMCA

ZNOC=ZOAC+ZMCA=ZOAC+/BAN=ABAC=60°

故答案為：60°；

???在正方形ABC￡＞中，點M,N是AB,BC上的點，且AN=OM

:.AD=AB

在；ABN和△DAM中

AD=AB

</DAM=/ABN

AM=BN

.?.一ABN，DAM(SAS)

:,ZAMD=ZANB,ZADM=ZBAN

/.ADON=ZDAN+ZADM=90°

答案為:90°；

???在正五邊形A8CDE中，點M,N是AB,8c上的點，且AM=BN,則AN=EM

:.AB=AE,ZEAM=ZABN

:在和BAN中，

AB=AE

<NB=NEAM

BN=AM

...ABN學(xué)一EAM(SAS)

:.AN=EM,ZAEM=ZBAN

.\ZEON=ZAEM+ZEAO=]08°

故答案為：108。；

理解與運(yùn)用：

??,正三角形的內(nèi)角度數(shù)為：60°；正方形的內(nèi)角度數(shù)為：90°；正五邊形的內(nèi)角度數(shù)為：108。；

???同理可得：

在正六邊形ABCJM戶中，點N是AB,BC上的點，S.AM=BN,則AN=FW,NNO產(chǎn)=120。；

故答案為：120。；

同理可得：

在正十邊形ABCOEFG"〃中，點、M,N是AB,BC上的點，且AM=8N,貝！14V=,NNQ/=144。；

故答案為：144。；

歸納與總結(jié)：

根據(jù)以上所求的角恰好等于正〃邊形的內(nèi)角，

所以所求的角恰好等于正〃邊形的內(nèi)角"L2)J80°

n

故答案為：以上所求的角恰好等于正〃邊形的內(nèi)角5-2)?180°

【點睛】此題主要考查了正多邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練利用三角形的外角性

質(zhì)是解題關(guān)鍵.

13.（2022秋.江蘇徐州.九年級統(tǒng)考期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每一個小正方形的邊長都為1,點。、

A都在格點上，以。為圓心，為半徑做圓，只用無刻度的直尺完成以下畫圖.

⑴在圖①中畫；O的一個內(nèi)接正四邊形A8CO,S正四邊粉BCD=；

⑵在圖②中畫。的一個內(nèi)接正六邊形A8CDEF,S正六邊形A5CDEF=

【答案】（1）圖見解析，32

⑵圖見解析，24百

【分析】（1）只需要作直徑AC、BC,并使得4C15Z）即可；

（2）如圖所示，取格點8,C,D,E,F,然后順次連接4、B、C、I）、E、尸得到正六邊形，再求出求面

積.

【詳解】（1）解：如圖所示，正四邊形ABCD即為所求；

SJE四邊形?，=3ACBD=5x8x8=32,

故答案為32；

D

(2)解：如圖所示，正六邊形AB8E尸即為所求;

過點。作0H1BC于4,

?..正六邊形ABCDEF,

360°

:.NBOC=——=60°,

6

又,：OB=OC,

△OBC是等邊三角形，

/.OB=2BH=4,

OH=>JOH2-BH2=，

S正六邊形=6sAOBC=6x/x4x2>/3=246.

故答案為：24下).

【點睛】本題主要考查了正多邊形和圓，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟知正多邊形和圓的相關(guān)知識是解題

的關(guān)鍵.

題型四：尺規(guī)作圖

一、解答題

1.（2022秋?九年級課時練習(xí)）如圖1,等邊ABC內(nèi)接于。O,連接CO并延長交。O于點D.

（1）可以證明CD垂直平分AB,寫出AO與08的數(shù)量關(guān)系：一.

（2）請你僅使用無刻度的直尺按要求作圖：

①在圖1中作出一個正六邊形，保留作圖痕跡（作圖過程用虛線表示，作圖結(jié)果用實線表示）.

②請在圖2中作出的內(nèi)接正六邊形ADBECF的一條不經(jīng)過頂點的對稱軸，保留作圖痕跡（作圖過程用虛

Mt圖2

【答案】⑴AD=DB；（2）①見解析，②見解析

【分析】（1）結(jié)合外心的定義和等邊三角形的性質(zhì)推斷出CD垂直平分AB,從而利用垂徑定理得出結(jié)論

即可；

（2）①結(jié)合（1）的結(jié)論，可直接連接AO,B0,分別延長與圓相交，再順次連接各交點即可；

②如圖，延長AF,EC,交于一點，此時可構(gòu)成等邊三角形，從而連接交點與圓心的直線即為所求的對稱軸.

【詳解】（1）AD=DB，

為三角形的外心，

AO為三角形三邊中垂線的交點，

又???三角形為等邊三角形，

...可得CD垂直平分AB,

根據(jù)垂徑定理可得：AD=DB；

（2）①如圖所示，在（1）的基礎(chǔ)之上，連接A0,并延長至E,連接B0,并延長至F,順次連接圓周上

各點即可；

n

【點睛】本題主要考查復(fù)雜作圖，以及正多邊形與圓之間的關(guān)系，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

2.（2022秋?九年級課時練習(xí)）如圖，己知AC為一。的直徑.請用尺規(guī)作圖法，作出。的內(nèi)接正方形

ABCD.（保留作圖痕跡.不寫作法）

【分析】作AC的垂直平分線交。。于8、D,則四邊形A8CC就是所求作的內(nèi)接正方形.

【詳解】解：如圖，正方形A8c。為所作.

垂直平分AC,AC為。的直徑，

:.BD為。的直徑，

：.BD±AC,OB=OD,0A=OC,BD=AC,

.,?四邊形ABC。是。的內(nèi)接正方形.

【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基

本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查r圓的基本性質(zhì)，正方形的判定.

3.（2022?江蘇?九年級專題練習(xí)）按要求作圖，不要求寫作法，但要保留作圖痕跡.

（1）如圖1,A為圓E上一點，請用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)作出圓內(nèi)接正方形；

（2）我們知道，三角形具有性質(zhì)，三邊的垂直平分線相交于同一點，三條角平分線相交于一點，三條中線

相交于一點，事實上，三角形還具有性質(zhì)：三條高交于同一點，請運(yùn)用上述性質(zhì)，只用直尺（不帶刻度）

作圖：

①如圖2,在DABCD中，E為CD的中點，作BC的中點F;

②圖3,在由小正方形組成的網(wǎng)格中，的頂點都在小正方形的頂點上，作AABC的高AH

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②見解析.

【分析】（1）作直徑AC,分別以A、C為圓心，以大于AC的一半長為半徑畫弧，在AC的兩側(cè)分別交于點

M、N,作直線MN交圓于點B,D,四邊形ABCD即為所求；

⑵①連接AC、BD交于點O,則。為BD的中點，連接BE交CO于點G,連接DG并延長交BC于點F,

則F即為所求；

②如圖，利用網(wǎng)格特點連接BM,則可得直線BM_LAC,連接CN,則可得直線CN_LAB,兩線交于點E,

連接AE并延長交BC于點H,則AH即為所求.

(2)①如圖所示，點F即為所求;

D

②如圖所示，AH即為所求.

【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，無刻度直尺作圖，熟練掌握尺規(guī)作圖的方法以及無刻度直尺作圖的方法是

解題的關(guān)鍵.

4.(2021秋?江蘇?九年級專題練習(xí))已知正五邊形ABCDE,請僅用無刻度直尺作圖.

圖1圖2

(1)在圖1中作點P,使得△8。尸是等腰三角形：

(2)在圖2中作點0,使點。稱為正五邊形ABCDE的中心.

【答案】(1)畫圖見解析；(2)畫圖見解析.

【分析】(1)直接利用正多邊形的性質(zhì)得出頂點P的位置；

(2)利用正五邊形的性質(zhì)，得出對角線交點，進(jìn)而得出其中心P點位置.

【詳解】解：(1)如圖所示：點P為所求；

(2)如圖所示：點O為所求；

圖2

【點睛】此題主要考查了復(fù)雜作圖以及等腰三角形的性質(zhì)和正多邊形的性質(zhì)，正確應(yīng)用正五邊形的性質(zhì)是

解題關(guān)鍵.

5.（2021?江蘇無錫?九年級專題練習(xí)）已知正六邊形ABCDEF,請僅用無刻度的直尺，分別按下列要求作

圖.

（1）在圖①中，以AB為邊作等邊三角形；

（2）在圖②中，作一個含30。的直角三角形.

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解

【分析】（1）連接AD,BE交于點O,即可得到所求三角形;

（2）連接AC,CF,即可得到所求三角形；

【詳解】（1）如圖①所示：AAOB即為所求三角形；

（2）如圖②所示：AACF即為所求三角形.

【點睛】本題主要考查正六邊形的性質(zhì)，熟練掌握正六邊形的每條邊都相等，每個內(nèi)角都等于120。，是解

題的關(guān)鍵.

6.（2022秋?江蘇?九年級專題練習(xí)）請用圓規(guī)和直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡.

已知：。0,點A在圓上.

求作：以A為一頂點作圓內(nèi)接正方形ABCD.

【答案】見解析

【分析】作直徑AC,過點。作交。。于B,D,連接AB,BC,CD,AD即可.

【詳解】如圖，四邊形A8CO即為所求作.

【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖

形的性質(zhì)和基本作圖方法.解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把

復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.

二、填空題

7.（2021秋?江蘇?九年級專題練習(xí)）如圖，在中，MF為直徑，OAJ_MF,圓內(nèi)接正五邊形ABCDE的

部分尺規(guī)作圖步驟如下：

①作出半徑OF的中點H.

②以點H為圓心，HA為半徑作圓弧，交直徑MF于點G.

③AG長即為正五邊形的邊長、依次作出各等分點B,C,D,E.

已知OO的半徑R=2,則AB』一（結(jié)果保留根號）

【答案】10-26

【分析】連接AG,由作圖可知，OA=2,“為OF中點，可求0”==1,由勾股定理得A”=&M2+O“2=亞,

可求OG=^-1,由勾股定理A￥=AG2=OA2+OG2=4+（石-1）』10-2石即可.

【詳解】解：連接AG,由作圖可知，OA=2,OH=l,"為OF中點，

OH=—OF=』x2=1,

22

在吊△OAH中，由勾股定理

AH=^OAT+OH2=>/22+12=亞>

"：AH=HG=45,

：.OG=GH-OH=45-1.

在R/AAOG中，由勾股定理得，

：.AB2=AG2=OA2+OG2=4+（75-1）2=10-2小.

故答案為：10-2石.

【點睛】本題考查尺規(guī)作圓內(nèi)接正五邊形的方法與步驟，線段垂直平分線，勾股定理，作圓弧，掌握圓內(nèi)

接正五邊形的方法與步驟，線段垂直平分線，勾股定理，作圓弧的方法是解題關(guān)鍵.

L真題演練

----------------------lllllllllllllllllllllllllllllllllllllltll

選擇題（共10小題）

1.（2023?工業(yè)園區(qū)校級二模）閱讀理解：如圖1,在平面內(nèi)選一定點O,引一條有方向的射線Ox,再選

定一個單位長度，那么平面上任一點M的位置可由/MOx的度數(shù)0與OM的長度m確定，有序數(shù)對（。，

加）稱為M點的“極坐標(biāo)”，這樣建立的坐標(biāo)系稱為“極坐標(biāo)系”.應(yīng)用：在圖2的極坐標(biāo)系下，如果正

六邊形的邊長為4,有一邊OA在射線Ox上，則正六邊形的頂點C的極坐標(biāo)應(yīng)記為（）

（60°,472）D.（45。，2V2）

【分析】設(shè)正六邊形的中心為。，連接AO,判斷出△AOO是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得OD

=OA,/4。力=60°,再求出OC,然后根據(jù)“極坐標(biāo)”的定義寫出即可.

【解答】解：如圖，設(shè)正六邊形的中心為。，連接AD,

：400=360°4-6=60°,OD=AD,

.?.△400是等邊三角形，

：.OD=OA=4,N4OO=60°,

二OC=2O￡>=2X4=8,

.?.正六邊形的頂點C的極坐標(biāo)應(yīng)記為（60°,8）.