四川省達州市普通高中2024屆高三一診考試數(shù)學試卷含解析

四川省達州市普通高中2024屆高三一診考試數(shù)學試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．中心在原點，對稱軸為坐標軸的雙曲線的兩條漸近線與圓都相切，則雙曲線的離心率是（）A．2或 B．2或 C．或 D．或2．已知復數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,且z1是實數(shù),則實數(shù)a等于()A． B． C．- D．-3．已知函數(shù)．下列命題：①函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；②函數(shù)是周期函數(shù)；③當時，函數(shù)取最大值；④函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象沒有公共點，其中正確命題的序號是（）A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④4．一個頻率分布表（樣本容量為）不小心被損壞了一部分，只記得樣本中數(shù)據(jù)在上的頻率為，則估計樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個數(shù)共有（）A． B． C． D．5．已知m為實數(shù)，直線：，：，則“”是“”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件6．已知半徑為2的球內(nèi)有一個內(nèi)接圓柱，若圓柱的高為2，則球的體積與圓柱的體積的比為（）A． B． C． D．7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入，則輸出屬于（）A． B． C． D．8．已知，，則（）A． B． C．3 D．49．設函數(shù)，則，的大致圖象大致是的()A． B．C． D．10．已知曲線的一條對稱軸方程為，曲線向左平移個單位長度，得到曲線的一個對稱中心的坐標為，則的最小值是（）A． B． C． D．11．已知集合，，，則集合()A． B． C． D．12．某四棱錐的三視圖如圖所示，記S為此棱錐所有棱的長度的集合，則（）A．B．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，兩個同心圓的半徑分別為和，為大圓的一條直徑，過點作小圓的切線交大圓于另一點，切點為，點為劣弧上的任一點（不包括兩點），則的最大值是__________．14．如圖，在三棱錐中，平面，，已知，，則當最大時，三棱錐的體積為__________．15．若隨機變量的分布列如表所示，則______，______．-10116．已知等差數(shù)列的前項和為，且，則______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設為坐標原點，動點在橢圓：上，該橢圓的左頂點到直線的距離為.（1）求橢圓的標準方程；（2）若橢圓外一點滿足，平行于軸，，動點在直線上，滿足.設過點且垂直的直線，試問直線是否過定點？若過定點，請寫出該定點，若不過定點請說明理由.18．（12分）已知橢圓：（），四點，，，中恰有三點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）設橢圓的左右頂點分別為.是橢圓上異于的動點，求的正切的最大值.19．（12分）已知函數(shù)．（1）若不等式有解，求實數(shù)的取值范圍；（2）函數(shù)的最小值為，若正實數(shù)，，滿足，證明：．20．（12分）在新中國成立70周年國慶閱兵慶典中，眾多群眾在臉上貼著一顆紅心，以此表達對祖國的熱愛之情，在數(shù)學中，有多種方程都可以表示心型曲線，其中有著名的笛卡爾心型曲線，如圖，在直角坐標系中，以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線，其極坐標方程為（），M為該曲線上的任意一點.（1）當時，求M點的極坐標；（2）將射線OM繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)與該曲線相交于點N，求的最大值.21．（12分）△的內(nèi)角的對邊分別為,且．(1)求角的大小(2)若,△的面積,求△的周長．22．（10分）設橢圓的離心率為，左、右焦點分別為，點D在橢圓C上，的周長為.（1）求橢圓C的標準方程；（2）過圓上任意一點P作圓E的切線l，若l與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標原點，求證：為定值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)題意，由圓的切線求得雙曲線的漸近線的方程，再分焦點在x、y軸上兩種情況討論，進而求得雙曲線的離心率．【詳解】設雙曲線C的漸近線方程為y=kx，是圓的切線得：，得雙曲線的一條漸近線的方程為∴焦點在x、y軸上兩種情況討論：

①當焦點在x軸上時有：②當焦點在y軸上時有：∴求得雙曲線的離心率2或．

故選：A．【點睛】本小題主要考查直線與圓的位置關(guān)系、雙曲線的簡單性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．解題的關(guān)鍵是：由圓的切線求得直線的方程，再由雙曲線中漸近線的方程的關(guān)系建立等式，從而解出雙曲線的離心率的值．此題易忽視兩解得出錯誤答案．2、A【解析】分析：計算，由z1，是實數(shù)得，從而得解.詳解：復數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,.所以z1，是實數(shù)，所以，即.故選A.點睛：本題主要考查了復數(shù)共軛的概念，屬于基礎題.3、A【解析】

根據(jù)奇偶性的定義可判斷出①正確；由周期函數(shù)特點知②錯誤；函數(shù)定義域為，最值點即為極值點，由知③錯誤；令，在和兩種情況下知均無零點，知④正確.【詳解】由題意得：定義域為，，為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，①正確；為周期函數(shù)，不是周期函數(shù)，不是周期函數(shù)，②錯誤；，，不是最值，③錯誤；令，當時，，，，此時與無交點；當時，，，，此時與無交點；綜上所述：與無交點，④正確.故選：.【點睛】本題考查函數(shù)與導數(shù)知識的綜合應用，涉及到函數(shù)奇偶性和周期性的判斷、函數(shù)最值的判斷、兩函數(shù)交點個數(shù)問題的求解；本題綜合性較強，對于學生的分析和推理能力有較高要求.4、B【解析】

計算出樣本在的數(shù)據(jù)個數(shù)，再減去樣本在的數(shù)據(jù)個數(shù)即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知，樣本在的數(shù)據(jù)個數(shù)為，樣本在的數(shù)據(jù)個數(shù)為，因此，樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個數(shù)為.故選：B.【點睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計算頻數(shù)，要理解頻數(shù)、樣本容量與頻率三者之間的關(guān)系，考查計算能力，屬于基礎題.5、A【解析】

根據(jù)直線平行的等價條件，求出m的值，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】當m=1時，兩直線方程分別為直線l1：x+y﹣1=0，l2：x+y﹣2=0滿足l1∥l2，即充分性成立，當m=0時，兩直線方程分別為y﹣1=0，和﹣2x﹣2=0，不滿足條件．當m≠0時，則l1∥l2?，由得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2，由得m≠2，則m=1，即“m=1”是“l(fā)1∥l2”的充要條件，故答案為：A【點睛】（1）本題主要考查充要條件的判斷，考查兩直線平行的等價條件，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)本題也可以利用下面的結(jié)論解答，直線和直線平行，則且兩直線不重合,求出參數(shù)的值后要代入檢驗看兩直線是否重合.6、D【解析】

分別求出球和圓柱的體積，然后可得比值.【詳解】設圓柱的底面圓半徑為，則，所以圓柱的體積.又球的體積，所以球的體積與圓柱的體積的比，故選D.【點睛】本題主要考查幾何體的體積求解，側(cè)重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).7、B【解析】

由題意，框圖的作用是求分段函數(shù)的值域，求解即得解.【詳解】由題意可知，框圖的作用是求分段函數(shù)的值域，當；當綜上：.故選：B【點睛】本題考查了條件分支的程序框圖，考查了學生邏輯推理，分類討論，數(shù)學運算的能力，屬于基礎題.8、A【解析】

根據(jù)復數(shù)相等的特征，求出和，再利用復數(shù)的模公式，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以，解得則.故選：A.【點睛】本題考查相等復數(shù)的特征和復數(shù)的模，屬于基礎題.9、B【解析】

采用排除法：通過判斷函數(shù)的奇偶性排除選項A；通過判斷特殊點的函數(shù)值符號排除選項D和選項C即可求解.【詳解】對于選項A:由題意知,函數(shù)的定義域為，其關(guān)于原點對稱，因為,所以函數(shù)為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點對稱，故選A排除；對于選項D:因為,故選項D排除;對于選項C:因為,故選項C排除;故選:B【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和特殊點函數(shù)值符號判斷函數(shù)圖象;考查運算求解能力和邏輯推理能力;選取合適的特殊點并判斷其函數(shù)值符號是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.10、C【解析】

在對稱軸處取得最值有，結(jié)合，可得，易得曲線的解析式為，結(jié)合其對稱中心為可得即可得到的最小值.【詳解】∵直線是曲線的一條對稱軸.，又..∴平移后曲線為.曲線的一個對稱中心為..，注意到故的最小值為.故選：C.【點睛】本題考查余弦型函數(shù)性質(zhì)的應用，涉及到函數(shù)的平移、函數(shù)的對稱性，考查學生數(shù)形結(jié)合、數(shù)學運算的能力，是一道中檔題.11、D【解析】

根據(jù)集合的混合運算，即可容易求得結(jié)果.【詳解】，故可得.故選：D.【點睛】本題考查集合的混合運算，屬基礎題.12、D【解析】

如圖所示：在邊長為的正方體中，四棱錐滿足條件，故，得到答案.【詳解】如圖所示：在邊長為的正方體中，四棱錐滿足條件.故，，.故，故，.故選：.【點睛】本題考查了三視圖，元素和集合的關(guān)系，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

以為坐標原點，所在的直線為軸，的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，從而可得、，，，然后利用向量數(shù)量積的坐標運算可得，再根據(jù)輔助角公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】以為坐標原點，所在的直線為軸，的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，則、，由，且，所以，所以，即又平分，所以，則,設，則，，所以，所以，，所以的最大值是.故答案為：【點睛】本題考查了向量數(shù)量積的坐標運算、利用向量解決幾何問題，同時考查了輔助角公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.14、4【解析】設，則，，，，當且僅當，即時，等號成立.,故答案為415、【解析】

首先求得a的值，然后利用均值的性質(zhì)計算均值，最后求得的值，由方差的性質(zhì)計算的值即可.【詳解】由題意可知，解得（舍去）或.則，則，由方差的計算性質(zhì)得.【點睛】本題主要考查分布列的性質(zhì)，均值的計算公式，方差的計算公式，方差的性質(zhì)等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.16、【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式求得的值.【詳解】因為為等差數(shù)列，所以，解得，所以.故答案為：【點睛】本小題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，前項和公式的應用等基礎知識；考查運算求解能力，應用意識.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析【解析】

（1）根據(jù)點到直線的距離公式可求出a的值，即可得橢圓方程；（2）由題意M（x0，y0），N（x0，y1），P（2，t），根據(jù)，可得y1＝2y0，由，可得2x0+2y0t＝6，再根據(jù)向量的運算可得，即可證明．【詳解】（1）左頂點A的坐標為（﹣a，0），∵＝，∴|a﹣5|＝3，解得a＝2或a＝8（舍去），∴橢圓C的標準方程為+y2＝1，（2）由題意M（x0，y0），N（x0，y1），P（2，t），則依題意可知y1≠y0，得（x0﹣2x0，y1﹣2y0）（0，y1﹣y0）=0，整理可得y1＝2y0，或y1＝y(tǒng)0（舍），，得（x0，2y0）（2﹣x0，t﹣2y0）＝2，整理可得2x0+2y0t＝x02+4y02+2＝6，由（1）可得F（，0），∴＝（﹣x0，﹣2y0），∴?＝（﹣x0，﹣2y0）（2，t）＝6﹣2x0﹣2y0t＝0，∴NF⊥OP，故過點N且垂直于OP的直線過橢圓C的右焦點F．【點睛】本題考查了橢圓方程的求法，直線和橢圓的關(guān)系，向量的運算，考查了運算求解能力和轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于中檔題.18、（1）；（2）【解析】

（1）分析可得必在橢圓上，不在橢圓上，代入即得解；（2）設直線PA，PB的傾斜角分別為，斜率為，可得.則，，利用均值不等式，即得解.【詳解】（1）因為關(guān)于軸對稱，所以必在橢圓上，∴不在橢圓上∴，，即.（2）設橢圓上的點（），設直線PA，PB的傾斜角分別為，斜率為又∴.，，（不妨設）.故當且僅當，即時等號成立【點睛】本題考查了直線和橢圓綜合，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于較難題.19、（1）（2）見解析【解析】

(1)分離得到，求的最小值即可求得的取值范圍；（2）先求出，得到，利用乘變化即可證明不等式.【詳解】解：（1）設，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．故．∵有解，∴．即的取值范圍為．（2），當且僅當時等號成立．∴，即．∵．當且僅當，，時等號成立．∴，即成立．【點睛】此題考查不等式的證明，注意定值乘變化的靈活應用，屬于較易題目.20、（1）點M的極坐標為或（2）【解析】

（1）令，由此求得的值，進而求得點的極坐標.（2）設出兩點的極坐標，利用勾股定理求得的表達式，利用三角函數(shù)最值的求法，求得的最大值.【詳解】（1）設點M在極坐標系中的坐標，由，得，∵∴或，所以點M的極坐標為或（2）由題意可設，.由，得，.故時，的最大值為.【點睛】本小題主要考查極坐標的求法，考查極坐標下兩點間距離的計算以及距離最值的求法，屬于中檔題.21、（I）；（II）．【解析】

試題分析：（I）由已知可得；（II）依題意得：的周長為．試題解析：（I）∵，∴．∴，∴，∴，∴，∴．（II）依題意得：∴，∴，∴，∴，∴的周長為．考點：1、解三角形；2、三角恒等變換．22、（1）（2）見解析【解